Về dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu

Bang m®t so kí hi¾uF2 Trưòng vói 2 phan tu Sn M¾t cau n-chieu GL s Nhóm các ma tr¾n cõ s kha ngh%ch trên trưòng F2 RP∞ Không gian xa anh thnc vô han chieu RPn Không gian xa anh thnc n-ch

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

——————————————

NGÔ ANH TUAN

VE DANG ĐAI SO CUA GIA THUYET

VE CÁC LéP CAU

Chuyên ngành: Đai so và Lý thuyet so

Mã so: 9460101.04

LU¾N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:

GS TSKH Nguyen HEu Vi¾t Hưng

HÀ N®I - 2019

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là lu¾n án cna tôi Các ket qua trong lu¾n ánviet chung vói các đong nghi¾p đã nh¾n đưoc sn đong ý đe viet tronglu¾n án này

Các ket qua trong lu¾n án chưa tùng đưoc ai công bo trong bat kỳcông trình nào khác

Tác gia: Ngô Anh Tuan

Lài cam ơn

Tôi xin bày to lòng biet ơn sâu sac đen GS TSKH Nguyen Huu Vi¾tHưng, ngưòi thay hưóng dan, đã truyen đat nhieu bài HQc quí báutrong công vi¾c cũng như cu®c song, và luôn tao MQI đieu ki¾n tot nhat đetôi đưoc HQc t¾p và nghiên cúu

Tôi cam ơn chân thành tói Ban Giám đoc Đai HQc Quoc Gia Hà N®i,Ban Giám hi¾u Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Ban Chn nhi¾m Khoa Toán-Cơ-Tin HQc, Phòng Sau Đai HQc đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi trongquá trình hoàn thi¾n các thn tuc bao v¾ lu¾n án

Tôi cam ơn chân thành các thay, cô và các đong nghi¾p trong B® mônĐai so-Hình HQc-Tôpô, Khoa Toán-Cơ-Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc TnNhiên, đã nhi¾t tình giúp đõ trong HQc t¾p, nghiên cúu và tao đieu ki¾ncho tôi đưoc làm vi¾c trong m®t môi trưòng chuyên nghi¾p

Cuoi cùng, tôi xin cam ơn gia đình tôi đã luôn yêu thương tôi đe tôiyên tâm hoàn thành công vi¾c cna mình

Mnc lnc

Lài cam đoani Lài

cam ơn i Bang kí

hi¾u 3 Ma đau 4

I Kien thÉc chuan b% 12

I.1 Đai so Steenrod 12

I.2 Lý thuyet bat bien và đai so lambda 14

II Đong cau Lannes-Zarati thÉ không, thÉ nhat và thÉ hai 20 II.1 Nhìn lai đong cau Lannes-Zarati 20

II.2 Đong cau Lannes-Zarati o thú b¾c nho hơn ho¾c bang 224 III Đong cau Lannes-Zarati: nhEng ket qua chung 30 III.1 Bieu dien dây chuyen cna đong cau Lannes-Zarati 30

III.2 Thương hóa đong cau Lannes-Zarati qua -h¾ sinh toi tieu A cna các chu trình trong phúc Singer 40

III.3 Đong cau Lannes-Zarati và toán tu squaring 46

III.4 Đao hàm riêng hình thúc và úng dung 50

III.5 Tính hàm tu cna đong cau Lannes-Zarati 59

III.6 Đong cau Lannes-Zarati trên các phan tu phân tích đưoc .60

IV Ve sE tri¾t tiêu cua đong cau Lannes-Zarati đoi vái m¾t cau S 0 và không gian xa anh 67 IV.1 Đong cau Lannes-Zarati đoi vói m¾t cau 0 chieu: trưòng hop cő đien 68

IV.2 Sn tri¾t tiêu cna đong cau Lannes-Zarati thú 3 cho RP∞ .72IV.3 Sn tri¾t tiêu cna đong cau Lannes-Zarati thú 4 cho RP∞ .75IV.4 liênMoi h¾ giua đong cau Lannes-Zarati cho RP ∞ và cho S 0 .80IV.5 Đong cau Lannes-Zarati đoi vói không gian xa anh huu han chieu 82

Ket lu¾n 83

Phn lnc 84

Tài li¾u tham khao 93

Bang m®t so kí hi¾u

F2 Trưòng vói 2 phan tu

Sn M¾t cau n-chieu

GL s Nhóm các ma tr¾n cõ s kha ngh%ch trên

trưòng F2 RP∞ Không gian xa anh thnc vô han chieu

RPn Không gian xa anh thnc n-chieu

H ∗ (X) Đong đieu cna không gian tôpô X vói h¾ so F2

H ∗ (X) Đong đieu rút GQN cna không gian tôpô X vói h¾ so F2

H ∗ (X) Đoi đong đieu cna không gian tôpô X vói h¾ so F2

H ∗ (X) Đoi đong đieu rút GQN cna không gian tôpô X vói h¾ so F2

A Đai so Steenrod (modulo 2)

Ext∗ (F2, F2) Đoi đong đieu cna đai so Steenrod (modulo 2)

TorA(F2, F2) Đong đieu cna đai so Steenrod (modulo 2)

π S (X) Nhóm đong luân őn đ%nh cna không gian

tôpô X TorA(F2, F2) Đong đieu cna đai so Steenrod

(modulo 2)

ΣX cái treo cna không gian tôpô X

ΩX không gian các đưòng khép kín cna không gian tôpô X

Ma đau

Cho X là m®t CW-phúc có điem goc GQI Q0X = Ω ∞

0 Σ∞ X là thànhphan chúa điem goc cna QX = Ω ∞Σ∞ X Có m®t bài toán cő đien chưa cólòi giai đó là xác đ%nh anh cna đong cau Hurewicz

H : π S (X) = π ∗ (Q0X) → H ∗ (Q0X).

