chuyên đề mặt phẳng trong không gian luyện thi đại học

 Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox, không có biến y thì song song Oy, không có biến z thì song song Oz... Lập mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C Không

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN (GA-12) A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I/. Phương trình mặt phẳng :

1). Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với

A2+B2+C2≠0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong đó n (A;B;C) là một vectơ pháp tuyến của nó

2). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n (A;B;C) làm vectơ pháp tuyến có dạng :

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

3). Mặt phẳng (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và nhận a (a ;a ;a ) 1 2 3 và b (b ;b ;b ) 1 2 3 làm cặp vectơ chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :

II/. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

1).Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0

 (P) cắt (Q)  A : B : C ≠ A’: B’: C’

 (P) // (Q)  A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’

 (P) ≡ (Q)  A : B : C : D = A’: B’: C’: D’

2).Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0 Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là:

m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m2 + n2 ≠ 0)

III/. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :

d(M , )

 

IV/. Góc gữa hai mặt phẳng

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0

Ta có :

cos cos(n , n )P Q

 

 

   900  n               P                nQ

 hai mặt phẳng vuông góc nhau

 Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox, không có biến y thì song song Oy, không có biến z thì song song Oz

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

I LẬP MẶT PHẲNG :

1 Lập mặt phảng (P) đi qua điểm M x y z 0 0 0; ; và song song với mặt phẳng (Q) :

Ax+By+Cz+D=0

Cách giải :

Cách 1: Vì : (P) //(Q) cho nên n              P                n Q A B C; ; 

Do đó : (P) : A x x  0B y y  0C z z  0  0

Cách 2: Mặt phẳng (P) // (Q) cho nên (P) có dạng : Ax+By+Cz+m=0 (1)

Do (P) qua M x y z 0 0 0; ; , suy ra thay tọa độ của M vào (1) ta tìm được m Và có (P)

Ví dụ ( Bài 15 –tr99-HH12NC)

Lập mặt phẳng (P) đi qua M(3;2;-1) và song song với mặt phẳng (Q) : x-5y+z=0

Giải

Mặt phẳng (P) //(Q) cho nên (P) : x-5y+z+m=0 (1)

(P) đi qua M cho nên : 3-2.5-1+m=0 suy ra m=-8

Vậy (P) : x-5y+z-8=0

2 Lập mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C (Không thẳng hàng)

Cách giải :

 Bước 1: Lấy một trong ba điểm làm gốc , hai điểm còn lại làm hai ngọn của hai véc tơ Sau đó tính tích của hai véc tơ đó ( Chính là véc tơ pháp tuyến của (P)

 Bước 2: Lập (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến : nAB AC, 

  

Ví dụ 1 : ( Bài 15-tr89-HH12NC)

Lập mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(2;0;-1),B(1;-2;3) và C(0;1;2)

Giải

- Ta có :  1; 2; 4 ,  2;1;3 , 2 1 1; 1; 1 2  7;1; 5

1 3 3 2 2 1

AB   AC   AB AC        

- Vậy (P) đi qua A(2;0;-1) và có véc tơ pháp tuyến : n    7;1; 5   có phương trình là :

-7(x-2)+(y-0)-5(z+1)=0 Hay (P) : -7x+y-5z +9=0

Ví dụ 2 ( Bài 5-tr80-HH12CB)

Cho tứ diện ABCD với A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4) và D(4;0;6)

a/ Viết phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD) ?

b/Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD

Giải

a/ Viết phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD)

- Ta có :  1; 1;3 , 0; 1;1 , 1 3 3; 1; 1 1 2;1;1

1 1 1 0 0 1

AD   AC    AD AC      

4; 6;2 , D  1;0;2 , D 6 2 2; 4 ; 4 6  12; 10; 6 / / 6;5;3

0 2 2 1 1 0

- Vậy: (ACD) đi qua A(5;1;3) và có n  2;1;1có phương trình là : 2(x-5)+(y-1)+(z-3)=0 Hay (P) : 2x+y+z -14=0

- Và (BCD) đi qua D(4;0;6) và có véc tơ pháp tuyến m  6;5;3

có phương trình là : 6(x-4)+5(y-0)+3(z-6)=0 ; Hay : 6x+5y+3z -42=0

b/ Lập (P) chứa AB và song song với CD

- Ta có :  4;5; 1 , D  1;0; 2 , D 5 1; 1 4; 4 5 10;9;5

AB   C    AB C       

- (P) đi qua A(5;1;3) và có véc tơ pháp tuyến n  10;9;5 có phương trình là :

(P): 10(x-5)+9(y-1)+5(z-3)=0 ,Hay : 10x+9y+5z -74=0

Ví dụ 2 ( Bài 22-tr90-HH12NC).

