Áp dụng chứng minh: Trong một hình thang có 2 cạnh bên không song song, giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của 2 đáy cùng nằm trên [r]
Trang 1Bài 1 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Một đường thẳng song song với 2 đáy, cắt cạnh bên
AD ở M và cắt cạnh BC ở N Biết ABAD=CB
CD=
2
3 Chứng minh: ABAD=CB
CD=
2 3
Bài 2 Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi trung điểm của các đường chéo AC,
BD theo thứ tự là N và M Chứng minh:
2
Bài 3 Cho ABC Từ D trên cạnh AB, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E.
a Chứng minh: ABAD=CB
CD=
2
3
b Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = DB Gọi M là giao điểm của DF và
BC Chứng minh: DMMF =AC
AB
Bài 4 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng qua A lần lượt cắt BD ở I, BC ở J và CD ở
K
a So sánh IBID và IBID b Chứng minh: IA2 = IJ IK
c Chứng minh: DCDK=BJ
BC
Bài 5 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có các đường chéo cắt nhau tại O.
a Chứng minh: OA OD = OB OC
b Kẻ một đường thẳng bất kỳ qua O cắt AB ở M, CD ở N Biết MAMB=m
n Tính ND
NC Áp dụng để chứng minh định lý: “ Trong một hình thang, đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của một đáy thì đi qua trung điểm của đáy kia”
c Qua O, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC lần lượt tại P và Q
Chứng minh: O là trung điểm của đường thẳng PQ
Bài 6 Cho tứ giác ABCD Qua E AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC ở G Qua G kẻ
đường thẳng song song với CB cắt AB ở H Chứng minh:
a HE // BD b AE BH = AH DE
Bài 7 Cho ABC Điểm D thuộc cạnh BC Qua D kẻ các đường thẳng song song với AC, AB
cắt AB, AC lần lượt tại E và F
a Chứng minh: AEAB+AF
AC=1 b Xác định điểm D trên BC để EF // BC
c Nếu DBDC=1
2 , chứng minh: EF song song với trung tuyến BM
Bài 8 Cho tứ giác ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H
sao cho: AE = 2EB, BF = 12 FC, CG = 2CD, DH = 12 HA Chứng minh: EFGH là hình bình hành
Bài 9 Cho hình thang ABCD (AB // CD) M là trung điểm của CD Gọi I là giao điểm của AM
và BD, K là giao điểm của BM và AC
a Chứng minh: IK // AB
b Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự tại E và F Chứng minh: EI = IK = KF
Bài 10 Cho hình bình hành ABCD Qua A vẽ tia Ax cắt BD ở I, BC ở J và cắt tia DC ở K.
Trang 2Chứng minh: IA2 = IJ IK và KD BJ không đổi.
Bài 11 Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC ở M,
AB ở N Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB ở F Qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở P Chứng minh: MP // AB và 3 đường thẳng MP, CF và DB đồng qui
Bài 12 Cho ABC (AC > AB) Lấy các điểm D, E tùy ý thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao
cho BD = CE Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE và BC Chứng minh: tỉ số KD
KE không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E
Bài 13 Cho ABC, trung tuyến AM Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC Đường thẳng qua I và
song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC lần lượt ở D và E Chứng minh: DE = BK
Bài 14 Cho ABC cân tại A có BC = 8cm, tia phân giác của góc B cắt đường cao AH ở K Biết
AK
AH=
3
5 Tính độ dài AB
Bài 15 Cho ABC vuông tại A, CÂ = 300, kẻ phân giác BD Tính DADC
Bài 16 Cho ABC cân tại A, phân giác BD Biết BC = 10cm, AB = 15cm.
a Tính AD, DC.
b Phân giác ngoài của BÂ cắt AC ở E Tính EC.
