Để vẽ điểm K đối xứng với điểm H qua gốc tọa độ, ta vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm O và H, rồi lấy điểm K thuộc OH sao cho O là trung điểm của đoạn KH.. Cho hình bình hành ABCD.[r]
Trang 1Bài 29 Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 4cm, góc nhọn ∠B=650
Sử dụng phương pháp dựng tam giác vuông đã được học
Ta lần lượt thực hiên:
– Vẽ đoạn BC = 4cm
– Vẽ tia Bx tạo với BC một góc 650
– Vẽ đường thẳng a qua C và vuông góc với Bx và cắt Bx tại A
Khi đó ∆ABC là tam giác cần dựng
Bài 30 Dựng tam giác ABC vuông tại B, biết cạnh huyền AC = 4cm, cạnh góc vuông
BC = 2cm
Sử dụng phương pháp dựng phương pháp vuông đã được học
Ta lần lượt thực hiện:
– Vẽ góc vuông xBy Trên tia Bx lấy điểm C sao cho BC = 2cm
– Vẽ đường tròn (C; 4) và đường tròn này cắt tia Oy tại A
Nối A với C ta được ∆ABC là tam giác cần dựng
Bài 31 trang 83 Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = AD = 2cm, AC = DC =
4cm
Hãy phác thảo hình vẽ để dẫn dắt bài toán về việc đầu tiên là vẽ một tam giác Đỉnh còn lại được xác định nhờ định nghĩa hình thang kết hợp với một giả thiết còn lại
Học sinh tự vẽ hình
Ta lần lượt thực hiện:
– Vẽ ∆ACD bằng cách:
+ Vẽ đoạn CD = 4cm
+ Vẽ đường tròn (C; 4) và đường tròn (D; 2), chúng cắt nhau tại A
Nối A với C, D ta được ∆ACD
Trang 2– Xác định điểm còn lại B bằng cách:
+ Vẽ tia Ax song song với tia DC
+ Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 2cm
Nối B với C ta được hình thang cần dựng
Bài 32 Hãy dựng một góc bằng 300
Cách dựng:
– Dựng tam giác đều ABC có độ dài cạnh bất kỳ, chằng hạn bằng 2 cm
– Dựng phân giác trong của một góc bất kỳ, Chẳng hạn góc ∠ABC là tia BD, Góc ∠DBC
= 300 là góc cần dựng
Chứng minh:
Theo cách dựng thì ΔABC là tam giác đều ⇒∠ABC = 600 ⇒ ∠DBC = ∠ABC/2 = 600 /2 =
300
Bài 33 trang 83 Dựng hình thang cân ABCD, biết đáy CD=3cm, đường chéo AC =
4cm, ∠D = 800
Hướng dẫn giải bài 33:
Cách dựng: – Dựng góc xDy = 800 , trên tia Dx dựng đoạn thắng DC =3cm
– Dựng đường tròn tâm C, bán kính R=4cm cắt tia Dy tại A
– Dựng tia At song song với tia DX và dựng đường tròn tâm D, bán kính R = 4cm cắt tia
At tại B Hình thang ABCD cần dựng
Chứng minh: Theo cách dựng ta có AB//CD và AC = BD = 4cm ⇒ Tứ giác ABCD là hình thang cân thỏa mãn điều kiện bài toán
Bài 34 trang 83 Dựng hình thang cân ABCD, biết ∠D = 900 , đáy CD = 3cm, cạnh bên
AD =2cm, cạnh bên BC = 3cm
Trang 3Cách dựng:
– Dựng tam giác ADC vuông tại D, biết hai cạnh góc vuông DC =3cm và DA = 2cm – Dựng tia Ax//CD (Cùng phía với C đối với AD)
– Dựng đường tròn tâm C, bán kính R =3 cm cắt tia Ax tại hai điểm B và B1 Hình thang ABCD hoặc AB1CD dựng được
39
a) Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (h.60) Gọi C là điểm đối xứng với A qua d Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng BC Gọi E là điểm bất kì của đường thẳng d (E khác D)
Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB
b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đến vị trí B (h.60) Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên di là con đường nào ?
Bài giải:
a) Ta có AD = CD nên AD + DB = CD + DB = CB (1)
và AE = CE
nên AE + EB = CE + EB (2)
mà CB < CE + EB (3)
Nên từ (1) (2) và (3), suy ra
AD + DB < AE + EB
b) Theo câu a con đường ngắn nhất mà bạn Tú phải đi là con đường ADB
Bài 43 Các tứ giác ABCD, EFGH, MNPQ trên giấy kẻ ô vuông ở hình 71 có là
hìnhbìnhhành hay không ?
