Cấu trúc đại số của độ đo xác suất

LèI NÓI ĐAUChúng ta đã đưoc HQc và tìm hieu m®t so cau trúc đai so cơ ban nhưnhóm, vành, trưòng,...Mo r®ng lên chút nua tìm hieu ve cau trúc đai so cnađ® đo xác suat phúc tap hơn rat nhi

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

-TRƯƠNG TH± LIÊN

CAU TRÚC ĐAI SO CUA Đ® ĐO XÁC SUAT

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Chuyên ngành: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC

Mã so: 60.46.01.06

Ngưài hưáng dan khoa HQC

TS NGUYEN TH±NH

HÀ N®I - NĂM 2014

Mnc lnc

1.1 Đai so Bool 6

1.1.1 Đong cau 6

1.1.2 Tính Dedekind đay đn 9

1.1.3 Bao hình trên (Upper envelopes) 10

1.1.4 Chuoi đieu ki¾n đem đưoc 10

1.1.5 Hàm c®ng tính trên đai so Bool 11

1.1.6 Đai so thương 11

1.2 Đ® đo đai so 12

1.2.1 Nguyên tac phân loai cna đ® đo đai so 12

1.2.2 Tích đơn 13

1.2.3 Topo cna đ® đo đai so 13

1.2.4 Đong cau 13

1.2.5 Phiem hàm c®ng tính trên đ® đo đai so 14

1.3 Nguyên tac phân loai cna không gian đ® đo 14

1.3.1 Đ%a phương hóa ng¾t 14

1.3.2 Nguyên tu và phi nguyên tu 15

1.4 Đ%nh lý trù m¾t cna Lebesgue 15

1.5 Đ%nh lý Radon-Nikodym 16

1.5.1 Đ%nh lý Radon-Nikodym 16

1.5.2 Kỳ vQNG có đieu ki¾n

16 1.6 Tích vô han 17

1.7 Đ%nh lý Vitali trên Rr 17

1.8 Matingle 18

1.9 Không gian Riesz 18

1.9.1 Không gian tuyen tính đưoc sap tùng phan 18

1.9.2 Không gian Riesz 19

1.9.3 Dai 19

1.9.4 Không gian Acsimet 19

1.9.5 Không gian Riesz Acsimet 20

1.9.6 Không gian đoi ngau 20

1.10 Không gian hàm 21

1.10.1 Không gian L0 21

1.10.2 Suprema và infima trong L0 21

1.10.3 Dai trong L0 21

1.11 Tiên đe cHQN và bő đe Zorn

22 1.11.1 Tiên đe cHQN

22 1.11.2 Bő đe Zorn 22

2 бNH LÝ MAHARAM 23 2.1 Sn phân loai đ® đo đai so thuan nhat 23

2.1.1 Nguyên tu tương đoi 23

2.1.2 Loai Maharam 27

2.1.3 Đai so Bool thuan nhat 35

2.2 Phân loai đ® đo đai so đ%a phương 35

2.2.1 Đ%nh lý Maharam 35

2.2.2 Te bào (The cellularity) cna đai sô Boolean 37

3 бNH LÝ PHÉP NÂNG 44 3.1 Phép nâng 44

3.2 M¾t đ® dưói 45

3.3 Đ%nh lý phép nâng 47

4 бNH LÝ KWAPIEN 56 4.1 Toán tu tuyen tính dương tù không gian L0 đen không gian Riesz Acsimet 56

4.2 Toán tu tuyen tính dương trong đ® đo đai so nua huu han 58

KET LU¾N 65

Tài li¾u tham khao 66

LèI NÓI ĐAU

Chúng ta đã đưoc HQc và tìm hieu m®t so cau trúc đai so cơ ban nhưnhóm, vành, trưòng, Mo r®ng lên chút nua tìm hieu ve cau trúc đai so cnađ® đo xác suat phúc tap hơn rat nhieu như đai so Borel, đai so Bool, đ® đođai so, không gian Riesz, không gian Acsimet, không gian hàm

Lu¾n văn này trình bày ba đ%nh lý mà tôi thay rat hay trong lý thuyet đ® đo: Đ%nh

lý Maharam, đ%nh lý phép nâng, đ%nh lý Kwapien

Ngoài phan mo đau, ket lu¾n và tài li¾u tham khao, lu¾n văn chia làm bon chương:

Chương 1: Kien thÉc chuan b%

Chương này trình bày nhung kien thúc cơ ban ve đai so Boolean, đ® đo đai so.Phan cuoi cna chương tôi giói thi¾u ve không gian Riesz

Chương 2: Đ%nh lý Maharam.

