Tuyen tap cac bai toan kho on thi vao 10

aTrớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ... HÖ PT nµy v« nghiÖm.[r]

Các bài tập khó ôn thi vào 10 ( Đại Số)

Bài 1 :

1) Chứng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2)

2) áp dụng : cho x+4y = 5 Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x2 + 4y2

Đ/a Bài 1 :

1) Ta có : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=> a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2

<=> 0 a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=> 0 (ad - bc)2 (đpcm )

Dấu = xãy ra khi ad=bc

2) áp dụng hằng đẳng thức trên ta có :

52 = (x+4y)2 = (x + 4y) (x2 + y2) (1+16) =>

x2 + y2 25

17 => 4x2 + 4y2

100

17 dấu = xãy ra khi x=

5

17 , y =

20

17 (2đ)

Bài 2 : Cho x ≥ 1 , y ≥ 1 Chứng minh 1

1+x2+

1

1+ y2≥

2 1+xy

Đ/a Bài 2 : Chuyển vế quy đồng ta đợc.

bđt ⇔ x ( y − x )

(1+x2)( 1+xy )+

y ( x − y )

(1+ y2)(1+xy )≥ 0 ⇔(x − y)2(xy − 1)≥ 0 đúng vì xy ≥1

Bài 3 : Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1

Hãy tính giá trị của: B = xy

z +

zx

y +

xyz

x

Đ/a Bài 3 : Biến đổi B = xyz (x12+

1

y2+

1

z2) = ⋯=xyz.xyz2 =2

Bài 4 : Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2  x3 + y4 Chứng minh:

x3 + y3  x2 + y2  x + y  2

Đ/A Bài 4 (1đ):

Ta có (y2 - y) + 2  0  2y3  y4 + y2  (x3 + y2) + (x2 + y3)  (x2 + y2) + (y4 + x3)

mà x3 + y4  x2 + y3 do đó x3 + y3  x2 + y2 (1)

+ Ta có: x(x - 1)2  0: y(y + 1)(y - 1)2  0  x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2  0

 x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y  0  (x2 + y2) + (x2 + y3)  (x + y) + (x3 + y4)

mà x2 + y3  x3 + y4  x2 + y2  x + y (2)

và (x + 1)(x - 1)  0 (y - 1)(y3 -1)  0 x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1  0

 (x + y) + (x2 + y3)  2 + (x3 + y4) mà x2 + y3  x3 + y4  x + y  2

Từ (1) (2) và (3) ta có: x3 + y3  x2 + y2  x + y  2

Bài 5: ( 1 điểm) Cho cỏc số thực dương x; y Chứng minh rằng: x2

y +

y2

x ≥ x+ y

Đ/A Bài 5 (1 đ) Với x và y đều dương, ta cú x + y

0 ;( x − y )2≥ 0 0,25đ

x − y¿2≥ 0 ⇒ x3

+y3− x2y − xy2≥ 0

⇒(x+ y)¿ 0,25đ

⇒ x2

y+

y2

x ≥ x+ y (1) 0,50đ Vậy (1) luụn đỳng với mọi x>0 , y >0

Bài 6: a Cho các số x, y, z dơng thoã mãn 1

x +

1

y +

1

z = 4

Chứng ming rằng: 1

2 x + y +z +

1

x +2 y +z +

1

x + y +2 z 1

b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x2−2 x+2006

x2 (với x 0 )

D/A Bài 6 a)Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ

Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có a2

x +

b2

y ≥

(a+b )2

x + y (∗) < >(a2y + b2x)(x + y) (a+b)2xy

 a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy  a2xy + 2abxy + b2xy

 a2y2 + b2x2  2abxy  a2y2 – 2abxy + b2x2  0

 (ay - bx)2  0 (**) bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x,y > 0

Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay

a b

x y áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có

16

Tơng tự

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:

.4 1

b) Vì

1 1 1

4

xyz 

2 2

2 2006

0

x

 

Ta có:

B= x

2

−2 x+2006

x2 ⇔ B=2006 x2−2 2006 x +20062

2 +2005 x 2

2 +2005

2006

Vì (x - 2006)2  0 với mọi x x2 > 0 với mọi x khác 0

2

x

x



Bài 7: Cho các số dơng a, b, c Chứng minh rằng: 1< a

a+b+

b b+c+

c

c +a<2

Đ/A Bài 7:Ta có: a

a+b+c <

a b+a <

a+c a+b+c (1)

b a+b+c <

b b+c <

b+a a+b+c (2)

c

a+b+c <

c c+a <

c +b a+b+c (3)

