- HS đợc hệ thống tổng quát các khái niệm về tập hợp và bổ sung thêm một số khái niệm mới về tËp hîp - HS lµm thµnh th¹o c¸c bµi tËp về d·y sè viÕt theo quy luËt, về tËp hîp.. d·y sè viÕ[r]
Trang 1CHUYấN ĐỀTOÁN 6 ĐẾN 9 DÀNH CHO DẠY ĐẠI TRÀ VÀ HỌC SINH
GIỎI) LIấN HỆ 01668571397 ĐỂ NHẬN TRỌN BỘ
Chuyờn đề 1:
I MỤC TIấU:
- Nắm đợc khái niệm thế nào là dãy số viết theo quy luật (các phần tử của dãy có mối liên hệ nào
đó với nhau)
- Biết nhận dạng dãy số viết theo quy luật và phân tích để tìm ra quy luật đó
- HS đợc hệ thống tổng quát các khái niệm về tập hợp và bổ sung thêm một số khái niệm mới về tập hợp
- HS làm thành thạo các bài tập về dãy số viết theo quy luật, về tập hợp
II NỘI DUNG:
A dãy số viết theo quy luật th ờng gặp
I) Dãy cộng.
1 Định nghĩa: Dãy cộng là dãy mà mỗi phần tử kể từ phần tử thứ 2 đều lớn hơn phần tử liền trớc
đó cùng một số đơn vị
Tổng quỏt: Dãy a1, a2, a3, a4, , an-1, an là dãy cộng
a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = = an – an - 1 = d
Xét dãy cộng: a1, a2, a3, a4, , an-1, an (*)
a) Tìm phần tử thứ n trong dãy (*):
an = a1 + (n - 1) d
b) Tính tổng của dãy (*):
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 +……+ an-1 + an =
1
2
n
a +a n
c) Số các số hạng của dãy (*):
n =
1
n
a a
d
+1 (Trong đó d là khoảng cách giữa hai phần tử liên tiếp)
2 Ví dụ: Dãy số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4, là dóy cộng.
Dãy các số chia 7 có cùng số d là 3: 3, 10, 17, 24, 31, là dóy cộng
3 Bài tập:
Bài 1: Cho dãy: 1, 4, 7, 10, 13, (1)
a) Tìm phần tử thứ 102 của dãy?
b) Nếu viết dãy trên liên tiếp thành một số thì chữ số thứ 302 của số tạo thành là số mấy?
Hướng dẫn:
a) Phần tử thứ 102 của dãy là a102 = 1 + (102 - 1).3 = 304
b) Phân tích: Dãy số trên khi viết liền thành 1 số đợc chia thành các dãy sau
- Dãy các số có 1 chữ số chia 3 d 1 là: 1, 4, 7 gồm 3 chữ số
- Dãy các số có 2 chữ số chia 3 d 1 là 10, 13, …, 97 gồm
97 10
1 30 3
-+ =
số nên có 30.2 = 60 chữ số
- Để viết tiếp dãy trên đến chữ số thứ 102 ta phải dùng các số có 3 chữ số kể từ số 100,… đảm bảo chia 3 d 1 Vậy cần 302 - (3 + 60) = 239 chữ số nữa
Ta thấy 239 : 3 = 79 dư 2 nờn chữ số thứ 302 của số tạo bởi dóy (1) là chữ số thứ 2 của số thứ
80 trong dãy 100, 103, 106,
Mà số thứ 80 của dãy là: 100 + (80 - 1).3 = 337
Vậy chữ số thứ 302 của số tạo bởi dãy (1) là 3 (chữ số hàng chục trong số 337)
147101317……334337340…
Chú ý : Trong phần b) khi chữ số thứ n phải tìm là số quá lớn ta tiếp tục phân tích thành dãy các số
có 3, có 4 … chữ số và tiếp tục làm tơng tự
Chữ số thứ 302
Trang 2Bài 2: Để dễ theo dừi bạn An đỏnh số trang một cuốn vở dày 226 trang bằng dóy số chẵn 2, 4, 6,
8,
a) Biết mỗi chữ số viết mất 1,5 giõy Hỏi bạn An cần bao nhiờu phỳt để đỏnh số trang cuốn vở? b) Chữ số thứ 253 mà bạn An viết là chữ số nào?
