chuyen de phuong phap toa do trong khong gian

I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.. 1.. TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ABCD.. c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.[r]

Trang 1

Chuyên đề hình giải tích không gian gv: đặng trần hiệu

I.TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIAN 1.TểM TẮT Lí THUYẾT

12 ⃗a , ⃗b , ⃗c khụng đồng phẳng ⇔(⃗a∧ ⃗b) ⃗c ≠ 0

13 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1

Daùng 1: Chửựng minh A,B,C laứ ba ủổnh tam giaực

 A,B,C laứ ba ủổnh tam giaực  [ AB , AC ] ≠ 0⃗

 S ABC = 2

AC]

, [AB

Trang 2

 ẹửụứng cao AH = 2 S Δ ABC

Daùng 2: Tỡm D sao cho ABCD laứ hỡnh bỡnh haứnh

 Chửựng minh A,B,C khoõng thaỳng haứng

 ABCD laứ hbh  ⃗AB=⃗DC

Daùng 3: Chửựng minh ABCD laứ moọt tửự dieọn:

Daùng4: Hỡnh chieỏu cuỷa ủieồm M

1 H laứ hỡnh chieỏu cuỷa M treõn mp 

 Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng (d) qua M vaứ vuoõng goực mp : ta coự ⃗a d=⃗n α

 Toùa ủoọ H laứ nghieọm cuỷa hpt : (d) vaứ ()

2 H laứ hỡnh chieỏu cuỷa M treõn ủửụứng thaỳng (d)

 Vieỏt phửụng trỡnh mp qua M vaứ vuoõng goực vụựi (d): ta coự ⃗n α=⃗a d

 Toùa ủoọ H laứ nghieọm cuỷa hpt : (d) vaứ ()

Daùng 5 : ẹieồm ủoỏi xửựng

1.ẹieồm M / ủoỏi xửựng vụựi M qua mp 

 Tỡm hỡnh chieỏu H cuỷa M treõn mp (daùng 4.1)

 H laứ trung ủieồm cuỷa MM/

2.ẹieồm M / ủoỏi xửựng vụựi M qua ủửụứng thaỳng d:

 Tỡm hỡnh chieỏu H cuỷa M treõn (d) ( daùng 4.2)

H laứ trung ủieồm cuỷa MM/

c) Hãy biểu diển vectơ w → = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ → a , b → , → c .

3: Cho 3 vectơ → a = (1; m; 2), b → = (m+1; 2;1 ) , → c = (0 ; m-2 ; 2 ) Định m để 3 vectơ đó đồng

phẳng

2

Trang 3

, b2; 5;3  

6: Cho ba điểm không thẳng hàng: A(1;3;7), ( 5; 2;0), (0; 1; 1).B  C   Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tamgiác ABC

7: Cho bốn diểm không đồng phẳng : A(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2). B C  D   Hãy tìm tọa độ trọng tâm

G của tứ diện ABCD

8: Cho điểm M(1; 2; 3) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:

a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz b) Trên các trục tọa độ:

Ox, Oy, Oz

9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:

10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5) Tìm tọa độ của các đỉnh

còn lại

11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2) Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.

a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M

15 a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).

b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1)

16 Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a b c, ,  trong mỗi trờng hợp sau đây:

17 Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác b) Tính chu vi và diện tích ABC

c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành d) Tính độ dài đờng cao của ABC hạ từ đỉnh A

e) Tính các góc của ABC

18. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A

19 Cho  ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3) Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của góc B.

20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện Tính thể tích của khối tứ diện ABCD

b) Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó

c) Tính độ dài đờng cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B

d) Tính góc ABC và góc giữa hai đờng thẳng AB, CD

21 Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).

a) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Trang 4

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đờng chéo

c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đờng cao tam giác ABC vẽ từ A

Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

22 Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).

a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD

b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD

c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D

d) Tìm tọa độ chân đờng cao của tứ diện vẽ từ D

23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)

a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC b) Tính cosin các góc A,B,C

c) Tính diện tích tam giác ABC

a ⃗b laứ caởp vtcp cuỷa  ⇔ ⃗a , ⃗b cuứng // 

3 Quan heọ giửừa vtpt n⃗ vaứ caởp vtcp a⃗,b⃗: n⃗ = [a⃗,b⃗]

4 Pt mp  qua M(x o ; y o ; z o ) coự vtpt n⃗ = (A;B;C)

Chuự yự : Muoỏn vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng caàn:

1 ủieồm vaứ 1 veựctụ phaựp tuyeỏn

6.Phửụng trỡnh caực maởt phaỳng toùa ủoọ

(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0

7 Vũ trớ tửụng ủoỏi cuỷa hai mp (1) vaứ (2) :

Trang 5

2.CAÙC DAẽNG TOAÙN

Daùng 1: Maởt phaỳng qua 3 ủieồm A,B,C :