Phan đau cna chương này đ%nh nghĩa và mô ta ’sn thuan nhat’ cna đ® đo xác suat.Phan sau trình bày đưoc đ%nh lý quan TRQng Maharam trên sn phân loai cna đ® đođai so

Chương 4: Đ%nh lý Kwapien

Chương này trình bày m®t so van đe tương đoi cơ ban liên quan tói toán tu tuyentính dương tù không gian L0 đen không gian Riesz Ascimet Sau đó chuyen sangm®t phân tích rat quan TRQNG cna Kwapien ve toán tuyen tính dương tùkhông gian L0 đen không gian L0 cna đ® đo đai so nua huu han

LèI CAM ƠN

Ban lu¾n văn này đưoc hoàn thành dưói sn hưóng dan nghiêm khac và t¾n tìnhchi bao cna TS Nguyen Th%nh Thay đã dành nhieu thòi gian hưóng dan cũngnhư giai đáp các thac mac cna tôi trong suot quá trình làm lu¾n văn Tôi muon bày

to lòng biet ơn sâu sac đen ngưòi thay cna mình

Qua đây, tôi xin gui tói các thay cô Khoa Toán- Cơ- Tin HQc, Trưòng Đai

HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, cũng như các thay cô đã thamgia giang day khóa cao hQc 2011- 2013, lòi cam ơn sâu sac nhat đoi vói công laoday do trong suot quá trình giáo duc đào tao cna nhà trưòng

Tôi xin cam ơn gia đình, ban bè và tat ca MQI ngưòi đã quan tâm, taođieu ki¾n, đ®ng viên cő vũ tôi đe tôi hoàn thành nhi¾m vu cna mình

Hà N®i, Tháng 8 năm 2014.

Chương 1

KIEN THÚC CHUAN B±

Đe tìm hieu phan chính cna lu¾n văn: Đ%nh lý Maharam, đ%nh lý phép nâng

và đ%nh lý Kwapien, chúng ta can m®t lưong kien thúc cơ ban đưoc trình bày dưóiđây Chương này không đi sâu nghiên cúu chi tiet mà chi cung cap kien thúc đechuan b% cho các chương sau nên phan kien thúc đưoc trình bày có le hơi ròi rac

Đ%nh nghĩa 1.1.1 +) Vành Bool là vành (A, +, ) trên đó a2 = a, ∀a ∈ A

+) Đai so Bool là vành Bool A vói đong nhat nhân 1 = 1A Trong trưòng hop này

ta chap nh¾n 1 = 0

Bo đe 1.1.2 Cho A là vành Bool, I là ideal cua A và a ∈ A\I thì có m®t đong

+) Đai so con: Cho A là đai so Bool Đai so con cna A có nghĩa là vành con cna A

có chúa đong nhat nhân 1 = 1A

M¾nh đe 1.1.3 Ideal trong đai so Bool Neu A là đai so Bool, t¾p I ⊆ A là

⊆ b

+) Đong cau Bool: Đong cau Bool có nghĩa là hàm π : A → B là đong cau vành và π

(1A) = 1B

Bool.

đieu sau tương đương:

i π là đong cau Bool.

ii π (a ∩ b) = πa ∩ πb và π (1A\a) = 1B\πa, ∀a, b ∈ A

iii π (a ∪ b) = πa ∪ πb và π (1A\a) = 1B\πa, ∀a, b ∈ A

iv π (a ∪ b) = πa ∪ πb và πa ∩ πb = 0B, a, b ∈ A, a ∩ b = 0A, π (1A) = 1B

Bo đe 1.1.6 Cho A là đai so Bool và A0 là đai so con cua A Cho c là phan

Bo đe 1.1.7 Cho A, B là đai so Bool và A0 là đai so con cua A và π : A0 → B

Neu v ∈ B sao cho πa ⊆ v ⊆ πb, a, b ∈ A0 và a ⊆ c ⊆ b thì có duy nhat m®t đong

Chúng ta se có m®t so khái ni¾m quan TRQNG.

Đ%nh nghĩa 1.1.8 : Cho P là t¾p đưoc sap riêng phan và C là t¾p con cna P.

a C là có hưóng đi lên (upwards-directed) neu vói p, p J ∈ C bat kỳ có q ∈ C saocho p ≤ q và p J ≤ q Túc là neu các t¾p con bat kỳ không rong huu han cna C đeu

có c¾n trên trong C

Tương tn, C là có hưóng đi xuong (downwards-directed) neu p, p J ∈ C bat kỳ

có q ∈ C sao cho p ≤ q và q ≤ p J Túc là các t¾p con bat kỳ không rong huu hantrong C đeu có c¾n dưói trong C

b C là đóng có thú tn neu sup A ∈ C vói moi A là t¾p con không rong có hưóng đilên cna C sao cho supA đưoc đ%nh nghĩa trên P và inf A ∈ C vói moi A là t¾p conkhông rong có hưóng đi xuong cna C sao cho infA đưoc xác đ%nh trên P

c C là dãy đóng có thú tn neu supn∈N p n ∈ C vói moi (p n)n∈N là dãy không giamtrên C sao cho supn∈N p nđưoc xác đ%nh trên P, và infn∈N p n ∈ C vói moi (p n)n∈N là dãykhông tăng trên C sao cho infn∈N p nđưoc xác đ%nh trên P

d Bao toàn thú tn: Cho P và Q là 2 t¾p đưoc sap riêng phan và φ : P → Q là hàmbao toàn thú tn neu φ (p) ≤ φ (q) trên Q vói p ≤ q trên P

e Ta nói rang φ là liên tuc có thú tn neu

i φ (sup A) = sup φ (p) vói moi A là t¾p con không rong có hưóng đi lên cna P và

p∈A

supA đưoc xác đ%nh trên P

ii φ (inf A) = inf φ (p) vói moi A là t¾p con không rong có hưóng đi xuong cna P

p∈A

và infA đưoc xác đ%nh trên P

f φ là dãy liên tuc có thú tn ho¾c σ liên tuc có thú tn neu:

i φ (p) = sup φ (p n) vói (p n)n N là dãy không giam trên P và p = sup n Np ntrên P

ii φ (p) = inf φ (p n) vói (p n)n∈N là dãy không tăng trên P và p=infn∈N p ntrên P.

