36 bài tập hình ôn thi học kì 1 hình 9 v1

Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm M, kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn.. Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt tia Ax tại C.. a, Chứng minh bốn điểm B, D, E, O cùng thuộ

BÀI TẬP HÌNH ÔN THI HỌC KÌ I

Bài 1: (Thạch Thán - 2021) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 8cm, AC = 15cm

a, Tính BC, AH, HC Chứng minh sinB = cosC

b, Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC Kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn ngoại tiếp

tứ giác APHQ (M thuộc cung nhỏ AQ) Chứng minh CM2 = CQ.CA

c, Tính PA.PB + AQ.QC

a, BC = 17, AH = 120/17, HC = 225/17, sinB = cosC = AC/BC

b, Tâm O của đường tròn ngoại tiếp APHQ là tâm của hình chữ nhật, O thuộc AH => OHHC

=> HC là tiếp tuyến (O) => CH = CM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

Bài 2: (Lê Quý Đôn - 2021) Cho đường tròn (O; R) Từ điểm A nằm ngoài (O) sao cho OA = 2R

kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến (O)

a, Chứng minh A, B, O, C thuộc 1 đường tròn

b, Gọi H là giao điểm của AO và BC Tính OH, BC theo R

c, Kẻ đường kính BD, từ C kẻ CK vuông góc BD tại K AD cắt CK tại I Chứng minh CD//AO và

I là trung điểm của CK

a, AB, AC là tiếp tuyến (O) (gt) => ABBO, ACCO (tính chất tiếp tuyến)

=> ABOACO90o=> B, C thuộc đường tròn đường kính AO

=> A, B, O, C thuộc 1 đường tròn đường kính AO

b, AB, AC là tiếp tuyến (O) (gt) => AB = AC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

=> A thuộc trung trực của BC (1)

Mặt khác, OB = OC (=R) => A thuộc trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) => AO là đường trung trực của BC

=> AO vuông góc với BC tại trung điểm H của BC

Xét tam giác vuông AOB có OH.OA = OB2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà BCAO (cmt) => AO // CD (cùng BC)

Kéo dài CD cắt AB tại M

Ta có AB = AC (cmt) => ∆ABC cân tại A => ABCACB

Mà ABCAMC90o(∆MBC vuông tại C) và ACBACM 90o

=> AMCACM( 90  oABC 90oACB)

=> ∆AMC cân tại A => AC = AM

Bài 3: (Bế Văn Đàn - 2021) Cho tam giác OAB vuông tại A (OA < AB) Vẽ đường tròn (O) bán kính OA = R Kẻ tiếp tuyến BC với (O; OA)

a, Chứng minh A, B, C, O thuộc 1 đường tròn

b, Kẻ đường kính CD của (O; OA), BD cắt (O; OA) tại E Chứng minh AD // BO vàDE CD

E O

C

D

Bài 4: (Kiêu Kỵ - 2021) Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm M, kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt tia Ax tại C

a, Chứng minh rằng 4 điểm A, C, O, M cùng thuộc một đường tròn Chỉ rõ tâm đường đó

b, Tiếp tuyến tại M cắt tia By tại D Chứng minh rằng AC + BD = CD và COD vuông tại O

c, Gọi E là giao điểm của AD và BC, K là giao điểm của ME và AB Chứng minh rằng E là trung điểm MK

D

M

K

Bài 5: (Nam Từ Liêm - 2021) Cho đường tròn (O) đường kính BC Kẻ tiếp tuyến Bx của đường tròn (O) Trên tia đối của tia CB lấy điểm A Kẻ tiếp tuyến AE với đường tròn (O), E là tiểp điểm Tia AE cắt tia Bx tại điểm D

a, Chứng minh bốn điểm B, D, E, O cùng thuộc một đường tròn

b, Gọi H là giao điểm của BE với DO Chứng minh rằng: DB2 = DH.DO và DO // EC

c, Kẻ OM vuông góc AB (M thuộc AD) Tia OM cắt EC tại N, DN cắt OE tại I, BN cắt DO tại J Chứng minh tứ giác BDNO là hình chữ nhật và I, M, J thẳng hàng

