Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng

Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ số góc của đường cong và đạo hàm, ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân, tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Đ ẠO HÀM VÀ

ỨNG DỤNG

CHƯƠNG

2

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Hệ số góc của đường cong và đạo hàm

2.2 Ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân2.3 Tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị

2.4 Ứng dụng kinh tế

2.5 Độ cong và ứng dụng

2.6 Hệ số co dãn

HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG

Tiếp tuyến và cát tuyến của đường tròn

Nếu điểm Q trong hình trên di chuyển càng gần điểm P thì góc tạo bởi đường thẳng PQ và tiếp tuyến tại điểm P càng nhỏ

HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG

Đồ thị hàm số và 2 cát tuyến Đồ thị hàm số và tiếp tuyến tại x=1

HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG

Định nghĩa Cho hàm số y=f(x), hệ số góc của đồ thị hàm

số tại điểm (a, f(a)) được xác định bởi:

(nếu giới hạn này tồn tại)

Khi đó, đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số chỉnh là

đường thẳng đi qua điểm (a, f(a)) với hệ số góc cho bởi công thức trên.

ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x), đạo hàm của hàm số tại x định nghĩa như sau:

(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).

Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a,b) thì

ta nói hàm số khả vi trên (a,b)

Nếu giới hạn không tồn tại thì hàm số không có đạo hàm hay không khả vi.

-VÍ DỤ 3.

Tổng doanh thu của một công ty (đơn vị triệu $) trong t tháng được cho bởi công thức sau:

a) Cho biết ý nghĩa của S(25) và S’(25)

b) Sử dụng kết quả câu a để ước lượng tổng doanh thusau 26 tháng; sau 27 tháng

VÍ DỤ 4.

Một hãng sản xuất vải với chiều rộng mỗi cây vải là cốđịnh Chi phí sản xuất x (mét) vải là:

A) Cho biết ý nghĩa và đơn vị của f’(x)

B) Trong thực tế, khi nói f’(1000)=9 ta biết điều gì?

    $

C  f x

VÍ DỤ 5.

Gọi D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời điểm t Bảng dướiđây cho ta con số xấp xỉ giá trị của hàm này vào cuối mỗinăm theo đơn vị triệu $ kể từ năm 1980 đến năm 2000 Giải thích và ước lượng giá trị của D’(1990)

D(t) 930,2 1945,9 3233,3 4974,0 5674,2

ĐẠO HÀM PHẢI – TRÁI

Đạo hàm trái của f(x) tại a là:

Đạo hàm phải của f(x) tại a là:

-ĐỊNH LÝ

Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và hai đạo hàm này bằng nhau.

Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm số liên tục tại a Chiều ngược lại có thể không đúng.

VÍ DỤ 7

Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2

Ta có:

Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc TXĐ

Vậy đạo hàm của hàm số:

-CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1

( ) ( )

=

12 a r ccos

1 1

a

u u u u u

x y

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ CHO BỞI THAM SỐ

Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện:

Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trình tham số.

Ví dụ: Cho hàm có thể tham số hóa như sau

( ) ( )

x x t

y y t

ìï = ïï

í

ï = ïïî

x e

t y

e

ìï = ïïï

í

ï = ïï

ïî

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THAM SỐ

Cho hàm y=f(x) dạng tham số:

Khi đó:

Ví dụ:

( ) ( )

x x t

y y t

ìï =ïï

í

ï =ïïî

/ /

t x

e

t

e y

x e x

e

ìï = ïïï

ï = ïï

ïî

ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGƯỢC

ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGƯỢC

Ví dụ: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny

Ví dụ: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy

ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN

Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng thức đúng

Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b).

B2 Giải phương trình tìm y’.

B3 Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình

ĐẠO HÀM CẤP CAO THƯỜNG GẶP

p p

-

VI PHÂN

Vi phân tại một điểm

Vi phân trên một khoảng

Ứng dụng vi phân tính gần đúng

SỐ GIA

Cho hàm số y=f(x), ta nghiên cứu sự thay đổi của y khi x thay đổi một lượng rất nhỏ