g T¾p D ⊆ A vói A đai so Bool là trù m¾t có thú tn neu ∀a ∈ A, a ƒ= 0 thì có

d ƒ= 0, d ∈ D sao cho d ⊆ a

h T¾p Cofinal

i C là cofinal vói P neu MQIp ∈ P có q ∈ C sao cho p ≤ q

ii Cofinality cna P (ký hi¾u cf(P)) là lnc lưong nho nhat cna t¾p con cofinal bat kỳ cna P

M¾nh đe 1.1.9 Cho A là đai so Bool.

sup {e ∩ a : a ∈ A} đưac xác đ%nh và bang e ∩ sup A

inf {e ∪ a : a ∈ A} đưac xác đ%nh và bang e ∩ inf A

c Gia su rang A, B ∈ A là 2 t¾p không rőng và supA, supB đưac xác đ%nh trên A

thì sup {a ∩ b : a ∈ A, b ∈ B} đưac xác đ%nh và bang sup A ∩ sup B

d Gia su rang A, B ∈ A là 2 t¾p không rőng và infA, infB đưac xác đ%nh trên A

Bo đe 1.1.10 Neu A là đai so Bool và D ⊆ A là trù m¾t có thú tn thì vái a ∈ A

1.1.2 Tính Dedekind đay đu

Đ%nh nghĩa 1.1.11 : Cho P là t¾p đưoc sap riêng phan.

a P là Dedekind đay đn ho¾c tính đay đn có thú tn ho¾c đay đn m®t cách có đieuki¾n neu MQI t¾p con không rong cna P có c¾n trên thì có c¾n trên nho nhat

n∈

N

b P là Dedekind σ-đay đn ho¾c σ-đóng có thú tn neu:

i MQI t¾p con không rong đem đưoc cna P mà có c¾n trên thì có c¾n trên nho nhat

II MQI t¾p con không rong đem đưoc cna P mà có c¾n dưói thì có c¾n dưói lón nhat

Bo đe 1.1.12 Cho A là đai so Bool và A0 là đai so con cua A Lay c ∈ A và t¾p

A1 = {(a ∩ c) ∪ (b\c) : a, b ∈ A0} là đai so con cua sinh bái A0 ∪ {c}

đóng có thú tn.

1.1.3 Bao hình trên (Upper envelopes)

và viet upr (a, E) = inf {c : c ∈ E, a ⊆ c} neu inf đưoc xác đ%nh trên E

b Neu A ⊆ A là t¾p sao cho upr (a, E) đưoc xác đ%nh vói MQI a ∈ A, a0 = sup A

đưoc xác đ%nh trên A và c0 = supa∈A upr (a, E) đưoc xác đ%nh trên E thì c0 = upr (a0, E)

c Neu A ⊆ A: upr (a, E) đưoc xác đ%nh thì upr (a ∩ c, E) = c ∩ upr (a, E) , ∀c ∈ E

Đ%nh nghĩa 1.1.14 Cho (A, µ) , (B, ν) là đ® đo đai so

Đong cau Bool π : A → B là bao toàn đ® đo neu ν (πa) = µa, ∀a ∈ A

1.1.4 Chuői đieu ki¾n đem đưac

t¾p con ròi nhau cna A là đem đưoc

b Không gian topo X là c c c ho¾c thoa mãn chuoi đieu ki¾n đem đưoc ho¾c tính chat Souslin neu MQI t¾p hop ròi nhau cna t¾p mo trong X là đem đưoc.

H¾ qua 1.1.16 Cho A là c c c đai so Bool.

1.1.5 Hàm c®ng tính trên đai so Bool

ho¾c chi c®ng tính neu ν (a ∪ b) = νa + νb vói moi a, b ∈ A, a ∩ b = 0

Thinh thoang ta GQI hàm c®ng tính không âm là đ® đo c®ng tính huu han

1.1.6 Đai so thương

Đ%nh nghĩa 1.1.18 Vành thương Cho R là m®t vành và I là ideal trong R M®t

lóp cna I là m®t t¾p có dang a + I = {a + x : x ∈ I} , a ∈ R

R/I là t¾p các lóp I cna R Viet a • thay cho a+I

M¾nh đe 1.1.19 Cho A là đai so Bool và I là ideal cua A Thì vành

cau Bool và (a∆b) • = a • ∆b • , (a ∪ b) • = a • ∪ b • , (a ∩ b) • = a • ∩ b • , (a \b) • = a • \b • vái

MQI a, b ∈ A.

