Xét tính chẵn lẻ của hàm số Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số y fx Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số; kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là.. Nếu điều [r]
Trang 1CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A KIEN THUC CO BAN CAN NAM
1 Hàm sỐ y =sinx
"Có tậpxácđịnh D= #;
"_ Là hàm số lẻ;
m Là hàm số tuần hoàn với chu kì 27, sin(x + k27m ) =sinx;
Do hàm số y=sinx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 274 nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn có độ dài 2r , chẳng hạn trên đoạn | ~;1 |
Khi vẽ đồ thị của hàm sỐ y =sinx trên đoạn | —1 1 | ta nên để ý rằng : Hàm số y = sin x là hàm sỐ
lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số
y=sinx trên đoạn [0:1 |
Bảng biến thiên:
1
—†1
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những
đoạn có độ dài 2#,47r,Ớ, thì ta được toàn bộ
đồ thị hàm số y =sinx Đồ thị đó được gọi là
một đường hình s1m
Ham số y=sinx đồng biến trên khoảng
+ 2 a * wae *
24 ® tu ° J Se
Trang 2Từ đó do tính tuân hoàn với chu kì 2#, hàm số y=sinx đồng biến trên khoảng
š + k2 5 + kan) va nghich bién trén khoang (= +k2n; # +k2n
2 Hàm số y = cosx
= C6 tap xacdinh D= R;
= Laham sd chan;
= Laham số tuần hoàn với chu kì 27 ;
"Do hàm số y=coSx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2# nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó
trên đoạn có độ đài 27, chẳng hạn trên đoạn | —1 51 |
Khi vẽ đồ thị của hàm số y = cOSsx trên đoạn | —1 T | ta nên để ý rằng : Hàm số y = cosx là hàm
số chan, đo đó đồ thị của nó nhận trục Oy làm trục đối xứng Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số
y =cosx trén doan | 0:2 |
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số y = cOSx trên đoạn |0; |
+
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài 2x,4x,6ï, thì ta được toàn bộ đồ
thị hàm số y = cosx Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin
sư : 25/5/52 ï %2 5 5752525 LER, % S552 sr xà, ;
3 œ s 5 $ S20 J : :
Trang 3+
Hàm số y =cosx đồng biến trên khoảng (_n ; 0) va nghich bién trén khoang (0:x ) Từ đó do tính
tuần hoàn với chu kì 27, hàm số y =sinx đồng biến trên khoảng (<n + k2n; k2n) va nghich bién trên khoảng (k2m; £ + k2m)
3 Hàm sỐ y = tanx
TU
= C6 tap xac dinh la D=#\|5 sim kez),
= Co tap giatrila R;
"Là hàm số lẻ;
“ Hàm số tuần hoàn với chu ky 7, tan(x + k7 ) = tanx;
Do hàm số y=tanx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 7# nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn
có độ đài z, chẳng hạn trên đoạn -£-2
Khi vẽ đồ thị của hàm số y =tanx trên đoạn -2| ta nên để ý răng : Hàm số y =tanx là hàm
số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số
y=tanx trên đoạn oe
Bang bién thién:
+ co
Đồ thị hàm số y = tanx trên c =
0
ee “w© ww Tà LER, es 2 Ry
Trang 4Zz
TT
2
Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y =tanx trên đoạn -52|
| h|4—
—4—-
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ đài 7,27,37r, thì ta được toàn bộ
đồ thị hàm số y = tanx
Hàm số y = tanx đồng biến trên khoảng (-£.2) Từ đó do tính tuan hoan véi chu ky 7 nén
hàm số y = tanx đồng biến trên khoảng -š + Kĩ 21 ks