Gợi ý:

a, B, D, E, O cùng thuộc một đường tròn đường kính DO

b, DB2 = DH.DO (hệ thức lượng); DO//EC (cùng vuông góc EC)

c, ∆BOD = ∆OCN (cgv-gnk) => DO = NC

DO//NC, DO = NC => DOCN là hbh => BOND là hình bình hành => BOND là hình chữ nhật

=> J là trung điểm DO và NO = BD và DNO = 90o

Mà BD = DE => DE=ON

=> ∆DEO = ∆ODN (ch-cgv) => NDO DOE => ∆DIO cân tại I => ID = IO

=> OJ là trung tuyến và là đường cao của ∆DIO => IJ DO (1)

Mặt khác, M là trực tâm ∆DIO => OMDO (2)

Từ (1) và (2) => I, M, J thẳng hàng

M J

Bài 6: (Nam Hồng - 2021) Cho đường tròn (O), đường kính AB Qua điểm M nằm trên đường tròn kẻ tiếp tuyến cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại I và K

a, Chứng minh IK = AI + BK và góc IOK = 90o

b, Chứng minh I, A, M, O thuộc 1 đường tròn

c, Hạ MH vuông góc AB tại H, C là giao điểm của MH và BI Chứng minh C là trung điểm của

H

Bài 7: (Cao Bá Quát - 2021) Cho (O; R), từ điểm S ở ngoài đường tròn (O; R) sao cho OS = 2R,

kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B là tiếp điểm), gọi H là giao điểm của SO và AB

a, Chứng minh: SO⊥AB

b, Chứng minh: OH.OS = R2 và ∆SBA đều

c, Vẽ cát tuyến SMN của (O; R), xác định vị trí của cát tuyến SMN để SM + SN đạt giá trị nhỏ nhất

Gợi ý:

b, OH.OS = SA2 (hệ thức lượng trong ∆vuông ASO)

SA = SB => ∆SAB cân, sinOSA = 1

2 2

OA R

SO  R => OSA30o

SO là phân giác ASB => ASB = 60o => ∆SAB đều

c, Gọi I là trung điểm MN => SM + SN = 2SI => SM + SN min  SI min

SI2 = SO2 – OI2 = 4R2 – IO2

SI min  OI max  OI = R  SMN là tiếp tuyến của (O)

Mở rộng: Tìm vị trí SMN để SM + SN max  OI min  O trùng I  SMN đi qua O

H M

A

B

Bài 8: (Thăng Long - 2021) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến (O)

a, Chứng minh A, B, O, C thuộc 1 đường tròn, chỉ rõ tâm và bán kính đường tròn đó

b, Gọi H là giao điểm AO và BC, kẻ HK vuông góc AB tại K Chứng minh OA vuông góc BC

và OH.AH = BK.BA

c, Chứng minh HK là tiếp tuyến đường tròn đường kính AC và HK đi qua trung điểm của OC

Gợi ý:

a, A, B, O, C thuộc đường tròn đường kính AO, tâm là trung điểm AO, bán kính AO/2

b, AB = AC, OB = OC => AO là trung trực của BC => OA vuông góc BC và OH.AH = BK.BA (=OB2)

c, M là trung điểm AC, đường tròn đường kính AC có tâm M và qua H KH cắt CO tại N

góc AHM + AHK = MAH + AHK = KAH + AHK = 90o => HKMH

=> HK là tiếp tuyến đường tròn đường kính AC

* góc HCN = HBO (∆BOC cân) = KHB (KH//BO)

=> ∆HCN cân => HN = NC

Góc NHO = 90o – NHC = 90o-HCN = HON => ∆HON cân => HN = ON

=> HN=ON=CN => HK đi qua trung điểm N của OC

A

B

C K

Bài 9: (Trưng Vương - 2021) Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi H,