1.2 Đ® đo đai so

Dedekind σ-đay đn và µ : A → [0, ∞] là hàm sao cho µ0 = 0

Vói moi (a n) n∈N là dãy ròi nhau trong A, µ (sup n∈N a n) = ∞

n= 0

µa n

µa > 0 vói moi a ∈ A, a ƒ= 0

M¾nh đe 1.2.2 Cho (A, µ) là đ® đo đai so và A ⊆ A là t¾p không rőng có hưáng đi

1.2.1 Nguyên tac phân loai cua đ® đo đai so

Đ%nh nghĩa 1.2.4 Cho (A, µ) là đ® đo đai so

a Ta nói rang (A, µ) là đ® đo xác suat neu µ1 = 1

b (A, µ) là huu han hoàn toàn neu µ1 < ∞

c (A, µ) là σ-huu han neu có dãy (a n)n∈N trong A sao cho µa n < ∞, ∀n ∈ N và

supn∈N a n = 1

d (A, µ) là nua huu han neu vói moi a ∈ A, µa = ∞ có b ƒ= 0, b ⊆ a sao cho µb < ∞

Σ

M¾nh đe 1.2.5 : Cho (A, µ) là đ® đo đai so nua huu han thì các đieu sau tương đương vái nhau

i. (A, µ) là σ -huu han

thì đ® đo đai so (A, µ) cna (X, Σ

, µ) có the đong nhat vói tích đơn cna đ® đo đai

1.2.3 Topo cua đ® đo đai so

cua A thì bao đóng B cua B trong A là đai so con hay nói m®t cách chính xác

B đóng có thú tn cua A sinh bái B.

Bo đe 1.2.7 Neu (A, µ) là đ® đo đai so đ%a phương và B là đai so con đóng cua

A thì a ∈ A bat kỳ đai so con E cua A sinh bái B ∪ {a} là đóng.

Đ%nh nghĩa 1.2.8 Cho (A, µ) và (B, ν) là đ® đo đai so

Đong cau Bool π : A → B là bao toàn đ® đo neu ν (πa) = µa, ∀a ∈ A

M¾nh đe 1.2.9 Cho (A, µ) và (B, ν) là đ® đo đai so và đong cau Bool

π : A → B bao toàn đ® đo.

b. (A, µ) là huu han hoàn toàn neu và chs neu (B, ν) cũng huu han hoàn toàn và

M¾nh đe 1.2.10 Cho (A, µ) và (B, ν) là đ® đo đai so huu han hoàn toàn, đai so

ν (πa) = µa, ∀a ∈ A0 thì π là má r®ng duy nhat tái đong cau bao toàn đ® đo tù A tái B.

ròi nhau và sup a nđưoc xác đ%nh trên A

n∈N

ho¾c τ -c®ng tính neu ν là c®ng tính huu han và inf

a∈A |νa| = 0 vói moi A là t¾pkhông rong có hưóng đi lên trên A vói inf =0

1.2.5 Phiem hàm c®ng tính trên đ® đo đai so

Đ%nh nghĩa 1.2.13 Cho (A, µ) là đ® đo đai so và ν : A → R là phiem hàm c®ng tính huu han thì ν là liên tuc tuy¾t đoi đoi vói µ neu cho ∀ε > 0 có δ > 0 sao cho

|νa| ≤ ε vói moi µa ≤ δ

1.3.1 Đ%a phương hóa ng¾t

Đ%nh nghĩa 1.3.1 Cho (X, Σ

, µ) là không gian đ® đo Thì µ ho¾c (X, Σ

, µ) là đ%a phương hóa (localizable) neu µ là nua huu han và ∀ε ∈ Σ

có H ∈ Σ

sao cho

i, E × H bo qua đưoc ∀E ∈ ε

ho¾c σ- c®ng tính neu Σ∞ νa n đưoc đ%nh nghĩa và Σ∞ νa n = ν .sup a nΣ vói (a n)

ii, Neu G ∈ Σ

và E\G là bo qua đưoc ∀E ∈ ε thì H\G là bo qua đưoc

Ta có the GQI H là t¾p hop tat ca các c¾n trên đúng thnc sn cna E trong Σ

Đ%nh nghĩa 1.3.2 Cho (X, , µ) là không gian đ® đo thì µ ho¾c (X, , µ) là đ%aphương hóa ng¾t (strictly localizable) ho¾c khai trien đưoc neu có m®t phân hoach

(X i ) i∈I cna X trên t¾p đo đưoc cna đ® đo huu han sao cho

Ta GQI HQ (X i ) i∈I là sn khai trien cna X

1.3.2 Nguyên tE và phi nguyên tE

, µ) là không gian đ® đo T¾p E ∈ Σ

là nguyên tuđoi vói µ neu µE > 0 và ∀F ∈ , F ⊆ E thì m®t trong hai t¾p F, E\F là bo quađưoc

Đ%nh nghĩa 1.3.4 Cho (X, , µ) là không gian đ® đo Thì µ ho¾c (X, , µ) làphi nguyên tu ho¾c tán xa neu không có nguyên tu nào cna µ

Đ%nh lí 1.4.1 Cho I là m®t khoang trên R và cho f là hàm giá tr% thnc mà

h↓0 2 h

1.5 Đ%nh lý Radon-Nikodym

Đ%nh lí 1.5.1 Cho (X, , µ) là không gian đ® đo và hàm ν : → R Thì các

đieu sau tương đương:

E

c®ng tính huu han.

νE = 0 mői khi µE = 0

1.5.2 Kỳ vQNG có đieu ki¾n

, µ) là không gian xác suat ho¾c không gian đ®

đo vói µX = 1 Cho T ⊆ Σ

là σ- đai so con Ta đ%nh nghĩa kỳ vQNG có đieu ki¾ncna f trên T là hàm g µ † T -kha tích sao cho ∫ gd (µ † T ) = ∫

Ta có g là hàm T-đo đưoc xác đ%nh khap nơi trong X.

