BÀI THI KẾT THÚC MÔN TOÁN CAO CẤP C2 9đ

Từ ma trận cuối cùng, ta được nghiệm của hệ... Chọn một cơ sở tùy ý của R3 , chẳng hạn cơ sở chính tắc... cầu cuối cùng đối với sản phẩm của các ngành sản xuất đơn vị tính: nghìn tỷ đồn

BỘ CÔNG THƯƠNG

NỘP BÀI TẬP KẾT THÚC MÔN HỌC

010100616712 – TOÁN CAO CẤP C2 – NHÓM

Nhóm 3 thực hiện

1

BÀI TẬP CUỐI KHOÁ MÔN TOÁN CAO CẤP C2 _ NHÓM 3

ĐỀ SỐ 03 Bài 1: Cho các ma trận:

A = (

3 2) , B = (0 −1 𝑎) và C = ( 2 0)

1.1 : Tìm ma trận D = 2𝑨 𝑻 +BC.

Ta có: A = (2 1)  𝐴𝑇 = (2 3)

Do đó: 2𝐴𝑇 = 2 (2 3) = (4 6)

1 2

1 21

2 4

−1 1

Lại có: BC = (

0 −1 𝑎)  ( 2 0) = (

𝑎 − 2 3𝑎).

Mà D = 2𝐴𝑇+ BC  D = (4 6) + ( 4 4 )

= (𝑎 4 + 3𝑎8 10

Vậy ma trận cần tìm là D = (8 10 )

𝑎 4 + 3𝑎

1.2 : Tìm ma trận X sao cho AX = B.

Ta có: AX = B  X = 𝐴−1 B

Lại có: 𝐴−1 = 1

𝐷𝑒𝑡 𝐴 𝐴𝑇 mà Det A = 22 - 3 1 = 1

 𝐷𝑒𝑡 𝐴1 = 1 = 1 (*)

1

Và 𝐴𝑇

= (2 13 2 = ( −32 −12 ) (**)

Từ (*) và (**)  𝐴−1 = ( 2 −1)

Do đó: X = 𝐴−1 B = ( 2 −1)  (1 2 1)

)

)��

Nhóm 3 thực hiện

2

= ( −3 −8 −3 + 2𝑎2 5 2 − 𝑎

Vậy ma trận X = ( 2 5 2 − 𝑎 )

−3 −8 −3 + 2𝑎

Bài 2:

 1 0 0 3 

 2 3 0 4 

 4 6 2 6 

 1 3 4 25 

Hạng của ma trận là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang

  

 r(A) = 3

Vậy hạng của ma trận A là r(A) = 3



𝒎 𝟑 𝟑

số m số hạng của ma trận A = ( 𝟑 𝒎 𝟑 )

𝟑 𝟑 𝒎

Det A = (𝑚3 + 33 + 33) – (9m + 9m + 9m)

= 𝑚3 + 54 − 27𝑚 = 𝑚3 − 27𝑚 + 54

 Nếu detA ≠0 ⟺ 𝑚3 − 27𝑚 + 54 ≠ 0

⟶ {𝑚 ≠

−6

)

d2 d2 2d1

 2 3

Ta có: A = 

 4 6



1 3

0 0 2 4

3 

4 

6 

25 

d3 d3 4d1  1 0

d4 d4 d1  0 3

 0 6

 0 3

0 0 2 4

3 

2 



6 

22 



d3 d3 2d2

d4 d4 d2

 1

 0

 0

 0

0 0

3 0

0 2

0 4

2  d4 d4 2d3  0

0 3 0 0

0 3 

0 2 



2 10 

0 0 



 

0

 6 3

3 

𝑑

⟶2

2 1

 Nếu m = -6 ⟶ A =  3 6

𝑑3⟶2𝑑3+𝑑1

 0 9 9 

 3 3 6 6

 →

 6 

 6 3 3 

𝑑3⟶𝑑3+𝑑2  0 9 9 

→  0 0 0    ⟹ rank (A) = 2

 Nếu m = 3 ⟶ A

=

 3 3 3

 3 3 3

( 3 dòng giống nhau nên bỏ 2 dòng)

Bài 3:

⟹ rank (A) = 1

𝟏 −𝟏 𝟏

3.1 : Cho ma trận A = (𝒂 𝟏 𝟒) và B là ma trận vuông cấp 3 có det(B) = −𝟏.

Tính det (2A𝑩 𝑻 ).