Đồ thị hàm số y = tanx nhận môi đường thăng x = 5 +k7 làm một đường tiệm cận (đứng)
Trang 54 Hàm số y = cotx
" Cótậpxácđịnhlà D=/\{kx|keZ};
"_ Có tập giá trịlà ;
"m Là hàm số lẻ;
= Ham so tuan hoan vdi chu ky 71, cot (x + kĩ ) =cotx;
Do hàm số y = cotx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 7 nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn
có độ đài m , chang han trén doan | 0; x J
Bang bién thién:
D6 thi ham sé y = cotx trên | 0:2 |
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài r,2r,3m thì ta được toàn bộ đồ
thị hàm số y = cotx
Trang 6
Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0: 1 ) Từ đó do tính tuần hoàn với chu kỳ 7 nên hàm
số y=cotx đồng biến trên khoảng (km: 7L + kTt )
Đồ thị hàm số y = cotx nhận mỗi đường thẳng x = k4 làm một đường tiệm cận (đứng)
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số
Phương pháp: Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau
= y=,fu(x) cóngHĩa khi và chỉ khi u{x) xác định và u(x)> 0
y= TỦ có nghĩa khi và chỉ u(x), v(x) xác định và v(x) z0 V(X)
=» y=—=— conglhia khi va chỉ u(x), v(x) xac dinh va v(x)>0
V(x)
= Ham sé y =sinx, y =cosx xac định trên # và tập giá trị của nó là:
—-l<sinx<1; -—Il<cosx<l
Như vậy, y= sin| u(x) | y= cos| u(x) | xac dinh khi va chi khi u(x) xac dinh
» y= tanu(x) có nghĩa khi và chỉ khi u(x) xác định và u(x) # 5 +km,ke Z
" v= cotu(x) có nghĩa khi và chỉ khi u(x) xác định và u(x) #kn,keZ
I Cac vi du mau
Ví dụ 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a) y = in| ¬ } b) y=cosV4—x”; c) y = vsinx; đ) y=2-sinx
xế]
Giải
a) Hamso y = sn > xác định © x7 -l#0<>x#z+I
x° -l
Vậy D=R\ {+1}
b) Hàm số y=coslx? ~4 xác định © 4-x”>0©>x”<4©-2<x<2
Vậy D={xe#|-2<x<2}
c Hàm số y =^jsinx xác định ©>sinx >0 © k2m<x<#+k2m,ke Z
Vậy D={xe #|k2n<x<+ k2n,ke Z}
đ) Ta có: -l<sinx<l=2-sinx>0
Do đó, hàm só luôn luôn xác định hay D = #
Ví dụ 2 Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Giải
“HH “w© ww Tà LER, es 2 Ry
Trang 7a) Ham sé ytan[ 2) xac dinh ox Zeb rknexe + kmk€ Z,
b) Hàm số y eol| xi |xấc định ©x+t.2zknecexz—+knkeZ,
Vậy D=R\| Fv knke Z|
c) Hàm số y= xac dinh ©cos(x~z)#0©x—x# + kg © xz CC + kx, ke Z,
Vậy ¬ `
7 X#—+ K71
cosx #0
d) Ham sé y=
2
vay D=R\| km2 lmk€Z]
Ví dụ 3 Tìm tập xác định của các hàm số sau:
3cos2x
1
Giải
a) Hàm sỐ y = cos2x + xác định © cosx s Ú €ẻ X2 + kn,k€ Z,
COSX
Vậy D= VE +kmke Z}
b) Hàm số y = —20082x xác định =
siIn3xcos3x sin3x cos3x #0 <> sin6x #0 © 6x # kh © x # ^^” ke Z
Vậy p= RV xe}
Vi du 4 Tim m để hàm số sau day xác định trên R: y= 2m —3cosx
Giải Hàm số đã cho xác định trên R khi và chí khi 2m — 3cosx > 0© cosx <^
Bất đẳng thức trên đúng với mọi x khi 1< zm <c>m> 3
3
II Bai tap rèn luyện
BT 1 Tim tap xác định của các hàm số sau:
Trang 8a) y=VI—cos x ; b) y= Joe ee
l+cosx
Giải
a) Nhận thấy 0<cos”x <1 nên I- cos”x >0,Vxe #
Vay D=R
b) Ham sé y =r xác định <> + cosx # Ö ©x # 7+ k21n,ke Z
l+cosx
Vay D=R\{n+k2n,ke Z}
BT 2 Tim tap xac định của các hàm số sau
2
Giải
a) Hàm số y=tan{ 3x xac dinh coin SoS kne xe ke ked
Vay D=R\ sony kez 18 3
b) Ham so y = tan6x + xac dinh
cot 3x cos6x + 0