Đ%nh nghĩa 1.6.1 Cho .X i , Σ

i , µ i

Σ

i∈I là HQ cna không gian xác suat

T¾p X = X i HQ cna hàm x vói t¾p xác đ%nh I sao cho x (i) ∈ X i , ∀i ∈ I Trong

Đ%nh lí 1.7.1 Cho A ⊆ Rr là t¾p bat kỳ, và I là HQ hình tròn đóng không

1.8 Matingle

Đ%nh lí 1.8.1 Martingale Levy

, µ) là không gian xác suat và .ΣnΣn∈N là dãy không tăng cua σ -đai so

Thì X (ω) = lim

n→∞ E (|X ∞ − X n |) = 0 và X ∞

1.9.1 Không gian tuyen tính đưac sap tÈng phan

Đ%nh nghĩa 1.9.1 Không gian tuyen tính đưoc sap tùng phan là không gian

tuyen tính (U, +, ) trên R có thú tn vói ≤ sao cho:

u ≤ v ⇒ u + ω ≤ v +

ω u ≥ 0, v ≥ 0 ⇒ αu

≥ 0

vói u, v, ω ∈ U, α ∈ R

Đ%nh nghĩa 1.9.2 Toán tE tuyen tính dương

Cho U và V là hai không gian tuyen tính đưoc sap tùng phan Viet L (U ; V ) cho t¾pcác toán tu tuyen tính tù U đen V Neu T ∈ L (U ; V ) và T ≥ 0 thì T đưoc GQI là toán

tu tuyen tính dương

n∈

N

∞

Đ%nh nghĩa 1.9.3 Đong cau Riesz

Cho U, V là không gian tuyen tính đưoc sap tùng phan M®t đong cau Riesz tù Uđen V là m®t toán tu tuyen tính T : U → V sao cho vói moi A ⊆ U là t¾p huu hankhông rong và infA=0 trong U thì infT [A] = 0 trong V

1.9.2 Không gian Riesz

p, q ∈ P bat kỳ: p ∨ q = sup {p, q} và p ∧ q = inf {p, q} đưoc xác đ%nh trên P

Đ%nh nghĩa 1.9.5 Không gian Riesz ho¾c dàn vectơ là không gian tuyen tính đưoc

sap tùng phan mà nó là m®t dàn

Đ%nh nghĩa 1.9.6 Cho U là không gian Riesz M®t dai ho¾c không gian con

chuan tac cna U là không gian con tuyen tính đưoc sap tùng phan

Đ%nh nghĩa 1.9.7 Dai phép chieu

Cho U là không gian con Riesz Khi đó m®t dai phép chieu trên U là m®t t¾p

V ⊆ U sao cho V + V ⊥ = U

1.9.4 Không gian Acsimet

các đieu tương đương sau:

i Neu u, v ∈ U sao cho nu ≤ v, ∀n ∈ N thì u ≤ 0

ii Neu u ≥ 0 trong U thì infδ>0δu = 0 thì U đưoc gQI là không gian Acsimet

1.9.5 Không gian Riesz Acsimet

Đ%nh nghĩa 1.9.9 Không gian Riesz U là Acsimet neu MQI u ∈ U , u > 0 ( túc là

u ≥ 0 và u ƒ= 0) và v ∈ U thì có n ∈ N sao cho nu ¢ v

Đ%nh nghĩa 1.9.10 Không gian Riesz U là Dedekind đay đn (ho¾c đay đn có

thú tn, ho¾c đay đn) neu MQI t¾p không rong A ∈ U b% ch¾n trong U thì có c¾n trênnho nhat trong U

Không gian Riesz U là Dedekind σ-đay đn (ho¾c σ-đay đn có thú tn, ho¾c σ-đayđn) neu MQI t¾p không rong đem đưoc A ∈ U b% ch¾n trên thì có c¾n trên nho nhattrong U

1.9.6 Không gian đoi ngau

a Ta viet U ∼ cho không gian L ∼ (U, R) cna phiem hàm tuyen tính giá tr% thnc b%

ch¾n có thú tn trên U , GQI là đoi ngau b% ch¾n có thú tn cna U

b. Viet

U c ∼

cho không gian L ∼ c (U, R) dãy phiem hàm tuyen tính dương nh¾n giá

tr% thnc liên tuc có thú tn , GQI là dãy đoi ngau liên tuc có thú tn

c Viet U × cho không gian L × (U, R) các phiem hàm tuyen tính dương nh¾n giá tr%

thnc liên tuc có thú tn trên U , GQI là đoi ngau liên tuc có thú tn cna U

Bo đe 1.9.12 Gia su rang U là không gian Riesz sao cho U ∼ phân tách các điem

L0 = L0 (A).

c α = [[sup A > α] , ∀α

khi supu∈A [ u > α] đưac xác đ%nh trên A vái MQI α ∈ R.

1.10.3 Dai trong L0

A và phép chieu dai cua đai so trong L0 (A).

Bo đe 1.10.4 Cho A là đai so Bool Dedekind σ đay đu và t¾p A ⊆ L0 +

không b

Bo đe 1.10.5 Cho A là đai so Bool σ đay đu Dedekind Gia su rang A ⊆ L0 +

là rài nhau Neu ca A là đem đưac và A là Dedekind đay đu thì A b% ch¾n trên trên L0 (A).

