CÁC DẠNG BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 CÓ LỜI GIẢI

CÁC DẠNG BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 CÓ LỜI GIẢIChủ đề: Hàm số lượng giác Dạng 1: Tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác Trắc nghiệm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

CÁC DẠNG BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 CÓ LỜI GIẢI

Chủ đề: Hàm số lượng giác

Dạng 1: Tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

Trắc nghiệm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

Dạng 2: Tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác

Trắc nghiệm tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

Tính chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

60 bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác có đáp án chi tiết (phần 1)

60 bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác có đáp án chi tiết (phần 2)

Chủ đề: Hàm số lượng giác

Dạng 1: Tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

Tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

A Phương pháp giải & Ví dụ

Ví dụ minh họa

Đáp án và hướng dẫn giải

1.

Vậy tập xác định của hàm số trên là

2.

Vậy tập xác định của hàm số trên là

3.

Vậy tập xác định của hàm số trên là

b ĐKXĐ:

Trắc nghiệm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

Trắc nghiệm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

Bài 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = (sinx + 2)/ (sinx.cos2x)

Hàm cot xác định trên toàn bộ R nên tập giá trị D = R Đáp án A

Bài 5: Tìm tập xác định của hàm số sau

A D = [0,2π] B D = ∅

C D = R D D = [-2,+∞]

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

ĐKXĐ: sinx + 2 ≥ 0 (luôn đúng do sinx ≥ -1) Đáp án C

Bài 6: Hàm số không xác định trong tập nào sau đây?

Ta có -1 ≤ sinx ≤ 1 nên 1 ≤ sinx+2 ≤ 3 Đáp án D.

Bài 10: Tìm tập giá trị của hàm số sau: y = 2017/sinx

Từ bài 12 ta có tập giá trị của hàm số đã cho là [1,√3] Đáp án A

Bài 14: Tìm tập xác định của hàm số sau:

A D = R\ {-π/2+kπ, k ∈ Z} B D = (-∞,2]

C D = R D D = R\ {π/2+k2π, k ∈ Z}

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có - 1 ≤ sin(x+2) ≤ 1 nên 1- sin(x+2) ≥ 0 với mọi x Đáp án C.

Bài 15: Tìm tập xác định của hàm số sau:

A D = R\ {π/2+kπ, k ∈ Z} B D = R\ {π/2+k2π, k ∈ Z}

C D = R D D = R\ {π+kπ, k ∈ Z}

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Dạng 2: Tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác

Tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác

A Phương pháp giải & Ví dụ

a Tính tuần hoàn và chu kì:

Định nghĩa: Hàm số y = f(x) có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu

tồn tại một số T≠0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:

Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T =

Hàm số y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kì T =

Hàm số y = tan(ax + b) tuần hoàn với chu kì T =

Hàm số y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu kì T =

Hàm số y = f1(x) tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số y = f2(x) tuần hoàn với chu

kì T2 thì hàm số y = f1(x) ± f2(x) tuần hoàn với chu kì T0 là bội chung nhỏ nhất củaT1 và T2

Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T ≠ 0 Khi đó ta có:

cos(x + T) + cos[√3(x +T)] = cosx + cos√3x

Cho x = 0 Ta có: cosT + cos√3T = 2 Vì cosx ≤ 1 với mọi x nên ta có:

mà m, k ∈ Z (vô lý) Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn

Bài 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a y = sinx.

b y = cos(2x).

c y = tanx + cos(2x + 1).

tan(-x) + cos(-2x + 1) = -tanx + cos(-2x + 1).

Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ

a) Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π/2 = π

b) Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T =π /7.

Bài 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số sau: y = sinx + sin3x Lời giải:

Ta có y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π và hàm số y = sin3x là hàmtuần hoàn với chu kì T = (2 π)/3 Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì

T = 2 π

Bài 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau: y = cosx +

2sin5x

Lời giải:

Làm tương tự bài 2 và sử dụng chú ý phần tính tuần hoàn và chu kì, ta có hàm số

đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π

Bài 4: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

tan(-x) + cot(-x) = - tanx – cotx Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ

Bài 5: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

sin(-2x) + cot(-100x) = - sin2x – cot(100x) Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ

Trắc nghiệm tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác

Trắc nghiệm tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác

Bài 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y = sinx B y = cosx C y = tan x D y = cotx

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Sử dụng định nghĩa để kiểm tra tính chẵn, lẻ Ta có hàm số chẵn là y = cosx Đáp

án B

Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A y = cosx + (sinx)2 B y = sin x + cosx

C.y = -cosx D y = sinx.cos3x

Đáp án: B

Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung Ta có hàm số

y = sin3 x.cos(x - π/2) = sin4 x là một hàm số chẵn Đáp án B

Bài 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

Hiển thị đáp án Đáp án: A

Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ Bằng cách kiểm tra tính chẵn, lẻ ta

Ta có sin(-2x) = -sin 2x, tan2 (-x) = tan2 x Vậy đáp án là B

Bài 6: Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2 π

B Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2 π

C Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì 2 π

D Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Sử dụng chú ý phần tính tuần hoàn ta có đáp án là C.

