Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, O là trung điểm của AC, điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O.. a Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật b Gọi I là trung điểm của AD, chứng
Trang 1BÀI TẬP HÌNH HỌC - HỌC KÌ I
Bài 1 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, O là trung điểm của AC,
điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O
a) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật
b) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ I là trung điểm của BE
c) Cho AB = 10cm, BC = 12cm, tính diện tích tam giác OAD
d) Đường thẳng OI cắt AB tại K Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là hình thang cân
Bài 2 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi D là điểm đối xứng với A
qua M
a) Tứ giác ABDC là hình gì ?
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ABDC là hình vuông
c) Gọi E là điểm đối xứng với A qua BC Chứng minh tứ giác BEDC là hình
thang cân
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BD với AE, CE Chứng minh KI = KD
Bài 3 Cho ABC vuông tại A (AB < AC) Lấy M là trung điểm của BC Từ M
kẻ MN vuông góc với AB, MP vuông góc với AC (N thuộc AB, P thuộc AC) a) Chứng minh tứ giác ANMP là hình chữ nhật
b) Gọi E là trung điểm của MP Chứng minh E là trung điểm của NC
c) Đường thẳng đi qua C và song song với AM cắt MP tại G Chứng minh
tứ giác AMCG là hình thoi
d) Kẻ AH vuông góc với BC Gọi O là giao điểm của AM và NP, cần
có điều kiện gì để HO // AB
Bài 4 Cho ABC vuông tại A (AB < AC) M là trung điểm của BC Kẻ ME ⊥
AB ( E ∈ AB), MF ⊥ AC (F ∈ AC)
a) Tứ giác AEMF là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh 1
2
FE= BC c) Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC Chứng minh rằng tứ giác EKMF là hình thang cân
Bài 5 Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E trên cạnh BC, lấy điểm F trên tia
đối của tia DC sao cho BE = DF
a) Chứng minh ABE = ADF
b) Gọi G là trung điểm của EF, H là điểm đối xứng với A qua G Chứng minh AEHF là hình vuông
c) Chứng minh ACH vuông
d) Gọi I là trọng tâm của AEF Chứng minh rằng khi E, F thay đổi vị trí nhưng vẫn thỏa mãn đề bài thì diện tích IBD luôn không đổi
Bài 6 Cho ABC cân tại A có đường cao AH ( H thuộc BC) Gọi M là trung
điểm của đoạn thẳng AB Gọi E là điểm đối xứng với H qua M
a) Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật
Trang 2b) Gọi N là trung điểm của AH Chứng minh N là trung điểm của EC.
c) Cho AH = 8 cm, BC = 12 cm Tính diện tích AMH.
d) Trên tia đối của tia HA lấy điểm F Kẻ HK ⊥ FC (K thuộc FC) Gọi I, Q lần lượt là trung điểm của HK, KC Chứng minh rằng BK ⊥ FI
Bài 7 Cho hình thang vuông ABCD , có CD = 2AB = 2AD Kẻ BH CD
a) Chứng minh rằng tứ giác ABHD là hình vuông
b)Gọi M là trung điểm của BH Chứng minh rằng A đối xứng với C qua M c) Kẻ DI vuông góc với AC DI, DM cắt AH lần lượt tại P và Q Chứng minh : ADP = HDQ
d) Tứ giác BPDQ là hình gì ?