Đ%nh lí 1.10.6 Cho U là không gian Riesz sao cho U × phân tách các điem cua

1.11.1 Tiên đe cHQN

Cho t¾p I bat kỳ và (X i)i∈I là m®t HQ các t¾p không rong có chi so trong I thì

có m®t hàm f vói mien xác đ%nh là I sao cho f (i) ∈ X i , ∀i ∈ I

1.11.2 Bo đe Zorn

Cho (P, ≤) là t¾p không rong đưoc sap thú tn tùng phan sao cho MQI t¾p con đưocsap thú tn hoàn toàn cna P có c¾n trên trong P thì P có phan tu cnc đai

.Σ

.Σ

Chương 2

бNH LÝ MAHARAM

Chương này giói thi¾u ve đ%nh lý Maharam và các ket qua cơ ban cna đ%nh lý.Đ® đo {0, 1} có cau trúc đơn gian và nhieu tính chat đưoc úng dung Vìv¾y đ%nh lý Maharam đã chúng minh đưoc rang MQI đ® đo đai so đ%a phương đangcau đưoc vói m®t HQ tích các đ® đo đai so thì HQ tích các đ® đo đai so đó se đangcau đưoc vói đ® đo thưòng Đe có đưoc đ%nh lý Maharam chúng ta tìm hieu m®t

bő đequan TRQNG và phân loai đ® đo đai so đ%a phương

2.1.1 Nguyên tE tương đoi

Đ%nh nghĩa 2.1.1 Cho A là đai so Bool và B là đai so con đóng có thú tn cna

A

Khi đó a ∈ A, a ƒ= 0 là nguyên tu tương đoi trên B neu ∀c ∈ a có dang c = a

∩ b, b ∈ B, nghĩa là {a ∩ b : b ∈ B} là ideal chính sinh boi a

A là phi nguyên tu tương đoi trên B neu trong A không có nguyên tu tương đoi trên B

Bő đe sau đây là TRQNG tâm cna đ%nh lý Maharam

đóng cua A sao cho A là nguyên tu tương đoi trên B.

Cho ν : B → R là hàm c®ng tính sao cho 0 ≤ νb ≤ µb ∀b ∈ B Thì có c ∈ A sao

cho νb = µ (b ∩ c) , ∀b ∈ B.

Chúng minh a Can chúng minh ν là c®ng tính đem đưoc

b Moi a ∈ A, t¾p ν a b = µ(b ∩ a), ∀b ∈ B Thì ν a là c®ng tính đem đưoc

Kiem tra: ∀a ∈ A, a

Th¾t v¾y

0 có d ⊆ a, d ƒ= 0 sao cho ν d ≤ 1 ν a

Vì A là nguyên tu tương đoi trên B nên có e ⊆ a sao cho e ƒ= a ∩ b, b ∈ B

Xét phiem hàm c®ng tính đem đưoc d = ν a − 2ν e : B → R

Có b0 ∈ B sao cho λb ≥ 0, b ∈ B, b ⊆ b0vói λb ≤ 0, b ∈ B, b ∩ b0 = 0

d Cho C = {a : a ∈ A, ν a ≤ ν} 0 ∈ C ⇒ C ƒ= ∅ Neu D ⊆ C là có hưóng đi lên và

D ƒ= ∅ thì a = sup D đưoc xác đ%nh trên A

2

2

b0

2

Và νsupD b = µ (b ∩ sup D) = µ (sup d∈D b ∩ d) = sup µ (d ∩ b) = sup ν d b ≤ νb (do m¾nh

Theo bő đe Zorns, C có phan tu cnc đai là c

e Gia su ν c ƒ= ν Có b ∗ ∈ B sao cho ν c b ∗ ƒ= νb ∗ Tù ν c ≤ ν, ν c b ∗ ≤ νb ∗ Cho n ∈ N sao

Nhưng d ∪ c ∈ C và c không là cnc đai trong C

Như v¾y c là phan tu cna A cho boi phép bieu dien cna ν

Ta có h¾ qua trnc tiep cna bő đe này

H¾ qua 2.1.3 Cho (A, µ) là đ® đo đai so nua huu han phi nguyên tu và a ∈ A

Chúng minh

Neu γ = µa, lay c = a

0

0

Neu γ < µa có d ∈ A sao cho d ⊆ a, γ ≤ µd ≤ ∞

Áp dung bő đe 2.1.2 có m®t ideal chính Ad sinh boi d, vói β = {0, d} , ν d = γ

(vì A là phi nguyên tu, không phai là ideal chính tam thưòng cna Ad có dang {c ∩ b : b ∈ B} = {0, c})

Bo đe 2.1.4 Cho (A, µ) , (B, ν¯) là đ® đo đai so huu han hoàn toàn và E

⊆ A là đai so con đóng Gia su rang π : E → B là đong cau Bool bao toàn đ® đo

Ta thay π1 là bao toàn đ® đo Th¾t

c Cho (X, , µ) là không gian đ® đo vói đ® đo đai so (A, µ) thì loai Maharam cna

(X, , µ) ho¾c cna µ là loai Maharam cna A và (X, , µ) ho¾c µ là loai Maharamthuan nhat neu A là loai Maharam thuan nhat