Cho tứ diện ABCD có các tam giác OAB ,OBC,OCA là những tam giác vuông đỉnh O Gọi    , , lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC),,(OCA) và (OAB) Bằng phương pháp tọa độ , chứng minh :

a/ Tam giác ABC là tam giác nhọn ( Tam giác có ba góc đều nhọn )

b/ CM: cos 2  cos 2  cos 2   1

Giải

a/ Với hệ tọa độ chọn trên , ta tìm tọa độ các đỉnh A(a;0;0) ,B(0;b;0) và C(0;0;c) Giả sử : a>b>c

Ta có :              AB  a b; ;0 ,              AC  a;0;c

2

.

 

Với :

1 os60 2

2 2

c



Chứng tỏ tam giác ABC có ba góc đều nhọn b/ Mặt phẳng (ABC):

1 1 1

n



Các mặt phẳng (OBC) ,(OCA) và (OAB) lần lượt có các véc tơ phấp tuyến là các véc tơ đơn vị : i1;0;0 , j0;1;0 , k0;0;1

Theo giả thiết :

 

2 2 2

1

a b b c c a

     

     

     



 

 

2 2 2

1

a b b c c a

     

     

     

 

 

 

2 2 2

1

a b b c c a

     

     

     

 

 

Cộng ba kết quả (1),(2) và (3) vế với vế ta có điều phải chứng minh

3 Lập mặt phẳng đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (Q) Hoặc : (P) đi qua hai điểm A,B và song song với đường thẳng đi qua hai điểm C,D

Cách giải

 Bước 1: Tính AB n, Q AB n; Q n P

    

O

C

 Bước 2: Lập (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến nP

Ví dụ 1: ( Bài 15-tr89-HH12NC)

Lập mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;1;1) ,B(-1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q) có phương trình : x-y+z+1=0

Giải

- Ta có :  1; 1;1 , 1; 1;1 , 1 1 1; 1; 1 1 0;2; 2

1 1 1 1 1 1

AB   n    AB n       

- Vậy (P) đi qua A(0;1;1) và có véc tơ pháp tuyến n  0;1;1

( ) :P y 1 z 1 0 y z 2 0

        

Chú ý :

* Riêng với dạng này có thể hiểu : Lập (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)

Ví dụ 2 ( Bài 47-tr126-BTHH12NC)

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q):

2x+y- 5z =0

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(3;0;0),B(0;0;1) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 60 

Giải

a/ Do (P) chứa trục Oz nên có dạng : Ax+By=0  n P A B; ;0

Ta có n  Q 2;1;  5



Theo giả thiết :   2 2

2

4 1 5

P Q

B





 

 

1

B





  





b/ Tương tự :

Mặt phẳng (P) đi qua A,C và tạo với mp(Oxy) góc 60 , nên (P) cắt Oy tại B(0;b;0) khác gốc tọ độ O ( b 0) Khi đó (P) : 1 x 3 3 z 3 0  ;3;3 

b

          

Theo giả thiết :   2 2

os ,

9 9

P

b

 

 

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn : 26 3z 3 0

26 3z 3 0





II CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG –VUÔNG GÓC HAY

TRÙNG NHAU

Bài toán : Cho hai mặt phẳng (P) có n P

=(A;B;C) và mặt phẳng (Q) có n Q

=(A’;B’;C’) Chứng minh rẳng :

a/ (P)//(Q) : Điều kiện :

A B C D b/ Nếu (P)  ( )Q  AA ' BB CC'  ' 0 

c/ Nếu (P) trùng (Q) thì điều kiện :

A B C D

Ví dụ 1: ( Bài 10-tr81-HH12CB)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1

a/ Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau ?

b/ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó ?