Bài 8 Cho vuông tại A Gọ D là trung điểm của BC, kẻ DE vuông góc với AB tại
E Gọi I là điểm đối xứng với D qua AC, DI cắt AC tại F
a) Chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật
b) Gọi O là giao điểm của AD và EF Chứng minh tứ giác ABDI là hình bình hành và từ đó suy ra ba điểm B, O, I thẳng hàng
c) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABCI là hình thang cân Hãy tính trong trường hợp này biết AD = 8 cm
Bài 9 Cho hình bình hành ABCD có và Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD
a) Chứng minh tứ giác MCDN là hình thoi
b) Chứng minh tứ giác ABMD là hình thang cân và AM = BD
c) DM kéo dài cắt AB kéo dài tại K Chứng minh rằng ba đường thẳng AM,
DB, KN đồng quy
d) Gọi Q là một điểm bất kì trên đường thẳng BC Hãy tìm vị trí của điểm
Q trên đường thẳng BC sao cho nhỏ nhất
Bài 10 Cho hình bình hành ABCD, E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh tứ giác DEBF là hình bình hành
b) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AC với DE và BF Chứng minh AM
= MN
c) Chứng minh ∆ ADM = ∆ CBN
d) Cho biết SADC = 18 cm2 Tính diện tích tam giác MNF
Trang 3Bài 11 Cho ABC cân tại A Gọi M, N, P thứ tự là trung điểm của AB, AC,
BC
a)Chứng minh tứ giác MNCB là hình thang cân
b)Chứng minh tứ giác BMNP là hình bình hành và MP đi qua trung điểm O của BN
c) Chứng minh tứ giác AMPN là hình thoi
d) Biết SOMN = 5 cm2, hãy tính
Bài 12 Cho ∆ABC có 3 góc nhọn AB < AC Các đường cao BE, CF cắt nhau
tại H Gọi M là trung điểm của BC K là điểm đối xứng với H qua M
a Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình bình hành
b. Chứng minh: BK ⊥ AB và CK ⊥ AC
c. Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh Tứ giác BIKC là hình thang cân
d BK cắt HI tại G Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác GHCK là hình thang cân
Bài 13 Cho ∆ABC cân tại A, đường cao AH Gọi H là trung điểm của AC Lấy
điểm D đối xứng với điểm H qua điểm I
a) Chứng minh tứ giác ADCH là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác ADHB là hình bình hành
c) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB Chứng minh điểm A đối xứng với điểm H qua đường thẳng EI
d) Gọi giao điểm của BD và AC là F Chứng minh AF = 1
3AC
Bài 14 Cho tam giác ABC có AB = 2BC, từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx //
BC, từ C kẻ tia Cy // AB sao cho Mx cắt Cy tại N
a) Tứ giác MBCN là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh BN ⊥ AN
c) Gọi D là giao điểm của MN với AC, E là giao điểm của MC với BN, F là giao điểm của ED với AN Chứng minh DE = DF
d) Gọi G là giao điểm của AE với MN Chứng minh B, G, F thẳng hàng
Bài 15 Cho ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, gọi D là trung điểm
của AC, lấy điểm E đối xứng với H qua D
a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật
b) Qua A kẻ AI song song với HE (I ∈ đường thẳng BC) Chứng minh tứ giác AEHI là hình bình hành
c) Trên tia đối của tia HA lấy điểm K sao cho AH = HK Chứng minh AK là tia phân giác của góc IAC
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác CAIK là hình vuông, khi đó
tứ giác AHCE là hình gì?
Bài 16 Cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC) Từ B kẻ BH vuông góc với AC
tại H Lấy E sao cho H là trung điểm BE, lấy Q đối xứng với C qua H
a) Tứ giác BCEQ là hình gì? Vì sao?
b) QE cắt DC tại M Gọi N là hình chiếu của E trên AD, MN cắt DE tại O Chứng minh rằng tam giác OEM là tam giác cân
c) Chứng minh rằng ADEC là hình thang cân
Trang 4Chứng minh rằng 3 điểm N, M, H thẳng hàng
Bài 17 Cho ∆ABC đều, D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC Trên tia đối
của tia ED lấy điểm M sao cho DE = EM, DF cắt CM tại N
a) Chứng minh rằng BDEF là hình thoi?
b) Chứng minh rằng ADCM là hình chữ nhật
c) Chứng minh ∆FMN vuông
d) Gọi P là giao điểm của BE và DF, Q là giao điểm của EC và FM Chứng minh EF, DC, BM, PQ đồng quy
Bài 18 Cho MNP vuông tại M, đường cao MH Gọi D, E lần lượt là chân các
đường vuông góc hạ từ H xuống MN và MP
a) Chứng minh DE = MH
b) Gọi A là trung điểm của HP, O là giao điểm của DE và MH Chứng minh:
c) Chứng minh AO vuông góc với MN
d) Gọi I là trung điểm của NH Chứng minh SMNP = 2SDEAI
Bài 19 Cho ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM Kẻ MH, MK lần lượt
vuông góc với AB và AC (H thuộc AB và K thuộc AC)
a) Chứng minh tứ giác AKMH là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BHKM là hình bình hành
