BO DE THI HSG TOAN 8 LAN 1

a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.. b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N.[r]

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 LẦN 1( GỒM 16 ĐỀ)

38

1 3 2





 x x x

Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt

cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S

a) Chứng minh Δ AQR và Δ APS là các tam giác cân

b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữnhật

c) Chứng minh P là trực tâm Δ SQR

d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC

e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng

Bài 6 : (0,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015

b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1 Chứng minh a3 + b3+ ab  2

1

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐIỂM Bài 1

(2 điểm)

a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4) 0,5 điểm

34

38

1 3 2





 x x x

=

3 2 2

3

11.2

1.31.2

1.32

Bài 2

(1,5

điểm) a) ( 6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1)

734

2

2 3y

x x x

 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình: S =

a) a) Δ ADQ = Δ ABR vì chúng là hai tam giác

vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và DA = BD

(cạnh hình vuông) Suy ra AQ=AR, nên Δ AQR là

tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có:

Δ ABP = Δ ADS

do đó AP =AS và Δ APS là tam giác cân tại A

b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác

vuông cân AQR và APS nên AN SP và AM

c) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA và RC là hai đờng cao của Δ

SQR Vậy P là trực tâm của Δ SQR

d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM = 1

2 QR

⇒ MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C

Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có

NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C Hay MN là trung trực của AC

e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nói cách khác,

bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đường

trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng

2

; y = 3

1

)

0,25 điểm

b) Ta có a3+ b3 + ab 2

1 (1)  a3+b3+ab -2

 2a2+2 - 4a + 2a2 - 1 0 4(a2- a +4

1) 0

Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 900 Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C,

bờ là đường thẳng AB vẽ AF vuông góc với AB và AF = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm

B, bờ là đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC và AH = AC Gọi D là trung điểm của BC Trêntia đối của tia DA lấy điểm I sao cho DI = DA Chứng minh rằng:

Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.

a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N Chứng minh rằng EMFN là hìnhbình hành

Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x x1 x 3 x 4 x 610

c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz =

Bài 3: (2,0 điểm)

a/ Rút gọn A =

12

a 

Để A nguyên

12

a



 nguyên  1  a = 1; a = 3b/ n5 + 1  n3 + 1  n2 (n3 + 1) - (n2 - 1)  (n3 + 1)  (n + 1)(n - 1)  (n3 + 1)

AB=AF (gt),ABI FAH (cùng bù với BAC),

BI = AH (cùng = AC)  ABI = EAH (c.g.c)

 AI = FH (2 cạnh tương ứng)

b/ Gọi K là giao điểm của DA và FH ta có:

  900

BAI FAK  , mà AFH BAI

hay AFK BAI nên AFH FAK 900

- Xét AFK có AFH FAK 900

6

- Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm của BD

- Chứng minh BEDF là hình bình hành

- Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF

- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O

b/ Xét ABD có M là trọng tâm, nên

13

- Xét BCD có N là trọng tâm, nên

13



; x =

7 132

1) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định

2) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trịcủa biến x

Bài 3 (3,0 điểm)

1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1

Tính giá trị của biểu thức: A =

1) (1,5 điểm) Tìm dư khi chia x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + 1 cho x2 - 1

2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2

Bài 6 (5,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC Đường chéo

AC cắt đường chéo BD tại O và các đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q

1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm của tam giác ABD

2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC

3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E, F.Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB

4) Chứng minh: AI + AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB

= a(a + b)3 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3

= (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2] 0,5

= (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3]

x

x x

Do đó: A =

 2( ) (2 )2

1( )( )( )( )( )( )

x y

Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là

Ta có: AO, BE là trung tuyến của ABDMà: AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm của ABD 0,5

Do đó: PQ = AC – AP – CQ =

1

3ACVậy AP = PQ = QC

Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳngAB

0,50,5

4

KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK

 EF là đường trung bình của KMI

1EF=

2KI



 KI = 2.EFSuy ra AI + AK = IK = 2.EF (4)

x  , với x là số nguyên.

Câu 5 (6,0 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD

ở E và cắt CD ở K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I Chứng minhrằng:

a) DK = CI

b) EF // CD

c) AB2 = CD.EF

Câu Nội dung Điểm

0,250,5b)

1

a) Tỡm số dư trong phộp chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho x2 + 8x + 12.

b) Tỡm mọi số nguyờn x sao cho x3 - 2x2 + 7x - 7 chia hết cho x2 + 3

14x 8x 93x 6x 9

a) Tam giỏc MHD đồng dạng với tam giỏc CMD

b) E là trực tõm tam giỏc ABN

Cõu 6 (2,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một điểm trên

đờng chéo AC sao cho BNM  900 Gọi F là điểm đối xứng của A qua N Chứng minh rằng FB  AC.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