Ta có : det (2A.𝐵𝑇) = det (2A) × det (𝐵𝑇)

 Det 2A = 23  det A = 8× det A

1 −1 1

det A = |𝑎 1 4|

1 1 2

= ( -2 + a ) – ( 5 − 2a ) = 3a – 7

Do đó: Det (2A) = 8 (3a-7) = 24a - 56

Lại có: det (B) = -1

Mà det (𝐵𝑇) = det (B) = -1

 det ( 2A𝐵𝑇) = det (2A) det( 𝐵𝑇) = (24a – 56) × (-1) = -24a + 56

Nhóm 3 thực hiện







3.2: Giải phương trình 1 x 2 1

= 12

d2 d2 d1

 1 x 2 1 d4 d4 2d1 0 x  2 2  x 0 

x  2 2  x 0

 det A = (−1)(1+1)

4 2  2x 3

= 3(3  2x) (x  2)  8(2  x)(2  x) 15  (x  2) (2  2x) (2)

= (9  6x) (x  2) 16  8x 30 15x  (2x  4) (2  2x)

= (9x 18  6x2 12x 16  8x)  (30 15x  4x  4x2  8  8x)

= 2x2 16x 12

= 12

↔ 2x2 16x 12 

12

x  0

↔

 x  8

Vậy x=0 hoặc x=8

Bài 4:

 x  y  2z  2

4.1 : Giải hệ phương trình bằng phương pháp

Gauss

2x  y  3z  5

4x  y  7z  9











0 

 1 1 2 2

 2 1 3 5

 4 dd

d 



𝑇𝑎 𝑐ó: (𝐴|𝐵)=









1 7 9 

3 3 1



𝑑3⟶𝑑3−𝑑

2

→



rank  A   2 

rank  A   3 Hệ phương trình vô số nghiệm và phụ thuộc

n  r  3  2 1tham số nghiệm

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 =

2

1

𝑥 = 2 + ( +

3

1 ) 𝛼) − 2𝛼) =

3𝑦 − 𝑧 = 1

{

𝑦 = + 𝛼)

𝑧 = ∈ 𝑅) 𝛼) (𝛼)

Vậy nghiệm tổng quát: {

𝑥

=

𝑦

=

7

− 5 𝛼

1

+ 1 𝛼

𝑧 = ∈ 𝑅) (

4.2 : Sử dụng phương pháp Cramer, xác định giá bán của các hàng hóa ở thị trường cân bằng:

Ở trạng thái thị trường cân bằng: QS=QD

𝑄𝑆1 = 𝑄𝐷1(𝐶ℎè)

{ 𝑄𝑆2 = 𝑄𝐷2(𝐶𝑎𝑓𝑒)

𝑄𝑆3 = 𝑄𝐷3(𝐶𝑎𝑐𝑎𝑜)

 { −10 + 3𝑃2 = 40 − 2𝑃2 − 2𝑃3−20 + 2𝑃1 = 20 − 𝑃1 − 2𝑃2

−5 + 2𝑃3 = 10 − 𝑃1 + 𝑃2 − 3𝑃3

4



3𝑃1 + 2𝑃2 = 40 { 5𝑃2 + 2𝑃3 = 50

𝑃1 − 𝑃2 + 5𝑃3 = 15



10

 3 2 0 40

0 40   3 2

0 40 

 0 5 2 50  𝑑3⟶3𝑑3−𝑑1  05

 𝑑3⟶𝑑3+𝑑2  0

5 2

50 

(𝐴|𝐵)=   1 1 5 15   →   0 5 15 5   →  0 0 17 55   



3𝑥 + 2𝑦 = 40

{5𝑦 + 2𝑧 = 50

→

17𝑧 = 55

𝑥 = 12817

𝑦 = 14817

𝑧 = 55

Vậy 𝑥 = 128, 𝑦 = 148, 𝑧 = 55

Bài 5:

5.1 : Xác định giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm:

x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = −1 { 2x1 + 5x2 − x3 + 3x4 = 1

−x1 + x2 − 10x3 − 5x4 = m2

 1 2 1

 2 5 1

 𝑑3⟶𝑑3+𝑑1   𝑑3 ⟶𝑑3−3𝑑2 

0 1

3 1 3 

  →  0 1 3 1 3  →  

 1 1 10 5 m2

0

m2 10 

Để phương trình có nghiệm

Nên 𝑚2 − 10 = 0 ↔ 𝑚

=

r  A  r  A  2



5.2 : Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình sau:

4x + 3y = 1 {−2y + (m − 1)z = 0

x + 3z = 1

1 0 3 1

|0) 1

|∆| = (−24 + 3𝑚 − 3) − (0 + 0 + 0) = 3𝑚 − 27

 Để phương trình có nghiệm duy nhất thì |∆| ≠ 0

↔ 3𝑚 − 27 ≠ 0

↔ 𝑚 ≠ 9

 Để phương trình có vô số nghiệm thì |∆| = 0

↔ 3𝑚 − 27 = 0

↔ 𝑚 = 9

Bài 6: Trong không gian vector 𝑅3 , cho hệ

𝑆 = {𝑢 = (−1,1,2), 𝑣 = (𝑚, 1,1), 𝑤 = (1, −1,2)}

6.1 : Xác định giá trị m để S là một cơ sở của không gian 𝑹𝟑

|𝐴| = |

|𝐴| = (−2 + 1 − 2𝑚) − (2 + 1 + 2𝑚)

|𝐴| = −4 − 4𝑚

Ta có: detA ≠ 0 ↔ −4 − 4𝑚 ≠ 0

↔ −4𝑚 ≠ 4

↔ 𝑚 ≠ −1 Vậy m ≠ -1 thì S là cơ sở của không gian vector 𝑅3

6.2 : Trong trường hợp S là cơ sở của 𝑹𝟑 , hãy tìm tọa độ vector 𝒙 = (−𝟏 ,, 𝟏

𝟐) đối với cơ sở S.

Ta có: 𝑚 = 2 (∀𝑚 ∈ 𝑅\{−1})

→ 𝑆 = {𝑢 = (−1,1,2), 𝑣 = (2,1,1), 𝑤 = (1, −1,2)}

𝑢 +𝑣 + 𝛼𝑤 = 𝑥 + + = −1

↔ { + − 𝛼 = 1 2 + + =2 2

𝛼 = 1

↔ {𝛼 = 0

𝛼 = 0

1 Vậy tọa độ vector x là [𝑥]𝑆 = [0]

0

Bài 7: Trong không gian vector R 3 , cho hai hệ vector

𝑼 = {𝒖𝟏 = (−𝟐, 𝟏, 𝟑), 𝒖𝟐 = (𝟏, −𝟐𝒎, −𝟐), 𝒖𝟑 = (−𝟏, 𝟐, 𝒎 + 𝟏)}

=

𝑽 = {𝒗𝟏 = ( , ,𝟏 𝟒 𝟕), 𝒗𝟐= ( , ,𝟐 𝟓, 𝟖 𝟖), 𝒗𝟑 = ( , ,𝟑 𝟔, 𝟗 𝟗)}

7.1: Xác định giá trị của m để hệ U là phụ thuộc tuyến tính.

|𝐴| = | 1 −2𝑚 −2 |

= 4𝑚2 + 4𝑚 + 8 − 6𝑚 − 8 − 𝑚 − 1

= 4𝑚2 − 3𝑚 − 1

Để hệ U phụ thuộc tuyến tính thì det(A)= 0

↔ 4𝑚2 − 3𝑚 − 1 = 0

1

→ 𝑚 = 1, 𝑚 = −

4

7.2: Tìm điều kiện để vector x = (𝒙𝟏,𝒙𝟐 ,𝒙𝟑) là tổ hợp tuyến tính của hệ V

1 2 3 𝑥1 d2 d2 4d1

d3 d3 7d1  1 2 3

𝐴̅ = (𝐴|𝐵) = (4 5 6

d3 

d3 2

d2

  0

3 6 x  4x 

 0 0 0 x  2x  x 



Ta thấy: r(𝐴)= 2, r(𝐴̅)= 3

3 2 1 

Vậy để x  (x1, x2 , x3 ) là tổ hợp tuyến tính thì r(A) = r (𝐴̅)

Do đó: x3  2x2  x1 

0

⟺ 𝑥3 = 2𝑥2 − 𝑥1

Bài 8: Cho phép biến đổi tuyến tính f : R 2→ 𝑹𝟐 thỏa

𝒇( ,𝟏 𝟎) = ( ,𝟑 𝟏), 𝒇( ,𝟏 𝟐) = ( , 𝟏 𝟓, 𝟖)

8.1: Tìm biểu thức xác định của f

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦)

𝑓(1,0) = (𝑎, 𝑐) = (3,1)

𝑓(1,2) = (𝑎 + 2𝑏, 𝑐 + 2𝑑) = (1,5)



2



𝑎 = 3

→ {𝑎 + 2𝑏 =

1

𝑐 = 1

𝑐 + 2𝑑 =

5

𝑎 = 3

𝑏 = −1 {

𝑐 = 1

𝑑 = 2

→ 𝑓(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦 , 𝑥 + 2𝑦)