M¾nh đe 2.1.5 Cho A là đai so Bool, B là t¾p con cua A Cho B là đai so con cua A

sinh bái B.

c) ∀a ∈ B, có Bj ⊆ B, Bj huu han sao cho a thu®c ve đai so con cua A sinh bái Bj

Σ

a) Chúng ta can biet rang Bσ là đai so con trong A bao hàm B, và B τ là σ- đai so

con cna A bao hàm B nên B ⊆ Bσ ⊆ Bτ

b) Cam sinh trên #(B), dùng bő đe 1.1.6 cho t¾p quy nap ta thay B là huu han Trong trưòng hop này B là đóng có thú tn và B = Bτ

c) i Tù I ⊆ B, cho E1 là đai so con cna A sinh boi I Neu I, J ⊆ B thì EI ∪EJ ⊆ EI∪J

Như v¾y {EI : I ⊆ B là huu han}là đai so con cna A và yêu cau đưoc thoa

mãn

ii Đe ưóc lưong đ® lón cna B ta nhó lai rang t¾p [B] <ω cna MQI t¾p con huu han

cna B có hau het lnc lưong max (ω, # (B)) Vói moi I ∈ [B] <ω, CI là huu han.

Như v¾y, # (B) = # .S

I ∈[B] <ω EIΣ ≤ max .ω, # (I) , sup I∈[B] <ω # (EI)Σ ≤ max (ω, # (B))

d)Tù I ⊆ B, cho DI ⊆ Bσ là σ - đai so con cna A sinh boi I Neu I, J ⊆ B thì

vói supremum a trong A Vói moi n ∈ N

có dãy đem đưoc I(n) ⊆ B sao cho a n ∈ EI (n) T¾p K =

n∈N

I(n) thì K là t¾p conđem đưoc cna B và vói MQI a n ∈ DK ,như v¾y a ∈ DK ⊆ Bj

e) Tù h¾ qua 1.1.16, Bσ là đóng có thú tn trong A và B σ = Bτ

M¾nh đe 2.1.6 Cho A là đai so Bool

A = {0, 1}

Chúng minh:

a)i) Hien nhiên: τ (A) = 0 A = {0}

A = {0, 1}

ii τ (A) huu han khi và khi A huu han

Neu A huu han thì τ (A) ≤ # (A) là huu han

Neu τ (A) huu han thì có t¾p huu han B ⊆ A, B sinh boi A, theo m¾nh đe 2.1.5, Ahuu han

b) Chúng ta biet rang có A ⊆ A, τ -sinh boi A vói # (A) = τ (A), π [A] τ -sinh boi

Đ%nh lí 2.1.7 Cho (A, µ) , (B, ν¯) là đ® đo đai so loai maharam thuan nhat

.⇔

.⇔

Chúng minh

a) Neu τ (A) = τ (B) = 0, trưòng hop này tam thưòng

Xét trưòng hop τ (A) = τ (B) < κ Vì A, B là loai Maharam thuan nhat nên A, B

có the là phi nguyên tu và vô han , do đó κ vô han

ξ<κ lan lưot là t¾p con đem đưoc τ -sinh boi cna A, B

Đ%nh hưóng cna chúng minh là xác đ%nh đang cau bao toàn đ® đo π : A → B Sau đó xác đ%nh đang cau cna HQ tăng π ξ ξ≤κ giua đai so con đóng Eξ , Dξ cna A và

π ξ thác trien cna π η vói moi η < ξ (nói ve m¾t hình thúc thì đây là 1 phép đ¾ quysiêu han xác đ%nh boi hàm ξ ›→ f (ξ) = Eξ , Dξ , π ξ , a J

ξ , b J

ξ trên κ + 1 bưóc boi quytac chQn hàm f (ξ) cna f † ξ Ta xây dnng 1 hàm thnc F sao cho f (ξ) = F (f †

ξ) se thoa mãn yêu cau tiên đe cHQN )

b) Ta bat đau xây dnng vói E0 = {0, 1} , D0 = {0, 1} , π0 (0) = 1, π0 (1) = 1 (giathiet µ1 = ν1, chúng ta can đam bao là π0 bao toàn đ® đo)

c) Bưóc quy nap tiep cho ξ + 1 vói ξ < κ Gia su rang Eξ , Dξ , π ξ đã đưoc xác đ

%nh

i) Cho b ∈ B, b ƒ= 0, ideal chính Bb cna B sinh boi b là loai Maharam k, vì B là

loai Maharam thuan nhat M¾t khác, Loai Maharam cna Dξ là hau het

# ({b η : η ≤ ξ} ∪ {b J

η : η < ξ}) ≤ # (ξ × {0, 1}) < κ

Vì ξ là huu han nên ξ × {0, 1} cũng huu han

.Σ

.Σ

Neu ξ là vô han thì # (ξ × {0, 1}) = # (ξ) ≤ ξ < κ

Do đó, Bb không the là anh liên tuc có thú tn trên D ξ

Ánh xa c ›→ c ∩ b : Dξ → Bb là liên tuc có thú tn, vì D ξ là đóng nên phép nhúng

m®t mo r®ng φ ξ tù đong cau bao toàn đ® đo đen đai so con EJ

nó phai là đai so con đóng sinh boi {a η : η ≤ ξ} ∪ {a J

ξ = ψ ξ

b ξ

Σ Tù i) tatìm đưoc Eξ+1 là đai so con đóng cna A sinh boi {a η : η ≤ ξ} ∪ {a J

η : η ≤ ξ} và

Dξ+1 là đai so con cna B sinh boi {b η : η ≤ ξ} ∪ {b J

η : η ≤ ξ}.d) Do đó ta có the lay π ξ+1 = ψ ξ J : Eξ+1 → Dξ+1 và ta có π ξ+1 là đang cau bao toànđ® đo thác trien π ξ sao cho π ξ+1