Câu Nội dung Điểm 1

Cách 2 f(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 9

= x4 + 4x3 + 3x2 + 12x3 + 48x2 + 36x + 35x2 + 140x + 105 + 9

= x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 Thực hiện phép chia đa thức x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 cho x2 + 8x +

12 được thương là x2 + 8x + 10 và số dư là - 6

Vậy số dư trong phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 là - 6

Cách 3 Bậc của đa thức thương là 2 nên đa thức dư có dạng ax + b

Gọi đa thức thương là Q(x), ta có:

(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 = (x2 + 8x + 12)Q(x) + ax + b Cho x = - 2, ta có: - 1.1.3.5 + 9 = - 2a + b

2,0

0,250,250,250,250,50,50,250,250,250,750,50,25

0,250,250,250,250,250,5

0,250,250,50,250,250,5b)

Thực hiện phép chia đa thức B = x3 - 2x2 + 7x - 7 cho C = x2 +

3, ta được: Đa thức thương: x – 2; đa thức dư: 4x – 1

A = b+c − a a + b

a+c −b+

c a+b − c ≥ 3

Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD Gọi E, F lần

lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

x 2





 (0,75 điểm)

b)

1 x

(x+4)(x +5)+

1(x+5)(x +6)+

1(x+6)(x +7)=

118

¿ 1

x +41 − 1

x +7=

1

18 (0,25 điểm) 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)

Chứng minh : BEODFO g c g(   ) ⇒ BE = DF (0,5 điểm)

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)

b) Chứng minh: ∠ ABC= ∠ ADC ⇒ ∠ HBC= ∠ KDC (0,25 điểm)

ĐỀ SỐ 7 Bài 1: a) Thực hiện phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2)

b) Xác định a sao cho ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2

c) Tìm nghiệm của đa thức: x3 - 2x - 4

Bài 2: a) Tính S =

(c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a)       b) Chứng minh

Bài 5: Cho M là điểm nằm trong ABC, từ M kẻ MA’  BC, MB’ AC, MC’  AB

(A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng: a b c

MA ' MB' MC '

h  h  h = 1(Với ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của ABC)

Bài giải

Bài 1:

a) Thực hiện phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) = x - 2

b) Xác định a sao cho ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2

Vì ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2 nên x = 2 là nghiệm của đa thức ax3 - 2x - 4 , nên ta có: a 23 - 2 2 -

4 = 0  8a - 8 = 0  a = 1

c) Tìm nghiệm của đa thức: x3 - 2x - 4

Nghiệm của đa thức là các giá trị của x để

Vì (x + 1)2 + 1 > 0 với mọi x

A

1

Bài 5:

Cho M là điểm nằm trong ABC, từ M kẻ MA’  BC, MB’ AC, MC’  AB

(A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng: a b c

MA ' MB' MC '

h  h  h = 1(Với ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của ABC)

h S (2) và

MBA

SMC'

h S (3)Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế, ta có:

a) Trong ba số a, b, c có 1 số dương, 1 số âm và 1 số bằng 0; ngoài ra còn biết thêm

2

a b (b c) Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0

b) Cho x + y = 1 Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy

Câu 2: a) Giải phương trình: x 2 3 1  

b) Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và

Câu 3: Cho tam giác ABC; gọi Ax là tia phân giác của BAC, Ax cắt BC tại E Trên tia Ex lấy điểm Hsao choBAE ECH  Chứng minh rằng:

a) BE EC = AE EH

b) AE2 = AB AC - BE EC

Câu 4: Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD tại E; từ B kẻ đường

thẳng song song với AD cắt AC tại F

A



(3)Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm

AB AC - BE EC = AE.AH - AE EH

 AB AC - BE EC = AE (AH - EH) = AE AE = AE2

C©u 4:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

a) Vì AE // BC 

OE OA =

OB OC (1)

BF // AD 

OB OF =

OD OA (2)

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:

OE OF =

Bài 2: So sánh A và B biết:

a) A = 2002 2004 và B = 20032

b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) và B = 264

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD cĩ đường chéo lớn AC Hạ CE vuơng gĩc với AB, CF vuơng gĩc

với AD và BG vuơng gĩc với AC Chứng minh:

a) ACE ABG và AFC CBG

b) AB AE + AD AF = AC2

Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, cĩ Â = 600 Một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của tia BA

và DA lần lượt tại M và N

a) Chứng minh: Tích BM DN cĩ giá trị khơng đổi

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo gĩc BKD

x

C B

A

O

F D

E

C

B A

2

AG AB

 AB AE = AC AG (1)

CGB AFC 

AF CG CG =

AC CB AD(vì CB = AD)

 AF AD = AC CG (2)

Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có:

AB AE + AF AD = AC AG + AC CG

 AB AE + AF AD = AC(AG + CG) = AC AC

Vậy: AB AE + AD AF = AC2

Bµi 4:

a) BC // AN 

MB CM =

BA CN (1)

CD// AM 

CM AD =

CN DN (2)