Bài 17 Cho ABC cân, có BA = BC = a, AC = b Đườmg phân giác góc A cắt BC tại M, đường
phân giác góc C cắt BA tại N
a Chứng minh: MN // AC. b Tính MN theo a, b
Bài 18 Cho ABC, đường phân giác của góc  cắt BC tại D Biết AB = 4,5cm, AC = 7,2cm,
BD = 3,5cm Tính CD
Bài 19 Cho MNP, đường phân giác của góc PÂ cắt MN tại Q Biết PM = 6,2cm, PN = 8,7cm,
MN = 12,5cm Tính QN
Bài 20 Cho ABC, p/giác góc  cắt BC tại E Biết AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Tính EB,
EC
Bài 21 Cho ABC có các đường phân giác AD, BE và CF Chứng minh: DBDC ⋅EC
EA ⋅FA
FB=1
Bài 22 Cho ABC, trung tuyến AM Đường phân giác của AMÂB cắt AB ở D, đường phân giác
của AMÂC cắt AC ở E
a Chứng minh: DE // BC.
b Gọi I là giao điểm của AM và DE Chứng minh: DI = IE.
Bài 23 Cho ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm Đường phân giác góc A cắt BC tại D.
Qua D kẻ DE // AB (E AC)
a Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
b Cho biết diện tích ABC là S, tính diện tích ABD, ADE và DCE.
Bài 24 Cho ABC vuông tại A có AB = 21cm, AC = 28cm Đường phân giác góc A cắt BC tại D.
Qua D kẻ DE // AB (E AC)
a Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
b Tính diện tích ABD và ACD.
Bài 25 Cho ABC cân tại A, phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm.
a Tính AD, DC.
b Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E Tính EC.
Trang 3Bài 26 Cho ABC có Â = 900, AB = 12cm, AC = 16cm Đường phân giác góc A cắt BC tại D.
a Tính BC, BD, CD.
b Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD.
Bài 27 Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = b, (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD
(M và D thuộc BC)
a Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b.
b Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết
a = 4,15cm và b = 7m,25cm
Bài 28 Cho ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác
Chứng minh: S Δ ABD
S Δ ACD
=m
n
Bài 29 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và
BC theo thứ tự tại E và F Chứng minh:
a AEED=BF
FC b AEAD=BF
BC c DEDA=CF
CB
Bài 30 Cho hình bình hành ABCD Vẽ một đường thẳng cắt AB ở E, AD ở F, AC ở G
Chứng minh: ABAE +AD
AF =
AC AG
Bài 31 a Cho ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD Tính diện tích ADM,
biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích của ABC là S
b Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích
ABC
Bài 32 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD, DÂ = 600 Phân giác của DÂ cắt AC tại I, chia AC
theo tỉ số 114 và cắt AB tại M Biết MA – MB = 6cm Tính AB, CD
Bài 33 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Đường
thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F
Chứng minh: OE = OF
Bài 34 Cho ABC, I là trung điểm của BC Đường phân giác của góc AIÂB cắt AB ở M và phân
giác của góc AIÂC cắt cạnh AC ở N
a Chứng minh: MN // BC.
b ABC phải thỏa điều kiện gì để MN = AI ?
c Với điều kiện nào thì tứ giác AMIN là hình vuông ?
Bài 35 Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho: AMAB =AN
AC Gọi I là trung điểm của BC, AI cắt MN ở K Chứng minh: K là trung điểm của MN
Áp dụng chứng minh: Trong một hình thang có 2 cạnh bên không song song, giao điểm
của các đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của 2 đáy cùng nằm trên một đường thẳng
Bài 36 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy một điểm M và trên cạnh CD lấy một
điểm N sao cho DN = BM Chứng minh: MN, DB, AC đồng qui
Bài 37 Cho ABC, lấy M AB, N AC sao cho: AMMB =2
3 và ANNC=2
3
a Hai đường thẳng MN và BC có song song với nhau không ? Vì sao ?
b Cho biết chu vi và diện tích ABC lần lượt P và S Tính chu vi và diện tích AMN.
