SO PHUC MOI NHAT CO HUONG DA LAM TRAC NGHIEM

Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào đúng... z là số thuần ảo.[r]

Chuyén dé 01 :

SO PHUC

A - CAC TINH CHAT

1Sối: Số ¡ được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i* =—1

2 Số phức : Cho a và b là hai số thực và ¡ là đơn vị ảo, khi đó z = a + bỉ

được gọi là số phức

- Phân thực: a (ký hiệu: Re(z)= a)

- Phân ảo: b (ký hiệu: lm(z) = b)

Tập hợp tắt cả các số phức kí hiệu C

3 Hai số phúc bằng nhan: ai + bị = a; + bại © (

b, = by

*Các trường hợp đặc biệt của số phúc:

+Số thực cũng là số phức"có phần ảo bằng 0": a= a+0i

+86 phirc 0+bi duoc gọi là số thuần ảo: bi = 0 + bi

4.Biểu diễn hình học của số phức: Trên mặt phẳng tọa độ điểm Ma ; b) là

điểm biểu diễn của số phức z = a + bi

5 Mô đun của số phức : Với M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức

z=a+bithì r=|OM|= z|= Na” +b? (thường kí hiệu HỆ

6 Số phức liên hợp: Cho z = a+bi Số phức liên hợp của z là: z = a— bi

° Ly h_ = LK

Nhdn xét: * z.z=a° +b =|z| =|; *“z=z° =|:

7 Cúc phép toán : Cho hai số phức: z¡ = ai + bại và Z¿ = a;+ bại

* Phép cộng: Zy+ Zo= ayt ao+(b)+b>)i

* Phép trừ: Z1— Zo= ay— az+(b¡—b¿)1

* Phép nhân: Z1 Z2= aI3z— b¡b; + (aiba+azab¡)1

* Phép chia : “<2, (z, #0)

<2 kg Xo

* Phép nghịch dao: peatbin—=4=-4+-_4

Z ZZ H a +b“ a +Đb

* Phép lũy thừa: z” = (a + bi)’ = > a” *b* ik

k=l

Chú ý: =L, =ỉ, @ =-1, P=-i, Ứ=]

i =), G °° =i, [ “=-L "ở =-¡, (keRÑ)

Khi thực hiện phép toán có thê xem như ¡ là ân và tính giống như phép toán đôi với đa thức và lưu ý các kêt quả trên

ở phương trình bậc hai với hệ sô thực

s* Với q < 0 có 2 căn bậc 2 của a là ¬ ¡Na Í

s* Phương trình: ax’ + bx+c=0 (T) có A=b -4ac, A'=b“—ac, p=2

—b+VA -b+ŸA'

+) A> 0: thi (1) có 2 nghiệm phân biệt xị 2=

+) A =0: thì (1) có nghiệm kép xị = Xxa= ——=——

2a a

+) A < 0: thì (1) không có nghiệm thực.Tuy nhiên trong tập hợp số phức,

-b+iv|A|_ -b#j/|A' (1) có 2 nghiệm phân biệt: xị2= 5 LAI = ivlA'|

B - CAC DANG TOAN

Dang 1: Thi hién cac phép toan trén C:

Vidu 1: Tinh: a) (1—2i)’ (2+i) b)d+ = =¡ C) z=(I-i)’

Giải:

a) (I-2Ÿ(2+ =[(-2)(2+?)ÏƑ(-20

=(2+2-4i+i} (I-2i) =Œ-240(1-2i)

=7~4§~24i—14i =~41—38i

-(+2j+2/+2) _I+12i TL 12,

3

c) z=(I-j = 1 _ (1+) | y ( )

[00] 7

_[z0+j)_=0+)_1 1,

b) (1+ 2i)+

27 2 16 16

Ví dụ 3*: Tính a) z=l+i+i ` + +Í”; b) z=lI-i+Í-

a) Ta cóz(I—jÐ=(I+i+/+ +/”)1I—Ð

Nhóm toán 12- THPT Nguyễn Văn Linh - Ninh Thuận BT: Nguyễn Đức Thắng 2

— 12013 _ 72013 _ yg y!006 (ˆ) ft _ 4g _¢_ 7106 fg gg (]) =o ¬ b) Ta có zq+0=|(I=i+f= .+["”)- 7? +i)

=(1-i4+? - 47" )d+)-P +i)

