Cấu trúc hình học của các đa tạp đầy với bất đẳng thức poincare có trọng

Trong tài li¾u [7],các tác gia đã chúng minh đưoc đ%nh lí sau.. ho¾c làMcó hai end nonparabolicvàđưoc xác đ%nh boiM=R×Nvóiwarped metric product nhưs a u dsM 2 =dt2+η2tdsN 2 , trong đó,ηt

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNGDAN KHOAH O C :

TS NGUYEN THACD Ũ N G

Lài cam ơn

Banlu¾nvănnàyđưochoànthànhdưóis n hưóngd anc n a T S N g u yenT h a c Dũng.Nhând

%pnày,tôic ũ n g xinbàytolòngbietơ n s â u s a c vàchânthànhnhattóiThay.NgưòiđãchotôibietmuonlàmkhoaHQcthìphaiHQc,phaiĐQcnhưthenào.Đưoclàmvi¾cdưóisnhưóngdancnaThay,tôithaymìnhtrưongthànhhơnratnhieu.ThaycũnglàNgưòiđãdànhnhieuthòigian,côngsúcđehưóngdan,kiemtravàgiúpđõtôihoànthànhlu¾nvănnày.TôicũngxinguilòicamơnđenlãnhđaovàcácthaycôtrongkhoaToán-Cơ-

TinHQc,trưòngĐaiHQcKhoaHQcTnNhiên,ĐaiHQcQuocGiaHàN®ivenhungkienthúc,nhungđieutotđepmàtôiđãnh¾nđưoctrongsuotquátrìnhHQct¾ptaiKhoa.TôicũngxinguilòicamơnđenPhòngSauĐaiHQccnanhàtrưòngđãtaođieuki¾nchotôihoànthànhcácthntuctrongHQct¾pvàbaov¾lu¾nvănnày

Cuoicùng,tôimuonbàytolòngbietơnđengiađình,ngưòithânvàbanbè.Nhungngưòiluônbêncanhđ®ngviênnngh®tôicavev¾tchatvàtinhthantrongcu®csongvàHQct¾p

M¾cdùbanthântôiđãcónhieucogangnhưngbanlu¾nvănnàyvankhó

tránhkhoinhungthieusót.Vìv¾y,tôiratmongnh¾nđưocsnđónggópýkien cnaquýthay,côvàcác ban

Hà N®i, tháng 5 năm 2016

PhùngTh%Di¾u Tuyen

Mnc lnc

1.0.1 Đ%nhnghĩaveđataptôpô,đataptrơn 6

1.0.2 Ví duveđataptrơn 6

1.1 Cáctensơvàphânthóvectơ 8

1.1.1 Đ%nh nghĩavetensơ hi¾p bien, tensơ phan bienvàtensơ thayphiên 8

1.1.2 Phânthóvectơ 10

1.2 Cácchiso thăngvàgiáng 11

1.3 Liên thôngvàđ®cong 14

1.4 Đaohàmhi¾pbiencnacáctrưòngvectơ 15

1.5 Liên thông Levi- Civita 17

2 HìnhhQCCUAcác đa tapđayváibat đangthÉcPoincare cóTRQNG 21 2.1 M®t sobőđephutro 21

2.2 Tính liên thông taivôhanc n aM 25

2.3 Cácđ%nhlívesntri¾ttiêu 36

M M

|∇φ|dV ,

vóiMQIhàmφ∈Co ∞(M)làhàmtrơnvàcógiácompact Đ¾cbi¾t,khiρ(x)=

λ1(M)là hang so dương thìMlà đa tapvóiphő dươngvàthoa mãn batđang

n−2

≥

thúcPoincarecóTRQNGvóihàmTRQNGρ≡λ1(M).ChúngtanóirangđatapRiemannđayđ

nMcótínhchat(Pρ)neum®tbatđangthúcPoincarecóTRQNG,vóihàmTRQNGρkhôngâmxayravàmetriccamsinhboiρđưocđ%nhnghĩaboi

vóiBρ(R)là qua cau tracđ%abán kínhRtrong metricds2 Trong tài li¾u [7],các tác gia đã chúng minh đưoc đ%nh lí sau

