LUẬN VĂN Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi

LUẬN VĂN Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi Đề tài luận văn đề cập tới các hàm lồi một biến và nhiều biến, cùng với các tính chất cơ bản của...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………

LUẬN VĂN

Phương pháp sử dụng

tính chất hàm lồi

Mu c Lu c

Mo ’ d ¯ˆ ` u 2 a

Chu.o.ng 1 Phu.o.ng pha ´ p su ’ du ng tı ´nh chˆ at ha `m lˆ ` i (lo o ˜ m) 5

1.1 Th´u tu. s˘a´p d¯u.o c cu’a da˜y bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c sinh bo.’i ha`m lˆo` i (lo˜ m) 5 1.2 Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Karamata 11

1.3 Gi´o.i thiˆe.u mˆo.t sˆo´ ha`m lˆo` i va` ha`m lo˜ m 19

1.3.1 Mˆo.t sˆo´ ha`m lˆo` i 19

1.3.1 Mˆo.t sˆo´ ha`m lo˜ m 19

1.4 Ba`i tˆa.p 20

Chu.o.ng 2 Phu.o.ng pha ´ p lu a cho n tham sˆ o ´ 24

2.1 Ca´ c da.ng toa´ n ch´u.a tham sˆo´ d¯ˆo.c lˆa.p 25

2.1.1 Tham sˆo´ chı’ thuˆo.c mˆo.t vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c 25

2.1.2 Tham sˆo´ co´ trong hai vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c 30

2.2 Ca´ c da.ng toa´ n ch´u.a tham phu thuˆo.c va`o tham sˆo´ kha´ c 36

2.3 Ba`i tˆa.p .42

Chu.o.ng 3 Phu.o.ng pha ´ p su ’ du ng tı ´nh chˆ a ´t cu’a ha `m d ¯o.n d ¯iˆ e.u 45

3.1 Ha`m d¯o.n d¯iˆe.u 45

3.2 Tı´nh d¯o.n d¯iˆe.u cu’a ha`m ca´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh 49

3.2.1 Ca´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh 50

3.2.2 Ca´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh suy rˆo.ng 50

3.3 Tı´nh d¯o.n d¯iˆe.u cu’a ha`m ca´ c d¯a th´u.c d¯ˆo´i x´u.ng so cˆa´p 55

Chu.o.ng 4 Phu.o.ng pha ´ p hı `nh ho c 62

4.1 Hı`nh ho.c ho´ a ca´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh .62

4.2 Mˆo.t sˆo´ phu.o.ng pha´p kha´c 65

4.1 Ba`i tˆa.p .72

Kˆ e ´t luˆ a.n cu’a luˆa.n v˘an .73

Ta `i liˆ e.u tham kha’o 74

Mˆo.t trong nh˜u.ng phu.o.ng pha´p ch´u.ng minh BD- T ho˘a.c sa´ng ta.o ra nh˜u.ng BD- Tm´o.i la` viˆe.c la`m ch˘a.t BD- T.

Gia’ su.’ ta co´ (ho˘a.c cˆa` n ch´u.ng minh) BD- T A < B (tu.o.ng tu v´o.i BD - T A > B, A ≤

B, A ≥ B) Nˆe´u tı`m d¯u.o. c biˆe’u th´u.c C sao cho A < C < B, thı` ta no´ i r˘a`ng BD- Tth´u nhˆa´t d¯a˜ d¯u.o. c la`m ch˘a.t (nghiˆem ng˘a.t) bo’ i BD. - T th´u hai va` hiˆe’n nhiˆen, BD- Tth´u nhˆa´t d¯u.o. c suy ra t`u BD- T th´u hai Viˆe.c ch´u.ng minh d¯u.o c BD-T th´u hai cho

ta mˆo.t ca´ ch ch´u.ng minh BD- T th´u nhˆa´t va` d¯ˆ` ng th`o o.i sa´ ng ta.o ra nh˜u.ng BD- T m´o.i

Do d¯o´ , viˆe.c tı`m ra ca´ c phu.o.ng pha´ p d¯ˆe’ la`m ch˘a.t BD- T la` rˆa´t co´ y´ nghı˜a

D- o´ cu˜ ng la` nˆo.i dung ma` luˆa.n v˘an na`y d¯ˆe` cˆa.p

Luˆa.n v˘an da`y 74 trang, gˆo` m ca´ c phˆ` n mu.c lu.c, Mo.’ d¯ˆaa ` u, 4 chu.o.ng nˆo.i dung, Kˆe´tluˆa.n va` Ta`i liˆe.u tham kha’o

Chu.o.ng 1: Phu.o.ng pha ´p su ’ du.ng tı´nh chˆa´t cu’a ha`m lˆo ` i (lo ˜m)

D- ˆay la` phu.o.ng pha´ p co ba’n va` quan tro.ng nhˆa´t d¯ˆe’ la`m ch˘a.t BD- T ma` mˆo.t sˆo´

ta`i liˆe.u hiˆe.n ha`nh cu˜ ng d¯a˜ d¯ˆe` cˆa.p, d¯˘a.c biˆe.t la` ta`i liˆe.u [1] Phˆa` n d¯o´ ng go´ p cu’a luˆa.nv˘an, chu’ yˆe´u la` viˆe.c cu thˆe’ ho´ a ly´ thuyˆe´t cu’a phu.o.ng pha´ p na`y b˘a`ng nh˜u.ng vı´ du

va` ba`i tˆa.p cu thˆe’, co´ thˆe’ ta´ ch riˆeng tha`nh nh˜u.ng ba`i tˆa.p vˆe` BD- T kha´ phong phu´ Kha´ nhiˆ` u BDe - T quen thuˆo.c, la` tru.`o.ng ho p riˆeng cu’a ca´c BD- T d¯a˜ d¯u.o c ta.o ra t`u.nh˜u.ng minh ho.a na`y Trong phˆa` n cuˆo´i chu.o.ng, luˆa.n v˘an cu˜ ng d¯a˜ d¯u.a ra d¯u.o c kha´

nhiˆ` u hae `m lˆ` i (loo ˜ m) d¯ˆe’ ba.n d¯o.c co´ thˆe’ a´p du.ng sa´ng ta.o ra nhiˆe` u BD- T kha´ c.

Chu.o.ng 2: Phu.o.ng pha ´p lu a cho .n tham sˆ o´.

Co´ thˆe’ minh ho.a y´ tu.o.’ ng cu’a phu.o.ng pha´ p na`y bo.’ i mˆo.t vı´ du sau d¯ˆay: Gia’ su.

a, b, c la` 3 sˆo´ khˆong ˆam co´ tˆo’ng b˘a`ng 3 Dˆe˜ da`ng ch´u.ng minh d¯u.o. c bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c

√

a +

√

Nhu vˆa.y, v´o.i k ≥ 1

2 thı` BD- T sau d¯ˆay luˆon d¯u´ ng

ak+ bk + ck ≥ ab + bc + ca.