K là hình chiếu của O trên AM và BM

a, Chứng minh OHMK là hình chữ nhật

b, Tiếp tuyến tại M của (O) cắt OH, OK tại E, F Chứng minh ME.MF = R2

c, Gọi I là giao điểm OF và nửa đường tròn (O) Chứng minh khi M di động trên nửa đường tròn đường kính AB thì F luôn di động trên 1 đường thẳng cố định và điểm I cách đều 3 cạnh của tam giác FMB

=> ∆FMO = ∆FBO (c-c-c) => góc FBO = FMO = 90o => FBOB => FB là tiếp tuyến (O)

B cố định => F thuộc tia By là tiếp tuyến của (O), By nằm phía nửa đường tròn, bờ AB

Góc OIB = IBO => IFB+IBF = IBK + KBO

Mà góc KBO = IFB (=90o – KOB) => IBF = IBK => BI là phân giác góc KBF

- FO là phân giác góc MFB (t/c tiếp tuyến cắt nhau)

=> I là giao điểm 3 đường phân giác của ∆FMB => I cách đều 3 cạnh của tam giác FMB

I

O E

F

M

K H

Bài 10: (Đan Phượng - 2021) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Bx Qua điểm

C trên nửa đường tròn (C khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Bx tại M Tia AC cắt Bx ở N

a, Chứng minh bốn điểm O, B, M, C cùng thuộc một đường tròn

b, Chứng minh OM vuông góc với BC

c, Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng BN

d, Kẻ CH vuông góc với AB tại H, AM cắt CH ở I Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng

C

H

Bài 11: (Cầu Giấy – 2021) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Gọi H là trung điểm của OB Qua H kẻ dây CD vuông góc AB

a, Tính các góc của tam giác ABC và độ dài CH theo R

b, Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AB tại I Chứng minh OD vuông góc ID

4

– 34

R OH

D G

E K

=> HE=EB=CE => E là trung điểm của BC

=> OE là đường trung tuyến và là trung trực của ∆cân COB => KC = KB

=> ∆OCK = ∆OBK (c-c-c) => 90o

OBKOCK => KBOB => KB là tiếp tuyến của (O)

Bài 12: (Sơn Tây - 2021) Cho đường tròn (O), dây cung AB Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O ở điểm C

a, Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b, Kẻ đường kính BOD của đường tròn (O) Chứng minh AD // OC

c, Gọi giao điểm của OC với đường tròn (O) là M Chứng minh BM là tia phân giác của góc CBA

Gợi ý:

a, H là giao điểm CO và AB

OCAB tại H => H là trung điểm của AB (định lý đường kính, dây cung)

=> OC là trung trực của của AB => CA = CB (tính chất trung trực)

=> ∆ACO =∆BCO (c-c-c) => CBBO => CB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài 13: (Lương Thế Vinh - 2021) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tiếp tuyến Ax và By của (O) C là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn (C khác A và B) Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E

a) Chứng minh tam giác DOE vuông tại O và DE = AD + BE

b) Gọi giao điểm của OD với AC là I; giao điểm của OE với BC là K Chứng minh OICK là hình chữ nhật

c) Đường thẳng BC cắt Ax tại F Chứng minh D là trung điểm của AF

d) Gọi giao điểm của AE với OF và BF lần lượt là M và N So sánh MK và ON

Gợi ý:

a, DO, OE là phân giác trong và ngoài của góc AOC => 90o

DOE (tính chất phân giác)

b, DO là trung trực của AC => ODAC tại I , EO là trung trực của AC => OEBC tại K

90o

ACBCIOCKO => OICK là hình chữ nhật

c, DF = DC => ∆ADC cân => DACDCA => DFC90o DAC90oDCADCF

=> DCF cân tại D => DC = DF

=> AD=DC=DF => D là trung điểm của AF

d, AD.EB = DC.CE = OC2 = AO.OB

AF = 2AD, AB = 2OB => AF.EB = AO.AB

=> AF/AB = AO/EB => ∆FAO ~ ∆ABE (c-g-c)