Giải

a/ Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau

- Chọn hệ tọa độ Oxyz : AB trùng với Ox,AD trùng với Oy và AA’ trùng với Oz Khi đó tọa độ các đỉnh của hình lập phương là :

A(0;0;0) ,B(1;0;0) ,D(0;1;0) A’(0;0;1) B’(1;0;1) ,D’(0;1;1) C(1;1;0) và C’(1;1;1) -Ta có :

' 1;0;1 , D ' 0;1;1 ', D' 1, 1,1

' 0; 1; 1 , ' 1;0 1 ' , ' 1;1; 1

C B   C D    C B C D  

- Hai mặt phẳng đi qua hai điểm A

và C’ không trùng nhau và có hai véc tơ pháp tuyến song song Cho nên chúng song song nhau

b/ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng khoảng cách từ C’(1;1;1) đến mặt phẳng (AB’D’) : x+y-z=0 Suy ra  '; ' ' 1 1 1 1

1 1 1 3

Ví dụ 2 ( Bài 49-tr126-BTHH12NC)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(a;0;0),D(0;a;0),A’(0;0;b) với a,b là những số dương và M là trung điểm của CC’

a/ Tính thể tích tứ diện BDA’M ?

b/ Tìm tỉ số a/b để mặt phẳng (A’BD) vuông góc với mp(MBD) ?

Giải

a/ Từ giả thiết ta tìm tọa độ các đỉnh còn lại : C’(a;a;b),M( a;a;b/2)

Ta có : D  ; ;0 , ; ; 2

2 2

ab ab

B  a a BM  a 

Vậy : D ' 1 D, 2

B A M

a b

V  B BM 

 

b/ Mặt phẳng (A’BD) có véc tơ pháp tuyến :

 2

n B BA  ab ab a

  

Mặt phẳng (MBD) có véc tơ pháp tuyến 2

2 2

ab ab

n B BM  a 

  

Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì : 2 2 2 2 4

b



Ví dụ 3.( Bài 54-tr127-BTHH12NC).

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1

A

D

A’

D’

A

D

A’

D’

M

b/ Gọi M;N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (MNP)

c/ Tính thể tích khối tứ diện AMNP ?

Giải

a/ Tính góc tạo bới các đường thẳng AC’ và A’B

Từ giả thiết , ta tìm tọa độ các đỉnh : A’(0;0;0) B’(1;0;0) ,D’(0;1;0) ,A(0;0;1) C(1;1;1),B(1;0;1) D(0;1;1) và C’(1;1;0) Từ đó ta có :

' 1;1; 1 , ' 1;0;1 ' ' 0 ' '

b/ Chứng minh AC’vuông góc với (MNP)

Ta có M(1/2;0;0),N=( 1;1/2;1) , P=(0;1;1/2)

2 2

MN   MN AC   MN AC

1 1

2 2

MP   MP AC   MPAC

Chứng tỏ : AC’ vuông góc với mp(MNP ) c/ Tính thể tích khối tứ diện AMNP

Ta có :

1 1

AMNP

  

III KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG – GÓC GIỮA HAI

MẶT PHẲNG CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

a/ Lập mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) cho sẵn một khoảng d cho trước

b/ Lập mặt phẳng (P) cách đều hai mặt phẳng cho sẵn

c/ Lập mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và tạo với mặt phẳng (Q) cho sẵn một góc bằng

0

A , hay lập lập (P) chứa đường thẳng d và tạo với (Q) một góc A0

CÁCH GIẢI

a/ Cho mặt phẳng (Q) có phương trình : Ax+By+Cz+D=0 , và điểm M x y z 0 ; ; 0 0 Lập mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng bằng d

Giải

 Mặt phẳng (P) có dạng : Ax+By+Cz+D’=0

'

D D



hai giá trị của D’ ( có nghĩa là có hai mặt phẳng )

 Thay D’ tìm được vào (P)

b/ Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) , lập phương trình mặt phẳng (R ) cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)

- Trường hợp (P) và (Q) song song :  : Ax z 0

( ) : Ax z ' 0





Giải

 Mặt phẳng (R ) có dạng : Ax+By+Cz+m=0 (1)

D

A’

D’