Cộng từng vế (1),(2),(3) : 1 < a

a+b +

b b+c +

c c+a < 2

Bài 8.Cho a, b là các số thực dơng Chứng minh rằng :  2 2 2

2

a b

a b    a b b a

Đ/A Bài 8 (1,5 điểm) Ta có :

     a , b > 0

 a , b > 0

1

0 2

Mặt khác a b  2 ab  0

Nhân từng vế ta có :     1 2  

2

a b  a b    ab a b

2

a b

Bài 9 : Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Không giải ph ơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11

Đáp án Bài 9 (1đ)Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì  > 0

<=> (2m - 1)2 - 4 2 (m - 1) > 0 Từ đó suy ra m  1,5 (1)

Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:

¿

x1+x2=− 2m−1

2

x1 x2=m− 1

2 3x1− 4x2=11

⇔

¿ { {

¿

¿

x1= 13-4m

7

x1=7m−7

26-8m

313-4m

7m− 7

¿ { {

¿

Giải phơng trình 313-4m

7m− 7

Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt t

Bài 10 : Cho pt x2− mx+m− 1=0

a Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với ∀ m

b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt Tìm GTLN, GTNN của bt P= 2 x1x2+3

x12 +x22 +2(x1x2+1)

Đ/a Bài 10 a : cm Δ≥ 0 ∀ m

b) (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:

¿

x1+x2=m

x1x2=m− 1

¿ {

¿

⇒ P= 2 m+1

m2+2 (1) Tìm đk để pt (1) có nghiệm theo ẩn.

Bài 11 ( 2 điểm)

Trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy Cho Parabol y = x2 (P ) và đờng thẳng y= 2mx - m2 + m - 1 (d) a) Khi m=1 Hãy tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)?

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt?

c) Khi đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm Hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất ?

Đ/A Bài 11 : 2 điểm

Câu a: Khi m =1 thì PT đường thẳng d là y = 2x – 1

Toạ độ của giao điểm của (d) và (P) phải là nghiệm của hệ ph ơng trìnhư

¿

y =x2

y=2 x − 1

¿ {

¿

0,25đ

Giải hệ phương trình và kết luận toạ độ của giao điểm của (d) và (P) là (1,1) 0,25đ

Câu b

(d) và (P) cát nhau tại 2 điểm phân biệt

⇔ hệ phương trình

¿

y =x2

y=2 mx −m2+m− 1

¿ {

¿

có 2 nghiệm 0,25đ

⇒ x2

− 2 mx+m2− m+1=0 có 2 nghiệm phân biệt

Lập công thức Δ=b2− 4 ac và giải tìm được m

1 0,25đ

Vậy m

1 thì (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt 0,25đ

Câu C

Khi đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm

Vậy x1; x2 là nghiệm của PT x2−2 mx+m2−m+1=0 0,25đ

A = x1x2 - x1 - x2 = x1x2 – (x1 + x2)

Vận dụng định lý viet Thay vào biểu thức trên … 0,25đ

tính đợc nếu m = 1,5 thì A đạt giá trị nhỏ nhất 0,25đ

Bài 12 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:

x2 - m2x + m + 1 = 0 có nghiệm nguyên

Đ/A Bài 12:

Phơng trình có nghiệm nguyên khi  = m4 - 4m - 4 là số chính phơng

Ta lại có: m = 0; 1 thì  < 0 loại m = 2 thì = 4 = 2 2 nhận

m  3 thì 2m(m - 2) > 5  2m2 - 4m - 5 > 0  - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + 4 

 m 4 - 2m + 1 < < m 4  (m 2 - 1) 2 < < (m 2 ) 2 không chính ph ơng

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Bài 13: a) Tìm x, y nguyên dơng thoã mãn phơng trình: 3x2 +10 xy + 8y 2 =96

b)tìm x, y biết / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3

Đ/A Bài 13 a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96

< > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96 < > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 < > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 < > (x + 2y)(3x + 4y) = 96

Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng và 3x + 4y > x + 2y 3

mà 96 = 25 3 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tích 2 thừa

số không nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 = 4.24 = 6 16 = 8 12