e đây và trong toàn b® lu¾n án, đong đieu và đoi đong đieu đưoc lay vóih¾ so trong F2, trưòng vói hai phan tu Gia thuyet cő đien ve các lóp caucho X = S0 khang đ%nh rang chi có các lóp bat bien Hopf bang m®tho¾c bat bien Kervaire bang m®t là nhung phan tu trong πS(S0) ∼= π∗(Q0S0) đưoc phát hi¾n boi đong cau Hurewicz Nguyen H V Hưngphát bieu gia thuyet

tőng quát trên các lóp cau như sau (xem [21]):

Gia thuyet 1 (Gia thuyet tőng quát ve các lóp cau) Cho X là m®t CW- phúc có điem goc Khi đó đong cau Hurewicz H : π ∗ (Q0X) →

H ∗ (Q0X) tri¾t tiêu trên các láp cua π ∗ (Q0X) có LQ c Adams lán hơn 2.

(Xem Curtis [8], Snaith và Tornehave [34] và Wellington [38] đe thay cácthao lu¾n cho X = S0.)

M®t phiên ban đai so cna bài toán này đưoc trình bày như sau

GQI P s = F2[x1, , x s] là đai so đa thúc trên s bien x1, , x s,moi bien có b¾c 1 Cho nhóm tuyen tính tőng quát GL s = GL(s, F2) vàđai so Steenrod modulo 2, A, cùng tác đ®ng trên P s theo cách thôngthưòng Đai so Dickson cna s bien, D s, là đai so cna các bat bien

D s := F2[x1, , x s]GL s

Vì tác đ®ng cna A và cna GL s trên P s giao hoán vói nhau nên D s là m®tđai so trên A

Cho M là m®t A-môđun không őn đ%nh Xây dnng Singer R s M cna M

là D s-môđun con cna P s ⊗ M sinh boi St s M , trong đó St s ký hi¾u cho đong

∗

∗

cau Steenrod đưoc đ%nh nghĩa như sau Cho trưóc m®t phan tu thuannhat z ∈ M có b¾c |z|, theo quy ưóc ta đ¾t St0(z) = z, và đ%nh nghĩabang quy nap

|z|

St1(x; z) = x |z|−i ⊗ Sq i (z),

i=0

St s (x1, , x s ; z) = St1(x1; St s−1 (x2, , x s ; z)).

Chú ý rang R s M là m®t A-môđun con cna D s ⊗ M và R s M là m®t A

-môđun không őn đ%nh (Xem [42, Đ%nh nghĩa-M¾nh đe 2.4.1].)

Ta dùng

ϕ M : Exts,s+i (M, F2) → (F2 ⊗ A R s M ) i ∗

đe kí hi¾u đong cau Lannes-Zarati thú s cho m®t A-môđun không őn đ

%nh M , đưoc đ%nh nghĩa trong [42] Khi M = H ∗ (X), đong cau này tươngúng vói m®t phân b¾c liên ket cna ánh xa Hurewicz Chúng minh cnakhang đ%nh này không đưoc công bo, nhưng nó đưoc phác HQA boi Lannes[41, Tiet 2] và boi Goerss [10]

tôpô X, đong cau Lannes-Zarati ϕ H˜

∗(X) se đưoc ký hi¾u boi ϕ X cho GQN.Các lóp bat bien Hopf bang m®t và bat bien Kervaire bang m®t đưoc đaidi¾n tương úng boi các chu trình vĩnh cuu trong Ext1,∗(F2, F2) và Ext2,∗(F2, F2),

mà o đó đong cau Lannes-Zarati khác không (xem Adams [1], Browder [5],Lannes-Zarati [42]) Nguyen H V Hưng đã phát bieu dang đai so cna giathuyet tőng quát ve các lóp cau cho M = H ∗ (S0) = F2 trong [13] và cho

Gia thuyet này đã đưoc chúng minh cho trưòng hop M = H˜∗ (S0) vói

s = 3, 4 boi Nguyen H V Hưng (xem [14], [16]), và vói s = 5 boi ông vàcác đong nghi¾p (xem [22]) Sn ki¾n đong cau Lannes-Zarati cho M =

H ∗ (S0) tri¾t tiêu vói s > 2 trên các phan tu phân tích đưoc trong Exts

trên anh cna đong cau chuyen Singer đã đưoc chúng minh tương úngboi Nguyen H V Hưng-F P Peterson (xem [19]), và Nguyen H V Hưng-Tran

N Nam (xem [17])

Trong lu¾n án này, chúng tôi nghiên cúu Gia thuyet 2 Cu the, chúngtôi nghiên cúu m®t so van đe xung quanh đong cau Lannes-Zarati, tù đóđưa ra chúng minh cho Gia thuyet 2 o m®t so trưòng hop riêng

Lu¾n án bao gom 4 chương và phan Phu luc vói n®i dung như sau

Trong Chương I, chúng tôi trình bày m®t so kien thúc cơ ban đưocdùng trong phan chính cna lu¾n án, bao gom đai so Steenrod, lý thuyetbat bien, đai so lambda và công trình cna Singer ve dien đat đai solambda qua lý thuyet bat bien

Các ket qua mói cna lu¾n án đưoc trình bày tù Chương II đenChương IV

Trong Chương II, Tiet II.1 trình bày lai xây dnng tưòng minh cna đongcau Lannes-Zarati cho m®t A-môđun không őn đ%nh M bat kỳ Xây dnngtưòng minh này đã đưoc trình bày trong [13] cho M = F2 Tiet cuoi chương

II dành cho vi¾c nghiên cúu đong cau Lannes-Zarati o thú b¾c nho hơn ho¾cbang 2 Nghiên cúu này nham giai thích lý do vì sao gia thuyet tőng quát vecác lóp cau can tói gia thiet các lóp đong luân có LQc Adams lón hơn 2

