Tài liệu Thuyết đồ thị - Cây pptx

Định nghĩa ̈ Định nghĩa cây: ̊Cây làđ àthị liên thông vàkhông cóchu trình ̊Một rừng p cây là một đ àthị gồm p thành phần liên thông, trong đ ùmỗi thành phần liên thông làmột cây ̈ Ghi c

Trang 1

Định nghĩa

̈ Định nghĩa cây:

̊Cây làđ àthị liên thông vàkhông cóchu trình

̊Một rừng p cây là một đ àthị gồm p thành phần liên

thông, trong đ ùmỗi thành phần liên thông làmột cây

̈ Ghi chú: Định nghĩa cây hàm ýrằng mọi cây đ àu không

chứa khuyên cũng không chứa cạnh song song

Trang 2

Lý Thuyết Đồ Thị - Cây - Khoa CNTT - Đại học KHTN 3

Định nghĩa

̈ Vídụ.G vàG1không làcây

(G1) (G)

Định nghĩa

̈ Ví dụ.(G2) và (G3) là cây (chú ý định nghĩa chu trình

của đ àthị cóh ớng trong chương I)

̈ Vídụ.G2 vàG3làcây (chúýđịnh nghĩa chu trình của đồ

thị cóh ớng trong chương I)

Trang 3

Định lý

̈ Nếu một cây T gồm n đỉnh với n ≥ 2 thì T chứa ít nhất

hai đỉnh treo

Định lý

̈ Xét một đ àthị G gồm n đỉnh, các khẳng định sau đây là

tương đương:

̊(a) Đồthị G làcây

̊(b) Giữa hai đỉnh bất kỳ của G, tồn tại duy nhất một

dây chuyền nối chúng với nhau

̊(c) G liên thông tối tiểu (nghĩa làG liên thông vànếu

xóa đi bất kỳ một cạnh nào của G thì nó không còn

liên thông nữa)

Trang 4

Định lý

̈ Xét một đ àthị G gồm n đỉnh, các khẳng định sau đây là

tương đương (tt):

̊(d) Thêm một cạnh nối 2 đỉnh bất kỳcủa G thì G sẽ

chứa một chu trình duy nhất

̊(e) G liên thông vàcón-1 cạnh

̊(f) G không cóchu trình vàcón-1 cạnh

Cây tối đại

(cây phủ, cây bao trùm, cây khung)

̊Cho G=(X, E) làmột đồthị liên thông vàT=(X, F) là

một đ à thị bộ phận của G Nếu T là cây thì T được

gọi làmột cây tối đ ïi của G

̈ Định lý (sự tồn tại cây tối đại)

̊Mọi đ àthị liên thông đều cóchứa ít nhất một cây tối

đ ïi

Trang 5

Cây tối đại

(cây phủ, cây bao trùm, cây khung)

̈ Thuật toán PRIM (tìm một cây tối đại của đồ thị G)

Cho G=(X, E) là một đ à thị liên thông gồm n đỉnh

Thuật toán sau đây cho phép tìm ra được một cây tối

đ ïi của G

̊Bư ùc1 Chọn tùy ýv ∈X vàkhởi tạo V := { v }; T :=

∅

̊Bư ùc 2 Chọn w∈X \ V sao cho có một cạnh e nào

đ ùcủa G nối w với một đỉnh trong V

̊Bư ùc 3 Gán V := V ∪{w} vàT := T ∪{e}

̊Bư ùc 4 Nếu T đ ûn-1 phần tửthìdừng, ngư ïc lại làm

tiếp tục bư ùc 2

Cây tối đại ngắn nhất

̊(a) Đồthị G được gọi làcótrọng nếu mỗi cạnh của G

được tương ứng với một số thực dương, nghĩa là có

một ánh xạnhưsau:

L: E ⎯⎯→|R+

e |⎯⎯→L(e)

̊Thuật ngữ thường dùng: trọng, trọng lư ïng, chiều

dài, chi phí, …

Trang 6

Cây tối đại ngắn nhất

̊(b) Trọng lư ïng (hay giá) của một cây tối đ ïi T trong

đ à thị liên thông cótrọng bằng với tổng trọng lư ïng

các cạnh trong cây:

L(T) = ∑(e∈T)L(e)

̊(c) Giả sử G liên thông có trọng Cây tối đại ngắn

nhất của G làcây tối đại cótrọng lư ïng nhỏnhất khi

xét trong tập hợp tất cảcác cây tối đ ïi cóthể cócủa

G

Thuật toán Prim

̈ Cho G=(X, E) là một đồ thị liên thông có trọng gồm n

đỉnh Thuật toán Prim được dùng để tm ra cây tối đ ïi

ngắn nhất của G

̈ Bư ùc 1 Chọn tùy ýv ∈X vàkhởi tạo Y := { v }; T := ∅

̈ Bư ùc 2 Trong sốnhững cạnh e nối đỉnh w với v màw ∈

X\V vàv ∈Y ta chọn cạnh cótrọng lư ïng nhỏnhất

̈ Bư ùc 3 Gán Y := Y ∪{w} vàT := T ∪{e}

̈ Bư ùc 4 Nếu T đ û n-1 phần tử thì dừng, ngư ïc lại làm

tiếp tục bước 2

Trang 7

Thuật toán Prim

̈ Cài đ ët thuật toán Prim

̈ Trong các thuật toán tìm cây tối đ ïi ngắn nhất chúng ta

cóthểbỏđi hư ùng các cạnh vàcác khuyên; đ ái với các

cạnh song song thì có thể bỏ đi và chỉ đ å lại một cạnh

trọng lư ïng nhỏ nhất trong chúng Vì vậy dữ liệu nhập

cho thuật toán thư øng là ma trận trọng lượng được qui

ư ùc nhưsau:

trọng lư ïng cạnh nhỏnhất nối i đ án j nếu có

̈ Lij=

0 nếu không cócạnh nối i đ án j

Thuật toán Kruskal

̈ Cho đ àthị G=(X, E)

̈ Bư ùc 1 Sắp xếp các cạnh theo thứ tự trọng lư ïng tăng

dần vàkhởi tạo T := ∅

̈ Bư ùc 2 Lần lư ït lấy từng cạnh e thuộc danh sách đã sắp

xếp Nếu T+{e} không chứa chu trình thì gán

T := T+{e}

̈ Bư ùc 3 Nếu T đ û n-1 phần tử thì dừng, ngư ïc lại làm

tiếp tục bước 2

Trang 8

̈ Đồ thị có gốc

̊Cho G=(X, E) là một đ à thị có h ớng Ta nói G là

một đ àthị cógốc nếu tồn tại đỉnh r ∈X sao cho từ r

cóđường điđ án tất cảcác đỉnh khác của đ àthị

̊Chú ý định nghĩa trong chương 1 về đường đi trong

đ àthị cóhư ùng

̈ Đồ thị (G1): các đỉnh b, c, d đ àu là gốc; đỉnh a không

phải làgốc

̈ Đồthị (G2) không phải làđ àthị cógốc

a

(G2)

d

Trang 9

̈ Cho G=(X, E) làmột đ àthị cóhư ùng Ta nói G làđ àthị

tựa liên thông mạnh nếu: với mọi đỉnh i, j ∈ X luôn tồn

tại một đỉnh k ∈X sao cho cóđường đi từ k đến i vàcó

đường đi từk đ án j

̈ Nhận xét:

̊Từcác định nghĩa ta suy ra ngay tính chất sau đối với

một một đ àthị cóh ớng:

Cógốc ⇒Tựa liên thông mạnh ⇒Liên thông

̊Do tính chất h õu hạn của các đ àthị trong giáo trình

nầy, chúng ta cũng cóđịnh lýsau đây

̈ Định lý.