Mthoamãntínhchat(Pρ)vóihàmTRQNG,kháckhông,ρ>0.Giasu

1 ho¾c làMchicó m®t endnonpar abolic;

2 ho¾c làMcó hai end nonparabolicvàđưoc xác đ%nh

boiM=R×Nvóiwarped metric product nhưs a u

dsM 2 =dt2+η2(t)dsN 2 ,

trong đó,η(t)là hàm dương vàNlà đa tap compact Hơn nua,ρ(t)chi làhàmsophuthu®ct thoamãn ηjjη −1 =ρ vàl i m

R→∞infρ(x)>0;

3 ho¾c làMcó m®t end parabolicvàm®t end nonparabolic, đưocchob o i

M=R×Nvói warped metric product

dsM 2 =dt2+η2(t)dsN 2 ,

trong đó,η(t)là hàm dương vàNlà đa tap compact Hơn nua,ρ(t)chi làhàmsophuthu®ct thoamãn ηjjη −1 =ρ vàl i m

R→∞infρ(x)>0

%nhlýtươngtnđ%nhlýtrên,vóinhunggiathiettươngtnđ

%nhlýtrênnhưnglaichithoamãntrongm®tt¾pconcompactcnaM.Trongbàibáo[3],Lamđãnghiêncúubàitoánnàyvàchúngminhđưocrangneuđ®congRiccicnaMlàb

%ch¾ndưóibênngoàim®tt¾pcompactK⊂Mboim®thàmcnaλ1(M)thìđatapMchicóhuuhanendcóthetíchvôhan.Bêncanhđó,tácgiacũngchúngminhrangvóicácđieuki¾nphùhopvec¾ndưóicnađocongRiccivàđ®tăngcnahàmTRQNGthìkhônggiancác1-dangviphânbìnhphươngkhatíchlàtamthưòng.H¾qualà,đatapchicóm®tthànhphanliênthôngtaivôhan

Muctiêucnalu¾nvănnàylànghiêncúum®tcáchchitietvàh¾thongcáckienthúccơbanliênquanđenbàitoánnóitrêncnaLam.Lu¾nvănđãtrìnhbàylaim®tcáchtưòngminhvàtínhtoánlaim®tcáchcanth¾ncácl¾plu¾n,chúngminhcácketquachínhtrongbàibáo[3].Vóimuctiêunhưv¾y,lu¾nvănđưocvietthànhhaichương.Trongchươngm®t,chúngtôitrìnhbàylaicáckienthúccơbanveđatapRiemann,toántuLaplace-

BeltramitrênđatapRiemann,cáckháini¾mveliênthôngLevi-Civitavàđ®congRicci.Chươnghailàphanchínhcnalu¾nvăn.Trongchươngnày,chúngtôitrìnhbàylaim®tcáchchitietcácketquavàchúngminhtrongbàibáonóitrên.C h ươ

n g haibatđaubangm®tvàibőđephutro,trongđó,chúngtôitrìnhbàylaiưóclưonggradientchohàmđieuhòadươngtrênđatapRiemannvóiđ®co ng Riccib

%ch¾ndưói,vàtrìnhbàym®tưóclưongliênquanđenc ô n g thúcB ochnerchoc á c hàmđieuhòa.Trongphanthúhai,chúngtôitrìnhbàylaiketquachínhtrongbàibáocnaLamvetínhhuuhanendcnacácđatapRiemannđayđnvóiđ®congRiccib

%ch¾ndưóibênngoàim®tt¾pcompact.Phancuoicùngcnachươngnày,chúngtôidùngđetrìnhbàylaim®tvàiđ%nhlýkieutri¾ttiêucholópcác1-

dangviphânđieuhòavóinănglưonghuuhantrêncácđatapRiemannthoamãnm®tbatđangthúcPoincarecóTRQNG

