DE THI HSG LOP 9 2017 CO DA

Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC là 3a 2... Nội dung cần đạt..[r]

PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN

TRƯỜNG THCS TT TÂY SƠN

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG

Năm học: 2017 - 2018

Đề thi môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120' (không kể thời gian giao

đề)

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

P



a Rút gọn P

b Tính P khi x  3 2 2

c Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Bài 2: (4,0 điểm)

Giai các phương trình

a) x210x27 6 x x 4

b) x212 5 3  x x25

Bài 3: (4,0 điểm)

a Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn: y22xy 3x 2 0

b Cho x1; y0, chứng minh:

3

3

      

Bài 4 : (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E là giao điểm của CN và DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F Lấy M là trung điểm của EF.

a) Chứng minh: CM vuông góc với EF

b) Chứng minh: NB.DE = a 2 và B, D, M thẳng hàng.

Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC là 3a 2

Bài 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c  3 Chứng minh rằng:

3

thi chính th c

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM

Bài 1: (4,0 đ)

Câ

u

Nội dung cần đạt

a

2đ

P



b

1đ

2

1 2

x P

x

c

1đ

ĐK: x0;x1:

1

P

Học sinh lập luận để tìm ra x 4hoặc x 9

Bài 2: (4,0đ)

1

(2,0đ)

ĐK: 4  x 6:

2 10 27 ( 5) 2 2 2

VT x  x  x   , dấu “=” xẩy ra  x 5

VP  x x    x  x VP , dấu “=” xẩy ra

5

VT VP  x (TMĐK), Vậy nghiệm của phương trình: x 5 2

(2,0đ) Để phương trình có nghiệm thì :

3

x   x   x   x

Dễ dàng chứng minh được 2 2

3 0,

3

x

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}

Bài 3: (4,0đ)

Nội dung

Câua

2,0đ

Câub

(2,0đ

y  xy x   x  xy y x  x  x y  x x (*)

VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp

nên phải có 1 số bằng 0

Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1)x y   hoặc ( ; ) ( 2; 2)x y  

1; 0

( 1)

x





Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương:

3

(x 1)    (x 1)  (x 1) x 1

3

3

y    y  y  y

Từ (1); (2); (3):

3

3

6

Bài 4: : (6,0đ)

a(2,0đ)

F E

C

B A

D

N

Ta có:

∠ECD =∠BCF (cùng phụ với ∠ECB )

Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn)

 CE = CF

 ECF cân tại C

Mà CM là đường trung tuyến nên CM EF

b

(2,0đ)

Vì EDC = FBC  ED = FB

NCF vuông tại C Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

BC 2 = NB.BF a 2 = NB.DE (đpcm)

*CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên

EF 2

CM 

AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên

EF 2

AM 

 CM = AM  M thuộc đường trung trực của AC.

Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC

 B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm).

c(2,0đ)

SACFE = SACF + SAEF = 1AF AE CB 

1

(AB BF) AE AD 2

1

(a x).DE 2

1

(a x)x 2

SACFE = 3.SABCD

1 (a x)x 3a 6a ax x 0 2

(2a x)(3a x) 0

   

Do x > 0; a > 0  3a + x > 0  2a x 0   x = 2a

 A là trung điểm của DE  AE = a

Vì AE //BC nên AN AE 1

 N là trung điểm của AB.

Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD

Bài 5

(2 đ)

1

1

a b



Tương tự ta có:

1

1

b c

  

1

1

c a

  

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:

3

2

2

a b c ab bc ca

abbcca  a b c        

3