Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách trong số sách trên để làm giải thưởng sao cho mỗi loại có ít nhất một cuốn?. Câu IV (5 đ ).[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT QUỐC OAI MÔN TOÁN - LỚP 11
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
Câu I (4 đ ) : Giải phương trình:
tanx = sin2 (x + ) + cos2 (2x + ) + sinx sin (3x + )
Câu II (4 đ ):
Cho dãy số: (Un) xác định như sau:
() Un = ; n = 1, 2, 3…
Chứng minh rằng: U1 + U2 + U3 + … + U2010 <
Câu III (3 đ ):
Người ta sử dụng ba loại sách gồm: 8 cuốn sách về Toán học, 6 cuốn sách về Vật lý và 5 cuốn sách về Hoá học Mỗi loại đều gồm các cuốn sách đôi một khác loại nhau Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách trong số sách trên để làm giải thưởng sao cho mỗi loại có ít nhất một cuốn?
Câu IV (5 đ )
Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại B Cho AB=a,
BC = b; AA1= c (a2 + b2 < c2) Một mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA1
- Xác định thiết diện của mặt phẳng (P) với lăng trụ ABC.A1B1C1
- Tính diện tích thiết diện đó theo a; b; c
Câu V (4 đ )
Với x; y; z > 0 thoả mãn: x4 + y4 + z4 = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = x + y + 2z
Họ tên thí sinh:………
L
ư u ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT QUỐC OAI ĐÁP ÁN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CỤM
MÔN TOÁN - LỚP 11
Trang 2Áp dụng đẳng thức:
sin(a +b) sin(a - b) = sin2acos2b - cos2asin2b
= (1 - cos2a) (1 - sin2b) - cos2asin2b
1đ
cos2a + sin2b + sin (a+b) sin(a-b) = 1 1đ Chọn a = (2x + ); b = (x + ) ta được:
cos2(2x + ) + sin2(x + ) + sinx.sin(3x + ) = 1 1đ
PT đã cho tương đương: tanx = 1 x = + k; kZ 1đ
II
Do đó:
U1 + U2 + … + Uk < (1 - ) + ( - ) + … + - 0,5
Khi k = 2010 thì : U1 + U2 + … + U2010 < = 0,5
III
Sử dụng cách tính gián tiếp:Số cách chọn 7 trong số 19 cuốn sách
một cách bất kỳ là 7
19
C
Số cách chọn không đủ cả ba loại sách là:
Số cách chọn 7 trong số 11 cuốn sách Lý và Hoá là C117 (không
có sách Toán)
0,5
Số cách chọn 7 trong số 13 cuốn sách Hoá và Toán là C137 (không
Số cách chọn 7 trong số 14 cuốn sách Toán và Lý là 7
14
C (không
Số cách chọn 7 trong số 8 cuốn sách Toán là 7
8
C (không có sách
Vì mỗi cách chọn không có sách Lý và Hoá thuộc cả hai phép
chọn: Không có sách Lý và không có sách Hoá Nên số cách phải
tìm là : C197 C117 C137 C147 C87 44918 cách
1đ
IV * Từ giả thiết: AA1 = c; AB = a; BC = b
Và có: c2 > a2 + b2 AA1 > AC
Trong hình chữ nhật ACC1A1 hạ AH A1C
0,5
A
1
K H O
B1
c
Trang 3 H OC (O là trung điểm A1C)
Suy ra AH kéo dài cắt CC1 tại M
AM (P)
1,0
* Ta có: AA1 > AC > AB Nên trong hình chữ nhật ABB1A1 hạ
AK A1B => AK cắt BB1 tại N
Chứng minh được: BC (AA1B) => CB AK => AK (A1BC)
=> AK (P)
1,0
* Hình đối xứng của lăng trụ ABC.A1B1C1 qua mặt phẳng ACC1A1
là hình lăng trụ đứng: ACB'.A1C1B'1 Do đó mp (P) cắt lăng trụ tứ
giác ABCB'.A1B1C1B'1 theo thiết diện là tứ giác ANMN' nhận AM
làm trục đối xứng => NN' AM
0,5
Do NB = N'B' => NN'// BB'; NN' = BB' => đường cao của AMN
bằng đường cao của ABC hạ từ B đến AC
* Trong tam giác MCA có : AM =
2 2
1
os MAC os AA
1 1
AA
A
a b a b a b c
c C
0,5
2 2
.
ab a b a b c ab
a b c
a b
V Ta có: với a > 0 Áp dụng BĐT Bunhiakopsky
2
a
0,5
2
a
2 2
a
0,75
Dấu "=" xảy ra 2 2 2
4
x y
x y
a x z
z x az a
0,5
Trang 4=> a3x2z2 = 16x2z2 a = 3 16 0,5
Vậy dấu "=" xảy ra khi 4 3 4
16
3
x y
x y z
0,5
=> x = y = 4 3 4
2 3 4
3
2
16