.Σ

Hơn nua, νπ ξ ∗ a = µa, ∀a ∈ E∗

ξ , tù νπ η a = µa, vói moi η < ξ và a ∈ Eη.Cho Eξ là đai so con đóng nho nhat cna A chúa E ∗

ξ túc là bao đóng metric cna E∗

ξ

trong A (m¾nh đe 1.2.7) Tù Eξ là đai so con đóng nho nhat cna A chúa E η , ∀η < ξ,

: Eξ → B là liên tuc nên Dξ ∗ = π ξ ∗ Σ

e) Ket thúc phép quy nap vói ξ = κ, Eκ = A, Dκ = B, π = π κ : A → B là đangcau đ® đo đai so

Bo đe 2.1.8 Cho k là vô han hoàn toàn bat kỳ Cho µ là đ® đo trên {0, 1} k và

(A, µ) là đ® đo đai so thì neu (B, ν) là đ® đo đai so huu han hoàn toàn khác 0 và

π : A → B là đong cau Bool liên tnc có thú tn thì τ (B) ≥ k

= lim

n→

∞

2−n−1 = 0

sao cho µ infn∈N a ξ n = 0 và infn∈N a ξ n = 0

Vì π là liên tuc có thú tn nên infn∈N π(a ξ n ) = 0 trong B

b ∈ B thì có δ > 0 sao cho ξ : ξ < k, a ξ ∈ U (b, δ) là huu han

Dan đen mâu thuan

Yêu cau đưoc chúng minh

c) Chú ý rang,B là vô han, neu b ∈ B, {ξ : πa ξ n = b } huu han và gia su k là vô han, như

v¾y τ (B) là vô han.

d) Bây giò lay B ⊆ B cna τ (B) , mà τ -sinh boi B.

Tù c) B là vô han Cho C là đai so con cna B sinh boi B thì

Tù b) có δ > 0 sao cho {ξ : πa ξ ∈ (b, δ) } huu han.

Lay k ∈ N sao cho 2.2 −k ≤ δ và c ∈ C ∩ b, 2 −k thì c, 2 −k ⊆ (b, δ) chúa t¾p huu han cna πa ξ

Σ

S

.Σ

# (U ) ≤ max (# (C, ω)) = τ (B).

Như v¾y U là phn B.

Nói riêng, k = U∈U J U vói J U = {ξ : πa ξ ∈ U}

Nhưng đieu đó có nghĩa là k = # (k) ≤ max(ω, # (U )

và supU∈U # (J U )) = τ (B).

Yêu cau đưoc chúng minh

Đ%nh lí 2.1.9 Cho k là lnc lưang vô han Cho µ là đ® đo thưàng trên {0, 1} k và (A, µ)

là đ® đo đai so thì A là loai maharam thuan nhat cua loai maharam k.

Chúng minh

Xét t¾p X = {0, 1} k và viet Σ cho mien xác đ%nh cna µ.

a) Ta thay rang τ (A) ≤ k, E ξ = {x : x ∈ X, x (ξ) = 1}, a ξ = E ξ • vói moi ξ < k.

Viet ξ cho t¾p con đai so cna X sinh {E ξ : ξ < k}.

Chúng ta thay MQI đ® đo tru trong X xác đ%nh boi đ%nh nghĩa 1.6.1 phu thu®c ε Như v¾y,

MQI phan tu cna Σ là gan đúng và đo đưoc boi các phan tu cna ε Do đó, {E • : E ∈ ε} là

tô pô trù m¾t trên A Nhưng đieu này có nghĩa là đai so con cna A sinh boi {a ξ : ξ < k}

τ -sinh boi A và τ (A) ≤ k.

b) Neu c ∈ A/{0} và A c là ideal chính cna A sinh boi c, ánh xa a → a ∩ c là đong

cau Bool liên tuc có thú tn tù A → A c

Tù bő đe 2.1.8 ta có τ (A c) ≥ k Như v¾y k ≤ τ (A c) ≤ τ (A) ≤ k.

Vì c tùy ý nên A là loai Maharam thuan nhat vói loai Maharam k

Đ%nh lí 2.1.10 Cho (A, µ) là đ® đo xác suat loai Maharam thuan nhat thì có k : k=0

ho¾c k vô han sao cho có đang cau tù đ® đo đai so (A, µ) đen đ® đo đai so (A k , µ k ) cua

đ® đo thưàng trên {0, 1} k

Chúng minh

Neu τ (A) là huu han thì τ (A) = 0 và A = {0, 1} Ta có trưòng hop k=0.

Neu k = τ (A) vô han thì tù đ%nh lý 2.1.9 chúng ta có (A k , µ k) cũng là loai Maharamthuan nhat cna loai Maharam k, tù bő đe 2.1.8 cho ta đang cau can tìm Hien nhiên ktìm đưoc là duy nhat

S