c) Gọi E là trung điểm của MH, gọi F là trung điểm của MK Đường thẳng
HK cắt AE, AF lần lượt tại I và J Chứng minh HI = KJ
d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Giả sử tam giác ABG vuông tại G và
AB = 4 3 (cm) Tính độ dài EF
Bài 20 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, AC, BC
a) Chứng minh: Tứ giác BCNM là hình thang cân
b) Gọi D là điểm đối xứng với P qua N Chứng minh tứ giác APCD là hình chữ nhật
c) Gọi O và G lần lượt là giao điểm của BD với AP và AC Chứng minh: DG
= 1
3BD
d) Gọi E là hình chiếu của N trên cạnh BC Tam giác ABC phải thêm điều kiện gì để tứ giác ONEP là hình vuông Khi ONEP là hình vuông tính diện tích của tam giác ABC, biết PN = 2 2cm
Bài 21 Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH Gọi M là trung điểm của
BC, D là điểm đối xứng với A qua M trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE
= HA
a) Chứng minh HM // ED và HM = 1
b) Chứng minh ABDC là hình chữ nhật
c) Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của E lên BD và CD, EP cắt AD tại K
Chứng minh DE = DK
Trang 5d) Chứng minh 3 điểm H, P, Q thẳng hàng
Bài 22 Cho ∆ABC có 3 góc nhọn AB < AC Các đường cao BE, CF cắt nhau
tại H Gọi M là trung điểm của BC K là điểm đối xứng với H qua M
Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình bình hành
Chứng minh: BK ⊥ AB và CK ⊥ AC
Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh: Tứ giác BIKC là hình thang cân
BK cắt HI tại G Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác GHCK
là hình thang cân
Bài 23 Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao Gọi D và E lần
lượt là hình chiếu của điểm M lên AB và AC
a) Chứng minh rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật
b) Lấy I đối xứng với D qua A, K đối xứng với E qua M Chứng minh DK = IE
c) Gọi O là giao điểm của AM và DE Chứng minh 3 điểm K, O, I thẳng hàng
d) Gọi P, Q thứ tự là trung điểm của BM, CM Chứng minh tứ giác DPQE là hình thang vuông
Bài 24 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, đường cao AH Gọi I là
trung điểm của AB Lấy điểm K đối xứng với B qua H Qua A dựng đường thẳng song song với BC cắt HI tại D
a) Tứ giác AKHD là hình gì? Chứng minh?
b) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật Từ đó tính diện tích của tứ giác AHBD nếu AH = 6cm; AB = 10cm
c) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác AHBD là hình vuông?
d) M là điểm đối xứng với A qua H Chứng minh: AK ⊥ CM
Bài 25 Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC, các đường cao BD và CE cắt
nhau tại H, I là trung điểm của BC Gọi K là điểm đối xứng với H qua I, M là điểm đối xứng với H qua đường thẳng BC Gọi O là trung điểm của AK
a) Các tứ giác BHCK, BCKM là hình gì?
b) Chứng minh O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC c) Chứng minh rằng AK vuông góc với DE
Bài 26 Cho hình vuông ABCD tâm O (O là giao điểm của hai đường chéo).
Lấy Q là điểm bất kì trên đường chéo BD (Q khác B và D) Gọi E, F theo thứ
tự là hình chiếu vuông góc của Q trên AB, AD
a) Chứng minh tứ giác AEQF là hình chữ nhật
b) Chứng minh và tính
c) Gọi M K theo thứ tự là trung điểm của Tính
Bài 27 Cho ABC vuông tại A, lấy điểm M nằm trên cạnh BC, hạ MD và ME
lần lượt vuông góc với AB và AC ( D AB, E AC ) Lấy điểm I đối xứng với
D qua A, K đối xứng với E qua M
Trang 6a) Chứng minh tứ giác DIEK là hình bình hành.
b) Chứng minh ba đường thẳng IK, DE, AM giao nhau tại một điểm c) Tìm vị trí điểm M trên BC để tứ giác ADME là hình vuông
d) Khi M là chân đường cao hạ từ A xuống BC, gọi J là trung điểm của cạnh BC Chứng minh Ạ vuông góc DE
Bài 28 Cho ABC vuông tại A Gọi M, D, E thứ tự là trung điểm củacác cạnh
BC, AB, AC
a) Chứng minh AEMD là hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật AEMD,
biết tam giác ABC có diện tích 36cm 2
b) Gọi N là điểm đối xứng với M qua D Chứng minh ACMN là hình bình hành
c) Tứ giác AMBN là hình gì? Chứng minh
d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì AEMD là hình vuông?
Bài 29 Cho ABC có AD là phân giác của góc BAC ( D thuộc BC ) Từ D kẻ
các đường thẳng song song với AB và AC , chúng cắt AC và AB tại E và
F
a) Chứng minh: Tứ giác AEDF là hình thoi.
b) Trên tia AB lấy điểm G sao cho F là trung điểm của AG Chứng minh:
Tứ giác
EFGD là hình bình hành.
c) Gọi I là điểm đối xứng của D qua F , tia AI cắt tia DE tại K Gọi O là giao điểm của AD và EF Chứng minh: G đối xứng với K qua O
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADGI là hình vuông