Bài 7: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A y = sin x B y = sinx + x C y = xcosx D y = (sinx) / x

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì 2 π Đáp án A

Bài 8: Tìm chu kì T của hàm số y = sin(5x - π/4)

Đáp án: A

Ta có y = cos2x là hàm tuần hoàn với chu kì T = π Hàm số y = sinx/2 là hàm tuầnhoàn với chu kì T’ = 4 π Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì 4 π.Đáp án A

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

A Phương pháp giải

+ Hàm số y = 1/f(x) xác định khi f(x) ≠ 0

+ Hàm số y= √(f(x)) xác định khi f(x) ≥ 0

+ Hàm số y = 1/√(f(x)) xác định khi f(x)> 0

+ Hàm số y= tan [f(x)] xác định khi cos[f(x)] ≠ 0

+ Hàm số y = cot [f(x)] xác định khi sin[ f(x)] ≠ 0

+ Hàm số y= tan[ f(x)]+cot [g(x)] xác định khi cos [f(x)] ≠ 0;sin [ g(x)] ≠ 0

(I): Các hàm số y= sin x và y= cosx có chung tập xác định là R

(II): Các hàm số y= tanx và y= cotx có chung tập xác định là

⇒ cos4x + 5 > 0 và sin2x + 3 > 0với mọi x

D .

Lời giải:

Chọn C

Với A thì hàm số xác định khi cosx khác 0

Với B thì hàm số xác định khi cosx khác 0

+ Với B thì hàm số xác địnhkhi

+ Ta thấy cả hai hàm số y= 1/sinx và y = cot x đều xác định khi sinx ≠ 0

+ Tương tự thì hai hàm số ở mệnh đề II đều xác định khi cosx ≠ 0

Chọn B

nên hàm số không xác định trong khoảng này

Ví dụ 21: Tập xác định của hàm số y= cosx/(cos3x.cos ( x- π/3).cos ( π/3+x) ) là:

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

cos 3x.cos ( x- π/3).cos ( π/3+x) ≠ 0

Ta có -1 ≤ cos2x ≤ 1 nên -3 ≤ -3cos 2x ≤ 3

⇒ 2 ≤ 5-3cos2x ≤ 8 Vậy 5-3cos2x > 0 với mọi x

Mặt khác

Hàm số đã cho xác định

Tập xác định

Hàm số đã cho xác định khi six(1/x) xác định < ⇒ x≠ 0.

Câu 2:Tìm tập xác định của hàm số y=(1+cosx)/sinx

Hiển thị lời giải

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là: sinx ≠ 1 ⇒ x ≠ 3π/2+k2π

Câu 9:Tập xác định của hàm số y=(1-3cosx)/sinx là

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là: sinx≠ 0 ⇒ x ≠ kπ

Câu 10:Tập xác định của hàm số y=tan(2x-π/3) là

Câu 14:Tìm tập xác định D của hàm số y= √(sinx+2)

⇒ sinx- 2 < 0 với mọi x.

Do đó không tồn tại √(sinx-2), ∀x ∈ R

Câu 17:Tập xác định của hàm số

A.D=R\{-π/6+k2π;k ∈ Z}

+ cot x xác định ⇒ sinx ≠ 0 và sinx-1 ≠ 0

Vậy hàm số xác định khi và chỉ khi:

Câu 22:Để tìm tập xác định của hàm số y= tanx+ cosx, một học sinh đã giải theo

các bước sau:

Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa là sinx≠ 0 và cosx≠ 0

Bước 2: ⇒ x≠ π/2+kπ và x≠ kπ ;k ∈ Z

Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D=R\{π/2+kπ,kπ;k ∈ Z}

Bài giải của bạn đó đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào?