<> <sin3x #0 & {sor Z0 c>sinl2x+0<>x# ““ keZ
cot3x #0
Vậy p= RV, Ke}
c) Ham sé y = 272% 4 cot] 3x +2 | xde dinh khi va chi khi
X#—T~+k2n
snl 3x62] 0 xe 2
18 3
Vay D=R\ Dy pont ee ty eg
“HH S257% ta Tà LER, es 2 Ry
Trang 9n KT
x #—+—
5 axe 3x + ka
& 1x#-~—k2n<© x# TT keg
Vậy D=/\| 10 5 14 7 `2 EE TT poke zh
BT3 Tìm m để hàm số sau xác định trên R : y= 3x
“x—~msinx+l 2sin
Giải Hàm số xác định trên R khi và chỉ khi: 2sin“x— msinx+l>0 với mọi te [—I|
Ta có: A=m^-—8
"- THỊ: A<0©>m”~8<0<>-22<m<242 Khi đó f(t)>0,Vt (thỏa mãn)
m=-242 m=242
o_ Với m=-242 thì f(Q=2/ ~22t+1=(V3t 1]
" TH2:A=0<>m -§=0<>
Ta thấy f(t)= 0 tại t= S e| —I:1 | &hông thỏa mãn)
2
o_ Với m=242 thì f(t)=2Ẻ +2/2t+1=(J2t + 1Ì
Ta thấy f(Q)=0 tại t=-—=e | -1;1] (khéng thoa man)
V2
m<-2 m>2V2
= TH3: A>0<>m -§>0<>
sui t, <t, )
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta thấy:
f(t)=2t* -mt+1>0,Vte]-11]<t, >1 hoae t, <1
he, "
$24 ® tu 7 J SEA J x J
ˆ khi đó tam thức f(t) có hai nghiệm phân biệt t,.t; (giả
12
Trang 10m-—-vVm7-8
4
m<3 l2
m>—
Vậy giá trị m can tim 1a -2V2 <m <2v2
Dạng 2 Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Phương pháp: Giả sử ta can xét tinh chan, lé cua ham sé y = f(x)
=_ Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là
Vx,xeD>-xeD (1)
"m Bước 2: Tính f(—x) và so sánh f(—x) với f(x)
- - Nếu f(-x)=f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên D (2)
- Nếu f(x)=-f() thì f() là hàm số lẻtrênD (3)
- _ Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f(x) là hàm không chẵn và không lẻ trên D;
- _ Nếu điều kiện (2) v à (3) không nghiệm đúng, thì ƒ(x) là hàm không chẵn và cũng không
l trên D
Lúc đó, để kết luận f(x) là hàm không chẵn và không lẻ ta chỉ cần chỉ ra điểm xạ eD sao
5 te # £(X9)
f(—Xạ)# -f(Xạ)
I Cac vi du mau
Ví dụ 1 Xét tính chẵn, lẻ của các ham 86 sau:
Giải a) TXD: D=R Suyra VxeD>-xeD
Ta có: f(-x) = sin(—2x) =-—sin2x = —f (x)
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ
b) TXD: D=R\[s2oknke Z) Suy ra VxeD>-xeD
Ta có: f(-x) = tan|—x| = tan|x| = f(x)
Do đó hàm số đã cho là hàm sé chan
c) TXD: D=R Suyra VxeD>-xeD
Ta có: f(-x) = sin* (-x) =sin* x= f(x)
Do đó hàm số đã cho là hàm sé chan
Ví dụ 2 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = tanx + cotx; b) y =sinx.cosx
Giải
Trang 11a) TXD: b=#\| ke} Suy ra VxeD>-xeD
Ta có: f(-x) = tan(—x) + cot(—x) =—tanx-cotx = -(tanx + cot x) = -f (x)
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ
b) TXD: D=R Suyra VxeD>-xeD
Ta có: f(-x) = sin(-x).cos(-x) = —SInXCOSX = -f(x)
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ
Ví dụ 3 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y=2sinx +3; b) y =sinx+cosx
Giải a) TXD: D= £ Suy ra VxeD>-xeD
Ta có:
f| = |=2sin| 2 2 |43=1; ¢] 2]=2sin) 2 ]43=5 2 2
Nhận thấy
(Cah
Do do ham s6 khong chan khong le
b) TXD: D= R Suy ra Vxe D>-xeD
Taco: y =sinx + cosx = 2n x + ;
f _ - /2sin 7,2 =0; f 5 - /2 sin 7,2 -/2
{-2) 4 i
Nhan thay
{-2) 2 NH
Do đó hàm số không chẵn không lẻ
Ví dụ 4 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
— CO§ X+Ï
sin? x
Giải
a) TXD: D=R Suy ra VxeD>-xeD
Chon x=~“eD=-“eD
Ta co: f| —= |= sin=+cos~
b) TXB: D=R\{kn,ke Z} Suy ra VxeD>-xeD
