Hãy tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng (d) với các trục tọa độ.. Trong một phòng có 288 ghế được xếp thành các dãy, mỗi dãy đều có số ghế như nhau. Cho nửa đường tròn đường kính A[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG
Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004)(Thời gian : 150 phút)
có nghiệm chung
Tính giá trị của biểu thức 2004a/(b + c)
Bài 3 : (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn tâm O1 và tâm O2 cắt nhau tại A, B Đường thẳng
O1A cắt đường tròn tâm O2 tại D, đường thẳng O2A cắt đường tròn tâm O1 tại C
Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm O1 tại M
và cắt đường tròn tâm O2 tại N
Trang 2ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN
Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004)(Thời gian : 150 phút)
Bài 1 : (6 điểm)
1) Chứng minh rằng :
là số nguyên
2) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho :
với n là số nguyên lớn hơn 2
Trang 3tròn (O) tại D Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E
So sánh độ dài các đoạn BC và BE
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHỔ THÔNG THCS
Môn thi : Toán - Năm học 1999 - 2000
Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A Lý thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn 1 trong 2 câu sau :
Câu 1 :
a) Hãy viết định nghĩa căn bậc hai số học của một số a ≥ 0 Tính:
b) Hãy viết định nghĩa về đường thẳng song song với mặt phẳng
Câu 2 :
a) Hãy viết dạng tổng quát hệ hai phưng trình bậc nhất hai ẩn số b) Chứng minh : “Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đều là góc vuông”
B Bài toán : (8 điểm) Bắt buộc cho mọi học sinh
Trang 4Bài 2 : (2 điểm)
Trong một phòng có 288 ghế được xếp thành các dãy, mỗi dãy đều có
số ghế như nhau Nếu ta bớt đi 2 dãy và mỗi dãy còn lại thêm 2 ghế thì vừa đủ cho 288 người họp (mỗi người ngồi một ghế) Hỏi trong phòng đó có mấy dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế ?
Bài 3 : (4 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB Trên cung CB lấy điểm D tùy ý (D khác C và B) Các tia AC, AD cắt
Bx lần lượt tại E và F
a) Chứng minh ΔABE vuông cân
b) Chứng minh ΔABF ~ ΔBDF
c) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
d) Cho điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A và B) và D di động trên cung CB (D khác C và B) Chứng minh:
AC x AE = AD x AF và có giá trị không đổi
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI,
HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2002 - 2003
Môn Toán - Dành cho các lớp chuyên tự nhiên
Thời gian làm bài 150 phút
Trang 5Chứng minh rằng phương trình : x2 + 2x + ab = 0 có hai nghiệm hữu
tỉ
Bài III (3,0 điểm)
1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o Tính tỉ số BC/AB
2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn ở
Trang 6KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ
Trang 7b) Tính giá trị của K khi
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0
Bài 2 : (2 điểm)
Cho hệ phương trình :
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm
Bài 3 : (4 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến
Ax và By Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F
a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp
b) AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao ?
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) Gọi K là giao điểm của
Trang 8* Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút
Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :
a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ;
c) Tiếp xúc với parabol y = - 1/4.x2
Bài 3 (3 điểm)
a) Giải bài toán bằng cách lập phương trình :
Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7 m Tính diện tích hình chữ nhật đó
b) Chứng minh bất đẳng thức :
Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A Nửa đường tròn đường kính AB cắt
BC tại D Trên cung AD lấy một điểm E Nối BE và kéo dài cắt AC tại F
a) Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp
b) Kéo dài DE cắt AC ở K Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q Tứ giác MPNQ là hình gì ? Tại sao ?
c) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC Chứng minh rằng r2 = r12 + r22
Trang 9ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ
TỈNH THỪA THIÊN - HUẾ
* Môn : Toán * Khóa thi : 2001 - 2002 * Thời gian : 120
phút
A Lý Thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau đây :
Đề 1 :
Nêu điều kiện để có nghĩa
áp dụng : Tìm mỗi giá trị của x để mỗi căn bậc hai sau đây có nghĩa :
Trang 10ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 QUẬN 1 TP HỒ CHÍ MINH
* Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 90 phút
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH Trên tia
HC lấy HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE Tính góc AHM
Trang 11ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN (BẮC NINH)
* Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150
Bài 4 : (2 điểm)
Cho hai đường tròn đồng tâm và 1 điểm M cố định trên đường tròn nhỏ Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt
Trang 12đường tròn nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C Khi cho hai đường thẳng này quay quanh M và vẫn vuông góc với nhau, chứng minh rằng :
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN 10-TP HỒ CHÍ MINH
Trang 13a) Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB b) Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH BẮC NINH
* Môn thi : Toán * Khoá thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150
Trang 143) Tìm các giá trị của x để B = - 2
Bài 2 : (2,5 điểm)
Cho phương trình : x2 - (m+5)x - m + 6 = 0 (1)
1) Giải phương trình với m = 1
2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2 3) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn :
2) Chứng minh C, B, D thẳng hàng và tứ giác OO’EF nội tiếp
3) Với điều kiện và vị trí nào của hai đường tròn (O) và (O’) thì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN TỈNH HÀ TÂY
* Môn : Toán (chung) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004
Bài 1 : (2 điểm)
Cho biểu thức :
Trang 15Bài 4 : (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại I K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại
M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia
BM cắt Cx tại D
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh ΔMNK cân
3) Tính diện tích ΔABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI
4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên một đường thẳng cố định
Trang 16ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG (NAM ĐỊNH)
* Môn : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003
- 2004
Bài 1 : (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 + x - 1 = 0 Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu Gọi x1 là nghiệm âm của phương trình Hãy tính giá trị của biểu thức :
Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức :
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0 ≤ x ≤ 3
a/ Chứng minh rằng tứ giác BDNE nội tiếp
b/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau
Bài 5 : (2 điểm)
Có n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Hai điểm bất
kì được nối với nhau bằng một đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng được tô một màu xanh, đỏ hoặc vàng Biết rằng có ít nhất một đoạn màu xanh,một đoạn màu đỏ và một đoạn màu vàng ; không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bởi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu
a/ Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát
từ cùng một điểm
b/ Hãy cho biết có nhiều nhất bao nhiêu điểm thỏa mãn đề bài
Trang 17ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
* Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút ; * Khóa thi : 2003
-2004 Câu 1 :
1) Chứng minh rằng : phương trình (a2 - b2)x2 + 2(a2 - b2)x + a2 - b2 = 0luôn có nghiệm với mọi a, b
2) Giải hệ phương trình :
Câu 2 :
1) Với mỗi số nguyên dương n, đặt an = 22n + 1 - 2n + 1 + 1 ; bn = 22n + 1 +
2n + 1 + 1 Chứng minh rằng với mọi n, an.bn chia hết cho 5 và an + bn
không chia hết cho 5
2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng
Câu 3 : Cho ΔABC vuông tại A, có đường cao AA1 Hạ A1H vuông góc với AB, A1K vuông govd với AC Đặt A1B = x, A1C = y
1) Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của ABC và AHK Hãy tính tỉ số r'/r theo x, y, tìm giá trị lớn nhất của tỉ số đó 2) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó theo x, y
Câu 4 :
1) Cho đường tròn (C) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đườngtròn Một đường thẳng thay đổi, qua A nhưng không đi qua O cắt (C) tại M, N Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn
đi qua một điểm cố định khác O
2) Cho đường tròn (C) tâm O và một đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn I là một điểm di động trên (D) Đường tròn đường kính
Trang 18IO cắt (C) tại M, N Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5 :
1) Cho một bảng vuông 4 x 4 ô Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số) Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép chọn một hàng hoặc một cột bất kì
và trên hàng hoặc cột được chọn, đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0 Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng gồm toàn các số 0
2) ở vương quốc “Sắc màu kì ảo” có 45 hiệp sĩ : 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau mà gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ, khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì cả hai đổi sang tóc xanh) Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở vương quốc “Sắc màu kì ảo”, tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc được không ?
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - HẢI DƯƠNG
* Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi :
Bài 3 : (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình :
Trang 192) Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho các số : a + 1/b , b + 1/c , c + 1/a làcác số nguyên dương
Trang 202) Cho a thuộc Z Hỏi số x = a/3 + a2/3 + a6/3 có phải là số nguyên không ?
Vì sao ?
Bài 3 : (4 điểm)
1) Trong hình vẽ sau :
a Có những tam giác nào có cạnh là EF ?
b Có tất cả bao nhiêu góc có đỉnh là E, hãy kể ra
c Nếu biết số đo góc BDC = 60o thì tia DE có phải là tia phân giác của góc EDF không ? Vì sao ?
2) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau :
Hãy vẽ 9 điểm là : A, B, C, M, N, P, Q, R, S trong cùng một hình và phải thỏa mãn tất cả các điều kiện sau đây :
Trang 21Câu 1 : (2 điểm) Cho : A = (a2 + 4a + 4) / (a3 + 2a2 - 4a - 8)
c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất
Trang 22ĐỀ THI GIẢI LƯƠNG THẾ VINH QUẬN 9 - TP HỒ CHÍ MINH
* Môn thi : Toán lớp 7 * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Trang 23ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
a) Giải hệ phương trình với m = 7
b) Tìm m sao cho hệ phương trình (1) có nghiệm
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
Chứng minh rằng các đường thẳng AB, CD và PT đồng qui
Bài 5 :
Một ngũ giác có tính chất : Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1 Tính diện tích của ngũ giác đó
Trang 24ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 THỊ XÃ HÀ ĐÔNG HÀ TÂY
* Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (5 điểm)
a) Tính :
b) Tìm x biết :
Bài 2 : (3 điểm) So sánh :
Bài 3 : (2 điểm) Chứng minh rằng số là hợp số
Bài 4 : (4 điểm) Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia nhau một số kẹo đựng trong 6
gói Gói thứ nhất có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc,gói thứ tư có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ sáu có 15 chiếc Hồng và Lan đã nhận được 5 gói và số kẹo của hồng gấp hai số kẹo của Lan.Tính số kẹo nhận được của mỗi bạn
Trang 25Bài 5 : (6 điểm) Cho điểm O trên đường thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng
có bờ là xy, vẽ tia Oz sao cho góc xOz nhỏ hơn 90o
a) Vẽ các tia Om, On lần lượt là tia phân giác của các góc xOz và zOy Tính góc mOn ?