M¾nh đe sau đây cũng se đưoc đánh so như M¾nh đe II.2.4 o Chương II

M¾nh đe 3 (i) Đong cau Lannes-Zarati thú không cho không gian xa anh,

(ii) Đong cau Lannes-Zarati thú nhat cho không gian xa anh, ϕ1 , là

m®t đơn cau trên Span {h i h j | i ≥ j} và tri¾t tiêu trên Span {h i h j | i <

j}

(iii) Đong cau Lannes-Zarati thú hai cho không gian xa anh, ϕRP ∞, tri¾t tiêu

2

A

Đieu đáng chú ý là trong khi đong cau Lannes-Zarati thú hai cho RP∞

tri¾t tiêu tai MQI goc dương, thì đong cau Lannes-Zarati thú nhat cho MQI

không gian ve cơ ban là khác không như đưoc chi ra trong m¾nh đe sau đây

M¾nh đe này cũng se đưoc đánh so như M¾nh đe II.2.6 o Chương II M¾nh

đe 4 Cho X là m®t CW-phúc có điem goc mà đong đieu rút GQN

H ∗ (X) không tam thưàng và huu han sinh á mői b¾c Khi đó đong cau Zarati thú nhat cua X khác không á MQI goc dương.

Lannes-Chương III trình bày nhung ket qua chung cna chúng tôi ve đong cau Lannes-Zarati.

Đ%nh lý 5 Cho M là m®t A -môđun không őn đ%nh G QI Q s,0 là bat bien Dickson b¾c cao nhat 2s − 1 Khi đó, vái MQI s ≥ 0 , ánh xa

Vì R s M là m®t D s-môđun tn do sinh boi St s (M ) (xem Lannes-Zarati [42, Đ

%nh nghĩa-M¾nh đe 2.4.1]) nên ánh xa này đưoc đ%nh nghĩa tot

Theo đ%nh lý 5 thì Gia thuyet 2 tương đương vói gia thuyet sau

Gia thuyet 6 Gia su M là m®t A -môđun không őn đ%nh Khi đó, vái

MQI q ∈ D s và phan tu thuan nhat z ∈ M sao cho ít nhat m®t trong chúng

có b¾c dương, thì qQ |z| ⊗ z là m®t biên trong phúc Γ+M vái s > 2

GQI (T r M ) ∗ : TorA(F2, M ) → F2 ⊗ A (P s ⊗ M ) là đoi ngau cna đong cauchuyen đai so đưoc đ%nh nghĩa boi Singer [33] Phép nhúng chính tac

R s M ⊂ P s ⊗M cam sinh đong cau F2 ⊗ A R s M → F2 ⊗ A (P s ⊗M ) là hopthành cna đoi ngau cna đong cau Lannes-Zarati và đoi ngau cna đongcau chuyen Singer Sn ki¾n này đưoc chi ra trong Hưng [13] cho M = F2

và đưoc lý giai cho A-môđun không őn đ%nh bat kỳ M trong Powell [20]

Hưng-M®t dang yeu cna Gia thuyet 2, cũng do Nguyen H V Hưng phát bieu,khang đ%nh rang đong cau Lannes-Zarati thú s tri¾t tiêu vói s > 2

o MQI goc dương trên anh cna đong cau chuyen Singer Theo bieu dien dâychuyen

cna hop thành (T r M ) ∗ (ϕ M ) ∗ nói o trên, gia thuyet yeu đưoc dien đat tương

Gia thuyet 7 (Dang yeu cna gia thuyet đai so tőng quát ve các lóp cau)

Cho M là m®t A -môđun không őn đ%nh Khi đó MQI phan tu b¾c dương trong xây dnng R s M cua Singer b% hit bái các toán tu Steenrod b¾c dương trong P s ⊗ M vái s > 2

Gia thuyet này đã đưoc chúng minh cho M = H ∗ (S0) và M = H ∗(RP∞ ×

· · · × RP∞) boi Tran N Nam và Nguyen H V Hưng tương úng trong [17]

và [18] Trong trưòng hop M = H ∗ (S0), ket qua cna đ%nh lý chi ra rang

MQI phan tu b¾c dương cna đai so Dickson D s b% hit boi các toán tuSteenrod

b¾c dương trong đai so đa thúc P s vói s > 2 Gan đây, Nguyen H V.Hưng và G Powell đã chúng minh dang yeu cna gia thuyet đai so tőngquát ve các lóp cau (xem [20])

Ket qua chính thú hai trong Chương III là ve thương hoá đong cauLannes-Zarati qua A-h¾ sinh toi tieu cna các chu trình trong phúcSinger Đ%nh lý sau đây cũng se đưoc đánh so như Đ%nh lý III.2.1

Đ%nh lý 8 Gia su M là m®t A -môđun không őn đ%nh Khi đó đoi ngau cua đong cau Lannes-Zarati (ϕ M ) ∗ phân tích qua F2 ⊗ A Ker∂ s :

s (F2, M ) :=

Ker∂ s /Im∂ s+1

Tiet III.3 nghiên cúu sn giao hoán cna toán tu squaring và đong cau

Lannes-Zarati Đ%nh lý sau đây cũng se đưoc đánh so như Đ%nh lý

giao hoán á đây, mũi tên thang đúng đau tiên là toán tu squaring cő đien,

trong khi các mũi tên nam ngang ký hi¾u cho đong cau Lannes-Zarati.