N M

K I

O

E D

C

F

Bài 14: (Bắc Từ Liêm - 2021) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA bằng 2R Qua điểm A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn tâm O (B là tiếp điểm) Qua điểm B kẻ BH vuông góc với OA (H thuộc OA), BH kéo dài cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là C

a, Tính AB và BH nếu R = 2 cm

b, Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn

c, Tia đối của tia OA cắt đường tròn tâm O tại M Chứng minh rằng: MB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OA

b, OHBC => H là trung điểm của BC => OA là đường trung trực của BC => AB = AC

=> ∆ABO=∆ACO (c-c-c) => ACO ABO90o

=> A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính AO

c, NA = AO-ON = 2R – R = R = NO => N là trung điểm AO

=> N là tâm đường tròn đường kính OA

90o

NBM  => MBBN => MB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OA

O A

B

C

M

Bài 15: (Hai Bà Trưng - 2021) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Trên nửa đường tròn lấy điểm C bất kì (C khác A và B) Tiếp tuyến tại C và tiếp tuyến tại A cắt nhau tại M a) Chứng minh bốn điểm O, A, M, C cùng thuộc một đường tròn

b) AC cắt OM tại H, chứng minh AC vuông góc với OM và OH.OM = R2

c) Tia BH cắt nửa đường tròn tại D Chứng minh tam giác ODM đồng dạng với tam giác OHD d) Tia AD cắt MH tại I Chứng minh I là trung điểm của MH

a, MA, MC là tiếp tuyến của (O) => MAAO và MCOC (tính chất tiếp tuyến)

=> MAOMCO90o

=> A, C thuộc đường tròn đường kính MO

=> A, M, C, O cùng thuộc đường tròn đường kính MO

b, MA, MC là tiếp tuyến của (O) => MA=MC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

=> M thuộc trung trực của AC (1)

Mà OA = OC => O thuộc trung trực của AC (2)

Từ (1) và (2) => MO là trung trực của AC

=> MO vuông góc AC tại H là trung điểm của AC

c, Cách 1: ∆MAH~∆ABC (g-g) => MH/AC = MA/AB (3)

∆MAI~∆ABH (g-g) => MA/AB= MI/AH (4)

Từ (3) và (4) => MH/AC = MI/AH => MI/MH = AH/AC = 1/2 => MI = MH/2

I

Bài 16: (Giảng Võ - 2021) Cho đường tròn (O) đường kính CD Qua C kẻ tiếp tuyến Cx, trên Cx lấy A Tia AD cắt (O) tại E I là trung điểm dây DE

a, Chứng minh A, C, O, I cùng thuộc 1 đường tròn

b, Từ A kẻ tiếp tuyến AB với (O) Gọi H là giao điểm OA và BC Chứng minh OA.OH = OC2

c, Gọi M là trung điểm của AC Chứng minh ME là tiếp tuyến (O) và ME, BC, OI đồng quy

a, AC là tiếp tuyến của (O) => ACCO (tính chất tiếp tuyến) => 90o

ACO

=> C thuộc đường tròn đường kính AO (1)

I là trung điểm của dây ED => CIDE (định lý đường kính, dây cung) =>AIO90o

=> I thuộc đường tròn đường kính AO (2)

Từ (1) và (2) => A, C, O, I cùng thuộc đường tròn đường kính AO

b, AB, AC là tiếp tuyến của (O) => AB = AC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

=> A thuộc trung trực của BC (3)

OB = OC (=R) => O thuộc trung trực của BC (4)

Từ (3) và (4) => AO là trung trực của BC

=> AO vuông góc BC tại H là trung điểm của BC

Xét ∆vuông COA có đường cao CH => OA.OH = OC2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c, E thuộc đường tròn đường kính CD => CED90o=> CEAD

Xét ∆ vuông CAE có trung tuyến EM ứng với cạnh huyển AC => EM = AC/2 = MC

Xét ∆MCO và ∆MEO có: ME = MC (cmt); EO = CO (=R), MO chung

=> ∆MCO = ∆MEO (c-c-c) => MCOMEO90o=> MEEO => ME là tiếp tuyến của (O) Gọi N là giao điểm của BC và OI

AO là trung trực của BC => AOBC tại H

M

I là trung điểm của ED => OIED (định lý đường kính, dây cung)

