c) Ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc ACB caét caïnh AB taïi ñieåm K. Tính tæ soá KA KB d) Goïi giao ñieåm cuûa AH vôùi CK laø E. Tính dieän tích tam giaùc HCE.. Ñöôøng phaân giaùc BE caét AH[r]
Trang 1Bài 1:(BÀI 44/SGK –TR 80)
Cho tam giác ABC có cạnh AB = 24 cm, AC = 28 cm Tia phân giác của góc A cắt cạnh
BC tại D Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường thẳng AD
a) Chứng minh tam giác AMD và tam giác AND đồng dạng với nhau
b) Tính tỉ số BM CN
c) Chứng minh rằngAM DM
AN DN
Hướng dẫn:
a) chứng minh hai tam giác trên đồng dạng theo
trường hợp g.g hay trường hợp hai tam giác vuông
có một cặp góc nhọn bằng nhau
b)
Cách 1: do BMD CND cmt( ) BM BD(1)
Mặt khác do AD là tia phân giác của góc BAC(gt) nên 24 6(2)
28 7
CD AC
Từ (1) và (2) ta có 6
7
BM
CN
Cách 2: do BD // CN ( cùng vuông góc với AD)
Aùp dụng hệ quả của định lý Ta lét ta có BM CN CD BD
Cm tương tự ta có đpcm
c) Xét hai tam giác vuông AMB và ANC có
BAM CAN( Do AD là tia phân giác của góc BAC)
90
AMBANC ( do BM và CN cùng vuông góc với AD)
Nên AMB ANC(hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau)
(tỉ số đồng dạng)
Mặt khác BMD CND cmt( ) BM MD
Vậy AM AN DM DN (vì cùng bằng BM CN )
Bài 2:(Bài 42/SBT- tr 74)
Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, AB = 3 cm, BC = 5 cm Dựng AD vuông góc với BC ( D thuộc BC) Đường phân giác của góc B cắt AC tại E và cắt AD tại F a) Chứng minh BA2 = BD BC
b) Tính độ dài EA, EC
c) Chứng minh FD EA
FA EC d) Tam giác AFE là tam giác gì? Vì sao
Hướng dẫn:
a) Xét hai tam giác vuông ADB và ABC
Trang 2TỔ TOÁN – THCS TƯỢNG LĨNH
( 90 )
ABC chung
Vậy DBA ABC g g( ) BC AB
(Tỉ số đồng dạng) hay AB2 = BD.BC
b) Do BE là tia phân giác của góc ABC
Nên EA AB
EC BC( Tính chất đường phân giác trong tam giác)
Mà AB = 3 cm, BC = 5 cm nên 3
hay EC
Do tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý PITAGO ta có
AC2 = BC2 – AB2 = 52 – 32 = 16 -> AC = 4 cm
3 5 8 2
-> EA = 1,5cm; EC = 2,5 cm
c) Xét tam giác ABD có BF là phân giác của góc B nên
FD BD( Tính chất đường phân giác trong tam giác)
Xét tam giác ABC có AE là phân giác của góc B nên
AE AB( Tính chất đường phân giác trong tam giác)
Mà BC AB
BA DB (cm ở ý a)Vậy FD EA
FA EC
d) Xét hai tam giác DBF và ABE có
ABE DBF (do AE là tia phân giác của góc B)
( 90 ) 0
BAE BDF
VậyDBFABE g g BFD BEA ( hai góc tương ứng)
do BFDAFE (đối đỉnh)
-> BEA AFE -> tam giác AFE cân tại A
Bài 3:(Bài tập/ đề thi năm 08-09)
Cho tam giác ABC vuông đỉnh A, đường cao AH Biết AB = 6 dm, AC = 8 dm
a) Viết tên tất cả các tam giác đồng dạng với tam giác HCA
b) Chứng minh AC2 = HC.BC
c) Đường phân giác của góc ACB cắt cạnh AB tại điểm K Tính tỉ số KA
KB
d) Gọi giao điểm của AH với CK là E Tính diện tích tam giác HCE
Hướng dẫn:
a) Xét hai tam giác CHA và CAB có:
0 90
BAC CHA
ABC chung
( )
CHA CAB g g
Xét hai tam giác BHA và BAC có
Trang 3
0 90 ( )
BAC BHA
ABC chung
BHA BAC g g
Do vậy CHA AHB( tính chất bắc cầu)
b) Chứng minh tương tự ý a bài 2
c) Do CK là đường phân giác của góc C (gt)
nên KA AB
KB BC( tính chất đường phân giác trong tam giác)
mà AB = 6 dm, AC = 8 dm
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100 -> BC = 10 cm
10 5
KA
KB
10
và HB = BC – HC = 10-6,4 = 3,6 cm
Lại có CHA AHB(cmt)
2 6, 4.3,6 23,04 4,8
Ta có EA CA
EH CH ( Tính chất đường phân giác trong tam giác ACH)
.4
EH EH
.6, 4 6,8266
Bài 4:(Bài 47,50/SBT- tr 75)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường trung tuyến AM
Biết BH = 4cm, HC = 9cm
a) Chứng minh AH2 = BH.HC
b) Tính diện tích tam giác AMH
c) Từ M kẻ MN vuông góc với AC Tính độ dài đoạn thẳng MN
Hướng dẫn:
a) Xét tam giác AHB và tam giác AHC ta có
AHB AHC 90 0
Mặt khác do tam giác ABC vuông tại A nênBAH HAC 90 0
Tam giác AHC vuông tại H nên HAC HCA 90 0 Vậy AHB CHA g g AH HB
(tỉ số đồng dạng) hay AH2 = BH.HC
b) Ta có AH2 = BH.HC = 4.9 = 36 cm -> AH = 6 cm
BC = BH + HC = 4+9 = 13 cm -> BM = MC = 7,5 cm
Trang 4TỔ TOÁN – THCS TƯỢNG LĨNH
.6.7,5 22,5
6.4 12
2AH BH 2 cm Vậy SAHM = SABM – SABH = 22,5 – 12 = 10,5 cm2
Cách 2: HM = BM – BH = 7,5 – 4 = 3,5 cm
6.3,5 10,5
c) ta có MN // AB ( cùng vuông góc với AC)
Theo hệ quả của định lí Ta lét ta có 1 1
Cm hai tam giác ABH và ABC đồng dạng( tương tự ý a bài 42) -> AB2 = BH.BC -> AB2 = 4.13 -> AB = 52 52
2
MN
Bài 5: Cho ABC ( A 90 0 ) và đường phân giác AD (D BC).Từ D kẻ DEAC(E AC)
a)Chứng minh : ABC ~ EDC
b)Qua E kẻ EK song song AD(KBC).Chứng minh :KD ED
KC EC
Hướng dẫn:
b) do EK // AD (gt) nên KD AE
KC EC (1)( định lí Ta lét) và DE // AB ( cùng vuông góc với AC) nên EC AE DC BD (2)
Do AD là đường phân giác góc A của tam giác ABC (gt)
Nên DC BD AC AB(3)( tính chất đường phân giác của tam giác)
Vì ABC ~ EDC (cmt) nên ED AB
EC AC (4) ( tỉ số đồng dạng) Từ (1)(2)(3)(4) ta có KD KC ED EC
Bài 6 : Cho ABC vuông ở A , có AB = 6cm , AC = 8cm Vẽ đường cao AH
a) Tính BC
b) Chứng minh ABC ~ AHB
c) Chứng minh AB2 = BH.BC Tính BH , HC
d) Vẽ phân giác AD của góc A ( D BC) Tính DB
Bài 7:Cho tam giác ABC vuông tại A Dựng AH vuông góc với BC ( H BC ) sao cho
HB = 9cm , HC = 16cm Đường phân giác BE cắt AH tại F
a) Chứng minh : ABH CAH
b) Tính AH
c) Chứng minh : FH EC = EA FA
d) Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại D
Chứng minh : CD BDAC AB
Trang 5Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Vẽ các đường cao BH , CK , AI
a) Chứng minh BK = CH
b) Chứng minh KH //BC
c) Chứng minh HC.AC = IC.BC
d) Cho biết BC = a , AB = AC = b
Tính độ dài đoạn thẳng HK theo a và b
c)cm hai tam giác BHC và AIC đồng dạng
d) Tính HC rồi tính AH Theo hệ quả của định lí Ta lét ta cĩKH AH KH AH BC.