Mˆo.t cˆau ho’i tu nhiˆ. en d¯u.o. c d¯˘a.t ra, v´o.i k < 1

2 thı` khi na`o BD- T trˆen vˆa˜n d¯u´ ng?Viˆe.c tı`m d¯u.o c sˆo´ k (k < 1

2) nho’ nhˆa´t sao cho BD- T trˆen vˆa˜n d¯u´ ng cho ta mˆo.tphu.o.ng pha´ p d¯ˆe’ la`m ch˘a.t BD- T.

D- o´ cu˜ ng la` nˆo.i dung ma` luˆa.n v˘an d¯ˆe` cˆa.p trong chu.o.ng na`y, trong d¯o´ tham sˆo´

k d¯u.o. c xe´ t o.’ hai da.ng, la` tham sˆo´ d¯ˆo.c lˆa.p ho˘a.c co`n phu thuˆo.c va`o mˆo.t tham sˆo´ kha´c

Chu.o.ng 3: Phu.o.ng pha ´p su ’ du.ng tı´nh chˆa´t cu’a ha`m d¯o.n d¯iˆe.u.

Phu.o.ng pha´ p na`y cu˜ ng d¯a˜ d¯u.o c mˆo.t sˆo´ ta`i liˆe.u d¯ˆe` cˆa.p, d¯˘a.c biˆe.t la` ta`i liˆe.u [1].Phˆ` n d¯oa ´ ng go´ p cu’a luˆa.n v˘an o’ chu.o.ng na. `y chu’ yˆe´u la` viˆe.c hˆe thˆo´ng ho´ a mˆo.t sˆo´phu.o.ng pha´ p s˘a´p th´u tu. ca´ c d¯a.i lu.o ng trung bı`nh va` cu thˆe’ ho´a ly´ thuyˆe´t cu’aphu.o.ng pha´ p b˘a`ng nh˜u.ng vı´ du va` ba`i tˆa.p cu thˆe’ Kha´ nhiˆ` u BDe - T m´o.i d¯u.o c luˆa.nv˘an sa´ ng ta´ c, thˆong qua viˆe.c la`m ch˘a.t BD- T b˘a`ng ca´ ch su.’ du.ng phu.o.ng pha´p na`y

Chu.o.ng 4: Phu.o.ng pha ´p hı`nh ho .c.

Nˆo.i dung chu.o.ng na`y d¯ˆe` cˆa.p d¯ˆe´n mˆo.t sˆo´ phu.o.ng pha´p la`m ch˘a.t BD-T d¯a.i sˆo´thˆong qua nh˜u.ng u.´o.c lu.o. ng tru c quan t`. u hı`nh ho.c, v´o.i nh˜u.ng vı´ du minh ho.a kha´

cu thˆe’

Luˆa.n v˘an d¯u.o c hoa`n tha`nh du.´o.i su hu.´o.ng dˆa˜n khoa ho.c cu’a Tiˆe´n sy˜ Tri.nh

D- a`o Chiˆe´n - Ngu.`o.i Thˆa` y rˆa´t nghiˆem kh˘a´c va` tˆa.n tˆam trong cˆong viˆe.c, ngu.`o.i Thˆa` ykhˆong chı’ giu´ p d¯˜o., cung cˆa´p ta`i liˆe.u, go i mo. ’ cho ta. ´ c gia’ nhiˆ` u ye ´ tu.o.’ ng hay va`truyˆ` n d¯a.t nhiˆee ` u kiˆe´n th´u.c quı´ ba´ u, cu˜ ng nhu nh˜u.ng kinh nghiˆe.m nghiˆen c´u.u khoaho.c ma` co`n chı’ ba’o cho ta´ c gia’ trong ta´ c phong la`m viˆe.c, thˆong ca’m, khuyˆe´n khı´ch

d¯ˆo.ng viˆen ta´ c gia’ vu.o. t qua nh˜u.ng kho´ kh˘an trong chuyˆen mˆon va` cuˆo.c sˆo´ng Chı´nhvı` vˆa.y ma` ta´ c gia’ luˆon to’ lo`ng biˆe´t o.n chˆan tha`nh va` su. kı´nh phu.c sˆau s˘a´c d¯ˆo´i v´o.ithˆ` y giaa ´ o hu.´o.ng dˆa˜n - Tiˆe´n sy˜ Tri.nh D- a`o Chiˆe´n

Nhˆan d¯ˆay, ta´ c gia’ cu˜ ng xin ba`y to’ lo`ng biˆe´t o.n chˆan tha`nh d¯ˆe´n Ban Gia´ m Hiˆe.u

tru.`o.ng D- a.i ho.c Quy Nho.n, Pho`ng d¯a`o ta.o D- a.i ho.c va` sau D- a.i ho.c, khoa Toa´n, quı´Thˆ` y cˆa o gia´ o tru. c tiˆe´p gia’ng da.y d¯a˜ ta.o mo.i d¯iˆe` u kiˆe.n thuˆa.n lo i trong th`o.i gian ta´cgia’ tham gia kho´ a ho.c.

D- ˆo` ng th`o.i ta´ c gia’ cu˜ ng xin ba`y to’ lo`ng biˆe´t o.n d¯ˆe´n UBND Tı’nh Gia Lai, So.’Gia´ o du.c va` d¯a`o ta.o Tı’nh Gia Lai, Ban Gia´ m Hiˆe.u tru.`o.ng THPT Ia Grai, d¯a˜ d¯ˆo.ngviˆen va` ta.o mo.i d¯iˆe` u kiˆe.n thuˆa.n lo i d¯ˆe’ ta´c gia’ co´ nhiˆe` u th`o.i gian nghiˆen c´u.u va`hoa`n tha`nh d¯ˆ` tae `i

Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an na`y, ta´ c gia’ co`n nhˆa.n d¯u.o c su quan tˆam

d¯ˆo.ng viˆen cu’a me., vo , ca. ´ c anh chi em trong gia d¯ı`nh, ca´ c ba.n d¯ˆo` ng nghiˆe.p, ca´c anhchi em trong l´o.p cao ho.c kho´a VII, VIII, IX cu’a tru.`o.ng D-a.i ho.c Qui Nho.n Ta´c gia’xin chˆan tha`nh ca’m o.n tˆa´t ca’ su. quan tˆam va` d¯ˆo.ng viˆen d¯o´

D- ˆe’ hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an, ta´c gia’ d¯a˜ rˆa´t cˆo´ g˘a´ng tˆa.p trung nghiˆen c´u.u, song doı

´t nhiˆ` u ha.n chˆe´ vˆee ` th`o.i gian, cu˜ ng nhu vˆe` n˘ang lu. c nˆen ch˘a´c ch˘a´n trong luˆa.n v˘an

co`n nhiˆ` u vˆe a´n d¯ˆ` chu.a d¯ˆee ` cˆa.p d¯ˆe´n va` kho´ tra´ nh kho’i nh˜u.ng thiˆe´u so´ t nhˆa´t d¯i.nh

Ta´ c gia’ rˆa´t mong nhˆa.n d¯u.o c su chı’ ba’o cu’a quı´ thˆa`y cˆo va` nh˜u.ng go´p y´ cu’a ba.n

d¯o.c vˆe` luˆa.n v˘an na`y

Ta´ c gia’

Chu.o.ng 1

Tru.´o.c hˆe´t, v´o.i hai sˆo´ thu. c a ≥ b, ta su ’ du.ng kı´ hiˆe.u I(a; b) d¯ˆe’ ngˆa. ` m d¯i.nh mˆo.ttrong bˆo´n tˆa.p ho p (a; b), [a; b), (a; b] va. ` [a; b].