N

P A

 Nếu (R ) cách đếu (P) và (Q) thì : m D m D '  m.Hay : m= '

2

D D

 Thay m tìm được vào (1) ta suy ra (R )

- Trường hợp (P) cắt (Q) theo một đường thẳng ( ) : Ax z 0

( ) : ' ' ' ' 0

Q A x B y C z D







Giải

 Nếu M(x;y;z) nằm trên (R ) thì khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng nhau :

 Từ đó suy ra có hai mặt phẳng Hai mặt phẳng này chính là hai mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng cắt nhau

c/ Cho mặt phẳng (Q): Ax+By+Cz+D=0 và hai điểm M(x y z N x y z1 ; ; ), 1 1  2 ; ; 2 2 Lập mặt phẳng (P) chứa M,N và tạo với (Q) một góc A0

Giải

 Tính : MN x2  x y1 ; 2  y z1 ; 2  z1,nA B C; ; 

 Theo giả thiết :   0  

.

MN n

MN n

 

 

 Từ (*) ta lập phương trình

Ví dụ 1.(Bài 19-tr90-HH12NC).

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (P’) trong các trường hợp sau a/ (P) : 2x-y+4z+5=0 , (P’) : 3x+5y-z-1=0

b/ (P): 2x+y-2z-1=0 , (P’): 6x-3y+2z-2=0

c/ (P): x+2y+z-1=0 , (P’): x+2y+z+5=0

Giải

Gọi M(x;y;z) là điểm bất kỳ trong không gian , theo giả thiết :

a/ Ta có :

15

5













7 2x 2z 1 3 6x 3 2z 2 2x 2z 1 6x 3 2z 2





c/ (P) : x+2y+z+m=0 (1) Theo giả thiết : m 5 m  1 m 5 m  1 m 2

Vậy (P) : x+2y+z+2=0 , cách đều hai mặt phẳng

Ví dụ 2 (ĐH-KA-2006).

Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với

A(0;0;0),B(1;0;0) ,D(0;1;0),A’(0;0;1) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD a/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN

b/ Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc  , biết

1

os

6

c  

A

B

C D

I

O M

Tọa độ của các đỉnh còn lại : C(1;1;0),B’(1;01),D’(0;1;1) C’(1;1;1) a/ Ta có :

' 1;1;1 , 0;1;0 , ' ;0;1

2

Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C

và MN là :

' ,

A C MN A M

d A C MN

A C MN



  

  Hay :

1 1 1 1

1 1 2 2

1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1





b/ Mặt phẳng (Oxy) có n k  0;0;1 Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0

(P) qua A’(0;0;1) thì : c+d=0

(P) qua C(1;1;0) thì : a+b+d=0 Từ đó suy ra : c=-d (P) : ax+by+cz-c=0 (1)

Như vậy : n P a b c; ; 



Theo giả thiết :

 

.

 

  Như vậy :

b a c





 

2

Ví dụ 3.( Bài 53-tr127-BTHH12NC)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h Gọi I là trung điểm của cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI)

Giải

Ta chọn hệ tọa độ : OB trùng với Ox,OC trùng với Oy và OS trùng với Oz Do đó tọa độ các đỉnh xác định bởi :

M

z

y

x

A

B

C

D

A’

D’

N

2 2 2 2

;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ;0;0

B  C  A   D 

I 

 .M là trọng tâm tam giác SAC cho nên M(0;0;h/3)

Mặt phẳng (ABI) chính là mặt phẳng (ABM) Theo phương trình đường thẳng đoạn

2a

3

d S ABM h

BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

Bài 1 Lập phương trình tổng quát của mp   đi qua A2;1; 1   và vuông góc với đường thẳng xác định bởi 2 điểm B 1;0; 4 ,   C0; 2; 1   

Bài 2 Lập phương trình tổng quát của mp   đi qua hai điểm A2; 1; 4 ,   B3; 2; 1   và vuông góc với mp  :x y  2z 3 0 

Bài 3

a) Lập phương trình tổng quát của mp   đi qua A1;0;5 và song song với

 : 2 17 0

mp  x y z   

b) Lập phương trình mp   đi qua 3 điểm B1; 2;1 ,   C1;0;0 , D0;1;0 và tính góc nhọn  tạo bởi 2 mp   và  