Bài 9 Cho ABC , các đường cao BD , CE cắt nhau tại H Đường vuông góc với AB tại
B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh ADB AEC
b) Chứng minh HE.HC = HD.HB
c) Chứng minh H , K , M thẳng hàng
d) ABC phải có điều kiện gì
thì tứ giác BHCK là hình thoi ? Hình chữ nhật ?
Hướng dẫn:
b) Vì ADB AEC (cmt) nên EBH DCH(góc tương ứng)
Chứng minh hai tam giác vuông EBH và DCH đồng dạng (g.g) -> đpcm
c) Chứng minh BHCK là hình bình hành, dùng tính chất hai đường chéo -> đpcm
d) Vì BHCK là hình bình hành
+) BHCK là hình thoi khi BC là đường phân giác của các góc HBK HCK,
HBK HCK B C do B C cmt ABCACB
Vậy tam giác ABC cân tại A thì BHCK là hình thoi
+) Là hình chữ nhật khi BHC 90 0 EHD 90 0
Tứ giác AEHD có ba góc vuông là hình chữ nhật nên BAC 90 0
Vậy tam giác ABC vuông tại A thì BHCK là hình chữ nhật
(khi đó E,D,H trùng với A)
Bài 10:Cho góc xOy khác khóc bẹt.Trên tia Ox đặt các đoạn thẳng OA= 5cm ,OB=16
cm
Trên tia Oy dặt các đoạn thẳng OC = 8cm ,OD = 10cm
a)Chứng minh : OCB ~ OAD
b)Gọi I là giao điểm của AD và BC
Chứng minh : AI ID = IB IC
c) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ICD và IAB
Trang 6TỔ TOÁN – THCS TƯỢNG LĨNH
Bài 11 :Cho góc xAy khác khóc bẹt.Trên tia Ax đặt các đoạn thẳng AE = 3cm,AC =8
cm
Trên tia Ay dặt các đoạn thẳng AD = 4cm ,AF = 6cm
a)Chứng minh : ACD ~ AFE
b)Gọi I là giao điểm của CD và EF.Tính tỉ số diện tích của hai tam giác IDF và IEC
Bài 12:Cho hình thang ABCD(AB // CD).Goi O là giao điểm của AC và BD.
a)Chứng minh : OA OD = OB OC
b)Đường thẳng qua O vuông góc vói AB và CD theo thứ tự tại H và K
Bài 14: Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB < CD, đường chéo BD vuông góc
với cạnh bên BC Vẽ đường cao BH
c) Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 15: Cho hình thang ABCD (AB // CD ) , hai đường chéo cắt nhau tại I
a) Chứng minh : IA.ID = IB IC
Bài 16 : Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) Hai cạnh bên DA và DB cắt nhau tại S
a) Chứng minh : Tam giác SAB đồng dạng với tam giác SDC
Bài 17:Cho hình thang ABCD ( AB // CD và AB<CD),hai cạnh bên DA và CB cắt nhau
tại S.Gọi M là trung điểm của AB ( SM cắt DC tại N) Chứng minh:
Bài 18 : Cho hình thang vuông ABCD (A=D=90 0) có AC cắt BD tại O
Trang 7Bài 19 : Cho hình thanh cân ABCD có AB // Dc và AB< DC , đường chéo BD vuông
góc với cạnh bên BC Vẽ đường cao BH , AK
d) Cho BC = 15cm , DC = 25 cm Tính HC , HD
e) Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 20 : Cho hình chữ nhật ABCD.Vẽ đường cao AH của ADB.Chứng minh :
Bài 21: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm , BC = 6cm Vẽ đường cao AH của
ADB
a) Tính DB
e) Tính độ dài đoạn thẳng DH , AH
Bài 22:Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ABD ACD Gọi E
là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC Chứng minh rằng:
a AOB ~ DOC
b AOD ~ BOC
c EA ED = EB EC