Trong [1], hai kˆe´t qua’ sau d¯ˆay d¯a˜ d¯u.o c ch´u.ng minh:

D- i.nh ly´ 1.1.1 Gia’ su.’ cho tru.´o.c ha`m sˆo´ y = f(x) co´ f00

(x) ≥ 0 (ha `m lˆ ` i) trˆ o en I(a; b) va ` gia’ su ’ x1, x2∈ I(a; b) v´ o.i x1 < x2 Khi d ¯o ´, v´ o.i mo .i da ˜y sˆ o´ t˘ ang dˆ ` n {u a k}

D- i.nh ly´ 1.1.2 Gia’ su.’ cho tru.´o.c ha`m sˆo´ y = f(x) co´ f00(x) 6 0 (ha `m lo ˜m) trˆen I(a; b) va ` gia’ su ’ x1, x2∈ I(a; b) v´ o.i x1 < x2 Khi d ¯o ´, v´ o.i mo .i da ˜y sˆ o´ t˘ ang dˆ ` n {u a k}

Nhˆa.n xe´ t r˘a`ng, d¯ˆe’ co´ d¯u.o. c nh˜u.ng kˆe´t qua’ t`u D- i.nh lı´ 1.1.1 ho˘a.c D- i.nh lı´ 1.1.2,

d¯iˆ` u quan tro.ng tru.´o.c hˆe´t la` pha’i xˆay du ng trˆen I(a; b) hai da˜y {ue k} va` {vk} thoa’

ma˜ n nh˜u.ng d¯iˆ` u kiˆe.n cu’a d¯i.nh lı´ Sau d¯o´ la` viˆe.c tı`m nh˜u.ng ha`m sˆo´ y = f(x) co´e

f00(x) ≥ 0 ho˘ a.c f00(x) 6 0 trˆ en I(a; b) d¯ˆe’ a´ p du.ng

Du.´o.i d¯ˆay la` mˆo.t va`i minh ho.a cho hai d¯i.nh lı´ trˆen, v´o.i nh˜u.ng da˜y sˆo´ va` ha`m

sˆo´ d¯o.n gia’n nhˆa´t Ba.n d¯o.c co´ thˆe’ tı`m ra nh˜u.ng kˆe´t qua’ kha´ c, phong phu´ ho.n.V´o.i hai sˆo´ thu. c cho tru.´o.c x1 < x2, hı`nh a’nh cu’a ca´ c d¯iˆe’m uj va` vj lˆ` n lu.o.a t

”tiˆe´n d¯ˆ` u” vˆee ` trung d¯iˆe’m cu’a d¯oa.n [x1x2] la` x1+ x2

2 trˆen tru.c sˆo´ giu´ p ta xˆay du. ng

d¯u.o. c hai da˜ y {uk} va` {vk} thoa’ ma˜ n nh˜u.ng d¯iˆ` u kiˆe.n cu’a De - i.nh lı´ 1.1.1 va` D- i.nh lı´1.1.2 nhu sau:

Ta co´ ca´ c kˆe´t qua’ sau d¯ˆay:

D- i.nh ly´ 1.1.3 Gia’ su.’ cho tru.´o.c ha`m sˆo´ y = f(x) co´ f00

(x) ≥ 0 (ha `m lˆ ` i) trˆ o en I(a; b) va ` gia’ su ’ x1, x2∈ I(a; b) v´ o.i x1 < x2 Khi d ¯o ´, v´ o.i mo .i da ˜y sˆ o´ t˘ ang dˆ ` n {u a k}

Bˆay gi`o., v´o.i mˆo˜i j ∈ {0, 1, , n}, d¯˘a.t

Bˆay gi`o., v´o.i hai sˆo´ thu. c cho tru.´o.c x1 < x2, hı`nh a’nh cu’a ca´ c d¯iˆe’m uj va` vj lˆ` nalu.o. t ”tiˆe´n chˆa.m dˆa` n d¯ˆe` u” vˆe` trung d¯iˆe’m cu’a d¯oa.n [x1x2] la` x1+ x2

2 trˆen tru.c sˆo´giu´ p ta xˆay du. ng d¯u.o. c hai da˜ y {uk} va` {vk} thoa’ ma˜ n nh˜u.ng d¯iˆ` u kiˆe.n cu’a De - i.nh

lı´ 1.1.3 va` D- i.nh lı´ 1.1.4 nhu sau:

Ngoa`i ra, co´ thˆe’ phˆo´i ho. p ca´ c ca´ ch ta.o da˜ y nhu trˆen, ta thu d¯u.o c ca´c c˘a.p da˜y

{uk} va` {vk} thoa’ ma˜ n nh˜u.ng d¯iˆ` u kiˆe.n cu’a De - i.nh lı´ 1.1.3 va` D- i.nh lı´ 1.1.4, ch˘a’ngha.n:

Cuˆo´i cu`ng, v´o.i viˆe.c cho.n ca´ c ha`m sˆo´ y = f (x) co ´ f00(x) ≥ 0 ho˘ a.c f00(x) 6 0

trˆen I(a; b), ta se˜ thu d¯u.o. c kha´ nhiˆ` u vı´ du phong phu´.e

D- ˆo´i v´o.i ca´ c ha`m sˆo´ lˆ` i ho˘o a.c lo˜m, ngoa`i ca´ c d¯i.nh lı´ nˆeu trˆen, ca´ c da.ng cu’a Bˆa´t

d¯˘a’ng th´u.c Karamata co`n cho ta nh˜u.ng phu.o.ng pha´ p la`m ch˘a.t bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c rˆa´thiˆe.u qua’ Sau d¯ˆay la` ca´ c kˆe´t qua’ cˆo’ d¯iˆe’n, d¯a˜ d¯u.o c trı`nh ba`y trong [1], ma` ta co´thˆe’ mˆo ta’ thˆong qua mˆo.t sˆo´ vı´ du

1.2 Bˆ a´t d ¯˘ a ’ ng th´ u.c Karamata

D- i.nh ly´ 1.2.1 (Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Karamata)

Cho ha `m sˆ o´ y = f (x) co ´ d ¯a .o ha `m cˆ a´p hai ta .i mo .i x ∈ (a; b) sao cho f00(x) > 0