.Σ

Chương 1

KienthÉcchuanb%

1.0.1 Đ%nhnghĩaveđa tap tôpô,đa tapt r ơ n

1 Mlà không gianHausdorff;

2 Mthu®c pham trù đem đưoc thú hai;

3 VóiMQIp∈M cođ%nh,tontaibanđođ%aphương(ϕ,U,V)trongđóU⊂Mlà m®t t¾pcon mo,Vlà t¾p mo nam trongRn,p∈Uvàϕ:U→Vlàm®t đong phôi

ĐataptôpôMlàm®tđataptrơnneutontaim®tAtlascncđaigomcácHQbanđo{(ϕ,

i

Khiđó,Ui+vàUi − làcáct¾pmotrongR n+1,vóiMQIi=1,2, ,n.TùđótacóUi∩ S n làc

áct¾pmotrongSn,vóii=1,2, ,n.Xéthìnhcau

(x1, ,xi−1, ±f(x1, ,xi, ,xn+1),xi+1, ,xn+1)›→(x1, ,xi, ,xn+1),

là ánh xa đong phôi cna t¾p mo trênRn, vói

Ui ± ∩ S n ={(x1,x2, ,xi−1, ±f(x1, ,xi, ,xn+1),xi+1, ,xn+1)}.

xéthaibanđođ%aphương Ui+∩ S n ,ϕi+ và Uj+∩Sn ,ϕj+,vóii

chúng minh hai ban đo này là tương thích vói nhau j.Ta se

Layx U + Sn U + Sn Khi đó,x >0,x >0 Boi đ%nh nghĩac na

) = (x1

, , x

%nh.Ánhxaω:C ∞(M)→ RđưocGQIlàphéplayđaohàmtaip otrên C ∞(M)neuthoamãnc

áctínhchatsauvóiMQIhàmtrơnf,g∈C ∞(M),vóiMQIa,b∈ R,

1

.Σ

Ta đ%nh nghĩa không gian đoi ngau cnaTpMlà không gian đoi tiep xúc vói

xácđ%nhboidF p(v)f:=vp(f◦F),vóiMQIf∈C ∞ (N)

nhatT F (p)RvóiRthìdFp(Xp)=Xp(F)

%nhboiX bien p∈M thành Xp∈TpM saochovóiMQIf∈C ∞(M)thìXf(p)=Xpf làhàmtrơ

vectơđoingaucnaV.Vóik∈N,tađ%nhnghĩam®tk-tensơhi¾pbientrênVlà m®t ánh

F:V⊗ ⊗ V →R

k

SokcònđưocGQIlàhangcnak-tensơF.Khônggiantatcacáck

-tensơhi¾pbienhangkđưockýhi¾ulàT k (V ∗)

vectơđoingaucnaV.Vóil∈N,tađ%nhnghĩam®tl-tensơphanbientrênVl à m ® t á n h

k-tensơthayphiênneuvóiMQIv1, ,vk∈V vàvóiMQIc¾pchiso(i,j)thì

∧ k ( V ∗)=spane i1∧e i2∧ ∧e i k ;1≤i1< <ik≤n,

trong đóe i1∧e i2∧ ∧e i k:V×V× ×V→Rxác đ%nh boi

(e i1∧e i2∧ ∧e i k )(v1,v2, ,vk)=det

e i j (vi)Σ

,1≤i,j≤k.

trongđóvi∈V vóiMQIi=1,k

tính

F:V ∗ ⊗ ⊗ V ∗ ⊗V⊗ ⊗ V →R.

s ˛l¸ x s ˛k¸ x

Ej⊗ ⊗Ej

l ⊗e i1⊗ ⊗e i kΣtrongđó

M®tb®ba(π,E,M)đưocgQIlàm®tphânthóvectơhangk trên M neu

(ii) VóiMQIp∈M, thóEp:=π −1(p)là không gian vectơ thnck-chieu

cnaϕ

vectơ.Đongphôiϕxácđ%nhnhưtrênđưocGQIlàm®ttamthưònghóađ

%aphươngcnaEtrênU.