 Sự biến thiên của x gọi là số gia của x, ký hiệu ∆x

 Sự biến thiên của y gọi là số gia của y, ký hiệu ∆y

SỐ GIA

Định nghĩa Cho y  f x  và  x x2  x1 ta có:  y y2  y1  f x 1  x  f x  1

  biểu thị sự biến thiên của y tương ứng với sự biến thiên y  của biến x x

 Số gia x có thể âm hoặc dương

  phụ thuộc vào hàm số f, giá trị y x và số gia x1 

VÍ DỤ 15

Ví dụ Một công ty sản xuất và bán x sản phẩm một tuần Giả sử chi phí và doanh thu

hàng tuần của công ty là:

CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI

Định lý về giá trị trung bình (tham khảo)Công thức Taylor

Qui tắc L’ Hospitale

ĐỊNH LÝ FERMAT

Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận x0

Nếu f(x) đạt cực đại tại x0 và có đạo hàm tại x0 thì:

f x =

ĐỊNH LÝ ROLLE

Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và

f(a)=f(b) thị tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao cho f’(c)=0

Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có nghĩa giữa hainghiệm của hàm số có ít nhất một nghiệm của đạo hàm

' '

-= -

CÔNG THỨC TAYLOR

Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng đơn giản

Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức

Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0

CÔNG THỨC TAYLOR

Cho hàm số f(x):

Liên tục trên [a,b]

Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)

Xét x0(a,b) Khi đó trên [a,b] ta có:

PHẦN DƯ TRONG CÔNG THỨC TAYLOR

1 !

n

n n

R

x x

- R n = 0 ( x - x 0 )n

CÔNG THỨC MACLAURIN

Cho hàm số f(x):

Liên tục trên [a,b]

Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)

Xét x0=0 (a,b) Khi đó trên [a,b] ta có:

CƠNG THỨC L’HOSPITAL

Áp dùng tìm giới hạn dạng:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Định lý : Cho giớ i hạn: có dạng

¥

¥

( ) ( )

( ) ( )

ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC

Định lý giá trị trung gian

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)≠f(b) Khi

đó lấy một giá trị c bất kỳ nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại

x0 ∈ ( ; )sao

ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC

Hệ quả Định lý giá trị trung gian

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại x0 ∈ ( ; ) sao cho f(x0)=0

Tức là phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b)

ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC

Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD Trong đó:

Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3;5)

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Phân tích cận biên trong kinh tế và kinh doanh

Trong kinh tế, từ cận biên đề cập đến tốc độ biến thiên, nghĩa là đạo hàm

Do đó, nếu C(x) là hàm tổng chi phí cho x đơn vị sản

phẩm thì C’(x) chính là chi phí cận biên (chi phí biên) vàthể hiện tốc độ biến thiên tức thời của hàm tổng chi phítheo số lượng sản phẩm

Tương tự ta có các khái niệm như doanh thu cận biên làđạo hàm của hàm tổng doanh thu và lợi nhuận cận biên

là đạo hàm của hàm tổng lợi nhuận

CÁC HÀM CẬN BIÊN TRONG KINH TẾ

Định nghĩa Gọi x là số lượng sản phẩm được sản xuất ra

trong một khoảng thời gian Khi đó, ta có các hàm kinh tếsau:

Các hàm cận biên thể hiện tốc độ biến thiên tức thời

theo sản phẩm tại một mức sản xuất cho trước

Tổng chi phí: C(x) Chi phí cận biên: C’(x)

Tổng doanh thu: R(x) Doanh thu cận biên: R’(x)

Tổng lợi nhuận:

P(x)=R(x)-C(x)

Lợi nhuận cận biên:

P’(x)=R’(x)-C’(x)

HÀM CHI PHÍ C(X)

- Là tổng chi phí để sản xuất ra x sản phẩm,

- Không phải là chi phí để sản xuất ra 1 sản phẩm

Để tìm chi phí sản xuất ra 1 sản phẩm ta có thể sử dụng 2 giá trị của hàm chi phí như sau:

VÍ DỤ 18 (PHÂN TÍCH CHI PHÍ)

Một công ty sản xuất bình nhiên liệu cho xe hơi Tổng chi phí hàng tuần ($) để sản xuất ra x bình được cho bởi:

a) Tìm hàm chi phí cận biên

b) Tìm chi phí cận biên tại mức sản xuất 500 bình một

tuần và giải thích ý nghĩa

c) Tìm chi phí chính xác để sản xuất ra sản phẩm thứ 501

HÀM BÌNH QUÂN VÀ HÀM BÌNH QUÂN CẬN BIÊN

VÍ DỤ 19.