- iˆe ` u kiˆ e.n cˆa ` n va ` d ¯u’ d ¯ˆ e’ hai bˆ o da ˜y sˆ o´ d ¯o.n d ¯iˆ e.u gia’m {xk, ak; k = 1, 2, · · · , n},

thoa’ ma ˜n ca ´c d ¯iˆ ` u kiˆ e e.n

Co´ thˆe’ mˆo ta’ ma trˆa.n (tij) qua mˆo.t vı´ du sau d¯ˆay:

Vı ´ du 1.4. Xe ´t da ˜y sˆ o´ khˆ ong ˆ am bˆ a´t ky ` α1, α2, · · · , αn co ´ tˆ o’ng b˘ a `ng α > 0 V´ o.i mˆ o ˜i i = 1, 2, · · · , n, ta d¯˘ a t

Tu.o.ng tu. D- i.nh lı´ 1.2.5, ta co´

D - i.nh ly´ 1.2.3. Cho ha `m sˆ o´ y = f (x) co ´ d ¯a .o ha `m cˆ a´p hai ta .i mo .i x ∈ (a; b) sao cho f00(x) < 0 v´ o.i mo .i x ∈ (a; b).

Gia’ su ’ a1, a2, · · · , anva ` x1, x2, · · · , xnla ` ca ´c sˆ o´ thuˆ o c [a;b], thoa’ ma ˜n d¯iˆe ` u kiˆ e.n

Tuy nhiˆen, khi gia’ thiˆe´t cuˆo´i cu`ng

x1+ x2+ · · · + xn= a1+ a2+ · · · + an

trong D- i.nh lı´ 1.2.1 va` D- i.nh lı´ 1.2.2 bi pha´ v˜o., cˆa`n pha’i co´ nh˜u.ng kˆe´t qua’ ma.nh ho.n

d¯ˆe’ thay thˆe´ Ta co´ hai kˆe´t qua’ sau d¯ˆay

D - i.nh ly´ 1.2.4. Cho ha `m sˆ o´ y = f (x) co ´ d ¯a .o ha `m cˆ a´p hai ta .i mo .i x ∈ (a; b) sao cho f0(x) ≥ 0 v´ o.i mo .i x ∈ [a; b] va ` f00(x) > 0 v´ o.i mo .i x ∈ (a; b).

Gia’ su ’ a1, a2, · · · , anva ` x1, x2, · · · , xn la ` ca ´c sˆ o´ thuˆ o c [a;b], d ¯ˆ ` ng th` o o.i thoa’ ma ˜n

ca ´c d ¯iˆ ` u kiˆ e e.n

Gia’ su ’ a1, a2, · · · , anva ` x1, x2, · · · , xn la ` ca ´c sˆ o´ thuˆ o c [a;b], d ¯ˆ ` ng th` o o.i thoa’ ma ˜n

ca ´c d ¯iˆ ` u kiˆ e e.n

Ta thˆa´y r˘a`ng, d¯ˆo´i v´o.i ca´ c da.ng cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Karamata, viˆe.c tı`m ra ca´cc˘a.p da˜ y {ak} va` {xk} thoa’ ma˜ n d¯iˆe` u kiˆe.n cu’a d¯i.nh lı´ la` rˆa´t quan tro.ng Sau d¯ˆay

la` mˆo.t sˆo´ vı´ du vˆe` viˆe.c xˆay du ng ca´c da˜y na`y

Vı ´ du 1.6. Gia’ su ’ cho tru.´ o.c da ˜y sˆ o´ gia’m

x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn Khi d ¯o ´, luˆ on tˆ ` n ta.i da˜y sˆo´ khˆong ˆam α o 1, α2, · · · , αn−1 sao cho

Vı ´ du 1.7. Gia’ su ’ a1, a2, · · · , an la ` ca ´c sˆ o´ thu c du o.ng.

a2

,ln a

2 2

a3

, · · · ,ln a

2 n−1

an

,ln a

2 n

la ` hoa ´n vi na`o d¯o ´ cu’a (1, 2, · · · , n).

Dˆ e ˜ da `ng kiˆ e’m tra d ¯u.o c r˘ a `ng c˘ a p da ˜y {ck} va ` {bk} thoa’ ma ˜n d¯iˆe ` u kiˆ e.n cu’a D - i.nh



1 +a

2 1

a2



1 + a

2 2



1 +a

2 1

a2



1 + a

2 2

v´ o.i mo .i sˆ o´ thu c du o.ng a1, a2, · · · , an.

Ta thˆa´y r˘a`ng, v´o.i c˘a.p da˜y {ck} va` {bk} trˆen, nˆe´u cho.n ha`m sˆo´ phu` ho p, ta.

se˜ thu d¯u.o. c nhiˆ` u bˆe a´t d¯˘a’ng th´u.c kha´ c Ch˘a’ng ha.n, xe´ t ha`m lˆ` i f (x) =o √1 + ex,

a1

,

v´ o.i mo .i sˆ o´ thu c du o.ng a1, a2, · · · , an.

6 · · ·

v´ o.i mo .i sˆ o´ thu c du o.ng a1, a2, · · · , an.

Vı ´ du 1.8. Tru.´ o.c hˆ e´t, ta co ´ nhˆ a n xe ´t r˘ a `ng: Nˆe´u hai da ˜y sˆ o´ {xk, yk ∈

I(a; b); k = 1, 2, · · · , n} thoa’ ma ˜n ca ´c d ¯iˆ ` u kiˆ e e.n

thı` chu ´ng thoa’ ma ˜n d¯iˆe ` u kiˆ e.n cu’a D - i.nh lı´ 1.2.1.

Ch´ u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, xe´ t hai bˆo sˆo´ (x1, x2, · · · , xn) va` (y1, y2, · · · , yn).

Bˆay gi`o., tiˆe´p tu.c xe´ t hai bˆo sˆo´ (x1+ x2, x3, · · · , xn) va` (y1+ y2, y3, · · · , yn).

Ch´u.ng minh tu.o.ng tu. , ta co´

x1+ x2 ≥ y1+ y2.

Tiˆe´p tu.c qua´ trı`nh tu.o.ng tu. , ta co´

x + x + · · · + x ≥ y + y + · · · + y

Nhu vˆa.y, cu`ng v´o.i nh˜u.ng gia’ thiˆe´t ban d¯ˆa`u, nhˆa.n xe´t trˆen d¯a˜ d¯u.o c kh˘a’ng d¯i.nh.

Bˆay gi`o., xe´ t a1, a2, , anla` ca´ c sˆo´ thu. c du.o.ng V´o.i mˆo˜i i ∈ {1, , n}, ta d¯˘a.t

a2 j

Nhu vˆa.y, theo nhˆa.n xe´ t trˆen, c˘a.p da˜ y sˆo´ {xk} va` {yk} thoa’ ma˜ n d¯iˆe` u kiˆe.n cu’a

D- i.nh lı´ 1.2.1 va` do d¯o´, v´o.i ha`m sˆo´ lˆo`i

Lu.u y´ : Ngu.`o.i ta d¯a˜ ch´u.ng minh d¯u.o. c r˘a`ng, ca´ c kˆe´t qua’ cu’a D- i.nh lı´ 1.2.1

va` D- i.nh lı´ 1.2.4 vˆa˜n d¯u´ng ma` khˆong cˆa`n d¯ˆe´n gia’ thiˆe´t

x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn.