1007 -2013 013 _ 72013 _ 720 =I-(#) ;2013 _ ;2014 2 —2 l+¡

* Lưu ý: Với mọi nñe Ñ” và m là số tự nhiên lẽ thì

a" —b" =(a—b)(a" | +a" *b+ 4ab"* +b"")

a" +b” =(a+b)(a"' —a"*b+ -ab”’ +b")

Ví dụ 4*: Viết sô phức sau ở dạng đại số:

a) (1- } ” > b) z= (vis v2 2 +i V2 “) c) Z= ( B+i)

Giải:

a) (1 — iy = (( _ i) \"" đ~Ð=(-2Ð'941—j) = 2100 (I~Ð= 2100 _ 2100;

= (14 V2—V241-2vi+ W221) © _ (2 _ ai) — 21006 (I _ iy

_ 71006 (-2i}” _ 71006 (-2Ÿ” (ứ " 53a 2159;

c) z= (V3 + i) } (V3+i) =(8i)" (V3 +1) =8°" (V3 +i)

=8(?)” i(V3 +1) =-8°i(V3 +/) =8 -8"' V3

Dang 2: Tim phan thực,phẫn äo - Xác định số phức

- Xúc định sô phức đôi và sô phức liên hợp

1006

*%* z=a+bi(a be], = - 1) thì a là phần thực, b là phân ảo

* Ghi nhớ các phép toán của sô phức

* PDiéu kiện băng nhau cua hai số phúc

Ví dụ 1: Tìm các sô thực x và y, biết: (2x— y)+(3x-— y)¡=(2+ y)+5i

Giai:

Ta có: (2x— y)+(3x- y)/=(2+ y)+5¡

Vay x=2 vay=1

Ví dụ I: Tìm môäun của số phức z= feat 2(-1+i)

Giai:

(2+i)(2-i)

Vay médun: |z| = 4 27+ = N13 (có thể bằm máy)

Z=

Ví dụ 2: Tìm phần thực và ảo của: z = — —20)”

Giải:

Taco: z= | (2- 2i) | (2 —2i) = (8i)° (2 —2i)

= —8°.24+8°.2) =-2" 423

Phan thuc a= —-2'?, phan a0 b= 2”

Dang 4: Tim tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn điêu kiện nào đó:

Buéc 1: Gia sit M(x; y) la diém biéu dién cla z=x+ yi (x,yeR)

Bước 2: Giả thiết © phương trình ấn x và y (mối quan hệ)

Bước 3: Kêt luận

Ví dụ 1: Xác định tập hợp các điềm yore mặt phăng phức biểu diễn số phức z

=1;c) |z|= |£- 3+4l|

thỏa điều kiện sau: a) |z — il = =

Giải:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức

a) Voiz=x+ yi (x,yEeR) > |z—i| =1©lxz+(y-Đi =]

eyrty-l =loex +(y-ly =1

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 1

Z—1

+1

2 |x+(y-Dil=|x+Qt Di] x? +(y-1) =x +(ytl1) © y=0

Tập hợp các điểm M là trục thực Ox

Nhóm toán 12- THPT Nguyễn Văn Linh - Ninh Thuận BT: Nguyễn Đức Thắng 4

c) Vol z=x+ yi (x,yeEeR)

= |z|=|£-3+44| ©|x+ yi|=|(x—3)+(4- y)|

Sx ty =(x-3) ` +(4- y) "` ©6x+8y—25=0

— Tập hợp các điểm M là đường thắng 6x +8y— 25 =0

Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa

mãn điêu kiện: |— 3| + |z + 3| = 10

Giải:

Đặt z = x + yi ( với x; yeR) —=Mx ;y) là điểm biểu diễn của z

Khi đó :|z— 3|+ |z+3|= 10 © (x3)? +? +(e 3" ty? =10

<> MF, + MF, = 10 (Voi F;(—3; 0) ; F23; 0) )

— Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là elip có trục lớn 2a =10; tiêu cự 2c = 6—> Trục nhỏ 2b = 8

2 2

Vậy phương trình của elip là: ~ 4,2 =]

16

Ví dụ 4: Cho các số phức z thỏa mãn |z| =4 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (3+ 4i)z +¡ là một đường tròn bán kính z Tính rz

Giải: ˆ ¬ Dat w =x + yl ( v61 x; yE R) —=M(x ;y) là điêm biêu diễn của w

Tacó: w=(3+4i)z+r<> x + yIi=(3+4i)z+<>z= -(X+yl)————

2-(3- ijn "