Trang 10

̈ Cho G=(X, E) làmột đ àthị cóh ớng G được gọi làcây

cóhư ùng nếu:

̊(a) G không cóchu trình,

̊(b) G cógốc

̈ Ghi chú

̊Theo định nghĩa trong chương 1, một chu trình cóthể

không kểđến hư ùng của các cạnh

̊Từđịnh nghĩa ta suy ra cây cóh ớng cũng làcây

̊Khái niệm cây có h ớng trong định nghĩa trên vẫn

còn tổng quát hơn khái niệm cây trong các giáo trình

tin học (chẳng hạn như giáo trình cấu trúc dữ liệu)

Các cây trong các giáo trình tin học được vẽ ra giấy

với nút gốc được vẽ trên cùng, nút cha luôn ở phía

trên, ngoài ra phải cósự phân biệt giữa cây con bên

trái vàcây con bên phải

Trang 11

̈ Hai cây cóh ớng (T1) và (T2) xem như đ úng cấu nhau

trong giáo trình lý thuyết đ à thị nhưng chúng là hai cây

hoàn toàn khác nhau trong giáo trình cấu trúc dữ liệu

(T1) A

C B

F

(T2) A

E

̈ Cho G=(X, E) là một đ à thị có h ớng gồm n đỉnh Các

điều sau đây tương đương với nhau

̊(a) G làmột cây cóh ớng

̊(b) G có một đỉnh r và từ r tồn tại một đường đi duy

nhất đ án tất cảcác đỉnh còn lại

̊(c) G tựa liên thông mạnh tối tiểu (tức lànếu xóa bớt

bất kỳ một cạnh nào thì G sẽ không còn tựa liên

thông mạnh)

Trang 12

̈ Cho G=(X, E) là một đ à thị có h ớng gồm n đỉnh Các

điều sau đây tương đương với nhau

̊(d) G liên thông vàcóđỉnh r sao cho:

d-(r)=0 vàd-(i)=1, ∀i∈X\{r}

̊(e) G không cóchu trình vàcóđỉnh r sao cho:

d-(r)=0 vàd-(i)=1, ∀i∈X\{r}

̊(f) G tựa liên thông mạnh vàkhông cóchu trình

̊(g) G tựa liên thông mạnh vàcón-1 cạnh

̈ Ghi chú:

̊Đỉnh r trong định lý trên là duy nhất và được gọi là

gốc của cây cóhư ùng

̊Mỗi đỉnh i∈X, i≠r do d-(i)=1 nên có duy nhất một

đỉnh j mà cạnh liên kết với (j, i) hư ùng vào i, đỉnh j

được gọi đỉnh cha của I

̊Nếu đỉnh x∈X thỏa điều kiện d+(x)=0 thì x được gọi

làlácủa cây cóh ớng

Trang 13

̈ Cho G làđ àthị cóh ớng

̊(a) Nếu G có chứa một đồ thị bộ phận là cây có

h ớng thìG tựa liên thông mạnh

̊(b) Nếu G tựa liên thông mạnh thì G có chứa một đ à

thị bộphận làcây cóh ớng

̈ Ghi chú

̊Nếu G tựa liên thông mạnh, T làmột cây cóh ớng là

đ àthị bộphận G thìT cũng được gọi làcây cóh ớng

tối đ ïi của G

Ma trận Kirchoff

Định nghĩa

̈ Cho G=(X, E) làmột đồthị cóh ớng Ta định nghĩa ma

trận K nhưsau:

d-(i) nếu i=j

̈ Kij=

-Bijnếu i≠j (Trong đ ùBijlàphần tửởdòng i cột j của ma trận kề)

Trang 14

Ma trận Kirchoff

̈ Định lý(Kirchoff)

̊GiảsửG làđ àthị cóhư ùng đơn, n đỉnh, n-1 cạnh có

ma trận Kirchoff làK

̊Gọi K(1, 1) là ma trận có được từ ma trận K bằng

cách bỏđi dòng 1 vàcột 1,

̊khi đ ùG làcây ngoài cógốc tại đỉnh 1∈X khi vàchỉ

khi det K(1, 1)=1

Tiêu đề	Cây
Trường học	Đại học KHTN
Chuyên ngành	Lý Thuyết Đồ Thị
Thể loại	Bài thuyết trình

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	203,31 KB