NeuMvàElàcácđataptrơn,cònπlàánhxatrơnvàcáctamthưònghóađ

%aphươngϕlàviphôithìphânthóvectơ(π,E,M)đưocGQIlàphânthótrơn

Đ%nhnghĩa1.11.Cho(π,E,M)làm®tphânthóvectơhangk.M®tnhátcatcna

Elà m®t ánh xa liên tucσ:M→Esaochoπ◦τ=idM hay σp∈Ep⊂E,∀p∈M

Khi đó, ngưòi ta có the trangb%m®t cau trúc tôpôtrênTl k(M)vàΛk (M)

đebienchúngthànhcácđataptrơn.ĐatapTl k(M)đưocGQIlàphânthótensơ

l-phanbien,k-hi¾pbienhayphânthótensơkieu(l,k).ĐatapΛk (M)đưocGQI

j

1

,Er1, ,Er k

b

là phân thó tensơk-hi¾p bienthayp h i ê n

M®tnhátcattrơntrênT l k M GQIlàm®ttrưòngtensơkieu(l,k).M®tnhátcattrơntrên

1.2 Cácchiso thăngvàg i á n g

trưòng2-tensơ hi¾p bien,g∈T2(M)sao cho

(i) glà đoi xúng,g(Xp, Yp)=g(Yp, Xp)vóiMQItrưòng vectơ trơnX,Y,vóiM Q I

.Σ

Nhưv¾y,X b nh¾ntùXbangcáchhachisoxuong.Trongâmnhac,vi¾cham®tnotnhacxuongm®tnuacungthìnotnhacđóGQIlàm®tnotgiáng,đâycũnglàlýdomàtaGQIX b làánhxagiáng

Choflà m®t hàm trơn trên đa tap Riemann(M,g) Ta đ%nh nghĩa

Khiđó,vóiMQIY∈T M ,tacó

Tùđó,tanh¾nđưoc

bien tensơ hi¾p bien thành tensơ phan bien

Ví dn 1.2.ChoBlà tensơ kieu(2,1),Bik j =B E1, e j , Ek Bijk:=gijBik l Khi

đó,Bthành 3-tensơ hi¾p bien

Neuhlà2-tensơhi¾pbienđoixúngthìh # làm®ttensơkieu(1,1)xácđ%nh

boi

h #(X, ω) :=h(X, ω #).

Σ

Σ

Σ

Do đó ta có the xemh # như là m®t ánh xa tuyen tính (cũng van ký hi¾u là

h #) tùTMvàoTMsao cho

h #(X)(ω)=h #(X,ω),

vóiMQIω∈T ∗ M.Dođó,tacó theđưarađ%nhnghĩaánhxavetcna2-tensơhi¾pbien

Trongh¾TQAđ®đ%aphươngtacó,

Choωlàk-dang vi phân(k≥1)cònXlà m®t trưòng vectơ trơn trênM

trơnXtrênMlà m®t(k−1)-dang vi phân xác đ%nh boi

(iXω) (X1, ,Xk−1) =ω(X, X1, ,Xk−1)Nhò khái ni¾m tích trong ta có the đ%nh nghĩa toán tudivnhư sau

d(iXdV) = (divX)dV

tap RiemannM

flà m®t hàm trơn trênM,đ%nhnghĩa

1.3 Liên thôngvàđ®c o n g

gian các nhát cat trơn cnaE

∇:T(M)×E(M)→E(M)

thoa mãn

(i) ∇XYlà tuyen tính trênC ∞(M)theoX,túclà

(ii) ∇XYlà tuyen tính trênRtheoY, túclà

∇X(aY1+bY2) =a∇XY1+b∇ XY2,∀a, b∈R.