Trang 4Bài 38 Tỉ số các cạnh bé nhất của hai tam giác đồng dạng là 52 Tính chu vi của hai tam giác
đó, biết hiệu hai chu vi của chúng bằng 42dm
Bài 39 Cho ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho: DBDC=1
2 Kẻ DE // AC, DF // AB (EAB,FAC)
a Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng Đối với mỗi cặp, hãy viết các góc bằng nhau
và các tỉ số tương ứng
b Tính chu vi BED, biết rằng hiệu chu vi của hai DFC và BED là 30cm.
Bài 40 Cho ABC có AB = 16,2cm; BC = 24,3cm; AC = 32,7cm Tính độ dài các cạnh của
A’B’C’, biết rằng A’B’C’ đồng dạng với ABC và:
a A’B’ lớn hơn AB là 10,8cm.
b A’B’ bé hơn AB là 5,4cm.
Bài 41 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD = 2AB Gọi E là trung điểm của DC Chứng
minh rằng 3 tam gíac ADE, ABE và BEC đồng dạng với nhau
Bài 42 Cho ABC và A’B’C’ Biết AB = 6cm, BC = 12cm, CA = 9cm, A’B’ = 4cm, B’C’ =
8cm, C’A’= 6cm
a ABC và A’B’C’ có đồng dạng với nhau không ?
b Tính tỉ số chu vi của hai .
Bài 43 Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không ?
a 4cm, 5cm, 6cm và 8cm, 10cm, 12cm.
b 3cm, 4cm, 6cm và 9cm, 15cm, 18cm.
c 1dm, 2dm, 2dm và 1dm, 1dm, 0,5dm.
Bài 44 Cho ABC (Â = 900) có AB = 6cm, AC = 8cm và A’B’C’ (Â’ = 900) có A’B’ = 9cm,
B’C’ =15cm Hỏi hai tam giác vuông đó có đồng dạng hay không ? Vì sao ?
Bài 45 Cho ABC có G là trọng tâm Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của GA, GB, GC.
Chứng minh: PQR và ABC đồng dạng
Bài 46 Cho ABC có H là trực tâm Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC.
Chứng minh: KMN và ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng k = 12
Bài 47 Cho ABC, điểm O nằm trong Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, OC.
a Chứng minh: DEF và ABC đồng dạng.
b Tính chu vi của DEF, biết rằng chu vi của ABC bằng 543cm.
Bài 48 Cho ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, BC = 7cm, CA = 5cm A’B’C’đồng dạng
với ABC và có chu vi bằng 55cm Hãy tính độ dài các cạnh của A’B’C’ (làm tròn số đến chữ số thập phân thứ hai)
Bài 49 Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là 1517 và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng
của chúng là 12,5cm Tính hai cạnh đó
Bài 50 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho AC = AE Qua E vẽ
đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N
a Tìm đồng dạng với ADC và tìm tỉ số đồng dạng.
b Điểm E ở vị trí nào trên AC thì E là trung điểm của MN ?
Bài 51 Cho ABC Dựng đồng dạng với đó, biết tỉ số đồng dạng k = 32 Có thể dựng được
bao nhiêu như thế ?
Trang 5Bài 52 Cho ABC có AB = 12cm, Ac = 15cm, BC = 18cm Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM =
10cm, trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MN
Bài 53 Cho ABC có AC = 12cm, BC = 16cm Điểm D BC sao cho: ADÂC = BÂC Tính DC Bài 54 Hình thang ABCD có AB // CD, Â = CBÂD Chứng minh: BD2 = AB CD
Bài 55 Cho ABC có 3 đường cao AD, BE, CF với H là trực tâm Chứng minh:
a AHE đồng dạng với BHD b HA HD = HB HE = HC HF
Bài 56 Cho ABC có Â = 2BÂ Tính AB, biết AC = 9cm, BC = 12cm.
