ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM MÔN TOÁN LỚP 6

Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37.. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng.. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đư

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019

MÔN TOÁN LỚP 6

(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (5,0 điểm) Cho A  5 – 5 50 4854 6 544  � +5 - 56 4+52 1

a) Tính A

b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A 1 5  n

c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100

Bài 2: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x ,biết:

a) 1 3 5 7 9     � 2 –1x  225

b) 2  2   2   2   � +2   2  8

Bài 3: (5,0 điểm)

a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37

b) Tìm số x, y nguyên biết x.y 12 x y   

Bài 4 (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia

cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3

Bài 5: (4,0 điểm)

1 Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng

2 Vẽ đoạn thẳng AB 6cm Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC BD 9cm.  a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C

b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?

Hết

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019

MÔN TOÁN LỚP 6

Bài 1: (4,0 điểm)

a A  5 – 5  50 4 8  546  544  � +5 - 5 56 4+ 2  1

�25A  5 5 – 5 2  50 48546544  � +5 - 5 6 4+521. 0,25

  5 – 552 50  548  546  � +5 -8 56+ 54  52. 0,25

b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A 1 5  n

Ta có 26.A 1 5  n mà 26A 5 52 1 nên 552   1 1 5n 0,25

c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100.

  5 – 5 50 48  546 544  � + 5 - 5 6 4 + 52 1 0,25

4 6.25.24 5 25.42 2

 5  24 � +5 25.24+ 24 0,50

46.600 5 6004 2 2.600+ 6.100 4 6 42 2

 5   � +5 24  5 5   5 24 0,25

Bài 2: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x ,biết:

a) 1 3 5 7 9       � 2 –1 x  225

Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+ 2 x – 1 

 A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1 0,25

Số số hạng của A là: 2x –1–1 : 2 1 x   (Số hạng) 0,25

A 2x –1 1 x : 2 x

x 15

b)  2  2   2   2   � +2   2  8

2 1 2 2 2 2x  x  x 2  2 2x 3  � +2 2x 2015  22019  2 3 0,25

2 1 2 2x    2   23 � +22015  23 2  2016  1  0,25

Đặt M 1 2 2    2   � 23 +22015

0,25

Ta được 2.M 2 2   2   23 2 4 � +22016

Vậy ta có 2 2x  2016   1  2 23  2016  1  0,25

Bài 3: (5,0 điểm).

a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh rằng số cabcũng chia hết cho 37.

�ab 1000 c00 37 M

0,25 � ��ab 999c00 ab ��M37 0,25

�ab 999 cab 37 M

0,25

Mà ab 999 ab 37.27 37 M 0,25 �cab 37M 0,25

b) Tìm số x, y nguyên biết x.y 12 x y   

�x y 1    y 12 0 0,25 �x y 1      y 1 11 0 0,25 �x 1 y 1      11 1  0,25

Do đó từ  1 �x 1; y 1  là các ước của -11 0,25

+) Với x 1   thì y 1 1.11   Suy ra x  10; y = 2 ( Thỏa mãn) 0,25 +) Với x 1   thì y 1 11.1   Suy ra x 0; y = 12 ( Thỏa mãn) 0,25 +) Với x 1 1  thì y 1  11.Suy ra x 2; y = -10 ( Thỏa mãn) 0,25 +) Với x 1 11  thì y 1    Suy ra x 12; y = 01.  ( Thỏa mãn) 0,25 Vậy x; y � 10; 2 ; 0;12 ; 2; 10 ; 12;0          0,25

Bài 4: (3,0 điểm).

Đáp án Điểm

Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3 0,25 Nên a 1 2 ;a 1 3 ; a 4 5 ; a 3 7  M  M  M  M

� a 1 2 ;a 2 3 ; a 1 5 ; a 4 7  M  M  M  M 0,25 � a 11 2 ;a 11 3 ; a 11 5 ; a 11 7  M  M  M  M 0,50 � a 11 BC 2;3;5;7  �   0,25

Bài 5: (4,0 điểm)

1 – Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng : 0,25

+ Chọn một điểm bất kì trong 30 điểm đã cho Qua điểm đó và từng điểm trong

29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng

+ Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng 0,25 + Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ

được là 29.30 : 2 435  đường thẳng

0,25 Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435

đường thẳng

– Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng

hàng ta vẽ được a a 1 : 2   đường thẳng

0,25

Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được một đường thẳng nên số đường thẳng

bị giảm đi là a a 1 : 2 1    đường thẳng.

0,25

Theo bài ra ta có : a a 1 : 2 1 435 421 14       0,25 �a a 1   30 6.5 0,25

Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a 1 a  nên a 6  0,25

a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.

Lại có AC DB 9 cm  �AD DB AC DB   hay AD AC. 0,25 Trên tia AB có : AD AC suy ra D nằm giữa A và C 0,25

b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?

2 Hình vẽ :

Vì D nằm giữa A và C suy ra AD DC AC.  0,25

Lại có AC DB 9 cm  , suy ra AD DC DB 9cm   0,25

Hay AD DB  DC 9cm 0,25

Thay AD DB 6 cm  , ta có 6cm DC 9 cm    Vậy DC 3 cm   0,25

Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài

theo hướng dẫn trên./.

- Hết