Một cửa hàng sản xuất nhỏ sản xuất các mũi khoan được

sử dụng trong ngành công nghiệp dầu khí Giám đốc ướctính rằng tổng chi phí hàng ngày ($) để sản xuất x mũi

khoan là:

A) Tìm AC và MAC

B) Tính giá trị AC và MAC tại x=10 và giải thích ý nghĩa

C) Sử dụng kết quả câu b) ước lượng chi phí trung bìnhcho mỗi mũi khoan tại mức sản lượng 11 mũi khoan mộtngày

1.000 25 0,1

C x   x  x

GIÁ TRỊ CẬN BIÊN CỦA CHI PHÍ

Cho hàm chi phí C=C(Q)

Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q)

Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn vị

Hàm tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị sản phẩm:

Giá trị cận biên của chi phí:

Khi Q=50 thì MC(50)=3,75 Như vậy nếu Q tăng lên 1 đơn vị(từ 50 lên 51) thì chi phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị

GIÁ TRỊ CẬN BIÊN CỦA DOANH THU

Cho hàm doanh thu R=R(Q)

Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q)

Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1 đơn vị

TIÊU DÙNG VÀ TIẾT KIỆM CẬN BIÊN

Cho hàm tiêu dùng C=C(I) trong đó I là tổng thu nhập kinh

tế quốc dân

Xu hướng tiêu dùng cận biên MC(I) là tốc độ thay đổi củatiêu dùng theo thu nhập

Hàm tiết kiệm: S=I-C

Xu hướng tiết kiệm cận biên: MS(I)=1-MC(I)

+

=

+

TỐI ƯU HÀM MỘT BIẾN, CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ

Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Cực trị của hàm số

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

(ĐL Fermat) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm

dừng hoặc các điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưngkhông có đạo hàm

Các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc hàm số liên

tục nhưng không có đạo hàm được gọi là điểm tới hạn

của hàm số

Để tìm các điểm cực trị của hàm số trước hết ta tìm cácđiểm tới hạn của hàm số  dùng điều kiện đủ để kiểmtra cho từng điểm tới hạn

ĐIỀU KIỆN ĐỦ

Định lý Giả sử hàm số f x khả vi đến cấp ( ) n (n  2) trên ( , )a b và x là điểm dừng 0

của f x sao cho ( ) f x'( )0  f ''( )x0   f (n1)( )x0  và 0 f ( )n ( )x  Khi đó, 0 0

 Nếu n là số chẵn thì ( ) f x đạt cực trị tại x , cụ thể 0

o f x đạt cực đại tại ( ) x nếu 0 f ( )n ( )x  0 0

o f x đạt cực tiểu tại ( ) x nếu 0 f ( )n ( )x  0 0

 Nếu n là số lẻ thì ( ) f x không đạt cực trị tại x 0

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA

HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

Giả sử hàm số f x liên tục trên đoạn [ , ]( ) a b , khả vi trên khoảng ( , ) a b thì ( ) f x đạt

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [ , ]a b Sau đây là quy tắc tìm

 Tính các giá trị ( ), ( )f a f b

 Tinh các giá trị của ( )f x tại các điểm tới hạn trong ( , ) a b

 So sánh giá trị của ( )f x tại các điểm tới hạn trong ( , ) a b và ( ), ( ) f a f b để tìm

ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

VÍ DỤ 23

Ví dụ 13 Cho hàm sản xuất Q  120L2  L L3(  0) Hãy xác định mức sản lượng lao động

để sản lượng tối đa

Ví dụ 14 Cho hàm sản xuất ngắn hạn Q  1005 L L3(  0) và giá của sản phẩm là

ĐỘ THAY ĐỔI TUYỆT ĐỐI VÀ TƯƠNG ĐỐI

Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượng Δx thì ta nói:

Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x

Tỷ số ∆ 100% gọi là độ thay đổi tương đối của x

Ví dụ Chẳng hạn, một căn hộ giá 200 triệu đồng Nếu

tăng thêm 1 triệu thì độ thay đổi tuyệt đối là 1 triệu, độthay đổi tương đối là 0,5%

Không phụ thuộc đơn vị tính và cho thấy ngay tỷ lệ thay đổi

HỆ SỐ CO DÃN

Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay đổi tươngđối của y và độ thay đổi tương đối của x ( khi x thay đổimột lượng Δx)

Ký hiệu:

Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%

( ) ( )

' /

/

y x