D- iˆe` u na`y cu˜ ng tu.o.ng tu. d¯ˆo´i v´o.i gia’ thiˆe´t

x1 6 x2 6 · · · 6 xn

trong ca´ c D- i.nh lı´ 1.2.3 va` D- i.nh lı´ 1.2.5

Khi d¯o´ , ta quy u.´o.c go.i ca´ c d¯i.nh lı´ tu.o.ng tu lˆa`n lu.o t la` D-i.nh lı´ 1.2.1a, D-i.nh lı´1.2.3a, D- i.nh lı´ 1.2.4a va` D- i.nh lı´ 1.2.5a

Ngoa`i ra, trong [1] cu˜ ng d¯a˜ trı`nh ba`y mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua’ vˆe` ca´ c da.ng D- i.nh lı´Karamata mo.’ rˆo.ng ma` ba.n d¯o.c co´ thˆe’ tham kha’o

Ho.n n˜u.a, kha´ nhiˆ` u kˆe´t qua’ vˆee ` d¯ˆo gˆa` n d¯ˆe` u va` th´u tu. s˘a´p d¯u.o. c cu’a mˆo.t da˜ y

ca´ c tam gia´ c cu˜ ng d¯a˜ d¯u.o c d¯ˆe` cˆa.p trong [1] D- ˆay chı´nh la` mˆo.t phu.o.ng pha´p kha´h˜u.u hiˆe.u d¯ˆe’ la`m ch˘a.t ca´ c bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c lu.o. ng gia´ c cu’a tam gia´ c Vı´ du sau d¯ˆay

se˜ cho ta mˆo.t minh hoa d¯o.n gia’n vˆe` vˆa´n d¯ˆ` nae `y

Vı ´ du 1.9. Xe ´t tam gia ´c ABC Khˆ ong mˆ a´t tı ´nh tˆ o’ng qua ´t, co ´ thˆ e’ gia’ su ’

Bˆay gi`o., nˆe´u xe´ t ha`m sˆo´ lˆ` i f (x) = sinx; x ∈ (0; π), thı` ta coo ´ kˆe´t qua’ sau

Bˆ a ´t d ¯˘ a ’ ng th´ u.c 1.9. Gia’ su ’ tam gia ´c ABC co ´ go ´c l´ o.n nhˆ a´t nho’ ho.n hai lˆ ` n a

go ´c nho’ nhˆ a´t Thˆ e´ thı`, ta co ´

sin(2A − B) + sin(2B − C) + sin(2C − A) ≥ sinA + sinB + sinC.

Phˆ` n naa `y se˜ d¯u.o. c khe´ p la.i v´o.i viˆe.c gi´o.i thiˆe.u mˆo.t sˆo´ ha`m lˆo`i, lo˜m d¯ˆe’ ba.n d¯o.c

co´ thˆe’ a´ p du.ng

1.3 Gi´ o.i thiˆ e.u mˆo.t sˆo´ h`am lˆo ` i v` a h` am l˜ om

Ba `i tˆa.p 1.2 Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0 Ch´u ng minh r˘a`ng

Ba `i tˆa.p 1.4 Cho a, b, c ∈ (0; 1) Ch´u ng minh r˘a`ng:

Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe´ t ha`m sˆo´ f (x) = √1 − x; x ∈ (0; 1)

Ba `i tˆa.p 1.5 Cho a, b, c ∈ (0; 1) Ch´u ng minh r˘a`ng

Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe´ t ha`m sˆo´ f (x) =√1 − x ; x ∈ (0; 1)

Ba `i tˆa.p 1.6 Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0 Ch´u ng minh r˘a`ng:

Ba `i tˆa.p 1.7 Cho a, b, c > 0 Ch´u ng minh r˘a`ng

Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe´ t ha`m sˆo´ f (x) = ex ; x ∈ R

Ba `i tˆa.p 1.8 Cho a, b, c > 0 Ch´u ng minh r˘a`ng v´o.i α, β > 0 va` α + β = 1, ta co´:

≥ aα2b2αβcβ2 + bα2c2αβaβ2 + cα2a2αβbβ2 ≥ · · ·Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe´ t ha`m sˆo´ f (x) = ex , x ∈ R

Ba `i tˆa.p 1.9 Choa, b, c du o.ng Ch´u.ng minh r˘a`ng

Ba `i tˆa.p 1.10 Cho a, b, c khˆong nho’ ho n 1 Ch´u.ng minh r˘a`ng:

Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe´ t ha`m sˆo´ f (x) = ln(1 − x) ; x ∈ (0; 1)

Ba `i tˆa.p 1.15 Cho a, b, c ∈ (0; 1) Ch´u ng minh r˘a`ng:

Chu.o.ng 2

Tru.´o.c hˆe´t ta xe´ t ba`i toa´ n sau

Ch´ u.ng minh r˘ a `ng nˆe´u a, b, c la ` 3 sˆ o´ khˆ ong ˆ am co ´ tˆ o’ng b˘ a `ng 3, thı` ta co ´

Su.’ du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c gi˜u.a trung bı`nh cˆo.ng va` trung bı`nh nhˆan (thu.`o.ng go.i la`

bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c AM-GM) cho 3 sˆo´, ta co´

Cˆo.ng ca´ c vˆe´ cu’a ca´ c bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c trˆen, ta d¯u.o. c d¯iˆ` u cˆe ` n ch´a u.ng minh

Nhˆa.n xe´ t r˘a`ng, bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c trˆen co´ thˆe’ viˆe´t la.i du.´o.i da.ng

a21 + b21 + c12 ≥ ab + bc + ca

Nhu vˆa.y, v´o.i k ≥ 1

2 thı` bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c sau d¯ˆay luˆon d¯u´ ng

ak+ bk + ck ≥ ab + bc + ca.

Mˆo.t cˆau ho’i tu nhiˆ. en d¯u.o. c d¯˘a.t ra: V´o.i k < 1

2, thı` khi na`o bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c trˆen

vˆa˜n co`n d¯u´ ng? No´ i ca´ ch kha´ c, ta co´ ba`i toa´ n

Tı`m h˘ a `ng sˆ o´ k tˆ o´t nhˆ a´t (nho’ nhˆ a´t) trong bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c sau

ak+ bk + ck ≥ ab + bc + ca,

trong d ¯o ´ a, b, c la ` ca ´c sˆ o´ thu c khˆ ong ˆ am va ` a + b + c = 3.