Đ%nh lý 9 đưoc chúng minh bang cách su dung Đ%nh lý 5 và Bő

đeIII.3.5 Nhac lai rang Bő đeIII.3.5lan đau đưoc chúng minh boi

Nguyen H V Hưng (xem [16]) Đe ti¾n theo dõi lu¾n án, o

TietIII.4trong chương III này, chúng tôi đưa ra chúng minh khác cna Bő

đeIII.3.5bang cách su dung đao hàm riêng hình thúc

Trong tiet III.4, tù tính hàm tu cna đong cau Lannes-Zarati, chúng tôi

thu đưoc m¾nh đe sau M¾nh đe này cũng se đưoc đánh so như M¾nh

đe III.5.2

M¾nh đe 10 Cho π : M → M J là m®t toàn cau cua các A -môđun không őn

đ%nh Neu ϕ M tri¾t tiêu tai MQI goc dương, thì ϕ Mj cũng tri¾t tiêu tai MQI

goc dương.

e tiet cuoi cna Chương III, chúng tôi chúng minh đ%nh lý sau nói ve

sn tri¾t tiêu cna đong cau Lannes-Zarati trên các phan tu phân tích

đưoc Đ%nh lý sau đây se đưoc đánh so như Đ%nh lý III.6.5

Đ%nh lý 11 Cho M là m®t A -môđun không őn đ%nh có kieu huu han Khi

đó đong cau Lannes-Zarati thú s cho M

ϕ M : Exts,s+i (M, F2) → (F2 ⊗ A R s M ) ∗

tri¾t tiêu trên các phan tu có dang αβ tai MQI goc dương i , trong đó α ∈

Extm(F2, F2) và β ∈ Exts−m (M, F2) vái ho¾c m ≥ 2, s − m > 0 ho¾c m = s ≥ 2

và stem(β) > s − 2

Đ%nh lý 11 đưa ra m®t bang chúng nng h® Gia thuyet 2 M®t h¾

qua cna Đ%nh lý 11 là đ%nh lý sau cna Hưng và Peterson

Đ%nh lý 12 (Hưng-Peterson [19]) Đong cau Lannes-Zarati thú s

ϕF2 : Exts,s+i(F2, F2) → (F2 ⊗ A D s)∗

tri¾t tiêu trên các phan tu phân tích đưac tai MQI goc dương i vái s > 2

Hưng và Peterson đã chúng minh đ%nh lý 12 bang cách chi ra rang ϕ ∗ =

⊕ s ϕF 2 là m®t đong cau cna các đai so và, hơn nua, tích cna đai so ⊕ s(F2 ⊗ A

D s)∗ là tam thưòng, ngoai trù trưòng hop (F2 ⊗ A D1)∗ ⊗ (F2 ⊗ A D1)∗ →

(F2 ⊗ A D2)∗ Phương pháp đưoc dùng đe chúng minh Đ%nh lý 11 khác vói

phương pháp cna Hưng và Peterson Các yeu to chính cau thành đe

chúng minh Đ%nh lý 11 là vi¾c su dung bieu dien dây chuyen cna đoi

ngau cna đong cau Lannes-Zarati (xem Đ%nh lý 5) và Bő đeIII.6.4

Su dung Đ%nh lý 5, Đ%nh lý 14 và Đ%nh lý 15, ta thu đưoc m¾nh đe sau.M¾nh đe này cũng se đưoc đánh so như M¾nh đe III.6.7 o Chương III

M¾nh đe 13 Đong cau Lannes-Zarati thú 5 cho H˜∗(RP∞)

ϕRP∞ : Ext5,5+i (H˜∗(RP∞ ), F2) → (F2 ⊗ A R5H˜∗(RP∞))∗

tri¾t tiêu trên các phan tu phân tích đưac tai MQI goc dương i

Chương IV chia làm hai phan nghiên cúu sn tri¾t tiêu cna đong cau

Lannes-Zarati cho m¾t cau S0 và không gian xa anh

s

Đ%nh lý sau là m®t trong nhung ket qua chính trong Chương IV Đ

%nh lý này cũng se đưoc đánh so như Đ%nh lý IV.1.1 Đây là ket quanghiên cúu chung cna Nguyen H V Hưng, Võ T N Quỳnh, và Ngô A.Tuan (xem [22]) Đ%nh lý 14 Đong cau Lannes-Zarati thú năm cho

tri¾t tiêu tai MQI goc dương i

Theo Đ%nh lý 12 cna Hưng và Peterson, đe chúng minh Đ%nh lý 14 tachi can chúng to

ϕ S0 tri¾t tiêu trên các phan tu không phân tích đưoc Đelàm đieu đó, chúng tôi dùng đen nhung tính toán tương úng boiGiambalvo- Peterson (xem [11]) và T W Chen (xem [6]) ve các nhóm F2

tri¾t tiêu tai MQI goc dương i vái s = 3, 4

Trong chúng minh Đ%nh lý 15, chúng tôi su dung tính toán cna các nhóm Ext3 (H˜∗(RP∞ ), F2) và Ext4 (H˜∗(RP∞ ), F2) tương úng boi Lin

[25] và

Moi liên h¾ giua đong cau Lannes-Zarati cna các không gian khác nhaucũng đưoc đe c¾p đen trong chương này GQi g : RP∞ → S0 là ánh xabat kỳ cna các phő, sao cho đong cau cam sinh trong nhóm cơ ban π1 làm®t

đang cau Khi đó đ%nh lý Kahn-Priddy đai so, đưoc chúng minh boi Lin [24], khang đ%nh rang đong cau cam sinh

g ∗ : Exts−1 (H˜∗(RP∞ ), F2) → Exts (H˜∗ (S0), F2)

là m®t toàn cau tai MQI goc dương vói s ≥ 1 Đieu này dan chúng tôi tóimoi liên h¾ sau giua các đong cau Lannes-Zarati cho RP∞ và cho S0.M¾nh đe sau đây cũng se đưoc đánh so như M¾nh đe IV.4.2

tai MQI goc dương, vái s ≥ 1

Ket hop M¾nh đe 16 vói Đ%nh lý 15 và M¾nh đe 3, ta thu đưoc h¾ qua sau Trong đó các ket qua lan đau đưoc chúng minh trong [13], [16]

