Chứng minh rằng: Bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên... 0,25 Nên theo nguyên tắc Đi rích lê trong 5 đỉnh của ngũ giác luôn có ít nhất 2 đỉnh thuộc cù
Trang 1Trơng thcs Cao xuân huy Đề thi chọn hsg lớp 9 - vòng 3
Năm học: 2008 - 2009
Môn Toán ( Thời gian làm bài 150 phút )
Câu 1: (3 điểm)
a Giải phơng trình:
x
1
2
1
x
− = 2
b Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
(y-3)x2+ (x+1)y - 9x - 7 = 0
Câu 2: ( 2 điểm)
Giải hệ phơng trình:
=
−
− + +
=
− +
0 4 5 4
0 13 3
2 2
2 3
y x y xy x
xy x
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho các số a, b không âm thỏa mãn:
=
− +
−
= +
− +
0 11 7 2
0 2 4 2
c b a
c b a
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
Q = 6a + 7b + 2009c
Câu 4: ( 2 điểm)
Cho tam giác ABC Gọi: a, b, c là độ dài ba cạnh; ha, hb, hclà độ dài các
đờng cao tơng ứng; R, r lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác
đó
Chứng minh rằng:
2 92 2
c b a
R
+ + ≤ h a + h b h c
1 +
a c
1 +
b a
1
≤
r
2 1
Câu 5: ( 1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ngũ giác có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên ( Điểm có tọa độ nguyên là điểm có hoành độ và tung độ đều là những số nguyên ) Chứng minh rằng: Bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên
Trang 2
Hớng dẫn chấm và biểu điểm chính thức
( Hớng dẫn chấm này có: 03 trang )
Câ
1 a
Đ/K : x≠0; x 〈2 Đặt: y = 2 x− 2 , ( y〉0 )
Ta đợc hệ phơng trình:
= +
= +
2 1 1
2 2 2
y x
y x
Biến đổi hệ ta đợc: 2(xy)2- xy - 1 = 0 ⇒ xy = 1 hoặc: xy =
-2 1
0,5
+ Với xy = 1, Giải ra ta đợc: x = y = 1, ( thỏa mãn ) 0,5 + Với xy = -
2
1
, Giải ra ta đợc: x =
2
3
1 −
− , y =
2
3
1 +
−
Vậy phơng trình có 2 nghiệm: x = 1, x =
2
3
1 −
1 b Biến đổi đợc: y = 3 + 1
) 2 3 ( 2
2 + +
+
x x
x
mà: x2 +x+ 1 〉 0, x2 +x+ 1 là số lẻ 0,5 Nếu: x2 +x+ 1 = 1 ⇒ ( x = 0, y = 7), ( x = -1, y = 1) 0,5 Nếu: x2 +x+ 1 〉1 Để y là số nguyên thì: x2 +x+ 1 là Ư(3x+2),
Giải ra ta đợc: x2 +x+ 1= Ư(7) ⇒ x2 +x+ 1 = 7⇒(x = -3, y = 1) hoặc
( x = 2, y =
7
37
) , (loại.) Vậy: Phơng trình có 3 nghiệm: (0;7), (-1;1), (-3;1)
0,5
2
Hệ đã cho biến đổi thành:
= + +
−
−
−
=
− +
0 12 15 3
12 3
0 13 3
2 2
2 3
y x y xy x
xy x
0,5 Cộng từng vế và biến đổi thành: (x -1)[(x− 1 ) 2 + 3 (y− 2 ) 2] = 0
⇒(x - 1) = 0 hoặc:[(x− 1 ) 2 + 3 (y− 2 ) 2] = 0 0,5 Nếu: (x - 1) = 0 Giải ra ta đợc: y = 2 hoặc: y = -2 0,5 Nếu: [(x− 1 ) 2 + 3 (y− 2 ) 2] = 0
Giải ra ta đợc: ( x = 1, y = 2),(thỏa mãn)
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là: (1, 2), (1, -2)
0,5
Trang 33 Từ các điều kiện đã cho ta có: a = 4 - 2c, b = 3c - 3. 0,5
Khi đó: Q = 6(4 - 2c) + 7(3c - 3) + 2009c = 2018c + 3 0,5 Vì: 1 ≤ c ≤ 2 nên: GTLN của Q là 4039 tại: a = 0, b = 3
GTNN của Q là:2021 tại: a = 2, b = 0 O,5
4
áp dụng các BĐT:
+
≤
+
≤ +
) 1 1 ( 2
1 1
) 1 1 ( 4
1 1
y x xy
y x y
x
với: x, y〉 0
Ta có:
c b
1
≤ (1 1 ) 4
1
c b
2
1 1 ( 4
1
c b
0,5
Tơng tự với:
a c
1
,
b a
1
rồi cộng lại ta đợc:
M =
c b
1
+
a c
1
+
b a
1
≤ (1 1 1) 2
1
c b
Mà:
c b
h
1 1
S
c b a
2
+ +
=
r
1
( vì: S = pr )
⇒
c b
1
+
a c
1
+
b a
1
≤
r
2
áp dụng các BĐT:
+ +
≥ + +
+ +
≥ + +
≥ + + + +
zx yz xy z y x
zx yz xy z y x
z y x z y x
2 2 2
9 ) 1 1 1 )(
(
, với x, y, z 〉 0
Ta đợc: M ≥
a c c b b a c b
9
0,5
Trang 4Mà:
a c c b b a c b
9
≥
) (
2
9
c b
( 4
9
c b a
= ab+9bc R+ca ( Vì: S = abc4R ) ≥ 2 2 2
9
c b a
R
+ + ⇒ M ≥ 2 92 2
c b a
R
+ +
Vậy: 2 2 2
9
c b a
R
+ + ≤ h a + h b h c
1
+
a c
1
+
b a
1
≤
r
2 1
0,5
5 Do mỗi điểm nguyên tọa độ chỉ có một trong bốn loại sau: (chẵn, chẵn), ( chẵn, lẻ ),( lẻ, chẵn), ( lẻ, lẻ) 0,25
Nên theo nguyên tắc Đi rích lê trong 5 đỉnh của ngũ giác luôn
có ít nhất 2 đỉnh thuộc cùng một loại 0,25
Với hai điểm cùng loại thì trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu
là các điểm đó cũng có tọa độ nguyên 0,25
Điểm nguyên này luôn nằm trong hoặc trên cạnh của ngũ giác
Vậy: Bên trong hoặc trên cạnh của ngũ giác luôn có ít nhất
Chú ý
+ Trên đây chỉ là các bớc giải và khung điểm bắt buộc cho từng bớc,
yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận, biến đổi đầy đủ hơn
+ Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm
+ Chấm từng phần, điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn + Tổng điểm toàn bài là: 10 điểm