Hướng dẫn:
a) Dóy cỏc số chẵn mà bạn An dựng để đỏnh số trang vở được chia thành cỏc dóy số sau:
- Dóy 2, 4, 6, 8 cú 4 số gồm 4(chữ số)
- Dóy 10, 12, 14, , 98 cú: (98 - 10) : 2 + 1 = 45(số) gồm: 2.45 = 90(chữ số)
- Dóy 100, 102, 104, , 226 cú (226 - 100) : 2 + 1 = 64(số), gồm 3.64 = 192(chữ số)
Do đú bạn An phải dựng tất cả là: 4 + 90 + 192 = 286(chữ số)
Vỡ mỗi chữ số viết mất 1,5 giõy nờn 286 chữ số viết mất 286.1,5 = 429 giõy hay 7 phỳt 9 giõy Vậy bạn An cần 7 phỳt 9 giõy để đỏnh số trang vở
b) Để viết dóy số chẵn từ 2 đến 98 phải dựng 94 chữ số, cũn lại 253 - 94 = 159 chữ số để viết cỏc
số chẵn cú 3 chữ số kể từ số 100
Ta thấy 159:3 = 53 Do đú chữ số thứ 253 phải là chữ số thứ ba của số thứ 53 trong dóy 100, 102,
104,
Số thứ 53 của dóy 100, 102, 104, là: 100 + (53 - 1).2 = 204
Vậy chữ số thứ 253 là chữ số 4 (chữ số hàng đơn vị của số 204)
2468101214……202204206…
II) Cỏc dóy khỏc
1) Vớ dụ: Cho các dãy sau:
Tìm phần tử thứ 108 của các dãy trên?
Hướng dẫn
- Dãy (1) cha là dãy cộng nhng có thể viết lại thành dãy sau:
1.2 2.3 3.4 4.5
Xét dãy các thừa số thứ nhất trong các tử số:
Dóy (1') là dãy cộng, dễ thấy phần tử thứ 108 của dãy (1') là 108
Từ đó suy ra phần tử thứ 108 của dãy (1) là:
108.109
5886
- Dãy (2) viết thành dãy: 12 + 1, 22 +1, 32 + 1, 42+ 1, 52 +1,
Tơng tự ta tính đợc phần tử thứ 108 của dãy (2) là 1082 + 1 = 11665
2) Dãy Fibonaci:
Dãy số Fibonaci là dãy bắt đầu bằng hai phần tử là 1, 1 và kể từ phần tử thứ 3 của dãy mỗi phần
tử là tổng của hai phần tử liền trớc phần tử đó
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
Dãy số Fibonaci có nhiều tính chất thú vị ta sẽ nghiên cứu trong các phần tiếp theo.
III) Các bài tập
Bài 1: Cho các dãy sau:
*) 3, 7, 11, 15, 19, (3)
*) 2, 9, 16, 23, 30, (4)
a) Tìm phần tử thứ 123 của các dãy trên
Chữ số thứ 253
Trang 3b) Giả sử dãy (1) có 500 phần tử, dãy (2) có 200 phần tử Tìm dãy các phần tử giống nhau của hai dãy?
H
ướng dẫn
a) Tỡm phần tử thứ 123:
*) Xột dóy (1):
Ta thấy dóy (1) là dóy cỏc số lẻ bắt đầu từ 1 nờn:
Phần tử thứ 123 của dóy (1) là: 1 + (123 - 1).2 = 245
*) Xột dóy (2):
Ta thấy dóy (2) là dóy cỏc số chia cho 9 dư 1 nờn phần tử thứ n cú cụng thức:
9(n - 1) + 1 với n N*
Suy ra phần tử thứ 123 của dóy (2) là: 9(123 - 1) + 1 = 1099
*) Xột dóy (3):
Ta thấy dóy (3) gồm cỏc số chia cho 4 dư 3 và bắt đầu là phần tử 3 nờn phần tử thứ 123 là: 4 (123 - 1) + 3 = 491
*) Xột dóy (4):
Ta thấy dóy (4) gồm cỏc số chia cho 7 dư 2 và bắt đầu là phần tử 2 nờn phần tử thứ 123 là: 7 (123 - 1) + 2 = 856
b) Gọi số cần tỡm là n
Ta thấy dóy (2) là cỏc số chia cho 9 dư 1 nờn: n - 1 9
Cũn dóy (1) là cỏc số chia cho 2 dư 1 nờn: n - 1 2
n - 1 18 n = 18k + 1
Vỡ dóy (1) cú 500 phần tử cũn dóy (2) cú 200 phần tử
Mà phần tử thứ 500 của dóy (1) là: 1 + (500 - 1).2 = 999
phần tử thứ 200 của dóy (2) là: 9.199 + 1 = 1792
Do đú: 1 n 999 1 18k + 1 999 0 18k 998 0 k 55
Vậy cú 56 số cần tỡm
Bài 2: Cho dãy : 2, 22, 222, 2222, , 222…22
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 6, chia hết cho 13 trong dãy?