Ca´ ch d¯˘a.t vˆa´n d¯ˆe` va` viˆe.c gia’i ca´ c ba`i toa´ n tu.o.ng tu. nhu trˆen cho ta mˆo.t phu.o.ngpha´ p d¯ˆe’ la`m ch˘a.t bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c: Phu.o.ng pha´p lu a cho.n tham sˆo´ (tˆo´t nhˆa´t)

Co´ thˆe’ chia nh˜u.ng ba`i toa´ n thuˆo.c phu.o.ng pha´p na`y bo.’i hai da.ng nhu sau

+ Da ng 1: Tham sˆo´ k la` tham sˆo´ d¯ˆo.c lˆa.p (khˆong phu thuˆo.c va`o mˆo.t tham

sˆo´ na`o kha´ c) va` chı’ co´ m˘a.t o’ mˆ. o.t vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c (ch˘a’ng ha.n o.’ ba`i toa´ntrˆen) ho˘a.c co´ m˘a.t o’ hai vˆe´ cu’a bˆ. a´t d¯˘a’ng th´u.c

+ Da ng 2: Tham sˆo´ k la` tham sˆo´ phu thuˆo.c va`o ca´ c tham sˆo´ kha´ c (ch˘a’ng

ha.n k = k(n), v´o i n la` sˆo´ ca´c sˆo´ thu c cho tru.´o.c).

Trong chu.o.ng na`y, luˆa.n v˘an se˜ d¯ˆe` cˆa.p d¯ˆe´n mˆo.t sˆo´ ba`i toa´ n minh hoa cho phu.o.ngpha´ p lu. a cho.n tham sˆo´ (tˆo´t nhˆa´t) v´o.i ca´ c da.ng nˆeu trˆen, cu`ng v´o.i viˆe.c d¯ˆe` xuˆa´t l`o.igia’i phu` ho. p.

2.1.1 Tham sˆ o´ chı’ thuˆ o c mˆ o t vˆ e´ cu’a bˆ a´t d ¯˘ a ’ ng th´ u.c

Khi tham sˆo´ chı’ thuˆo.c mˆo.t vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c thı` vˆe´ co`n la.i cu’a bˆa´t d¯˘a’ngth´u.c d¯u.o. c xem la` khˆong d¯ˆo’i Phu.o.ng pha´ p na`y d¯u.o. c minh hoa bo’ i ca. ´ c ba`i toa´ nsau

Ba `i toa´ n 2.1 Tı`m h˘ a `ng sˆ o´ k tˆ o´t nhˆ a´t (nho’ nhˆ a´t) trong bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c sau

ak+ bk + ck ≥ ab + bc + ca,

trong d ¯o ´ a, b, c la ` ca ´c sˆ o´ thu c khˆ ong ˆ am va ` a + b + c = 3

L` o.i gia’i Theo phˆ` n gi´a o.i thiˆe.u ta d¯a˜ ch´u.ng minh bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c trˆen v´o.i k = 1

2,

do d¯o´ no´ vˆa˜n d¯u´ ng v´o.i mo.i k ≥ 1

2 Bˆay gi`o ta xe´ t bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c khi k ≤

1

2 Tru.´o.c

hˆe´t ta xe´ t bˆo’ d¯ˆ` saue

Bˆ o’ d ¯ˆ` 2.1.1 Gia’ su.e ’ a + b = 2t ≥ 1, khi d¯o ´

ak+ bk − ab ≥ min (2t)k, 2tk− t2

.

Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ a ≥ b Tˆ. ` n ta.i mˆo.t sˆo´ khˆong ˆam x v´o.i a = t + x, b = t − x.o

co´ qua´ khˆong qua´ mˆo.t nghiˆe.m, suy ra f0(x) co´ khˆong qua´ 2 nghiˆe.m (t ≥ x ≥ 0).

Vı` f’(0)=0 va`

f00(0) = 2k(k − 1)tk−2+ 2 = 2 − 2k(1 − k) ≥ 0,

Do d¯o´ gia´ tri nho’ nhˆa´t cu’a f se ˜ lˆa´y ta.i x = 0 ho˘a.c x = t.

V´o.i bˆo’ d¯ˆ` trˆen, bae `i toa´ n d¯u.o. c ch´u.ng minh nhu sau: Khˆong mˆa´t tı´nh tˆo’ng qua´ t

ta gia’ su.’ a ≥ b ≥ c D - ˘a.t a + b = 2t ≥ 1, khi d¯o´

ak + bk+ ck− (ab + bc + ca) ≥ min

(2t)k, 2tk− t2

−2ct + ck.

(i) Nˆe´u (2t)k ≤ 2tk − t2, a´ p du.ng bˆo’ d¯ˆe` v´o.i 2t va ` c

ak+ bk+ ck− (ab + bc + ca) ≥ (2t)k+ ck− c.2t ≥ min



.

Kˆe´t ho. p ca’ hai tru.`o.ng ho p ta tı`m d¯u.o c

ak + bk + ck− (ab + bc + ca) ≥ min

0, 23

k

2k −94

2, c = 0, ho˘a.c ca´ c hoa´ n vi tu.o.ng ´u.ng

Ba `i toa´ n 2.2 Tı`m h˘ a `ng sˆ o´ k tˆ o´t nhˆ a´t trong bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c sau

L` o.i gia’i Nhˆa.n xe´ t r˘a`ng: Cˆo´ d¯i.nh |a|, |b|, |c| thı` bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c nho’ nhˆa´t khi

abc ≤ 0, no´ i ca´ ch kha´ c ta co´ thˆe’ gia’ su.’ a ≥ c ≥ 0 ≥ b D- iˆe` u na`y tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.iviˆe.c ta ch´u.ng minh bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c sau (sau khi d¯a˜ d¯ˆo’i dˆa´u cu’a b) la`

trong d¯o´ k vˆa˜n la` hˆe sˆo´ ma` ta chu.a biˆe´t Viˆe.c d¯ˆa` u tiˆen la` ta loa.i bo’ c kho’i biˆe’u

th´u.c vˆe´ tra´ i nh`o bˆa´t d˘a’ng th´u.c d¯o.n gia’n sau

Ta tı`m d¯u.o. c k tˆo´t nhˆa´t la` 9

2, bˆa´t d¯˘a’ng d¯u.o. c ch´u.ng minh, d¯˘a’ng th´u.c xa’y ra khi

a = −b, c = 0 ho˘a.c ca´ c hoa´ n vi tu.o.ng ´u.ng

Ba `i toa ´ n 2.3. 1 Ca ´c sˆ o´ thu c du o.ng a, b, c thoa’ ma˜n a3+ b3 + c3 = 3 Xe ´t bˆ a´t d

a3b3+ b3c3 + c3a3 ≥ abc(a3+ b3+ c3).