(iii) ∇thoa mãn lu¾t Leibnitz, túcl à

tươngúngvóitrưòngTQAđ®frameEi=∂i.Khiđó,tontain3soΓij k saocho

∇E i Ej= ΓijEk.

j i

j

∂

.Σ

∂

Ví dn 1.4.ChoM=Rn,X=X i ∂i, Y=Y j ∂j Tađ%nhnghĩa

∇XY=∇X i ∂ i(Y ∂j) =X ∂i(Y)∂j.

Khi đó∇XYlà m®t liên thông tuyen tính trênRn.Hơn nua,∇XYlà đao hàm cna trưòng vectơYtheo hưóngX

M®t cách cu the, neun=2,X=x ∂ −y ,Y= xy

(ii) TrênT 0(M)=C ∞(M)thì∇Xf=Xf vóiMQIf∈C ∞(M)

(iii) ∇thoa mãn lu¾tL e i b n i t z

vóiMQItrưòngtensơF,G

(iv) ∇giao hoánvóiphépch¾p chis o

M¾nh đe đưoc chúng minh.

M¾nh đe 1.2.Neuglà2-tensơ hi¾p bien,g=gijdx i ⊗dx j thì

(∇Xg)(Y1, Y2) =∇Xg(Y1, Y2)−g(∇XY1, Y2)−g(Y1,∇XY2)

Chúng minh.Đ¾t

T=gijdx i ⊗dx j ⊗Y1⊗Y2.

Khi đó, do đieu ki¾n (iv) ta có

Lai có,

Cũng do đieu ki¾n(iii)thì

∇XT=∇Xg⊗Y1⊗Y2+g⊗ ∇ XY1⊗Y2+g⊗Y1⊗ ∇XY2.

Tù đó,

C2(∇ XT) =C2(∇ Xg⊗Y1⊗Y2+g⊗ ∇ XY1⊗Y2+g⊗Y1⊗ ∇XY2)

=∇Xg(Y1, Y2)−g(∇XY1, Y2)−g(Y1,∇XY2).

Ta có đieu phai chúng minh

Cho∇là liên thông tuyen tính trên M,F∈Tl k(M) Ta đ%nh nghĩa ánh xa

∇F:τ1(M)× ×τ1(M)×τ( M) × τ(M)×τ(M)→C ∞(M)

xác đ%nhboi

(∇F)(ω1, , ω l , Y1, , Yk, X) = (∇XF) (ω1, , ω l , Y1, , Yk).

1.5 Liên thông Levi -Civita

tricgneuglàsongsong,túclà∇g=0.DoM¾nhđe1.2,đieunàytươngđươngvói

Đ%nhnghĩa1.17.Cho∇ làliênthôngtuyentính,tensơxoanđưocđ%nhnghĩa là

T(X, Y) =∇XY− ∇YX−[X, Y].

Gia su rang

∇∂ i ∂j=Γij∂k.

Khi đó, ngưòi ta chúng minh đưoc liên thông∇là không xoan khi và chi khi

Γij k= Γji k

(i) ∇là liên thông tươngthích vóimetricg

(ii) ∇là liên thông khôngx o a n

Đ%nhlídưóiđâylàđ%nhlícơbancnahìnhHQcRiemann

thông Levi - Civita Hơn nua, các ký hi¾u Christoffel xác đ%nh boi

k i

j k

.Σ

Khi đó,RlàC ∞tensơ kieu(3,1), ta có đ%nh nghĩa tương tn

R: Γ(TM)×Γ(TM)×Γ(TM)×Γ(TM)→R

R(X, Y, Z, W) =g(R(X, Y)Z, W)

vóiR(∂ i , ∂ j)∂ k=R ijk l ∂ l, vàR ijk l=−Γ jk sΓis l+ Γik sΓjs l −∂ iΓjk l+∂ jΓik l

Trong trưòng hop này thìRlà tensơ kieu(4,0)

(3,1)và kieu(4,0)

Đ%nh nghĩa 1.20.Choπp là không gian vectơ con hai chieu cna Tp(M)vàXp, Yp

là cơ so cnaπp.Tađ%nhn g h ĩ a ,

p

R ( X p , Y p ,X p ,Y p )

(Xp, Xp) (Yp, Yp) − (Xp, Yp)

là đ® cong nhat cat cna(M, g)taipúng vóiπp

Trong đa tap hai chieu, đ® cong nhát cat chính là đ® cong Gauss

1−z2Y.