⟨ Vỡ α ⊥(d ) neõn vtpt ⃗❑n=a → d (⃗AB)

Daùng 4: Mp  qua M vaứ //  : Ax + By + Cz + D = 0

°

α

⟨ Vỡ α // β neõn vtpt ⃗n α=⃗n β

Daùng 5: Mp  chửựa (d) vaứ song song (d / )

 ẹieồm M ( choùn ủieồm M treõn (d))

Trang 6

Bài 4 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là a⃗(2;1; 2); (3; 2; 1)b⃗ 

Bài 5 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và

a) Song song với các trục 0x và 0y b) Song song với các trục 0x,0z

c) Song song với các trục 0y, 0z

Bài 6 : Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :

c) Cùng phơng với trục 0z

Bài 7 : Xác định toạ độ của véc tơ ⃗n vuông góc với hai véc tơ a⃗(6; 1;3); (3; 2;1) b⃗ .

Bài 8 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là ⃗a(2,7,2); ⃗b(3,2,4 )

Bài 9 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :

a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận ⃗n(2,3,4); làm VTPT

b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0

Bài 10 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ

độ

B

ài 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,

(Q) : y-z-1=0 Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q)

Bài 12 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:

a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là a⃗3;2;1

và b ⃗ 3;0;1

b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng với trục với 0x

Bài 13: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)

a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD)

b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD

Bài 14: Viết phơng trình tổng quát của (P)

a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3)

b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0

c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,

d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)

Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz

a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB

b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z

c) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P).

6

Trang 7

III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHễNG GIAN

4.Vũ trớ tửụng ủoỏi cuỷa 2 ủửụứng thaỳng :

(d) qua M coự vtcp ⃗a d ; (d’) qua N coự vtcp ⃗a d❑

d cheựo d’ ⇔ [ ⃗a d , ⃗a d❑ ]. MN→ ≠ 0 (khoõng ủoàng phaỳng)

d,d’ ủoàng phaỳng ⇔ [ ⃗a d , ⃗a d❑ ]. MN→ = 0

d,d’ caột nhau ⇔ [ ⃗a d , ⃗a d❑ ] ⃗0 vaứ [ ⃗a d , ⃗a d❑ ]. MN→ =0

d,d’ song song nhau ⇔ { ⃗a d // ⃗a d❑ vaứ M ∉(d❑

6.Goực : (d) coự vtcp ⃗a d ;  ’ coự vtcp ⃗a d❑  ) coự vtpt ; ( n⃗

Goực gi ữa 2 ủửụứng thaỳng : ¿⃗a d ⃗a d❑∨

Trang 8

Goực gi ữa ủ ường vaứ m ặt : ¿⃗a d ⃗n∨

¿

|⃗a d|.|⃗n|

sin(d,α )=¿

Daùng 1: : ẹửụứng thaỳng (d) ủi qua A,B

Daùng4: PT d’ hỡnh chieỏu cuỷa d leõn  : d = /   

 Vieỏt pt mp chửựa (d) vaứ vuoõng goực mp

Daùng 7: PT qua A vaứ d caột d 1 ,d 2 : d =   

vụựi mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)

Daùng 8: PT d //  vaứ caột d 1 ,d 2 : d =  1   2

vụựi mp1 chửựa d1 //  ; mp2 chửựa d2 // 

Daùng 9: PT d qua A vaứ  d 1 , caột d 2 : d = AB

vụựi mp qua A,  d1 ; B = d2  

8

Trang 9

Daùng 10: PT d  (P) caột d 1 , d 2 : d =   

vụựi mp chửựa d1 ,(P) ; mp chửựa d2 ,  (P)

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau :

a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận a⃗(3; 2;3)làm VTCP

b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)

Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9) Viết phơng trình tham số của đờng

thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó

Bài6: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt

phẳng (P) trong các trờng hợp sau:

a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P)

b) Lập phơng trình đờng thẳng (d1) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P)

Bài 10: Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

Trang 10

¿{ {a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó

b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2)

Bài 11: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

(d1):

x=−7+3 t y=4 −2 t z=4+3 t

¿{ {

(d2):

x=1+t1y=− 9+2t1z=− 12− t1

(t,t1∈ R)

¿{ {a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau

b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d1),(d2)

III.MẶT CẦU 1.TểM TẮT Lí THUYẾT

1.Ph ương trỡnh maởt caàu taõm I(a ; b ; c),baựn kớnh R

S (I,R ):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (1)