H
ướng dẫn
+) Ta có 222 6 Vì vậy các số trong dãy muốn chia hết cho 6 thì số các chữ số 2 của nó phải chia hết cho 3 Vậy ta lập dãy 3, 6, 9, , 2007 (là dãy thể hiện số các chữ số 2 trong dãy trên) Dãy
này có số phần tử là
2007 3
1 669 3
-+ =
Do đó trong dãy 2, 22, 222, 2222, …, 222…22 có 669 số chia hết cho 6
+) Ta có 222222 13 Vì vậy các số trong dãy muốn chia hết cho 13 thì số các chữ số 2 của nó phải chia hết cho 6 Vậy ta lập dãy 6, 12, 18, , 2004 (là dãy thể hiện số các chữ số 2 trong dãy
trên) Dãy này có số phần tử là
2004 6
1 334 6
-+ =
Do đó trong dãy 2, 22, 222, 2222, …, 222…22 có 334 số chia hết cho 13
Bài 3: Cho các số a1, a2, a3, …., a2008 Biết rằng: ( )
2
3 2
k
a
k k
+ +
=
+
Với mọi k = 1, 2, 3, …., 2008
Tính tổng a + a + a + … + a
2008
số 2
2008
số 2
2008
số 2
Trang 4ướng dẫn
Ta có:
k
a
k
Do đó:
a1 + a2 + a3 + … + a2008
3
1 2009 1 8108486728 1
2009 2009 8108486729
Bài 4 (BTVN ): Cho S1 = 1 + 2
S2 = 3 + 4 + 5
S3 = 6 + 7 + 8 + 9
S4 = 10 + 11 + 12 + 13 +14
………
Tính S100
H
ướng dẫn
Ta thấy phần tử đầu tiờn của S100 là phần tử thứ 100 của dóy 1, 3, 6, 10, (1)
Mà dóy (1) cú thể biến đổi thành dóy:
1.2 2.3 3.4 4.5
2 2 2 2
Xét dãy các thừa số thứ nhất trong các tử số:
Dóy (1') là dãy cộng, dễ thấy phần tử thứ 100 của dãy (1') là 100
Do đú phần tử thứ 100 của dãy (1) là:
100.101
5050
Tứ đú suy ra phần tử cuối cựng của S100 là: 5050 + 100 = 5150
Vậy S100 =
(5050 5150).101
515100 2
Bài 5 (BTVN) : Chia dãy số tự nhiên kể từ 1 thành từng nhóm (các số cùng nhóm đợc đặt trong ngoặc)
(1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), …………
a) Tìm số hạng đầu tiên của nhóm thứ 100
b) Tính tổng các số thuộc nhóm thứ 100
H
ướng dẫn
a) Ta thấy: Nhúm 1 cú 1 phần tử;
Nhúm 2 cú 2 phần tử;
Nhúm 3 cú 3 phần tử;
Nhúm 4 cú 4 phần tử;
Nhúm 5 cú 5 phần tử;
Như vậy trước nhúm 100 ta đó sử dụng:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 99 = (1 + 99).100 : 2 = 4950(số)
Số hạng đầu tiờn của nhúm 100 là 4951
b) Ta cú nhúm 100 cú 100 số hạng, số hạng đầu tiờn là 4951, số hạng cuối cựng là 4951 + 99 = 5050
Tổng cỏc số của nhúm 100 là: (4951 + 5050).100 : 2 = 500050
Bài 6 (BTVN) Cho S = 7 + 10 + 13 + + 97 + 100
a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng?
b) Tim số hạng thứ 22
Trang 5c) Tính S
Bài 7
Cho dóy số: 4; 7; 10; 13; 16; …………
a) Tỡm số thứ 100 của dóy? Số thứ n của dóy
b) Số 45723 cú mặt ở trong dóy đú khụng?