H¾ qua 17 (Hưng [13,16], Hưng-Quỳnh-Tuan [22]) Đong cau

tri¾t tiêu tai MQI goc dương i vái s = 3, 4, 5

Tiet cuoi trong chương này, chúng tôi nghiên cúu sn tri¾t tiêu cnađong cau Lannes-Zarati cho không gian xa anh huu han chieu Ket hopM¾nh đe 3, M¾nh đe 10 và Đ%nh lý 15, ta thu đưoc m¾nh đe sau.M¾nh đe này cũng se đưoc đánh so như M¾nh đe IV.5.1

M¾nh đe 18 Đong cau Lannes-Zarati thú s cho H˜∗(RPn)

∗

ϕ RP n : Exts (H˜∗(RPn ), F ) → (F ⊗ R H˜∗(RPn))

tri¾t tiêu á MQI goc dương vái s = 2, 3, 4 và vái MQI so nguyên dương n

Trong phan Phu luc cna lu¾n án, chúng tôi trình bày chi tiet m®t so tính toán trong chúng minh cna Đ%nh lý 14 và Đ%nh lý 15 vói s = 4

Chương I

Kien thÉc chuan b%

Trong lu¾n án này, chúng tôi làm vi¾c vói vành h¾ so là trưòng F2

gom hai phan tu là 0 và 1

Trong chương này, chúng tôi trình bày m®t so kien thúc chuan b% đe

ti¾n theo dõi các n®i dung chính o các chương tiep theo cna lu¾n án

Trong Tiet I.1, chúng tôi trình bày sơ lưoc ve đai so Steenrod TietI.2se giói thi¾u ve lý thuyet bat bien, đai so lambda và công trình cna Singer

ve dien đat đai so lambda qua lý thuyet bat bien

F2

Trong muc này, chúng tôi trình bày sơ lưoc ve đai so Steenrod trên trưòng

Năm 1942, Steenrod [35] đưa ra m®t lóp toán tu đoi đong đieu, ngày nàymang tên ông, và đưoc ký hi¾u

Sq i : H ∗ (X) → H ∗+i (X),

vói i nguyên không âm

Năm 1950, Cartan [40] đã chúng minh

Năm 1952, Adem [3] đã chúng minh rang tat ca các quan h¾ trong đai

so Steenrod đeu đưoc sinh ra tù t¾p các quan h¾ sau, GQI là các quan h¾

Adem,

[Σa/2]

b − i − 1Σ

Trong đó, h¾ so nh% thúc đưoc lay theo modulo 2

Như v¾y, đai so Steenrod, A, có the đ%nh nghĩa m®t cách hoàn toànđai so như là m®t đai so phân b¾c, ket hop, có đơn v% trên trưòng F2,sinh boi các toán tu Sq i, có b¾c i, vói i ≥ 0, các toán tu này thoa mãncác quan h¾ Adem và Sq0 = 1

Cho I = (i1, , i k) là m®t b® gom k so nguyên dương Ta nói I là

dãy chap nh¾n đưac neu i j ≥ 2i j+1 vói 1 ≤ j ≤ k − 1 M®t tích các toán tu

Sq i1 · · · Sq i k đưoc GQI là m®t đơn thúc có đ® dài k và có b¾c là i1 + · · · +

i k Đơn thúc Sq I đưoc gQI là đơn thúc chap nh¾n đưac neu I là m®t dãychap nh¾n đưoc

M¾nh đe I.1.1 (Serre [43]) T¾p hap tat ca các đơn thúc chap nh¾n đưac

là m®t cơ sá c®ng tính cua đai so Steenrod A , xem như không gian véctơ trên F2.

Ta biet rang đoi đong đieu h¾ so F2 cna không gian (RP∞)×s là vành

đa thúc s bien P s := F2[x1, , x s] vói deg x i = 1 Tác đ®ng cna cáctoán tu Steenrod trên vành đoi đong đieu này (xem [36]) đưoc mô ta nhưsau

(i) Ta có công thúc Cartan:

Cho A là m®t đai so phân b¾c có đơn v% Khi đó, A đưoc GQI là m®t đai

so Hopf neu A đưoc trang b%:

(i)m®t toàn cau đai so phân b¾c (đưoc GQI là phép bő sung) s : A → F2; (ii)m®t đong cau đai so phân b¾c (đưoc GQI là phép đoi nhân) ψ : A → A⊗A;

(iv) và ψ có tính chat ket hop: (1 ⊗ ψ) ◦ ψ = (ψ ⊗ 1) ◦ ψ

Ta nói ψ có tính chat giao hoán neu

T ◦ ψ = ψ,

trong đó T : A ⊗ A → A ⊗ A là đong cau hoán v% T (a ⊗ b) = b ⊗ a

Đ%nh lý I.1.2 (Milnor [28, Đ%nh lý 1]) Đai so Steenrod A là m®t đai so Hopf, vái phép bő sung s : A → F2 đưac xác đ%nh bái

Hơn nua, ψ giao hoán.

Trong tiet này, chúng tôi trình bày tóm tat mô ta theo lý thuyet bat biencna đai so lambda Chúng tôi trình bày tiet này dna theo bài báo cna W

M Singer [32]

Ta GQI P s = F2[x1, , x s] là đai so đa thúc trên trưòng F2 vói s

phan tu sinh, moi phan tu sinh có b¾c 1 Nhóm tuyen tính tőng quát GL s

≡ GL s(F2) tác đ®ng tn nhiên trên không gian véctơ gom các phan tu b¾c 1

cna P s Ta

Σ

mo r®ng tác đ®ng này cho toàn vành đa thúc bang cách xem GL s tác

đ®ng như m®t nhóm cna các tn đang cau đai so

GQI T s là nhóm con cna GL s gom tat ca các ma tr¾n tam giác trên vóicác phan tu bang 1 trên đưòng chéo chính Vành bat bien

s

Y

s

s−1 ,i

s,

0

ta thu đưoc

V = v2 k−2 v2 k−3 · · · v

vói b¾c cna v i bang 1 vói MQI i

Vói moi c¾p so nguyên không âm m, n mà m + n = s ta đ%nh nghĩa m®t đang cau đai so ψ m,n : ∆ s → ∆ m ⊗ ∆ nnhư sau:

ψ m,n (v ) =

v i ⊗ 1, 1 ≤ i ≤ m,



1 ⊗ v i−m , m + 1 ≤ i ≤ s.