Từ (1) và (2) suy ra

2

MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a

BA DN b) MBD vàBDN có MBD = BDN   = 1200

Câu 2: Giải phơng trình: (x + 1) = 4(x + 2x + 1)

Câu 3: Cho a, b, c thoã mãn:

a b c a b c Tính giá trị của biểu thức: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3)

Câu 4: Cho ABC có A 2B 4C 4       Chứng minh:

b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE

c) Tính chu vi của ADE nếu ABC là tam giác đều

a) Ta coự DMC = DME + CME = B + BDM     , maứ DME = B  (gt)

neõn CME = BDM  , keỏt hụùp vụựi B = C  (ABC caõn taùi A)

laứ tia phaõn giaực cuỷa BDE

c) chửựng minh tửụng tửù ta coự EM laứ tia phaõn giaực cuỷa DEC

keỷ MH CE ,MI DE, MK DB thỡ MH = MI = MK  DKM = DIM

 DK =DI  EIM = EHM  EI = EH

Chu vi AED laứ PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vỡ AH = AK)

ABC laứ tam giaực ủeàu neõn suy ra CH =

x −4+

2(x − 2).(4 − x) b) 6x2 - x - 2 = 0

C B

A

2

Câu 4 : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho DBDC=1

Câu 5 : Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự ở P

và Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M

Hướng dẫn giải

Câu 2:

Từ x + y + z = 0  x2 + y2 + z2 = - 2(xy + yz + zx) (1)

Ta cĩ: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy + yz + zx) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = - 6(xy + yz + zx) (3)

Thay (1) và (3) vào biểu thức A ta cĩ:

Gọi giao điểm của AH và BC là I

Từ C kẻ CN // PQ (N AB),

Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai cạnh bên

NP và CQ đồng quy tại A nên K là trung điểm CN  MK là đường

trung bình của BCN

 MK // CN  MK // AB (1)

H là trực tâm của ABC nên CHA B (2)

Từ (1) và (2) suy ra MK CH  MK là đường cao củaCHK (3)

Từ AH BC  MCHK  MI là đường cao của CHK (4)

O

K M

C D

B A

I K N

M

Q

P H

C B

A

Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của CHK MHCN  MHPQ

MPQ cĩ MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại M

Đề 12 Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn

2

n n 1m

n 1

 



 b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyêndương của n

c) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a2+b2 chia hết cho 13

1 + 5.7

1 + … +

1 2009.2011

Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh rằng biểu thức sau khơng phụ

thuộc vào các biến x, y, z :

c) Chu vi ADE khơng đổi

b) Ta cã:

61x

3

1xx

=

3 3

1+z +xz 1+z +zx = 1 không đổi

c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Chứng minh DH = DI, EI = EK

1 Tỡm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x  2dư 24, f(x) chia

cho x 2 4 được thương là 5x và cũn dư

2 Chứng minh rằng:

a b c b c a(  )(   )2c a b a b c(  )(   )2 b a c a c b(  )(   )2

3 2

2 1 x

y

E D

B

A

Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao

cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm

M, N

1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF

x x

2

x x





với0

2

x x

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được

x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:

 và còn dư là ax b Khi đó:

x z a

AB = AD ( gt)

0.75

N M

H F

E

B A

2

  0

BAF = ADM = 90 (ABCD là hình vuông) 

ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà

AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( vì AB // DC )

0.5

Suy ra tứ giác AEMD

là hình bình hànhMặt khác.DAE = 90  0(gt)

0.5

Lại có HAB = HBC  (cùng phụ ABH)ΔCBH ΔEAH

(c.g.c)

0.5

2 ΔCBH



a y b x x y2  2     xy a b  2 

bx ay 2 0

(luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra 

x y

Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có

Điểm toàn bài (20 điểm)

ĐỀ SỐ 14

Bài 1) (2 điểm).

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 -2x)( x2 -2x- 1) - 6

b) Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho các đa thức x-2; x+1 Tính 2a-3b

Bài 2) (2 điểm).

a) Cho an = 1+2+3+…+ n Chứng minh rằng an + an+1 là một số chính phương.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số

2 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1.

Bài 6: (3 điểm).Cho hình vuông ABCD, gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB, BC.

a) CMR: CE vuông góc với DF

b) Gọi M là giao điểm của CE và DF Chứng minh rằng AM = AD

Bài 7: (3 điểm).Cho tam giác ABC Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH.

a) Chứng minh rằng EC = BH; EC  BH

b) Gọi M, N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH Gọi I là trung điểm của BC Tamgiác MNI là tam giác gì? Vì sao?

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Từ (1) và (2) ta tìm được a = -12; b = -8Vậy 2a-3b = 0

1 điểm

2

a

Ta có an+1= 1 +2 +3 +…+ n + n + 1an+ an+1 = 2(1+ 2 + 3 +…+ n) + n + 1 = 2

( 1)2

1.5 điểm

3