S (I,R ): x2

+y2+z2−2ax −2by − 2cz+d =0 (2) ( vụựia2+b2+c2− d >0 )

 Taõm I(a ; b ; c) vaứ R=√a2+b2+c2− d

2.Vũ trớ tửụng ủoỏi cuỷa maởt phaỳng vaứ maởt caàu

Cho (S ):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2

vaứ  : Ax + By + Cz + D = 0

Goùi d = d(I,) : khoỷang caựch tửứ taõm mc(S) ủeỏn mp :

 d > R : (S)   = 

 d = R :  tieỏp xuực (S) taùi H (H: tieỏp ủieồm, : tieỏp dieọn)

*Tỡm tieỏp ủieồm H (laứ hchieỏu cuỷa taõm I treõn mp  )

 Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng (d) qua I vaứ vuoõng goực mp : ta coự ⃗a d=⃗n α

 Toùa ủoọ H laứ nghieọm cuỷa hpt : (d) vaứ ()

 d < R :  caột (S) theo ủửụứng troứn coự pt

¿(S ):( x −a )2+(y −b )2+ (z − c )2=R2

+ Tỡm taõm H ( laứ hchieỏu cuỷa taõm I treõn mp)

 Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng (d) qua I vaứ vuoõng goực mp : ta coự ⃗a d=⃗n α

1

Trang 11

 Toùa ủoọ H laứ nghieọm cuỷa hpt : (d) vaứ ()

3.Giao ủieồm cuỷa ủửụứng thaỳng vaứ maởt caàu

+ Thay ptts (1) vaứo pt mc (2), giaỷi tỡm t,

+ Thay t vaứo (1) ủửụùc toùa ủoọ giao ủieồm

Daùng 1: Maởt caàu taõm I ủi qua A

ê S (I,R ):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (1)

 Theỏ toùa ủoọ A vaứo x,y,z tỡm R2

Daùng 2: Maởt caàu ủửụứng kớnh AB

 Taõm I laứ trung ủieồm AB

 Vieỏt phửụng trỡnh maởt caàu taõm I (1)

 Theỏ toùa ủoọ A vaứo x,y,z tỡm R2

Daùng 3: Maởt caàu taõm I tieỏp xuực mp 

Daùng 4: Maởt caàu ngoaùi tieỏp tửự dieọn ABCD

Duứng (2) S (I,R ): x2+y2+z2−2ax −2by − 2cz+d =0 A,B,C,D  mc(S)  heọ pt, giaỷi tỡm a, b, c, d

Daùng 5:Maởt caàu ủi qua A,B,C vaứ taõm I € (α)

S (I,R ): x2

+y2+z2−2ax −2by − 2cz+d =0 (2)A,B,C  mc(S): theỏ toùa toùa A,B,C vaứo (2)

I(a,b,c) (α): theỏ a,b,c vaứo pt (α)

Giaỷi heọ phửụng trỡnh treõn tỡm a, b, c, d

Daùng 6: Maởt phaỳng tieỏp xuực maởt caàu taùi A

Tieỏp dieọn  cuỷa mc(S) taùi A :  qua A, vtpt \{ ⃗n=IA →

b) CMR tâm của (Sm) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định

Trang 12

Bài 3: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình: (Sm): x2+y2+z2−4 mx −2 m2y +8 m2− 5=0

a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu

b) Tìm quĩ tích tâm của họ (Sm) khi m thay đổi

c) Tìm điểm cố định M mà (Sm) luôn đi qua

Bài 4: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình: (S m): x2+y2+z2−2 x sin m− 2 y cos m−3=0

a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu

b) CMR tâm của (Sm) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m0) ,cắt (C) tại T, S , đờng thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi

Bài 5: Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :

b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d1) và (d2)

c) Lập phơng trình mật cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)

d) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d1) và (d2)

Bài 8: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :

a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0

b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0

c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3)

Bài 9: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1),

B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5)

a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài10: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)

a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA

b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với 0A Hãy xác định toạ dộ của K

c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lợt là điểm giữa của các cạnh S0,AB Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau

Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).

a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD

b) (HVKTQS-98): Viết phơng trình tham số đờng thẳng vuông góc chung của AC và BD

d) Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).

a) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tham số của đờng thẳng BC Hạ AH vuông góc BC Tìm toạ

độ của điểm H

b) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tổng quát của (BCD) Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)

Bài 13: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4),

C(1;-1;4), D(3;1;0)

1

Trang 13

Chuyên đề hình giải tích không gian gv: đặng trần hiệua) Lập phơng trình các mặt của hình chóp b) Lập phơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp

c) Tính thể tích hình chóp SABCD

Bài 14: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).

a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện

c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	588,23 KB