Lại có x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y là số chẳn do đó

¿

x +2 y=6

3 x+4 y=24

¿ {

¿

Hệ PT này vô nghiệm Hoặc

¿

x +2 y=6

3 x+4 y=16

¿ {

¿

⇒ x=4 y=1

¿ {

Hoặc

¿

x +2 y =8

3 x+4 y=12

¿ {

¿

Hệ PT vô nghiệm Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm là (x, y) = (4, 1)

b ta có /A/ = /-A/ A ∀ A

Nên /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ ❑ /x −2005+2008 − x /❑ / 3 / ❑ 3 (1)

mà /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2)

Kết hợp (1 và (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/ 0 (3)

(3) sảy ra khi và chỉ khi

¿

x −2006 /❑ 0

y − 2007/❑ 0

⇔

¿x=2006 y=2007

¿ {

¿

Bài 14: Cho x , y , z ∈ R thỏa mãn : 1

x+

1

y+

1

z=

1

x + y +z

Hãy tính giá trị của biểu thức : M = 3

4 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10)

Đ/A Bài 14:

Từ : 1

x+

1

y+

1

z=

1

x + y +z =>

1

x+

1

y+

1

z −

1

x+ y +z=0 =>

x + y

x + y +z − z

z ( x+ y+ z )=0

2

zx zy z xy

Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8)

z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)

Vậy M = 3

4 + (x + y) (y + z) (z + x).A =

3 4

Bài 15: (1đ)

Cho ba số a, b , c khác 0 thoã mãn:

¿

1

a+

1

b+

1

c=0

¿

; Hãy tính P = ac

c2+

bc

a2+

ac

b2

Đ/ A Bài 15 : Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = 0 (vì 1/a = 1/b + 1/c = 0)

à x = -(y + z) à x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz

à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz 0 = 0

Từ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 à x3 + y3 + z3 = 3xyz

à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc

Do đó P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3

nếu 1/a + 1/b + 1/c =o thì P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3

Bài 16 Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :

x  y y  z z  x 

Tính giá trị của biểu thức :A x 2007y2007z2007

Đ/A Bài 16 Từ giả thiết ta có :

2 2 2









Cộng từng vế các đẳng thức ta có :

1 0

1 0

1 0

x y z

 





  

 2007  2007  2007

Vậy : A = -3

Bài 17) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn nhất của A = √x + √y

Đ/A Bài 17) Do A > 0 nên A lớn nhất ⇔ A2 lớn nhất

Xét A2 = ( √x + √y )2 = x + y + 2 √xy = 1 + 2 √xy (1)

Ta có: x + y

2 √xy (Bất đẳng thức Cô si) => 1 > 2 √xy (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A2 = 1 + 2 √xy < 1 + 2 = 2

Max A2 = 2 <=> x = y = 1

2 , max A = √2 <=> x = y =

1 2

Bài 18 ) Cho biểu thức : M x2 5x y 2xy 4y 2014

Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Đ/A Bài 18 ( 1,5 điểm) Ta có :

M  x  x  y  y  xy x  y 

 22  12  2  1 2007

M  x  y  x y 

2

2

Do y 12  0

2

1

2

  x y,  M  2007  Mmin  2007  x 2;y 1

Bài 19: tìm max và min của biểu thức: x 2 +3x+1

x2+1

Đ/A Bài 19: Hàm số xác định với x(vì x2+1∀ ≠0) x2+3x+1

gọi y0 là 1 giá trịcủa hàm phơng trình: y0=

x2+1

(y0-1)x2-6x+y0-1 =0 có nghiệm

*y0=1 suy ra x = 0 y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 (y0-1)2≤ 9 suy ra -2 ≤ y0 ≤ 4

Vậy: ymin=-2 và y max=4

Bài 20: Giải phơng trình :

1

x + 2

1

2 x = 2

Đ/A Bài 20 Điều kiện x  0 ; 2 – x2 > 0  x  0 ; x

< 2.

Đặt y = 2 x 2 > 0

Ta có:

1 1

x y

x y









Từ (2) có : x + y = 2xy Thay vào (1) có : xy = 1 hoặc xy =

-1 2

* Nếu xy = 1 thì x+ y = 2 Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:

X2 – 2X + 1 = 0  X = 1  x = y = 1

* Nếu xy =

-1

2 thì x+ y = -1 Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:

X2 + X -

1

2 = 0  X =

2

 

Vì y > 0 nên: y =

2

 

 x =

2

 

Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 =

2

 