Σ

Boi đ%nh nghĩa cnatíchLie, tac ó

(∇XY, X)=(∇YX, X)+([X, Y], X)= 0.

Do liên thông là tương thích vói metric, lay∇tác đ®ng lên(Y, Y)= 1ta thay

∇XY= 0.

Cũng boi tính tương thích cna liên thông vói metric, lay∇tác đ®ng lên

∇YY=√

1−z2X.

Tőng hop các tính toán trên ta nh¾n đưoc đ® cong nhát cat cnaS2là

Cho tensơ đ® congRkieu(3,1) Xét ánh xaRicp xác đ%nh boi

eđây{Ei}là cơ so cna không gian tiep xúcTp(M)

Dođó,Ricp(·,·)làm®ttensơkieu(2,0)vàđưocGQIlàđ®congRiccicnaM

taip

TensơRicp(Xp)=Ric(Xp,Xp)đưocGQIlàđ®congRiccicnaM tai p theohưóng Xp vóiM

QIXp làvectơtiepxúcđơnv%.

|∇φ|dV ,

vóiMQIhàmφ∈Co ∞(M)làhàmtrơnvàcógiácompact Đ¾cbi¾t,khiρ(x)=

λ1(M)là hang so dương thìMlà đa tap vói phő dương

ChúngtanóirangđatapMcótínhchat(Pρ)neuMthoamãnbatđangthúcPoincarecóTRQNG,vóihàmTRQNGρkhôngâmvàmetricds2đưocđ%nhnghĩaboi

dsρ2=ρds M 2 ,

là metric đay

Ta có đieu phai chúng minh.

n

Σ

ΣΣ

ΣΣ

ΣΣ

Chúngminh.C HQNh¾TQAđ®trncchuanđ%aphương{e1,e2, ,en} saocho f1:=

1

Σ

ΣΣ

n

1

ΣΣ

eđây,tađãsudungđongnhatthúcRiccifijjfi−fjjifi=Rijfifj trongdau bang thúcba.

Theo gia thietRij≥ −(n−1)τ, đang thúc trên tro thành

−1)2

n n−1 |∇h| +n n−1 2 − h 1n

2.2 Tính liên thông taivôhan cuaM

(Pρ) Gia su đ® cong Ricci cnaMthoa mãn đieu ki¾n:

thìMcó huu han end nonparabolic.

Neu có thêm đieu ki¾n

%ch¾nvóitíchphânDirichlethuuhan.Theotàili¾u[8],tacóinff=0vàsupf=1.TùBőđe

2.2,vóih=|∇f|,Ric M \K (x)≥− n−1 ρ(x)+ε˜tacó

n − 2 n−1

1

|∇f| n −1 ∂ |∇ f |

∂x i n

n − 2 n−1

M M

∇(g2),∇(φ2)Σ

φ2g2≤ ∫

B ρ (R)\B(R0−1)

g2|∇φ|2, (2.15)vói∀φ∈C0∞(Bρ(R)\

B(R0−1)).SudungbatđangthúctrênvàcHQNϕ thíchhoptasechúngminhkhangđ

%nhsau

%nhnàyđechúngminhtínhhuuhanendcnaM.Trưóchet,tacóđánh giásau

Vói gia thietflà hàm khác hàm hang nên theođ%nhlí thác trien duy nhat

cna hàm đieu hòa, ta có

Phan còn lai ta se chúng minh khang đ%nh 1 Nhac lai, khang đ%nh 1 nói rang

Th¾tv¾y,đ¾tφ=ψχ,vóiψvàχlà các hàm se đưoc xác đ%nh sau Theo bat

đang thúc Bunhiacopxki, ta có đánh giás a u

Khi đó, do

Lai có, theo công thúc(2.10)trong [7],



L2(M)Σ

+1≥dimK0(M),

hay

.Σ

Neuchúngta gia su rangλ1(M)>0t h ì

1

M M

h2.