25 25 7 25 25

—— + —X4+— Y-—I- XI + — yl

25 25 25 25 25 25

<><-=

25

Ap dụng khai triển (++b+c)} =a?+b? +c? +2ab+ 2bc + 2ac

<©(Gx+4y—4)+(3y—4x—3)” =1007

<©+xˆ +(y—1)ˆ =400—z =4400 =20

Vay dap an C

Cách khác: Cho z băng một sô phức có mô đun là 4, ví dụ z=4

w=(3+4j)z+¡=12+17¡ — M,(12;17) là 1 điểm biểu diễn của w

Tương tự ta tìm được 2 điểm M⁄,(16;—11) và M,(—12;—15)

Giả sử phương trình đường tròn đi qua ba điểm M »M,,M,la:

x’ + y? —2ax—2by+c=0 (ban kinh R=Va’ +b’ —c)

Thé toa d6 3 diém M,,M,,M,vao phuong trinh duong tron duoc hé:

12° +17° —24a-34b+c=0 a=0

16° +11 —32a4+22b+c=024b=1 (Chuyén vé, bam may)

12° +15°+24a+30b+c=0 = |c=-399

R=¥V0° +1° +399 =20

Dạng 5:Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Bước 1: Đặt z=a+ bi (a,be R)

Bước 2: Giả thiết © hệ phương trình ân a và b

Bước 3: Giải hệ — Kết luận

Ví dụ 1: Tìm phần thực,ảo của số phức z thỏa: (2-37)z+(4+ï)z=-(I+ 3i)

Giải:

a) Gọi z = a + bị ( với a; be R), ta có:

(2-3)z+(4+i)z=-(1+3}

© (2-3i)(a+ bi) +(4+i)(a—bi)=—(14 3i)

4b = =-2

60+ 4b— (a+ 2b) =8-61 <2 |" 4 sets 2a+2b=6 ` |b=5

Vậy phần thực a =2, phần ảo b = 5

Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm phức: z+ 2 ~g§—6ï z

Giải:

*Giast z=atbi (ab eRvad +b #0)

>z=a-bi › —————TT—

z atbi atb

* Khi đó phương trình z+27=§_-6¡cxa-pi+ SŒ—P) _

Io +b.+25)=8(a b(4+b?+25)=6(a°+b?) (2) +) Œ)

8 — 61

* Lây (1) chia (2) theo vê ta có b= Tu thê vào (1)

Nhóm toán 12- THPT Nguyễn Văn Linh - Ninh Thuận BT: Nguyễn Đức Thắng 6

Ta có a = 0 hoặc a = 4

* Vớia=0>b=0 (Loại)

* Với a=4=>b=3 Ta có số phức z= 4 + 3i

Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn |z—1|=5 và 17z+z)—5zz=0

Giải:

Đặt z= a+ bi (a,b e R), ta có:

lz—1|=5 ©aj(a~ 1)” +b° =5 a? +b? - 2a =24(1) Mặt khác:

174+z)—5z.c=0«€>a?+b? - a (2)

Thay (2) vào (1) được 54 =24<>a=5

Kết hợp với (1) có b =9 <>b=3,b=—3

Vậy có hai số phức thỏa mãn là: 5+ 3 và 5 — 3i

|Dạng 6: Giải phương trình hệ số thực trên C |

Vidul: Tim zthoa (1 + 21)z=3z-1

Giải:

Tacó(S—1-2¡)z=¡ ©z=

2-2

Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập số phức

a) zZ°+5z°-l4=0 ; b)z(”-l(z+2)=3

Giải:

7 =-7 =+i7

a) 8452°-14=00|" |” iNT

Vậy phương trình có bốn nghiém 1a +iV7 va tv2

b) 2(z7-IW(z+2)=3 ®(z”+z)(zÏ+z—2)=3

Đặt t =z” + z, phương trình trở thành t(t—2) =3<>t=-—l hoặc t= 3

B

*) Voit=—-l 721z=-Lez=- ki

1 vB

*) Voit =3 Sz+z=3@z=-r+tT~

Vay tap nghiém raft BB I BB}

Luu y: Dang (z+ a)(z+b)\(z+c)(z+d)=e

Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên C: z>+1=0

Giải:

Tacó: z°+I=0©(z+1)(z”—z+1]=0 =|

1+iV3

2

<=-l

z —z+1=0

1t+iV3

Vay phuong trinh cé ba nghiém 1a -1 va 7

Vidu 4: Goi Z,;Z, la cac nghiém phic cia phương trình:

Giai:

Tacó: z“—=4z+5=0<> (bâm máy)

Z,=2+i

Khi đó: (4-1) +(z-1 =(-) +(0+П”

=a-0[d-[ +(+j[a+Ƒ”

=(1-i) (-2i)"" +(14i) (21)

= 2! 71-1) + 2° 11+.) = 2101 + -1 4 = -2'°

C CÁCH SU DUNG MAY TINH

Sử dụng hiệu quả cho các loại máy tính casio-fx570 ES PLUS và Vinacan fx570 ES PLUS hoặc các loại máy có chức năng tương đương

1 Sử dụng máy tính để tính bều thức

Bam: —>|2|—>[nhap biéu thire cần tinh|—>H

(máy sẽ không tinh duoc với (a+bi)” khi n >3)

2 Giải phương trình với hệ số thực

Bam: {model —>5]—>\chon dung dạng|—>|Nhập hệ só|—>-|—>|H

3 Tìm mô đun: Bằm: |model —>P|—>| la+bil—>E

Ví dụ 1( thử nghiệm lần 1- năm 2016-2017)

Nhóm toán 12- THPT Nguyễn Văn Linh - Ninh Thuận BT: Nguyễn Đức Thắng 8.

Giải

Bam: —> w=i(2+5i)+(2—5¡) —>E|

được kết quả: B ww=—3-— 3i

Ví dụ 2 ( thử nghiệm lần I- năm 2016-2017) Kí hiệu z¡, z„, z; và z„ là bôn

nghiệm phức của phương trinh z* — z* -12=0 Tinh T =|z,|+|z,|+|z,|+|z,|

A.T=4 B.T=2V3 C.7=4+ 2V3 D.7=2+2N3

Gidi

Vi phương trình trùng phương bậc 4 được xem như là bậc hai với ân Z'

Bam: —>|5 |—>|chon PT bac hail—>Nhap hé sé a=1,b=-1,c=-12|

z”=4 Zy2 = +2

> —>H —> Ta được kêt quả › >

£ =-3 <3/4 = +iv3 Bam: —>2| >| nhap | 2é| +] -2i| +|iV3 |+|-iv3 |] OE

Được kết quả C.7= 4+ 24/3

Ví dụ 3 Xét sô phức z thỏa (1+ 27) | z|E———— 2+ Mệnh đề nào đúng

⁄

A Š<|z|<2 B.|z|>2 C.|z|<— p.t4zk2

Giải Dat z=a+bi (a,b € R)

vI0 „ , vI0 -2+¡

Ta có d+20|ZE——~2+? ©|zlE

zd+2i) 1421

elzk M10 209, +7 (Thực Z| 5 hién bam may 142i HT va vi0 ) 142i

Va +b = «nf 28),

¬———.ˆ_

_3a/8, sÌủ, I=0 Ca hai vé cua Q) vớ

Jaap - 610 _2bV10 oy) 5 5 do

—2a+—==b

vI0 55 0

(Phương trình (*) có 2 nghiệm nhưng ta chỉ cần tìm 1 nghiệm là được)

Tima: Bam: Tod! Tl nhap |—>|phuong trinh (*) lay an x thay al

—>SHIFT| >|SLOVE|—>| nhap X tùy ý (nên nhap x =1)

—>|Máy cho kết quá X = 0,9486 |—>|SHIFT| —>|STOl—>| A|

(kết quả đã lưu vào ô A)

Tim b: Bam |-2]—> Alpha)» —> H—>Máy cho két qua -0,3162 ]

—>|SHIFT| —|STO|>|B] (kết quá đã lưu vào ô B) Tim mé dun Va? +b?

Bam —>|A] + ->lB]—> H—>|Máy cho kết qua 1a 1]

Vay Va? +b° = 1 Đáp án đúng là D

Cách giải khúc trên mạng: |

Dé cho don giản ta tiên hành thử các đáp án:

I0 vI0

(+2Ð|zEŸ—-2+¡i©z=—————— z (1+2i)| z|4+2-i

Chuyển máy tính vẻ chế độ : Bắm [|

2jI0 V10,

( Mâu thuẫn | z |=0 )

_ MU — —>=—>Kết quả ,- 3Ú0_ v10,

( Thỏa mãn | z|= 1)

* Cho| z|=0 >Bam may z=

* Cho| z|= 1—>Bâm máy z=

Nhận xét: Cách làm này là làm mò nên có thê bâm đên hàng trăm lân mà không thu được kêt quả đúng

Nhóm toán 12- THPT Nguyễn Văn Linh - Ninh Thuận BT: Nguyên Đức Thang 1).