2 Tı`m h˘ a `ng sˆ o´ du.o.ng k tˆ o´t nhˆ a´t sao cho v´ o.i mo .i sˆ o´ thu c du o.ng a, b, c bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c sau luˆ on d ¯u ´ng

Ba `i toa´ n 2.4 Gia’ su. ’ a, b, c la ` ca ´c sˆ o´ thu c du o.ng co´ tˆo’ng b˘a`ng 3, ha˜y tı`m sˆo´ k

tˆ o´t nhˆ a´t sao cho bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c sau luˆ on d ¯u ´ng

(ab)k+ (bc)k + (ca)k ≤ 3.

L` o.i gia’i Ta thu. c hiˆe.n phu.o.ng pha´p dˆo`n biˆe´n Hiˆe’n nhiˆen v´o.i mo.i k ≤ 0 thı` bˆa´t

d¯˘a’ng th´u.c trˆen luˆon d¯u´ ng ta xe´ t trong tru.`o.ng ho. p 1 ≤ k ≤ 2.

.

Vı` t0 ≥ t − u ≥ c nˆ en tk

0 ≥ ck, m˘a.t kha´ c do k ≤ 2 nˆen1

(t − u)k−1 − 1

(t + u)k−1 = 2u(k − 1)

tk 0

≤ 2u

ck .

Do d¯o´ f0(u) ≤ 0 ⇒ f (u) ≤ f (0) V´o.i kˆe´t qua’ na`y ta chı’ cˆ` n xea ´ t ba`i toa´ n khi

a = b ≥ 1 ≥ c Xe´ t ha`m sˆo´ mˆo.t biˆe´n cu’a a

klna − (k − 1)ln(3 − 2a) = ln(4a − 3).

Chu´ y´ r˘a`ng ca´ c ha`m sˆo´ a

3 − 2a va` −

a

4a − 3 la` ca´ c ha`m sˆo´ t˘ang nˆen phu.o.ng trı`nh

aq0(a) = 0 co´ khˆong qua´ mˆo.t nghiˆe.m, do d¯o´ phu.o.ng trı`nh q(a) = 0 co´ khˆong qua´

2 nghiˆe.m, suy ra phu.o.ng trı`nh h0(a) = 0 co´ khˆong qua´ 2 nghiˆe.m Do h0(1) = 0 va`

q0(1) = k + 2(k − 1) − 4 = 3k − 6 ≤ 0 nˆen t`u ba’ng biˆe´n thiˆen ta suy ra

Co`n nˆe´u k ≥ 2, v´o.i gia’ thiˆe´t a ≥ b ≥ c, ta se˜ ch´u.ng minh

(ab)k+ (bc)k+ (ca)k ≤ (ab + ac)k,

nhu.ng d¯iˆ` u nae `y hiˆe’n nhiˆen vı` V P ≥ (ab)k+ (bc)k+ ak−2bc ≥ V T.

Ngoa`i ra a(b + c) = a(3 − a) ≤ 9

4 nˆen

(ab)k + (bc)k + (ca)k ≤ 3

2

2k

T`u ca´ c ch´u.ng minh trˆen ta d¯i d¯ˆe´n kˆe´t luˆa.n sau

(ab)k + (bc)k + (ca)k ≤ max



3,32

2k

.

Va` h˘a`ng sˆo´ k tˆo´t nhˆa´t cˆa` n tı`m la` ln3

2(ln3 − ln2) .

2.1.2 Tham sˆ o´ co ´ trong hai vˆ e´ cu’a bˆ a´t d ¯˘ a ’ ng th´ u.c

Trong tru.`o.ng ho. p na`y ca’ hai vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c se˜ thay d¯ˆo’i theo gia´ tri cu’atham sˆo´ Phu.o.ng pha´ p na`y d¯u.o. c minh hoa bo’ i ca. ´ c ba`i toa´ n sau

Ba `i toa ´ n 2.5. (i) Ch´ u.ng minh r˘ a `ng v´ o.i a, b, c la ` ca ´c sˆ o´ thu c tuy ` y ´ ta luˆ on co ´

(iii) Tı`m h˘ a `ng sˆ o´ k tˆ o´t nhˆ a´t (l´ o.n nhˆ a´t) sao cho bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c sau

a4+ b4+ c4+ k(ab + bc + ca)2≥ (1 + 3k)(a3b + b3c + c3a) luˆ on d ¯u ´ng v´ o.i mo .i a, b, c ∈ R

L` o.i gia’i Xe´ t khai triˆe’n sau

(x2− kxy + kxz − z2)2+ (y2− kyz + kyx − x2)2+ (z2− kzx + kzy − y2)2 ≥ 0.

T`u khai triˆe’n trˆen ta suy ra

Ba `i toa´ n 2.6 Tı`m h˘ a `ng sˆ o´ du.o.ng k l´ o.n nhˆ a´t d ¯ˆ e’ ta co ´ bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c

¯u ´ng v´ o.i mo .i a, b, c khˆ ong ˆ am.

L` o.i gia’i Trong l`o.i gia’i na`y, ta ky´ hiˆe.u P

a2+ 2b22b(a + b) .

Co´ thˆe’ dˆe˜ da`ng tı`m d¯u.o. c v´o.i a, b ≥ 0 thı`

a2+ b2+ c2(b + a)(b + c) − k, Sc =

a2+ b2+ c2(c + a)(c + b) − k.

Khi d¯o´ dˆ˜ thˆa´y Se c ≥ Sb ≥ Sa Ngoa`i ra

2+ b2 + c2)(a + b + 2c) (a + b)(a + c)(b + c) − 2k.

(Theo su. xa´ c d¯i.nh cu’a sˆo´ k, ma` ta khˆong cˆa` n tı´nh cu thˆe’ t`u tru.´o.c) Vˆa.y gia´ tri.

tˆo´t nhˆa´t cu’a k la`

trong d ¯o ´ a, b, c la ` ca ´c sˆ o´ thu c khˆ ong ˆ am tuy ` y ´.

L` o.i gia’i Ta su.’ du.ng ca´c biˆe´n d¯ˆo’i sau

Sa= 2a(a2+ b2+ c2) − kabc,

Sb = 2b(a2+ b2+ c2) − kabc,

Sc = 2c(a2+ b2+ c2) − kabc.

(i) D - iˆe ` u kiˆ e.n cˆa ` n:

Lˆa´y b = c, ta co ´ Sb = Sc D- ˆe’ (2.1) d¯u´ ng thı` pha’i co´

Sb ≥ 0 ⇔ 2(a2+ 2b2) ≥ kab.