Đ¾c bi¾t, neuh∈L2(M)thìhcó tích phân Dirichlet huu han

Chúng minh.Gia su φ∈ C0∞(M)là hàm trơn, có giá compact Xét trưòng vectơ

ω=φ2h∇h, theo Đ%nh lí Stoke, tac ó

0= div

= φ2h∆h+

2

M M

M

Tachúng minh xong Bő đe2 3

φ2|∇h|2≤a(x)

M M

B ρ (R) h2=o(R2)thìh≡0 Đ¾c bi¾t, tù ket qua trên ta thu đưoc ket qua

sau cna Li và Wang trong [6] Gia suM n là đa tap Rieman đayn-chieu, không compact

n RicM≥ −

n−1 λ1(M) +δ,

vóiδ >0nào đó Khi đó,H1L2(M) = 0

Chúng minh.Theo nguyên lí bien phân cna λ1(M),

Su dung gia thiet

B (R) h2=O(R2)và choR→+∞thì (2.31) tro thành,

M M

, tù ket qua trên, ta chúng

minh đưoc ket qua cna Li

và Wang Ta có đieu phai chúng minh

.Σ

p Σ

batđangthúcPoincarevóihàmTRQNGρkhôngâm.Giasu,đ®congRiccicnaMthoamãn

n RicM(x)≥ −

vóiδ>0nàođ ó

Neuρ(x)thoa mãnρ(x) =o r 2−α (x), trong đór(x)là hàm khoang cách

tùxđen điempcođ%nhvà0<α<2, thìH1L2(M) =0

Chúng minh.Gia su ω∈H1L2(M),h=|ω| ∈L2(M) Theo bat đang thúc Poincare

B (2R)

h2−

B (R)

h2,

vóiδ>0nào đó

n RicM(x)≥ −

1 δ b+1

Do đó|∇h|= 0hayh=C∈L2(M), vói∀Clà hang so Do v¾y, neuM

nonparabolic thìMphai có the tích huu han hayh= 0

Ket lu¾n

Tronglu¾nvănnày,chúngtôinghiêncúuvecautrúchìnhHQccnacácđatapđayvóibatđangthúcPoincarecóTRQNG.N®idungchínhcnalu¾nvănlàtrìnhbàilaibàibáocnaLam[3],cácketquabaogom

1 Tìm hieuvàtrìnhbàylai các kien thúc cơ banveđa tap Riemann; Cáctensơhi¾pbien,phanbien,thayphiên,vephânthóvéctơ;Cácchisonâng

lênvàhaxuong;Liênthôngvàđ®cong;Đaohàmhi¾pbiencnacáctrưòng véctơvàLiên thôngLevi -C i v i t a

2 Trìnhbày chitiet đ%nh lívetính liên thông taivôhan cna đa tapMvàcácđ

%nhlívetínhtri¾ttiêucnakhônggiancác1-dangviphânđieuhòa bình phươngkhatích

Tài li¾u tham khao

[1] M.Cai andG.J.Galloway,B o u n d a r i e s o f zeroscalar curvaturein theAdS/ CFTcorrespondence,Adv.Theor Math Phys 3 (1999), 1769 - 1783.

Tran.Amer Math Soc.,362(2010) No 10, 5043 -5 0 6 2

[4] P.Li and L F.Tam,Theheatequationand harmonic maps ofcompletemanifolds,Invent.Math.105(1991),1-46.MR1109619(93e:58039).

[5] P.Li and L F.Tam,Harmonic functions anh thestructureofcompletemanifolds,J.Diff.Geom.35(1992),359-

[11] S T.Yau,Harmonicfunctions oncompleteRiemannian manifolds, Comm Pure

Appl Math 28 (1975), 201-228,MR0431040(55:4042)