Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Tính gần đúng - Đạo hàm và tích phân

Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân” cung cấp cho người học các kiến thức: Tính gần đúng đạo hàm, tính gần đúng tích phân. Bài giảng hữu ích với các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này.

Chương 5

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

1 TH bảng chỉ có 2 điểm nút :

x x0 x1

y y0 y1

Đặt h = x1- x0

Đa thức nội suy Lagrange

Suy ra công thức đạo hàm cho 2 điểm :

❖ Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x Tính xấp xỉ f’(1.8) với h = 0.1, 0.01, 0.001

Do đó với mọi x ∈ [x0, x2] ta có

Suy ra đạo hàm cấp 1

Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiến

Công thức thứ 2 gọi là công thức sai phân hướng tâm thường viết dưới dạng (thay x1 = x0)

Công thức thứ 3 gọi là công thức sai phân lùi

thường viết dưới dạng (thay x2 = x0)

đạo hàm cấp 2

Thay x1 = x0 ta được

So với kết quả chính xác

f”(1.25) = -0.526640385697715

-0.526643001

Bài tập : Cho hàm f và bảng số cách đều

2.32 2.53 2.77 2.89

0.21 0.24 0.12

0.03 -0.12

-0.15

Giải : Ta lập bảng các sai phân hữu hạn

Newton lùi Newton tiến

II TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN :

Cho hàm f(x) xác định và khả tích trên [a,b] Ta cần tính gần đúng tích phân :

Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng

nhau với bước h = (b-a)/n

xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b

1 Công thức hình thang mở rộng :

❖ Công thức sai số :

2 Công thức Simpson mở rộng:

❖ Công thức sai số :

❖ Ví dụ : Tính gần đúng tích phân

a Dùng công thức hình thang mở rộng với n = 5

b Dùng công thức Simpson mở rộng với n = 8

❖ Ví dụ : Xét tích phân

xác định số đoạn chia tối thiểu n để sai số ≤10-5

giải

a.Dùng công thức hình thang mở rộng

b.Dùng công thức Simpson mở rộng Với n vừa tìm được, hãy xấp xỉ tích phân trên

a Công thức sai số hình thang mở rộng

Vậy n = 45

b Công thức sai số Simpson mở rộng

Công thức Simpson

= 1.932377388