Bài 57 Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2cm, BD = 4cm, CD = 8cm Chứng minh:
Bài 58 Cho ABC có AB = 10cm, AC = 20cm Trên cạnh AC, đặt đoạn thẳng AD = 5cm.
Chứng minh: ABÂD = ACÂB
Bài 59 Trên một cạnh của xÔy (xÔy 1800), lấy các điểm A và B sao cho OA = 5cm, AB =
11cm Trên cạnh thứ hai lấy các điểm C và D sao cho OC = 8cm và OD = 10cm
a Chứng minh: OCB và OAD đồng dạng.
b Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I Chứng minh: IAB và ICD có các góc
bằng nhau từng đôi một
Bài 60 Chứng minh rằng nếu ABC đồng dạng với A’B’C’ theo tỉ số k thì:
a Tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k.
b Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k.
c Tỉ số của hai đường cao tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k.
Bài 61 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; DÂB = DBÂC Tính độ
dài BD (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bài 62 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm; DÂB = DBÂC.
a Chứng minh: ADB và BCD đồng dạng.
b Tính độ dài các cạnh BC, CD.
c Sau hki tính hãy vẽ lại hình chính xác bằng thướt và compa.
Bài 63 Trên đoạn thẳng AC = 27cm lấy điểm B sao cho AB = 15cm Từ A và C vẽ hai tia Ax và
Cy cùng vuông góc với AB và nằm cùng phía với nhau Lấy E Ax, D Cy sao cho AE
= 10cm, ABÂE = BDÂC
a Chứng minh: BDE vuông.
b Tính CD, BE, BD và ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
c So sánh diện tích BDE với tổng diện tích của hai tam giác AEB và BCD.
Bài 64 Cho ABC có AB = 3cm, AC = 2cm Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD =
3,5cm Từ D kẽ đường thẳng song song với AB cắt AC kéo dài tại E Tính BC, CE biết
DE = 6cm
Bài 65 Cho ABC có AB = 8cm, AC = 16cm, D AB, E AC sao cho: BD = 2cm, CE = 13cm.
Chứng minh: a AED đồng dạng với ABC b AB CD = AC BE
Bài 66 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD.
a Chứng minh: OA OD = OB OC
b Đường thẳng qua O và vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K C/m:
OH
OK= AB
CD
Trang 6Bài 67 ABC có AB = 12 BC, M là trung điểm của BC, D là trung điểm của BM C/m: AD =
1
2 AC
Bài 68 Cho ABC vuông tại A, đường cao AD và phân giác BE cắt nhau tại F C/minh:
FD
FA=
EA
EC
Bài 69 Cho ABC có AB = 24cm, Ac = 28cm Tia phân giác của  cắt cạnh BC tại D Gọi M, N
theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD
a Tính tỉ số: BMCN b Chứng minh: AMAN =DM
DN
Bài 70 Cho hình bình hành ABCD có độ dài các cạnh AB = 12cm, BC = 7cm Trên cạnh AB lấy
một điểm E sao cho AE = 8cm Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài tại F
a Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng với nhau và chứng minh.
b Tính độ dài các đoạn thẳng EF và BF, biết DE = 10cm.
Bài 71 Cho tứ giác ABCD, có Â = CÂ = 900, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, BÂO =
BDÂO
a Chứng minh: ABO và DCO đồng dạng.
b Chứng minh: BCO và ADO đồng dạng.
Bài 72 Cho ABC vuông tại A, AC = 9cm, BC = 24cm Đường trung trực của BC cắt các đường
thẳng AC tại D, BC tại M Tính CD
Bài 73 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9cm Gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ A xuống BD
a Chứng minh: AHB và BCD đồng dạng.
b Tính AH và SAHB.