b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOy bằng 35o.c) Vẽ đường tròn (O ; 2 cm) cắt các tia Ox, Om, Oz, On, Oy lần lượt tại các điểm A, B, C, D, E Với các điểm O, A, B, C, D, E kẻ được bao nhiêu đường thẳng phân biệt đi qua các cặp điểm ? Kể tên những đường thẳng đó
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
1) Tính tổng 2003 số hạng đầu tiên của dãy trên
2) Viết số hạng tổng quát thứ n của dãy đã cho
Trang 261) Tính các Đ BIC, Đ BEC , Đ BKC khi góc A = 60o
2) Tính các Đ BIC, Đ BEC, Đ BKC khi Đ A = ao ( 0o < ao < 180o)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 THÀNH PHỐ PLEIKU-GIA LAI
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 :
Tìm số có 4 chữ số , biết rằng nếu đem số ấy nhân với 2 rồi trừ đi
1004 thì kết quả nhận được là số có 4 chữ số viết bởi các chữ số như
số ban đầu nhưng theo thứ tự ngược lại
Trang 27Cho tam giác ABC có Đ B = Đ C = 70o ; đường cao AH Các điểm E và
F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho Đ ABE = Đ CBE =
30o Gọi M là trung điểm AB
a) Chứng minh tam giác AMF đồng dạng với tam giácBHE
Trang 283) Tìm x thỏa mãn :
Bài 3 : (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB cố định trương cung
120o Lấy C thay đổi trên cung lớn AB (C không trùng A và B) ; M trên cung nhỏ AB (M không trùng A và B) Hạ ME, MF thứ tự vuông góc với AC và BC
1) Cho M cố định, hãy chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi Cthay đổi
2) Cho M cố định, hãy chứng minh giá trị không thay đổi khi C thay đổi
3) Khi M thay đổi, hạ MK vuông góc với AB Hãy xác định vị trí của
M sao cho đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4 : (1 điểm)
Cho tam giác đều ABC Lấy điểm M ngoài tam giác sao cho MA = ;
MB = 2 (cùng đơn vị đo độ dài với cạnh tam giác) ; góc AMC = 15o
(tia CM nằm giữa hai tia CA và CB) Tính độ dài CM và số đo góc BMC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TINH BẮC GIANG
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Câu 1 : (4 điểm)
Trang 29a) Tìm phân số tối giản lớn nhất mà khi chia các phân số
cho phân số ấy ta được kết quả là các số tự nhiên
b) Cho a là một số nguyên có dạng : a = 3b + 7 Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau ? Tại sao ? a = 11 ; a = 2002 ; a
= 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537
Câu 2 : (6 điểm)
1) Cho : A = 1 - 2 + 3 - 4 + + 99 - 100
a) Tính A
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ?
2) Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 22001 + 22002 và B = 22003 So sánh
A và B
3) Tìm số nguyên tố P để P + 6 ; P + 8 ; P + 12 ; P + 14 đều là các số nguyên tố
Câu 3 : (4 điểm)
Có 3 bình, nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót hết lượng nước
đó vào 2 bình còn lại, ta thấy : Nếu bình thứ hai đầy thì bình thứ ba chỉ được 1/3 dung tích Nếu bình thứ ba đầy thì bình thứ hai chỉ được 1/2 dung tích Tính dung tích của mỗi bình, biết rằng tổng dung tích
b) Biết Đ BAM = 800, Đ BAC = 600
c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1 cm
Câu 5 : (2 điểm)
Cho a = 1 + 2 + 3 + + n và b = 2n + 1 (với n thuộc N, n > 1)
Chứng minh : a và b là hai số nguyên tố cùng nhau
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ TP HỒ CHÍ MINH 2002 - 2003
Trang 30I Lí thuyết : (2 điểm) Chọn một trong hai câu sau :
1) Phát biểu định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn số
áp dụng : Viết công thức nghiệm tổng quát của các phương trình sau :a) 3x - y = 2
b) 2x + 0y = 6
2) Phát biểu và chứng minh định lí về sự liên hệ giữa số đo góc nội tiếp trong một đường tròn với số đo của cung bị chắn (chỉ chứng minhtrường hợp tâm của đường tròn nằm trên một cạnh của góc nội tiếp)
II Các bài toán : (8 điểm)Bắt buộc
Bài 3 : (1 điểm) Tuổi nghề của 25 công nhân được cho như sau :
M, N với M nằm giữa hai điểm S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O)
a) Chứng minh SO vuông góc với AB