he, "
$24 ® tu 7 J SEA J x J
Trang 12
cos’ (—x)+1_ cos x +1 `
sin (-x) —sin® x sin? x
Ta có: f(-x) =
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ
Ví dụ 5 Xác định tham số m để hàm số sau: y = f(x) =3msin4x +cos2x là hàm s6 chan
Giải
TXD: D=#£ Suy ra VxelD=>-xeD
Ta có:
f(-x) =3m sin(—4x) + cos(~2x) = -3msin4x + cos2x
Dé ham sé da cho 1a ham s6 chan thi:
f(-x) = f(x),vx cD<3msin4x + cos2x = -3m sin4x + cos2x,Vx e D
> 6msin4x =0S m=0
II Bai tap ren luyén
BT 1 Xét tính chan, lé của các hàm số sau:
a) y=4X” +cos5X ; b) y=x*sinx +cotx
Giải
a) TXD: D=# Suyra VxeD—-xeD
Ta có: f(-x) = 4(-x) + cos(-5x) = 4x* + cos5x = f(x)
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn
b) TXĐ: D=#\{kmke Z} Suy ra VxeD>-xeD
Ta có:
f(-x) = (-x) sin(—x) + cot(—x) =—X” sỉnX —cotx = -(x° sin x + cotx} = -f(x)
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn
BT 2 Xét tinh chan, lẻ của các hàm số sau:
Giai
a )y x_3 =
a) TXD: D= R\ {3}
Ta có: x=-3eD nhưng -x=3£D nên D không có tính đối xứng
Do đó, hàm số đã cho không chắn không lẻ
b) TXĐ: D =[ I;+œ)
Ta có: x=3eD nhưng -x=-3£D nên D không có tính đối xứng
Do đó, hàm số đã cho không chan không lẻ
BT 3 Xét tinh chan, lé cia các hàm số sau:
tan 3x + cot5x
sin3x Giải a) TXD: D= R\ {3}
Trang 13Ta có:
f _ = 3sin _— +2cos 20 +5=2;
t| = |=3sin] 2 |+2c0s| 2“ +5 =8 2 2 2
Nhan thay: KH
Do đó, hàm số đã cho không chẵn không lẻ
b) TXD: D=R\{kn,ke Z} Suy ra VxeD>-xeD
Ta có:
tan(—3x)+cot(—5x}) tan(3x)+cot(5x
Vay ham số đã cho là hàm s6 chan
BT 4 Tìm tham số a,b để hàm số:
(3a —1)sinx + bcosx, khix <0 và
y =f(x)= asinx +(3— 2b)cosx, khi x > 0 là hàm số lẻ
Giải TXD: D= R\{ka,ke Z} Suy ra VxeD=>-xeD
= TH 1: Voi x <0 thi f(x)=(3a-1)sinx + bcosx
Và f(-x)=asin(—x)+(3-2b)cos(—x) = -asinx +(3-2b)cosx
Vì hàm số lẻ nén f(-x)=-f(x) hay
-asin x +(3— 2b}cosx =—(3a — 1)sinx — bcosx,Vx < 0
& (2a—1)sinx + (3— b)cosx =0,Vx<0
<>
Đẳng thức trên đúng với mọi x<0 khi b b—0
" TH2: Với x>0 thì f(x)= asinx+(3—2b}cosx
Và f(—x) = (3a — 1)sin(—x)+ bcos(—=x)= —(3a - 1)sinx + bcosx
Vì hàm số lẻ nên f(—x) =—f(x) hay
~(3a —1)sinx + beosx = =asinx = (3~ 2b)cosx
<>
Đẳng thức trên đúng với mọi x >0 khi b b=0
b-
Vậy hàm số đã cho lẻ khi a =5.b =3,
Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Phương pháp: Cho hàm số y =f(x) xác định trên tập D
$24 ® tu 7 J SEA J x J
Trang 14f(x)<M,VxelD 4x, €D:f(x))=M
M = max f(x) =|
D
f(x)>m,VxeD
=» m=minf(x)©
Lưu Ý:
e —-l<sInx<l; —l<cosx<l
e 0<sin* x <1; 0<cos* x <1
e 0<X4sinx<l; 0<Ncosx <TI
I Cac vi du mau
Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y=2sn| x+ 2 ]+l ; b) y =2vVcosx+1-3
Giai
a) Ta co:
-1ssin(x+ 219-25 2sin{ x42) <2->-152sin{ x4] +153
Hay -l<yS3 Suy ra:
Maxy =3 khi snl x+2)-1e98-Tekomked
Miny =-1 khi snl x+ 2) teox= "skank Z
b) Ta có:
~]<c0sx<1=0<cosx+I1<2=0<4cosx+1<+4⁄2
—=0<2Acosx+1 <2A2 >-~3<2Acosx+1—3<2A2—3
Hay -3<y<242-3 Suy ra
Maxy =2V2 -3 khi cosx =1@x=k2z,ke Z
Miny =-3 khi cosx =0 € x=S + kn.k€ Z,
Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y=sinx +cosx ; b) y = V3 sin2x —cos2x
Giải a) Ta có: ` ồ >- 2<y<v2
Suy ra:
Maxy = V2 khi SH xe T ]>1e2x + kếmkeZ
Miny = _/2 khi snl x2) =-l<©x= _—+ k2n.ke Z