Bài 4 Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng  : 2 0

 



 

   

góc với mp P x :  2y z   5 0

Bài 5 Viết phương trình mp P  chứa Ox và tạo với mp  : 2x y  5z 0 một góc 60 0

Bài 6 Trong không gian Oxyz

a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng qua M0;0;1 , N3;0;0 và tạo với

 

mp Oxy một góc

3

 b) Cho 3 điểm A a ;0;0 , B0; ;0 ,b  C0;0;c với a b c , , 0 thay đổi luôn luôn thỏa:

a b c  Xác định a b c, , sao cho khoảng cách từ O đến mp ABC  đạt GTLN

Bài 7 Viết phương trình mp   chứa gốc tọa độ O và vuông góc với 2

mp P x y z    và  Q : 3x 2y 12z  5 0

Bài 8 Cho A5;1;3 , B1;6; 2 , C5;0; 4

a) Viết phương trình mp ABC  Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mp ABC  b) Viết phương trình mặt phẳng qua O A, và song song với BC.

c) Viết phương trình mặt phẳng qua C A, và vuông góc với mp  :x 2y 3z  1 0

d) Viết phương trình mặt phẳng qua O và vuông góc với mp   và mp ABC 

e) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mp  , ABC và qua

 1;2;3

Bài 9 Xác định các tham số m, n để mặt phẳng 5x ny  4z m  0 thuộc chùm mặt phẳng có phương trình: 3x 7y z  3 x 9y 3z 5  0

Bài 10 Trong không gian Oxyz cho mp P m: 2x y z    1 m x y z    1  0 với m là

tham số

a) Chứng minh rằng với mọi m, mp P m luôn đi qua đường thẳng  d cố định,

b) Tìm m để mp P m vuông góc với  P0 : 2x y z    1 0

c) Tìm khoảng cách từ O đến đường thẳng  d

Bài 11 Trong không gian Oxyz cho 2 mp  : 2x y  3z  1 0,  :x y z    5 0 và điểm

1;0;5

a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng mp  

b) Viết phương trình mp P  đi qua giao tuyến  d của   và   đồng thời vuông góc với mp Q : 3x y   1 0

Bài 12 Cho A1;1;3 , B 1;3; 2 , C 1; 2;3

a) Kiểm chứng ba điểm A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình mp P  chứa

3 điểm này Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mp P 

b) Tính SABC và tính thể tích tứ diện OABC.

Bài 13 Cho A2;0;0 , B0;3;0 , C0;0;3 Các điểm M, N lần lượt là trung điểm OA và BC; P, Q là 2 điểm trên OC và AB sao cho 2

3

OP

OC  và 2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau.

Viết phương trình mp MNPQ  và tìm tỉ số AQ

AB

Bài 14 Trong không gian Oxyz cho A a ;0;0 , B0; ;0 ,a  C a a ; ;0 , D0;0;d với a 0,d  0

Gọi là hình chiếu vuông góc của O xuống hai đường thẳng DA, DB.

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng OA, OB Chứng minh rằng mặt phẳng đó vuông góc CD.

b) Tính d theo a để số đo AOB 45 0

Bài 15 Tìm trên trục tung các điểm cách đều 2 mp  :x y z    1 0,  :x y z   5 0 

Bài 16.

a) Tính góc của 2 mp P  và  Q cùng đi qua điểm I2;1; 3  ,  P chứa trục Oy,  Q

chứa trục Ox.

b) Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mp P ,  Q nói trên

Bài 17 Trong không gian Oxyz Xét AOBđều, nằm trong mp Oxy  có cạnh a, đường thẳng AB song song trục tung Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp Oxy  Cho 0;0;

3

a

S  

 

a) Xác định A, B và trung điểm E của OA, viết phương trình mp P  chứa SE và song

song với trục hoành

b) Tính d O P ;   Suy ra d Ox SE ; 

Bài 18 Trong không gian Oxyz cho các điểm A1;4;5 , B0;3;1 , C2; 1;0   và

 : 3 3 2 15 0

mp P x y z  Gọi G là trọng tâm của ABC Chứng minh điều kiện cần và

đủ để điểm M nằm trên mp P 