Ta quy ưóc rang ∆0 = F2; ψ s,0 (x) = x⊗1; ψ 0,s (x) = 1⊗x Ta đ¾t ∆ =

⊕ s≥0(∆s); lúc này, ket hop các ánh xa ψ m,n ta thu đưoc đoi tích ψ : ∆ →

∆ ⊗ ∆ mà vói đoi tích này ∆ tro thành m®t đoi đai so

Tương tn, ta đ¾t Γ = ⊕ s≥0(Γs) Ta se thay rang Γ là m®t đoi đai so concna ∆ qua m¾nh đe sau

M¾nh đe I.2.1 (Singer [32, M¾nh đe 2.1]) ψ m,n(Γs ) ⊆ Γ m ⊗ Γ n ; do đó, Γ là m®t đoi đai so con cua ∆.

e đây ta hieu rang Sq k = 0 neu k < 0 Khi đó Singer thu đưoc ket qua sau

M¾nh đe I.2.2 (Singer [32, M¾nh đe 3.1]) Γ2 ⊂ kerπ

Sau đó, Singer đ%nh nghĩa ánh xa tuyen tính ∂ s : ∆ s ⊗ M → ∆ s−1 ⊗ M boi

∂ s (v j1 · · · v j s ⊗ z) = v j1 · · · v j s−1 ⊗ Sq j s+1z.

1 s 1 s−1

Khi đó, ∂ s(Γ+ ⊗M ) ⊆ Γ+ ⊗M Do đó, ông đ%nh nghĩa phúc dây chuyen Γ+M

bang cách đ¾t (Γ+M ) s = Γ+ ⊗ M và vi phân là han che cna ∂ s tói Γ+ ⊗ M

Ta chú ý là hop thành ∂ s−1 ∂ s = 0 suy ra tù M¾nh đeI.2.1và M¾nh đeI.2.2

Hơn nua, ông chi ra rang

Hs(Γ+M ) ∼= TorAs (F2, M ).

Cho L là m®t không gian véctơ phân b¾c trên trưòng F2 vói cơ so bao

gom tat ca phan tu có dang {λ k | k ∈ Z, k ≥ −1}, vói deg λ k = k GQI

TensL là đai so ket hop tn do sinh boi L Lúc đó, TensL là m®t đai so song

b¾c neu ta viet bidegλ k = (1, k) Trong (TensL)2 = L ⊗ L, ta đ%nh nghĩa

m®t HQ các phan tu thuan nhat

và đ%nh nghĩa Θ là đai so song b¾c thu đưoc bang cách lay TensL chia

thương cho quan h¾ λ(m, n) = 0 (m, n ≥ 0) Các quan h¾ kieu này có

hai loai Nhung quan h¾ chúa λ −1 xuat hi¾n trong các quan h¾ λ(m, 0)

j=−1

λ j−1 λ m−j−1 + λ m−1 λ −1 = 0(m > 0),

còn các phan tu sinh {λ k | k ≥ 0} xuat hi¾n trong λ(m, n), vói n > 0

Ta GQI Λ là đai so con cna Θ đưoc sinh boi các phan tu {λ k | k ≥

0} Như v¾y Λ đưoc xác đ%nh boi quan h¾ λ(m, n) = 0 vói m ≥ 0 và n

> 0 Đ%nh nghĩa này giong vói đ%nh nghĩa goc trong [4] nhưng tích đưoc

viet theo thú tn ngưoc vói tích viet trong [4]

Trong [4], vói moi s ≥ 1, m®t cơ so cna Λs là {λ j · · · λ j | 0 ≤ j1, j1 ≤

s

2j2, , j s−1 ≤ 2j s }, cơ so này đưoc GQi là cơ so chap nh¾n đưoc

Ta đ%nh nghĩa m®t đong cau d : Θ → Θ boi

dx = λ −1 x + xλ −1

Ánh xa d là m®t đao hàm và vì λ −1 λ −1 = 0 nên ta có dd = 0

j

Σ Σ

1

Gia su N là m®t A-môđun trái, huu han sinh o moi b¾c GQI N ∗ là F2-đoingau cna N , đây là m®t A-môđun phai bang cách chuyen v% A-môđuntrái trên N Tích tenxơ Λ ⊗ N ∗ đưoc song b¾c boi

(Λ ⊗ N ∗)s,t = Λs,t−k ⊗ N k

k

Σ

Vói mQI dãy I = (i1, , i s) các so nguyên không âm, ta viet λ I đe kýhi¾u λ i1 · · · λ i s ∈ Λ Vói m ∗ ∈ N ∗, ta viet λ I m ∗ đe ký hi¾u λ I ⊗ m ∗ ∈ Λ ⊗

N ∗ và đ¾t m ∗ = 1m ∗ Vì v¾y Λ ⊗ N ∗ là m®t Λ-môđun trái vi phân song b¾cvói tác đ®ng cna Λ trên nó đưoc cho boi