8.2: Tìm ma trận của f đối với cơ sở của 𝑹𝟐 là = 𝑩 { = 𝒖 ( ,𝟏 𝟏), = 𝒗 ( ,𝟏 𝟐)}

𝑓(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦 , 𝑥 + 2𝑦)

 a1  b1  2

 a1  1

f(u) = f(1,1) = (2,3) có hpt sau: a  2b  3 b  1

 1 1  1

 a2  b2  1

 a2  3

f(v) = f(1,2) = (1,5) có hpt sau: a  2b  5  b  4

 2 2  2

 1 1 

Vậy ma trận f cần tìm là  3 4 

Bài 9: Cho ánh xạ tuyến tính

f : R3  R3 xác định bởi

f (x1, x2 , x3 )   x1  2x2 ,2x2  x3 , x1  x3 

9.1 : Tìm một cơ sở và số chiều của ker f .

x1  2x2  0

Ta có hệ phương trình tuyến tính 2x  x  03

x  x  0

 1 3

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp dòng trên ma trận mở rộng của hệ phuơng trình tuyến tính:

 1 2



 0 2 1 0 d

3 

d3



3 

d3



→

Từ ma trận cuối cùng, ta được nghiệm của hệ

Mà các vector: u1  1,2,0;u2  0,2,1;u3  0,0,2 độc lập tuyến tính

 1,2,0, 0,2,1, 0,0,2 là một cơ sở

9.2 : Tìm một cơ sở và số chiều của Im f .

Chọn một cơ sở tùy ý

của R3 , chẳng hạn cơ sở chính tắc Khi đó,

f 1,0,0 

1,0,1 ta có: f 0,1,0

 2,2,0 f 0,0,1 

0,1,1

Do đó:

Im f



1,0,1; 2,2,0; 0,1,1

Lập ma trận có các dòng là vector trong tập sinh của

 1



Im f  2





0 1



2 0

Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận về dạng bậc thang

 1 0 1

 𝑑32⟷𝑑  1 0 1   1 0 1 

 2 2 0 

𝑑2⟶𝑑2−2𝑑1

 0 1 1 

𝑑3⟶𝑑3−2𝑑2

 0 1 1 

  →   →  

 0 1 1   0 2 2   0

0

4 

Vậy

Im

f

có một cơ sở là 1,0,1; 0,1,1;

Bài 10: Giả sử trong nền kinh tế có ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3.

Biết ma trận hệ số kỹ thuật

0,2  0,1

0,3 0,4 0,2 0,3 và B   400

  900 

là ma trận giá trị

0

cầu cuối cùng đối với sản phẩm của các ngành sản xuất (đơn vị tính: nghìn

tỷ đồng).

10.1 : Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận I  A, trong đó I là ma trận cấp 3.

I   I  A 1

Ta có:

I  A   0 1 0   0,2 0,3 0,2  0,2 0,7  0,2

0,6

detI  A  

0,2

 0,1 0,7

 0,2

 0,2  1  0

 0,1

 (I  A)11 (I  A)12 (I  A)13 

 I  A 1 det  I  A   (I  A) (I  A) (I  A) 

 (I  A) (I  A) (I  A) 

 0, 6 0, 2 0,1 

 I 

AT   0,1 0, 7 0, 4 

 0, 2 0, 2 0, 7 

(I  A)

 111 1 0,

7

0, 4  0, 41

(I  A)  1121 0,1 0, 4  0,15

12

(I  A)  1131

0, 2 0, 7

0,1 0, 7

 0,16

13

(I  A)  1211

0, 2

0, 2

0, 2

0,1

 0,16

(I  A)  1221 0,

6

0,1

 0, 4

(I  A)23

 1231 0, 6

0, 2

0, 2

0, 2  0,16

(I  A)31

 131 1 0, 2

0, 7

0,1

0, 4  0,15

(I  A)32

(I  A)

 13 1

2



1

331

0, 6

0,1

0, 6

0,1

0, 4

0, 2

T

   5





 0, 25  0, 4

  I  A1  1 

1

 0,15 0,25 0,4 



 0,75







Vậy I  A1  

0,8



10.2: Hãy xác định ma trận tổng cầu X của các ngành sản xuất trên trong mo hình Input-

Output:

X  AX 

det  I  A 



0,6

 0,2

 0,1

 0,1 0,7

 0,4

 0,2

 0,2 0,7

 1  0 5

1

 IX  AX  B

 I  AX  B

 X  I  A1  B

Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1,2,3 lần lượt là 𝑥1 = 1225 (nghìn tỷ đồng), 𝑥2 =

1600 (nghìn tỷ đồng), 𝑥3 = 2375 (nghìn tỷ đồng)

Cảm ơn quý thầy cô đã xem đầy đủ bài tập của nhóm 3 Trong quá trình hoàn

thiện, còn một số sai sót rất mong nhận được cảm thông từ phía thầy cô.