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

sin2x-cos2x ≠ 0 ⇒ cos2x≠ 0 ⇒ x≠ π/4+kπ/2;k ∈ Z

Câu 25:Tìm tập xác định của hàm số y=2017tan2x/sin2x-cos2xA.D=R\{π/2+kπ;k ∈ Z}

sin2x-cos2x ≠ 0 và cos2x≠ 0 < ⇒ cos2x≠ 0 ⇒ x≠ π/4+kπ/2;k ∈ Z

Câu 26:Tập xác định của hàm số y= sinx/(sinx+cosx)

Hàm số đã cho xác định khi cosx ≠ 0 và cosx ≠ 1 ⇒ x≠ π/2+kπ và x≠ k2π

Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

A Phương pháp giải

+ Hàm số y= sinx đồng biến trên mỗi khoảng ((- π)/2+k2π; π/2+k2π) và nghịchbiến trên mỗi khoảng (( π)/2+k2π; 3π/2+k2π)với k ∈ Z.

+ Hàm số y= cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π+k2π;k2π) và nghịch biến trênmỗi khoảng (k2π; π+k2π ) với k ∈ Z

+ Hàm số y= tanx đồng biến trên mỗi khoảng ((-π)/2+kπ; π/2+kπ) với k ∈ Z.+ Hàm số y= cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π+ kπ)với k ∈ Z

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = sinx Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng(π/2;π) , nghịch biến trên khoảng(π;3π/2)

B Hàm số đồng biến trên khoảng(-3π/2;-π/2) , nghịch biến trên khoảng(-π/2;π/2)

C Hàm số đồng biến trên khoảng(0;π/2) , nghịch biến trên khoảng(-π/2;0)

D Hàm số đồng biến trên khoảng(-π/2;π/2) , nghịch biến trên khoảng(π/2;3π/2)

Lời giải:

Chọn D

Hàm số y= sinx đồng biến khi x thuộc góc phần tư thứ I và thứ IV;

nghịch biến khi x thuộc góc phần tư thứ II và thứ III

Ví dụ 2: Bảng biến thiên của hàm số y=f(x)=cos2x trên đoạn [-π/2;3π/2] là:

A

Tiếp theo xét giá trị hàm số tại hai đầu mút có : f(-π)=f( π)=0 thì ta loại được D

Ví dụ 4: Xét hàm số y= sinx trên đoạn[-π;0].Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên các khoảng(-π;-π/2) và (-π/2;0)

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng π;-π/2); nghịch biến trên khoảng π/2;0)

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng π;-π/2) ; đồng biến trên khoảng π/2;0)

(-D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-π;-π/2) và (-π/2;0).

(-π;-Ví dụ 5: Xét hàm số y= cosx trên đoạn [-π ; π] Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên các khoảng(-π ;0) và (0;π )

B Hàm số đồng biến trên khoảng (-π ;0) và nghịch biến trên khoảng (0;π )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (-π ;0) và đồng biến trên khoảng (0;π )

D Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (-π ;0) và (0;π )

Lời giải:

Chọn B

Theo lý thuyết ta có hàm số y= cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π+k2π;k2π ) vànghịch biến trên khoảng (k2π;π+k2π) k ∈ Z

Từ đây ta có với k=0 hàm số y= cosx đồng biến trên khoảng (-π ;0) và nghịch biếntrên khoảng (0;π )

Ví dụ 6: Với k ∈ Z , kết luận nào sau đây về hàm số y= tan2x là sai?

A Hàm số y= tan 2x tuần hoàn với chu kỳ T= π/2

B Hàm số y= tan2x luôn đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2+kπ/2;π/2+kπ/2)

C Hàm số y= tan2x nhận đường thẳng x= π/4+kπ/2 là một đường tiệm cận

D Hàm số y= tan2x là hàm số lẻ

Lời giải:

Chọn B

Ta thấy hàm số y= tan2x luôn đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2+kπ;π/2+kπ/),

⇒ hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng -π/2+kπ< 2x< π/2+kπ ⇒ -π/4+kπ/2 <x< π/4+kπ/2 Vậy B là sai

Ví dụ 7: Hãy chọn mệnh đề sai: Trong khoảng (π/2+k2π;π+k2π) thì:

Ví dụ 8: Trong khoảng (0; π/2) , hàm số y= sinx- cosx là hàm số:

Ví dụ 9: Xét sự biến thiên của hàm số y=tan2x trên một chu kì tuần hoàn Trong

các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; π/4) và ( π/4; π/2)

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; π/4) và nghịch biến trên khoảng( π/4; π/2)

C Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng (0; π/2)

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; π/4) và đồng biến trên khoảng( π/4; π/2)

Lời giải:

Chọn A

Tập xác định của hàm số đã cho là D=R\{ π/4; π/2}

Hàm số y= tan2x tuần hoàn với chu kì π/2 dựa vào các phương án A; B; C; D thì

ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số trên (0; π/2)\{π/4}

Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số y= tanx ở phần lý thuyết ta cóthể suy ra với hàm số y = tan2x đồng biến trên khoảng (0; π/4) và ( π/4; π/2)