Xét ∆AIO và ∆NHO có: AIONHO90o, góc O chung => ∆AIO ~ ∆NHO (g-g)

Bài 17: (Ứng Hòa – 2021) Cho đường tròn (O; 4cm), đường kính AB Lấy điểm H thuộc đoạn OA sao cho OH = 1cm Kẻ dây cung CD vuông góc với AB tại H

a) Chứng minh: ABC vuông và tính độ dài AC

b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E Chứng minh ∆BCD cân và EC EA

=> AB là trung trực của CD => BC = BD (tính chất trung trực) => ∆BCD cân

∆BCD cân => BH là đường trung trực và là đường phân giác của góc CBD => CBA DBA

AE là tiếp tuyến của (O) => AE AB

( 90o )

EAC CBA  E DBADBH

=> ∆ACE~∆BHD (g-g) => EC EA

DH  DB

c, ∆ABC có trung tuyến CI ứng với cạnh huyền AE => CI = AE/2 = EI = AI

Xét ∆AIO và ∆CIO có: AI = CI (cmt), AO = CO, OI chung

=> ∆AIO = ∆CIO (c-c-c) => ICOIAO90o

=> CIOC => CI là tiếp tuyến của (O)

Bài 18: (Ngô Sỹ Liên – 2021) Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O) Qua A kẻ đường thẳng (d) vuông góc với OA Lấy M bất kỳ trên (d), kẻ tiếp tuyến MB với (O)

a, Chứng minh A, M, O, B thuộc 1 đường tròn

b, Kẻ dây BC vuông góc OM tại H, BC cắt OA tại K Chứng minh MC là tiếp tuyến (O) và OK.OA = R2

c, Kẻ đường kính BE của (O) Hạ CG vuông góc BE tại G, ME cắt GC tại I Chứng minh I là trung điểm của CG

Gợi ý:

a, A, M, O , B thuộc đường tròn đường kính MO

b, BH = CH (định lý đường kính, dây cung) => MO là trung trực của BC => MB = MC

=> ∆MBO = ∆MCO (c-c-c) => MBOMCO90o=> MCOC

=> MC là tiếp tuyến (O)

∆OKH~∆OMA (g-g) => OK.OA = OH.OM

M N

B

C E G

Bài 19: (Nguyễn Trường Tộ - 2021) Cho đường tròn (O; R) Từ A nằm ngoài đường (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm)

a, Chứng minh A, B, O, C thuộc 1 đường tròn

b, AO cắt (O) tại P và N (N nằm giữa A và P) Chứng minh AN.AP = AB2

c, Khi A di động trên đường tròn (O, 3R) Gọi M là trực tâm tam giác ABC Chứng minh M di động trên đường tròn cố định

Gợi ý:

a, A, B, O, C thuộc 1 đường tròn đường kính AO

b, ABN 90oNBO90oBNO90o BNPBPA

=> ∆ABN~∆APB (g-g) => AN.AP = AB2

c, AHBC Hạ BJAC, BJ cắt AH tại M là trực tâm ∆ABC

BM//OC, CM//OB, OB = OC => BMCO là hình thoi => OH = MH

OH.OA=OB2 => OH = R/3

=> OM = 2R/3 => M thuộc đường tròn (O; 2R/3)

H M

Bài 20: (Ngôi Sao - 2021) Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Điểm E thay đổi thuộc đoạn OC, nối AE cắt đường tròn (O) tại M

a) Chứng minh 4 điểm O; B; M; E cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh AE.AM không phụ thuộc vào vị trí của điểm E trên đoạn OC

c) Xác định vị trí của E trên đoạn OC để MA = 2MB;

d) Xác định vị trí điểm E trên đoạn OC để chu vi tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất

Gợi ý

a, O, B, M, E thuộc đường tròn đường kính BE

b, ∆AOE ~ ∆AMB => AE.AM = AO.AB = 2R2

2

OE MB

OA AM  => OE = R/2 => E là trung điểm của OC

d, PMAB = AB+AM+BM = 2R+AM+BM