Bài 74 Cho ABC vuông tại A, AC = 4cm, BC = 6cm Kẻ tia Cx BC (Cx và A khác phía so với
đường thẳng BC) Lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9cm Chứng minh: BD // AC
Bài 75 Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao, M là trung điểm của BC, gọi N là hình chiếu
của M trên AC
a Hãy tìm và chứng minh các cặp đồng dạng với nhau.
b Biết BH = 4cm, CH = 9cm, tính diện tích AMH.
Bài 76 ABC và DEF có Â = DÂ, BÂ = Ê, AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm Tính độ dài các
cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm
Bài 77 Cho hình bình hành ABCD Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh: ADE và CBF đồng dạng
Bài 78 Cho ABC (Â = 900), đường cao AH = 8cm, BC = 20cm Gọi D là hình chiếu của H trên
AC
a Hỏi trong hình đã cho có bao nhiêu đồng dạng ? Viết các tỉ lệ thức giữa các cạnh
tương ứng của chúng
b Gọi E là hình chiếu của H trên AB Tính diện tích ADE.
Bài 79 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Tính chu vi và diện tích ABC nếu biết HB =
25cm và HC = 36cm
Bài 80 Cho một tam giác vuông trong đó cạnh huyền dài 20cm và một cạnh góc vuông dài 12cm.
Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền
Bài 81 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Chứng minh:
a AH2 = HB HC b AB2 = BH BC
Trang 7c AC2 = CH CB d AH BC = AB AC
e BC2 = AC2 + AB2 (Định lý Pi-ta-go)
Bài 82 Cho ABC có các đường cao BD và CE.
a Chứng minh: ABD đồng dạng với ACE.
b Chứng minh: ADE đồng dạng với ABC.
c Tính AÊD biết ACÂB = 480
Bài 83 Tứ giác ABCD có AB = 3cm, BC = 10cm, CD = 12cm, AD = 5cm, đường chéo BD = 6cm.
Chứng minh: a ABD và BDC đồng dạng b ABCD là hình thang
Bài 84 Cho ABC cân tại A, O là trung điểm của BC D AB, E AC sao cho OB2 = BD CE
a Chứng minh: OBD và ECO đồng dạng, góc DÔE có số đo không đổi.
b Chứng minh: 3 tam giác EOD, OBD và ECO đồng dạng.
c Chứng minh: DO là tia phân giác của BDÂE, EO lài tia phân giác của CÊD.
d Chứng minh: khi D, E di động (vẫn thỏa OB2 = BD CE) thì khoảng cách từ O đến DE không đổi và chu vi ADE < 2AB
Bài 85 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi I là giao điểm của AC và BD Đường thẳng qua I
và song song với 2 đáy cắt BC ở J, AD ở K
a Chứng minh: IJ1 = 1
AB+
1
CD Suy ra I là trung điểm của KJ
b Cho AB = m, CD = n tính tỉ số SABCD
S Δ AIB theo m và n
c Bây giờ cho ABCD là hình thang cân Chứng minh: AC2 = AB CD + AD2
Bài 86 Cho ABC, M và N lần lượt trung điểm của BC, CA Gọi H là trực tâm , G là trọng tâm,
O là giao điểm của các đường trungtrực của các cạnh BC, AC Chứng minh:
a ABH và MNO đồng dạng, AHG và MOG đồng dạng.
b H, G, O thẳng hàng.
Bài 87 Cho hình bình hành ABCD có BÂ tù Từ C kẻ các đường CE, CF vuông góc với AB, AD.
Chứng minh: AB AE + AD AF = AC2
(Đề thi vô địch Toán Hungari – 1918)
Bài 88 Trên các cạnh BC, CA, AB của ABC, ta lấy các điểm tương ứng P, Q, R Chứng minh
rằng điều kiện cần và đủ để AP, BQ và CR đồng qui là có hệ thức PBPC⋅QC
QA ⋅RA
RB=1
(Đ.lý Ceva)
Bài 89 Hãy áp dụng định lý Ceva để Chứng minh trong một tam giác:
a Ba đường cao đồng qui.
b Ba đường phân giác đồng qui.
c Ba đường trung tuyến đồng qui.