D BAI TAP TRAC NGHIEM

CAC CAU TRONG DE THI MINH HOA LAN 1 VA LAN 2

Câu 1 Cho số phức z = 3 — 2i Tim phan thuc va phan ao cua sé phức z

A Phan thực bằng 3, phan ao bang —2i, B Phan thực bằng 3, phan ao bang —2

C Phan thuc bang 3, phan ao băng 2i D Phan thuc bang 3, phan ao bang 2

Cau 2 Cho hai sé phitc z, =1+i va z, =2—3i Tính môđun của số

phức z¡ + z¿

\ › \ Í A.|z+z|=v13 B.|z,+z¿|=A5 pocorn: +

C la +z¿|=1: D |z+z¿|=Š - |

Câu 3 Cho số phức z thỏa mãn (1+ i)z =3-i Hoi !

điểm biểu diễn của z là diém nao trong cac diém M, N, P, Q rol

A Diém P B Diém Q

C Diém M D Diém N

Cau 4 Cho sé phirc z= 2+5i Tim sé phitc w=iz+z | — “Q

A w= 7-31 B w=-3-31 C w=3+ 71 D w=-7-T7i

Câu 5 Kí hiệu z,,Z,,Z,vaz, 1a bốn nghiệm phức của phương

trinh z* — z” —12=0 Tính tổng T = H +|z,| +|z,| +|z,|

A.T=4 B.T=2V3 C T= 44 2V3 D.7=2+ 243

Câu 6 Cho các số phức z thỏa mãn|z| =4 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các sô phức w = (3+ 4i)z+¡ là một đường tròn bán kính z Tính z

Câu 7 Điệm M trong hình vẽ bên là điệm biêu diễn

của sô phức z Tìm phân thực và phân ảo của sô phức z y

A Phan thuc la —4 va phan ao la 3

B Phan thyc la 3 va phan ao la —41

C Phan thực là 3 và phân ảo là —4

D Phân thực là —4 và phân áo là 31

Cầu 8 Tìm số phức liên hợp của số phức z = ¡(3i + l)

A.z=3-i B.z=-3+i Ccc=3+i D.z=-3-i

Câu 9 Tính môđun của số phức z thoa man (2—i)z+13i=1

5434

—:

A |z|=34 B |z|=34 C |z|=

Nhóm toán 12- THPT Nguyễn Văn Linh - Ninh Thuận BT: Nguyên Đức Thang 11

Cau 10 Kihiéu Zp la nghiém phire co phân ảo dương của phương trình z —16z+17=0 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây la diém biéu diễn của số phức W IZ, ?

A (5:2 B m,(-5:2} C u(-41) D HH)

Câu II Cho số phức z = a+ bị (a,be R) thỏa (1+1)z +2z=3+ 2i Tính P=a+b

, cA nine > than ma yp MIO 5.) vie ak os

Câu 12 Xét sô phức z thỏa mãn (I+ 2?) | z|E———~ 2+ỉ Mệnh đề nào sau

z

day dung

A —<|z|x2 B.|z|>2 C.|z|<— D —<|z|<=

CÁC CẬU KHÁC

Câu 13 Tìm mệnh để sai trong các mệnh dé sau:

A Sô phức z = a + bị được biêu diễn bang diém M(a; b) trong mat phang Oxy

B Số phức z = a + bi có môđun là \a” + bf

a=0

b=0

D Sô phức z = a + bi có số phức đối z =a— bi

Câu 14 Cho hai sô phức z = a + bị và z” = a'` + b1 Sô phức zz” có phân thực là:

C.Sé phic 2a bi=04> |

Câu 15 Trong C, phương trình zˆ + 4= 0 có nghiệm là:

Câu T6 Trong C, phương trình 1 = [—1 có nghiệm là:

z+

Câu I7 Thu gọn sô phức z = - ta được:

1-1 3+21

Câu 18 C6 bao nhiéu so phic trong cac s6 21; 3; -7; 1 + 31?

Câu 19 Môdun của sô phức z = 3 — 41 là:

Nhóm toán 12- THPT Nguyễn Văn Linh - Ninh Thuận BT: Nguyên Đức Thang 12.