Theo bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c AM − GM ta tı`m d¯u.o. c ngay gia´ tri tˆo´t nhˆa´t cu’a k la` 4

√2

(ii) D - iˆe ` u kiˆ e.n d¯u’:

V´o.i k ≤ 4

√

2, ta ch´u.ng minh bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c cu’a d¯ˆ` bae `i luˆon d¯u´ ng Thˆa.t vˆa.y,khˆong mˆa´t tı´nh tˆo’ng qua´ t, ta gia’ su.’ a ≥ b ≥ c ⇒ Sa≥ Sb ≥ Sc

Sa= 2a(a2+ b2+ c2) − kabc ≥ 0 la` hiˆe’n nhiˆen

Sb+ Sc = 2(b + c)(a2+ b2+ c2) − 2kabc ≥ 4x(a2+ 2x2) − 2kax2 ≥ 0

Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c trˆen hiˆe’n nhiˆen d¯u´ ng theo su. xa´ c d¯i.nh cu’a sˆo´ k, o’ d¯ˆ. ay x =

Ba `i toa´ n 2.8 Tı`m h˘ a `ng sˆ o´ k l´ o.n nhˆ a´t d ¯ˆ e’ bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c sau d ¯u ´ng v´ o.i mo .i a, b, c khˆ ong ˆ am.

c2+ kab (a + b)2 +b

2+ kac (a + c)2 +a

2+ kbc (b + c)2 ≥ 3(1 + k)

4

L`o.i gia’i Cho c = 0 va ` a = b ru ´ t ra k ≤ 5

2 Ta se˜ ch´u.ng minh d¯ˆay chı´nh la` kˆe´tqua’ tˆo´t nhˆa´t cu’a k Ro˜ ra`ng d¯ˆe’ ch´u.ng minh bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c d¯u´ ng v´o.i mo.i k ≤ 5

2

ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh ba`i toa´ n trong tru.`o.ng ho. p k = 5

2.

2c2+ 5ab (a + b)2 + 2b

2

+ 5ac (a + c)2 +2a

2

+ 5bc (b + c)2 ≥ 21

2

− b2− c2) − 3(b − c)24(b + c)2 .

Ta pha’i ch´u.ng minh

4X

sym

(a2− b2)

1

⇔ 4X

sym

(a − b)2(a + b)(a + b + 2c) (b + c)2(a + c)2 ≥ 3X

Dˆe˜ thˆa´y Sc ≥ Sb ≥ Sa va` nhu vˆa.y phˆa` n co`n la.i cu’a ba`i toa´ n ta chı’ cˆ` n ch´a u.ngminh bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Sa+ Sb ≥ 0, hay

4ab(a2+ b2) + 4(a + b)(a3+ b3) ≥ 3(a + b)2(a2+ b2).

Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c na`y tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i

a4+ b4 + 2ab(a2+ b2) ≥ 6a2b2 ⇔ (a − b)2(4ab + a2+ b2) ≥ 0.

Hiˆe’n nhiˆen d¯u´ ng, d¯˘a’ng th´u.c xa’y ra trong tru.`o.ng ho. p k = 5

2 khi a = b = c ho˘a.c

a = b, c = 0 ho˘a.c ca´ c hoa´ n vi

Ba `i toa´ n 2.9 Tı`m h˘ a `ng sˆ o´ k l´ o.n nhˆ a´t d ¯ˆ e’ bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c sau d ¯u ´ng v´ o.i mo .i a, b, c khˆ ong ˆ am.

L` o.i gia’i Ta lˆa´y c = 0, a = b d¯ˆe’ suy ra k ≤ 1

2 Ta se˜ ch´u.ng minh gia´ tri na`y thoa’

ma˜ n, va` do d¯o´ bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c se˜ vˆa˜n d¯u´ ng v´o.i mo.i k ≤ 1

Lˆa´y Sa, Sb, Sc la` ca´ c hˆe sˆo´ tu.o.ng ´u.ng cu’a (b − c)2, (c − a)2, (a − b)2 trong bˆa´t

d¯˘a’ng th´u.c trˆen, khˆong mˆa´t tı´nh tˆo’ng qua´ t gia’ su.’ a ≥ b ≥ c, khi d¯o ´ Sc ≥ Sb ≥ Sa

Ta pha’i ch´u.ng minh thˆem Sb+ Sa ≥ 0, hay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i

2(a + c)2(a2+ c2) + 2(b + c)2(b2+ c2) ≥ (a2+ b2)(a2+ b2+ 2c2).

Cu˜ ng dˆe˜ da`ng nhˆa.n thˆa´y hˆe sˆo´ cu’a c2 o.’ vˆe´ pha’i nho’ ho.n vˆe´ tra´ i, va` do d¯o´ ta chı’

cˆ` n ch´a u.ng minh khi c = 0, hay

2a4+ 2b4 ≥ (a2+ b2)2 ⇔ (a2− b2)2 ≥ 0.

Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c d¯a˜ d¯u.o. c ch´u.ng minh xong D- ˘a’ng th´u.c xa’y ra khi a = b = c va`

nˆe´u k = 1

2 thı` co´ thˆem 1 tru.`o.ng ho. p a = b, c = 0 ho˘a.c ca´ c hoa´ n vi

Vˆ` m˘e a.t ba’n chˆa´t, ca´ c da.ng toa´ n na`y kha´ c h˘a’n v´o.i ca´ c da.ng toa´ n o.’ phˆ` n trˆena

va` thu.`o.ng co´ l`o.i gia’i kha´ ph´u.c ta.p Du.´o.i d¯ˆay la` mˆo.t sˆo´ ba`i toa´n minh hoa chophu.o.ng pha´ p na`y

D- i.nh ly´ 2.2.1 (Inequality General Induction).

Cho ca ´c sˆ o´ thu c du o.ng x1, x2, · · · , xn ∈ I ⊂ R va ` (cn) ∈ I0 ⊂R la ` mˆ o t da ˜y sˆ o´ thu c khˆ ong gia’m cho tru.´ o.c V´ o.i d ¯iˆ ` u kiˆ e e.n x1.x2· · · xn = kn (k = const) Xe ´t bˆ a´t d

¯˘ a’ng th´ u.c sau

Trong d ¯o ´ f (c, x) : I0× I → R tho’a ma ˜n hai d¯iˆe ` u kiˆ e.n

1 f la ` ha `m thuˆ ` n nhˆ a a´t v´ o.i hai biˆ e´n c, x, t´ u.c la ` tˆ ` n ta.i sˆo´ d sao cho o

2 Bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c (*) d ¯u ´ng v´ o.i mo .i c ≥ cn trong tru.` o.ng ho p

x1 = x2 = · · · = xn−1 Khi d ¯o ´ (*) luˆ on d ¯u ´ng v´ o.i mo .i c ≥ cn va ` v´ o.i mo .i da ˜y x1, x2, · · · , xn.

D- i.nh ly´ Inequality General Induction thu.`o.ng d¯u.o c go.i la` d¯i.nh ly´ I.G.I ( lˆa´y theo

ca´ c ch˜u ca´ i d¯ˆ` u trong tˆen tiˆe´ng Anh)a

Ba `i toa´ n 2.10 Tı`m k = k(n) nho’ nhˆ a´t d ¯ˆ e’ bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c sau luˆ on d ¯u ´ng v´ o.i mo .i

da ˜y sˆ o´ thu c x1, x2, · · · , xn

x21+ (x1+ x2)2+ · · · + (x1+ x2+ · · · + xn)2 ≤ k(x21+ x22+ · · · + x2n)