Bài 90 Trên các đường thẳng qua các cạnh BC, CA, AB của ABC, ta lấy các điểm tương ứng P,
Q, R (không trùng với các đỉnh và ít nhất một điểm nằm ngoài tam giác) C/m rằng: điều kiện cần và đủ để 3 điểm P, Q và R thẳng hàng là có hệ thức PBPC⋅QC
QA⋅RA
RB=1 (Đ.lý
Menelaus)
Bài 91 Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 2MD, điểm N trên
CD sao cho DN = 3NC Hai đường thẳng BM và AN cắt nhau tại S Tính tỉ số ASSN
Bài 92 Cho hình thang vuông ABCD (Â = DÂ = 900), AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm, E AD
sao cho AE = 8cm Chứng minh: BEEC = 900
Trang 8Bài 93 Cho 2 A’B’C’ và ABC có 3 góc nhọn Kẻ 2 đường cao A’H’ và AH Biết
A ' H '
A ' B'=
AH
AB và A ' H ' A ' C '=AH
AC Chứng minh: ABC và A’B’C’ đồng dạng
Bài 94 Cho hình bình hành ABCD Hình chiếu của A trên CD là H, trên BC là K.
a Chứng minh: AHD và AKB đồng dạng.
b Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để các AHC và AKC đồng dạng ? Bài 95 Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ABÂD = ACÂD Gọi E là giao
điểm của của hai đường thẳng AD và BC Chứng minh:
a AOB và DOC đồng dạng.
b AOD và BOC đồng dạng.
c EA ED = EB EC.
Bài 96 Cho ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O Từ một điểm P bất kỳ trên cạnh
AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E BC, F AB) Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N Chứng minh: FM = MN
= NE
Bài 97 Cho h/vuông ABCD cạnh a Một đường thẳng d đi qua đỉnh C, cắt tia AB ở E và cắt AD ở
F
a Chứng minh: BE DF = a2 b Chứng minh: BEDF=AE2
AF2
Bài 98 Cho ABC cân tại A, vẽ các đường cao BH và CK.
a Chứng minh: BK = CH b Chứng minh: KH // BC
c Cho BC = a, AB = AC = b Tính HK
Bài 99 Cho ABC, Â = 900, CÂ= 300 và đường phân giác BD (D AC)
a Tính tỉ số: ADCD
b Biết AB = 12,5cm, tính chu vi và diện tích ABC.
Bài 100 Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20cm, CD = 25cm, DA = 8cm, đường chéo BD =
10cm
a Nêu cách vẽ tứ giác ABCD.
b Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?
c Chứng minh: AB // CD.
Bài 101 Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 15cm, CD = 30cm, đường cao 20cm, các đường
chéo cắt nhau tại I Tính diện tích các OAB và OCD
Bài 102 Đường cao của một tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành 2
đoạn thẳng có độ dài 9cm và 16cm Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó
Bài 103 Cho ABC vuông tại A Vẽ đường cao AH Biết chu vi ABH = 3dm, chu vi ACH =
4dm Tính chu vi ABC
Bài 104 Cho ABC đều Trung tuyến AM Vẽ đường cao MH của AMC.
a Chứng minh: ABM và AMH đồng dạng.
b Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BM, MH Chứng minh: AB AF = AM AE.
c Chứng minh: BH AF.
d Chứng minh: AE EM = BH HC.
Bài 105 Cho ABC có 3 góc nhọn, 3 đường cao AM, BN, CP đồng qui tại H.
a Chứng minh: ABM và AHP đồng dạng, ABH và AMP đồng dạng.
b Chứng minh: MH MA = MB MC.
c Chứng minh: AHB và NHM đồng dạng.