Trang 4Cả ba tứ giác là hình bình hành Vì:
– Tứ giác ABCD có: AB // CD và AB = CD =3 (dấu hiệu nhận biết 3)
– Tứ giác EFGH có: EH // FG và EH = FH = 3 (dấu hiệu nhận biết 3)
– Tứ giác MNPQ vì có MN = QP và MQ = NP (dấu hiệu nhận biết 2)
Chú ý:
– Với các tứ giác ABCD, EFGH còn có thể nhận biết là hình-bình-hành bằng dấu hiệu nhận biêt 2
– Với tứ giác MNPQ còn có thể nhận biết là hình-bình-hành bằng dấu hiệu nhận biết 5
Bài 44 Cho hình bình hành ABCD Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của
BC Chứng minh rằng BE = DF
Tứ giác BEDF có:
DE // BF ( vì AD // BC)
DE = BF (DE = 1/2AD = 1/2BC = BF)
Nên BEDF là hình-bìnhhành
Suy ra BE = DF
Bài 45 trang 92 Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác của góc D cắt AB
ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F
a) Chứng minh rằng DE // BF
b) Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ?
Trang 5Ta có :
Do đó DE // BF ( có hai góc đồng vị bằng nhau)
b) Tứ giác DEBF có:
DE // BF (chứng minh ở câu a)
BE // DF (vì AB // CD)
Nên theo định nghĩa DEBF là hình bìnhhành
Bài 46 Các câu sau đúng hay sai ?
a) Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình-bình-hành
b) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình-bình-hành
c) Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau là hình-bình-hành
d) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình- bình-hành
Giải: a) Đúng, vì hình thang có hai đáy song song lại có thêm hai cạnh đáy bàng nhau
nên là hìnhbìnhhành theo dấu hiệu nhận biết 5
b) Đúng, vì khi đó ta được tứ giác có các cạnh đối song song là hìnhbìnhhành (định nghĩa)
c) Sai, vì hình thang cân có hai cạnh đối (hai cạnh bên) bằng nhau nhưng nó không phải là hình-bình hành
d) Sai, vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó không phải là hình-bình-hành
Bài 47 Toán 8 (Hình) Cho hình 72, trong đó ABCD là hìnhbình hành.
a) Chứng minh rằng AHCK là hìnhbình hành
b) Gọi O là trung điểm của HK Chứng minh rằng ba điểm A, O, C thẳng hàng
Trang 6a) Hai tam giác vuông AHD và CKD có:
AD = CB (gt)
∠D1 = ∠B1 (so le trong)
Nên ∆AHD = ∆CKB (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra AH = CK
Tứ giác AHCK có AH // CK, AH = CK nên là hình bình hành,
b) Xét hìnhbìnhhành AHCK, trung điểm O của đường chéo của hìnhbìnhhành) Do đó ba điểm A, O, C thẳng hàng
Bài 48 Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DA Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?
Tứ giác EFGH là hình-bình -hành
Cách 1: EB = EA, FB = FC (gt)
nên EF là đường trung bình của ∆ABC
Do đó EF // AC
Tương tự HG là đường trung bình của ∆ACD
Do đó HG // AC
Suy ra EF // HG (1)
Tương tự EH // FG (2)
Từ (1) và (2) suy ra EFGH là hình -bình-hành (dấu hiêu nhận biết 1)
Cách 2: EF là đường trung bình của ∆ABC nên EF = 1/2 AC
HG là đường trung bình của ∆ACD nên HG = 1/2 AC
Suy ra EF = HG
Lại có EF // HG ( chứng minh trên)
Vậy EFGH là hình-bình-hành (dấu hiệu nhận biết 3)
Bài 49 trang 93 Toán 8 Cho hình bình hành ABCD Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm
của CD, AB Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N Chứng minh rằng:
a) AI // CK
b) DM = MN = NB
Trang 7a) Tứ giác ABCD có AB = CD, AD = BC nên là hìnhbìnhhành.
Tứ giác AICK có AK // IC, AK = IC nên là hìnhbìnhhành
Do đó AI // CK
b) ∆DCN có DI = IC, IM // CN
(vì AI // CK) nên suy ra DM = MN
Chứng minh tương tự đối với ∆ABM ta có MN = NB
Vậy DM = MN = NB
Bài 50 Vẽ điểm A’ đốixứng với A qua B, vẽ điểm C đốixứng với C qua B (h.81).