H
ướng dẫn
Ta thấy 7 = 4 + 3
10 = 7 + 3
13 = 10 + 3 ………
Như vậy trong dóy số đó cho kể từ số thứ 2 trở đi mỗi số đều bằng số liền trước đố cộng 3
Gọi cỏc số trong dóy lần lượt là a1; a2; a3; a4; a5…… an-1; an
Ta cú a2 – a1 = 1
a3 - a2 = 1
………
an – an-1=1 ta cú n -1 đẳng thức
Cộng 2 vế ta được an – a1 = 3.(n - 1) hay an = a1+ 3.(n-1)
Vỡ a1 = 4 nờn an= 4 + 3n - 3 = 3n + 1 với n {1; 2; 3; 4;… }
Vậy số thứ 100 của dóy là a100 = 3.100 + 1 = 301
Số thứ n là an = 3n + 1
b) Số 45723 cú mặt ở trong dóy đú khụng?
Cỏc số trong dóy đều cú dạng 3n +1
Ta cú số: 45723 = 3.15241
Vậy số 45723 khụng cú mặt trong dóy
B TẬP HỢP
I Bổ sung lý thuyết
1 Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thỡ tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B Kớ hiệu: A è B đọc là: A là tập hợp con của tập hợp B hoặc A được chứa trong B hoặc B chứa A
- Mỗi tập hợp đều là tập hợp con của chớnh nú
- Quy ước: Tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp
Ghi nhớ: Một tập hợp A bất kỳ luôn có hai tập hợp con đặc biệt Đó là tập hợp rỗng và
chính tập hợp A
2 Cỏc phộp toỏn về tập hợp
a) Hợp của 2 tập hợp A và B ký hiệu A B = {x / x A hoặc x B}
b) Giao của 2 tập hợp A và B ký hiệu A B = {x / x A và x B}
c) Hiệu của 2 tập hợp A và B ký hiệu A \ B = {x / x A và x B}
3 Người ta chứng minh được rằng: Nếu một tập hợp cú n phần tử thỡ số tập hợp con của nú là 2n
II Bài tập
Bài 1 Cho tập hợp A = {a, b, c, d}
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử? Có bốn phần tử?
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?
Bài 2 Cho tập hợp B = {x, y, z} Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
Bài 3 Chứng minh rằng nếu AèB B, èC thì A è C
Bài 4 Cho H là tập hợp ba số tự nhiờn lẻ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên Tập hợp M
với H èM M, èK .
- Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử? Nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
- Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mãn điều kiện trên?
Bài 5 Cho a18;12;81 , b5;9
Hãy xác định tập hợp M = {a - b}
Trang 6Bµi 6 Cho các tập hợp sau, chỉ ra phần tử thứ 100 của mỗi tập hợp.
a) A = 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49;
b) B = 1; 7; 13; 19; 25; 31; 37;
c) C = 2; 6; 12; 20; 30; 42; 56;
Bµi 7 Tìm phần tử thứ 789 của mỗi tập hợp sau:
a) M = 3; 8; 15; 24; 35; 48;
b) N = 3; 24; 63; 120; 195;
c) P = 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28;
d) Q = 2; 5; 10; 17; 26; 37;
Bµi 8 Tìm chữ số thứ 999 khi viết liên tiếp liền nhau các phần tử của tập hợp
1; 3; 5; 7; 9; 11; 13;
Bµi 9 Cho các số tự nhiên từ 1 đến 100 ta chia thành 2 dãy số chẵn và dãy số lẻ Hỏi dãy nào có
tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
Bµi 10 Để đánh số trang 1 cuốn sách người ta dùng 1995 chữ số Hỏi:
a) Cuốn sách dày bao nhiêu trang?
b) Ch÷ sè thø 1000 ë trang nµo vµ lµ ch÷ sè nµo?