Trang 9d Chứng minh: MAP và MNH đồng dạng.
e Cho b, c cố định, A thay đổi vị trí sao cho ABC vẫn có 3 góc nhọn ABC phải có
đặc điểm gì để tích MH MA có giá trị lớn nhất
Bài 106 Cho ABC Kẻ DE // BC sao cho DC2 = BC DE
a Chứng minh: DEC và CDB đồng dạng Suy ra cách dựng DE.
b Chứng minh: AD2 = AC AE và AC2 = AB AD
Bài 107 Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH Từ H vẽ HI AB tại I và HJ AC tại J Gọi
AM là trung tuyến của ABC
a Biết AB = 30cm, AC = 40cm Tính BC, AH, BI.
b Chứng minh: IJ = AH và AM IJ.
c Chứng minh: AB AI = AC AJ; AIJ và ACB đồng dạng.
d Chứng minh: ABJ và ACI đồng dạng; BIJ và IHC đồng dạng.
Bài 108 Cho ABC cân tại A có Â > 900 và CI là tia phân giác của ABC Đường thẳng vuông
góc với CI tại I cắt các đường thẳng AC, BC lần lượt tại E và F C/minh: BC AE = AC BF
Bài 109 Các đường cao của một tam giác có 3 góc nhọn ABC cắt nhau tại O trên các đoạn thẳng
OB và OC người ta lấy các điểm B’, C’ sao cho ABÂ’C = ACÂ’B = 900 Chứng minh: AB’ = AC’
Bài 110.
Cho ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Chứng minh:
a AD BC = BE AC = CF AB
b HD HA = HE HB = HF HC
c AE AC = AB AF và AD HD = BD CD
d. HDAD +HE
BE+
HF
CF=1
e ABC và AEF đồng dạng, BDF và EDC đồng dạng
f ABH và EDH đồng dạng, AFD và EHD đồng dạng
g H cách đều 3 cạnh của DEF.
Bài111 Cho ABC có Â = 90 0 , AB = 80cm, AC = 60cm, AH là đường cao,
AI là phân giác (I BC).
a Tính BC, AH, BI, CI
b Chứng minh: ABC và HAC đồng dạng
c HM và HN là phân giác của ABH và ACH C/minh: MAH và NCH đồng dạng
d Chứng minh: ABC và HMN đồng dạng rồi chứng minh> MAN vuông cân
e Phân giác của góc ACÂB cắt HN ở E, p/giác của góc ABÂC cắt HM ở F C/m: EF // MN
f Chứng minh: BF EC = AF AE
Bài112 Cho ABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C) Từ H vẽ HM AB (M AB) và
HN AC (N AC).
56cm Tính AB, AC
ABC và ANM đồng dạng
Trang 10d CM cắt BN tại K Chứng minh: MKN và BKC đồng dạng
CM BN
trên đường thẳng vuông góc với AH tại H sao cho H vẫn nằm giữa B và C Chứng minh rằng trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định
Bài113
Cho ABC Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BC, vẽ tia Cx sao cho BCÂx = BÂC
2 Gọi D là phân giác của ABC Tia Cx cắt tia AD ở E Chứng minh:
a ABD và CED đồng dạng; ABD và AEC đồng dạng
b AE2 > AB AC
c Trung trực của BC đi qua E
d Gọi I là trung điểm của DE Chứng minh: 4AB AC = 4AI2 – DE2
Bài114 Cho hình vuông ABCD cố định, M là 1 điểm lấy trên cạnh BC (M B) Tia AM cắt
DC tại P Trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN = BM
a Chứng minh: AND = ABM và MAN là vuông cân
b Chứng minh: ABM và PDA đồng dạng và BC2 = BM DP
c Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với MN tại H và cắt CD tại Q, MN cắt AD ở I Chứng minh: AH AQ = AI AD và DÂQ = HMÂQ
d Chứng minh: NDH và NIQ đồng dạng