λ J (λ I m ∗ ) = λ J λ I m ∗ ,

trong đó J là m®t dãy các so nguyên không âm Hơn nua, vi phân cna Λ ⊗N ∗

đưoc cho boi

Tiep theo chúng tôi se trình bày moi liên h¾ giua các bat bien cna GL s

và đoi ngau cna Λ

Singer đ%nh nghĩa ánh xa tuyen tính trên F2, k s : ∆ s → (L ⊗s)∗ boi

Tù Bő đeI.2.3, ta thu đưoc m¾nh đe sau

M¾nh đe I.2.4 (Singer [32, M¾nh đe 7.3]) Cho β ∈ L ⊗s nam trong iđêan hai phía cua Tens L sinh bái các phan tu λ(m, n) , khi đó (k s (γ), β)

= 0 vái MQI γ ∈ Γ s

Tù M¾nh đeI.2.4 , ta han che k s : ∆ s → (L ⊗s)∗ tói Γs thì thu đưocánh xa k s : Γ s → (Θ s)∗ Ta cho ánh xa thu đưoc này hop thành vói phépchieu tn nhiên (Θs)∗ → (Λ s)∗ thì thu đưoc ánh xa tuyen tính A s : Γ+ → (Λ s)∗

M¾nh đe I.2.5 (Singer [32, M¾nh đe 8.1]) A s là m®t đang cau vái mői s ≥ 0

Σ

s

Bang cách đong nhat Γ+ vói (Γ+F2)s ta thu đưoc vi phân ∂ s : Γ+ → Γ+

Chương II

Đong cau Lannes-Zarati

thÉ không, thÉ nhat và

thÉ hai

ChươngIIđưoc chia làm 2 tiet TietII.1dàn h đe trình bày xây dnng

đong cau Lannes-Zarati Trong TietII 2cna chương này, chúng tôi se trình bày m®t so quan sát giai thích lý do trong gia thuyet tőng quát ve các lópcau có gia thiet các phan tu vói LQc Adams lón hơn 2 ChươngIIđưoc viet dna trên bài báo [21]

Trong tiet này chúng tôi se trình bày lai cách xây dnng cna đong cauLannes-Zarati

Trưóc tiên, ta đ%nh nghĩa khái ni¾m hàm tu treo Khái ni¾m này cónguon goc tôpô như sau Gia su X là m®t không gian tôpô có điem goc

x0 Cái treo ΣX cna không gian X là không gian thương

ΣX = (X × [0, 1])/(X × {0} ∪ X × {1} ∪ {x0} × [0, 1]).

Khi đó, H∗(ΣX) ∼= ΣH∗(X), o đó ΣH∗(X) đưoc đ%nh nghĩa boi ΣH∗(X) =

H ∗−1 (X)

Tiep theo, hàm tu treo đưoc đ%nh nghĩa m®t cách đai so như sau.

Ta dùng M đe kí hi¾u pham trù các A-môđun phân b¾c, các cau xa làcác ánh xa A-tuyen tính b¾c 0 Ta đ%nh nghĩa hàm tu Σt : M → M, vói

t ∈ Z như sau Cho M là m®t A-môđun, (Σt M ) n = M n−t Tác đ®ng cnađai so Steenrod lên Σt M đưoc cho boi θΣ t m = Σ t θm, vói m ∈ M và θ

0 −→ P1 −→ ι Pˆ − π → Σ −1F2 −→ 0,

trong đó ι là phép nhúng và π đưoc cho boi π(x p) = 0 neu p ƒ= −1 và

π(x −1) = 1 GQI e1 là phan tu tương úng trong Ext1 (Σ−1F2, P1)

Đ%nh nghĩa II.1.1 (Singer [33])

(i) e0 = id ∈ Ext0 (F2, F2);

(ii) e s = e1 ⊗ · · · ⊗ e1 ∈ Exts (Σ−sF2, P s);

s s˛la¸n x

(iii) e s (M ) = e s ⊗ M ∈ Exts (Σ−s M, P s ⊗ M ), vói M là m®t A-môđun trái và

s ≥ 0 e đây M cũng có nghĩa là ánh xa đong nhat cna M

Theo Lannes-Zarati [42], tái bat őn đ%nh hóa cna M đưoc đ%nh nghĩa boi

DM = M/EM,

trong đó EM = Span{Sq i z | i > deg z, z ∈ M} HQ chi ra rang hàm tu liên ket

M vói DM là m®t hàm tu khóp phai GQI D s là hàm tu dan xuat thú s cna

D Khi đó,

D s (M ) = H s (DF ∗ (M )),

trong đó F ∗ (M ) là m®t giai thúc A-tn do (ho¾c A-xa anh) cna M

Tích cap vói e s (M ) cho ta đong cau:

Theo đ%nh nghĩa cna hàm tu D, ta có m®t đong cau tn nhiên DM →

F2 ⊗ A M , vói M là m®t A-môđun bat kỳ Đong cau tn nhiên này thu đưocbang cách áp dung hàm tu D lên phép chieu M → F2 ⊗ A M , sau đó kethop vói phép nhúng chính tac

là các đang cau vói b¾c trong bang 1 và −1, tương úng Đieu này dan ta tói

Đ%nh nghĩa II.1.3 (Lannes-Zarati [42, trang 46]) Cho M là m®t A-môđunkhông őn đ%nh và s ≥ 0 Đong cau ϕ M vói b¾c trong bang 0 là đoi ngau cna

(ϕ M ) ∗ = Σ −1 i s (1 ⊗ A (α ΣM ) −1)Σ : F2 ⊗ A R s M → TorA(F2, Σ −s M ).

Nh¾n xét II.1.4 Trong Đ%nh lýII I.1.1 , ta cũng ký hi¾u boi(ϕ M ) ∗

hop thành cna (ϕ M ) ∗ đưoc đ%nh nghĩa o trên vói phép treo Σs : TorA (F2,

∆(f )(z) = f ∩ z,

Do v¾y, ta thu đưoc

α ΣM = ∆(e1(ΣM ) ⊗ P s−1 ) ◦ · · · ◦ ∆(e1(Σ3−s M ) ⊗ P1) ◦ ∆e1(Σ2−s M ).