Xem hình vẽ
Bài 51 Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm H có tọa độ (3; 2) Hãy vẽ điểm K đối-xứng
với H qua gốc tọa độ và tìm tọa độ K
Trang 8Trên mặt phẳng tọa độ xOy, xác định điểm H có tọa độ (3 ; 2) Như vậy ta đã có hai điểm O và H Để vẽ điểm K đối xứng với điểm H qua gốc tọa độ, ta vẽ một đường thẳng
đi qua hai điểm O và H, rồi lấy điểm K thuộc OH sao cho O là trung điểm của đoạn KH Khi đó điểm K có tọa độ (-3 ; -2)
Bài 52 trang 96 Cho hình bình hành ABCD Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm A,
gọi F là điểm đối-xứng với D qua điểm C Chứng minh rằng điểm E đối-xứng với điểm F qua điểm B
AE // BC (vì AD // BC)
AE = BC (cùng bằng AD)
nên ACBE là hình bình hành
Suy ra: BE // AC, BE = AC (1)
Tương tự BF // AC, BF = AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra E, B, F thẳng hàng và BE = BF Nên B là trung điểm của EF, vậy E đốixứng với F qua B
Bài 53 trang 96 Toán 8 Cho hình 82, trong đó MD // AB và ME // AC Chứng minh
rằng điểm A đốixứng với điểm M qua I
Trang 9Ta có MD // AE (vì MD // AB)
ME // AD (vì ME // AC)
Nên AEMD là hình bình hành, I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của AM,
do đó A đối xứng với M qua I
Bài 54 Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó Gọi B là điểm đốixứng với A qua
Ox, gọi C là điểm đốixứng với A qua Oy Chứng mình rằng điểm B ĐXứng với điểm C qua O
Cách 1:
B ĐXứng với A qua Ox nên Ox là đường trung trực của AB => OA = OB
C ĐXứng với A qua Oy nên OY là đường trung trực của AC => OA = OC
Suy ra OB = OC (1)
Trang 10=> B, O, C thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) suy ra B ĐXứng với C qua O
Cách 2:
A đốixứng với B qua Ox và O nằm trên Ox nên OA đốixứng với OB qua OX suy ra
OA = OB
A đốixứng với C qua Oy và O nằm trren Oy nên OA đối-xứng với OC qua Oy
Suy ra OA = OC
Do đó OB = OC (1)
=>B, O, C thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) suy ra B đối-xứng với C qua O
Bài 55 trang 96 Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo Một
đường thẳng đi qua O cắt các cạnh AB và CD theo thứ tự ở M và N Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua O
Hai ΔBOM và ΔDON có
∠B1 = ∠D1 (so le trong)
BO = DO (tính chất)
∠O1 = ∠O2 (đối đỉnh)
nên ∆BOM = ∆DON (g.c.g)
Suy ra OM = ON
O là trung điểm của MN nên M ĐXứng với N qua O
Bài 56 Toán 8 Trong các hình vẽ sau, hình nào có tâm đối xứng ?
a) Đoạn thẳng AB (h.83a);
b) Δđều ABC (h.83b);
c) Biển cấm đi ngược chiều (h.83c);
Trang 11d) Biển chỉ hướng đi vòng tránh chướng ngại vật (h.83d)
Hình 83a, c có tâm ĐXứng
Hình 83a có tâm ĐXứng là trung điểm của đoạn thẳng AB,
Hình 83c có tâm ĐXứng là tâm của đường tròn
Bài 57 Các câu sau đúng hay sai ?
a) Tâm đối xứng của một đường thẳng là điểm bất kì của đường thẳng đó
b) Trọng tâm của một Δ là tâm đốixứng của Δ đó
c) Hai Δ đốixứng với nhau qua một điểm thì có chu vi bằng nhau
Giải: a) Đúng, vì nếu lấy một điểm O bất kì trên đường thẳng thì nó chia đường thẳng
đó thành hai tia và với bất kì một điểm M, trên tia này cũng luôn có một điểm M’
đốixứng với nó qua O trên tia kia
b) Sai, vì nếu lấy điểm đối-xứng của đình A của Δ qua trọng tâm thì điểm đối-xứng này không nằm trên tam giác
c) Đúng, vì hai Δ đối-xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau (Hai Δ bằng nhau có chu vi bằng nhau)