(Xem Singer [33, trang 498].)

Nh¾n xét II.1.5 Cho M là m®t A-môđun không őn đ%nh Trong trưòng hop đ¾c bi¾t s = 0, theo các Đ%nh nghĩaII.1.1vàII.1.3, ta đ%nh nghĩa m®t cách tn nhiên P0 = F2, R0M = M , và

ϕ0 : HomA (M, F2)

→ ∼= HomF2 (M/AM, F2)

gui m®t A-đong cau h : M → F2 tói F2-đong cau h : M/AM → F2, đong cau

h là sn phân tích cna h qua thương M/AM như trong bieu đo

II.2 Đong cau Lannes-Zarati a thÉ b¾c nho

hơn ho¾c bang 2

Trong tiet này, chúng tôi se nghiên cúu đong cau Lannes-Zarati thú

không, thú nhat, và thú hai cho không gian xa anh RP∞ Đieu đáng chú ý

là đong cau Lannes-Zarati thú hai cho RP∞ tri¾t tiêu tai MQI goc dương,

trong khi đong cau Lannes-Zatati thú nhat cho MQI CW-phúc X có điem

goc, vói đong đieu rút GQn H ∗ (X) không tam thưòng và huu han sinh o moi

b¾c, thì khác không tai MQI goc dương

Đe có ví du ve vi¾c đong cau Lannes-Zarati thú hai khác không tai MQI

goc dương, ta can xét trưòng hop khi X = S0 Ket qua sau đây đưoc

chúng minh boi Lannes và Zarati

M¾nh đe II.2.1 (Lannes-Zarati [42, M¾nh đe 5.3])

(i) ϕ S0 : Ext1 (F , F ) → (F ⊗ D ) ∗ là m®t đang cau.

1 A 2 2 2 A 1

(ii) ϕ S0 : Ext2 (F , F ) → (F ⊗ D ) ∗ là m®t toàn cau, vái hat nhân là

2 2 2 A 2

Span{h i h j | |i − j| ≥ 2} Trong đó h i ký hi¾u là phan tu Adams thú i

Nhac lai rang, đe cho ngan GQN, ExtA(F2, F2) đưoc ký hi¾u boi

ExtA Trong khi đó, ExtA (H ∗(RP∞ ), F2) đưoc ký hi¾u boi ExtA (P ), nhóm

này có cau trúc cna m®t ExtA-môđun

Gia su N là m®t A-môđun có kieu huu han Ánh xa F2-tuyen tính sau

cũng đưoc ký hi¾u boi cùng ký hi¾u vói đang cau A s : Γ+ → (Λ s)∗ (xem [32,

trang 689]),

A s : Γ+ ⊗ N → (Λ s ⊗ N ∗)∗ ,

v j1 · · · v j s ⊗ z ›→ (z, ·)(A s (v j1 · · · v j s ), ·).

Ánh xa này là m®t F2-đang cau vói moi s ≥ 0

Bő đe sau lan đau đưoc chúng minh vói N = F2 boi Singer trong [32,

(Λs−1 ⊗ N ∗)∗

giao hoán, vái s ≥ 1 á đây, N là m®t A -môđun có kieu huu han.

Chúng minh Su dung l¾p lu¾n tương tn như chúng minh trong [32,

M¾nh đe 8.2]

Gia su N là m®t A-môđun có kieu huu han GQI (·, ·) là ghép c¾p đoingau thông thưòng TorA

s (F2, N ) ⊗ Exts (N, F2) → F2 Ta chú ý rangghép c¾p đoi ngau này đưoc cam sinh o đong đieu boi ghép c¾p đoi ngau (Γ+

⊗ N ) ⊗ (Λ s ⊗ N ∗ ) → F2 cái mà cho chúng ta đong nhat Γ+ ⊗ N vói đoingau cna Λs ⊗ N ∗như đã nói trong Bő đeII 2 2 Ta cũng ký hi¾u boi (·, ·)

ghép c¾p đoi ngau (F2 ⊗ A R s M ) ⊗ (F2 ⊗ A R s M ) ∗ → F2 vói M là m®t Amôđun không őn đ%nh GQI {u k } k≥1 là F2-cơ so cna H ∗(RP∞), và {e k } k≥1 là F2-

-cơ so cna H ∗(RP∞) đoi ngau vói {u k } k≥1 Theo Adams [1] và Lin [25], ta

đ%nh nghĩa nhung lópsau trong nhóm Ext

M¾nh đe II.2.4. (i)Đong cau Lannes-Zarati thú không cho không gian

xa anh, ϕRP ∞, là m®t đang cau trên Ext0 (H˜∗(RP∞ ), F2).

˜

˜

A

s s

(ii) Đong cau Lannes-Zarati thú nhat cho không gian xa anh, ϕRP ∞, là m®t

đơn cau trên Span {h i h j | i ≥ j} và tri¾t tiêu trên Span {h i h j | i < j} (iii) Đong cau Lannes-Zarati thú hai cho không gian xa anh, ϕRP ∞, tri¾t tiêu tai MQI goc dương trong Ext2 (H ∗(RP∞ ), F2).

Chúng minh (i) Tù Nh¾n xétII.1.5, ta có đong cau Lannes-Zarati thú

không cho không gian xa anh là m®t đang cau

ϕRP ∞ : HomA (H˜∗(RP∞ ), F2) → ∼= HomF (H˜∗(RP∞ )/AH˜∗(RP∞ ), F2).

Ta biet rang H˜∗(RP∞ )/AH˜∗(RP∞) là m®t F2-không gian sinh boi u2 −1 vói(xem [25]).

(ii) Theo đ%nh nghĩa, R1H˜∗(RP∞) là m®t F2-môđun sinh boi Q a St1(z)

vói a ≥ 0 và z là m®t phan tu thuan nhat bat kỳ trong