Ví dụ 10: Xét sự biến thiên của hàm số y= 1 - sinx trên một chu kì tuần hoàn của

nó Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( -π/2;0)

B Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; π/2)

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (π/2;π)

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Lời giải:

Chọn D

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2π và kết hợp với các phương án đề bài thì ta

sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên [π/2;3π/2]

Ta có hàm số y=sinx

* Đồng biến trên khoảng (-π/2;π/2)

* Nghịch biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Từ đây suy ra hàm số y=1- sinx

* Nghịch biến trên khoảng (-π/2;π/2)

* Đồng biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Dưới đây là đồ thị của hàm số y= 1- sinx và hàm số y= sinx trên R

Ví dụ 11: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A y=|tanx| đồng biến trong [-π/2;π/2]

B y=|tanx| là hàm số chẵn trên D= D=R\{ π/2+kπ} k ∈ Z

C y=|tanx| có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

D y=|tanx| luôn nghịch biến trong (-π/2;π/2)

Lời giải

Ta được đồ thị như hình vẽ trên

+ Ta thấy hàm số y=|tanx| nghịch biến trên (-π/2;0) và đồng biến trên (0;π/2) Nên

A Hàm số y= tanx luôn luôn tăng.

B Hàm số y= tanx luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định

C Hàm số y= tanx tăng trong các khoảng (π+k2π;2π+k2π ), k ∈ Z

D Hàm số y= tanx tăng trong các khoảng (k2π;π+k2π ), k ∈ Z

Hiển thị lời giải

Chọn B

+Với A ta thấy hàm số y= tanx không xác định tại các điểm

x= π/2+kπ ( k ∈ Z) nên tồn tại các điểm làm

cho hàm số bị gián đoạn

⇒ hàm số không thể luôn tăng

+ Với B ta thấy B đúng vì hàm số y= tanx đồng biến trên mỗi khoảng xác định: π/2+kπ;π/2+kπ ), k ∈ Z

(-Từ đây loại C và D

Câu 2:Với x ∈ (31π/4;33π/4) , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số y= cot x nghịch biến

B Hàm số y= tanx nghịch biến

Ta có (31π/4;33π/4)=(-π/4+8π;π/4+8π) thuộc góc phần tư thứ I và II.

Mà hàm số y=sinx đồng biến ở góc phần tư thứ I và II

⇒ hàm số y= sin x đồng biến trên khoảng đã cho

Câu 3:Cho x ∈ (0;π/4) , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Cả hai hàm số y= -sin 2x và y= - 1+ cos2x đều nghịch biến

B Cả hai hàm số y= - sin2x và y= - 1+ cos2x đều đồng biến

C Hàm số y= - sin2x nghịch biến, hàm số y= -1+ cos2x đồng biến

D Hàm số y= - sin2x đồng biến, hàm số y= - 1+ cos2x nghịch biến

Hiển thị lời giải

Chọn A

Ta có x ∈ (0;π/4) ⇒ 2x ∈ (0;π/2) thuộc góc phần tư thứ I Do đó:

+ Hàm số y= sin2x đồng biến ⇒ y= - sin2x nghịch biến

+Hàm số y= cos2x nghịch biến ⇒ y= - 1+ cos2x nghịch biến

Câu 4:Hàm số y= sin 2x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.(0;π/4)

B (π/2;π)

C (π;3π/2)

Do đó hàm số y=sin(2x+π/6) đồng biến trên khoảng (-π/3;π/6)

Câu 6:Với x ∈ (31π/4;33π/4) , mệnh đề nào sau đây là đúng?

⇒ Hàm số y= sinx đồng biến trên khoảng đó.

Câu 7:Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (-π/3;π/6) ?

Do đó hàm số y=sin(2x+π/6) đồng biến trên khoảng (-π/3;π/6)

Câu 8:Hàm số y= cos2x nghịch biến trên khoảng (k ∈ Z) ?

(I):∀x ∈ (π;3π/2) :Hàm số y=1/sinx giảm

(II):∀x ∈ (π;3π/2) :Hàm số y=1/cosx giảm

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

∀x ∈ (π;3π/2) : Hàm số y= sinx giảm và sin x< 0 ∀x ∈ (π;3π/2) ,

suy ra y=1/sinx tăng:

⇒ Câu (I) sai

+∀x ∈ (π;3π/2) : Hàm số y= cosx tăng và cos< 0 , ∀x ∈ (π;3π/2) ,

suy ra hàm y=1/cosx giảm

Câu (II) đúng

Câu 10: Cho hàm số y=4sin(x+π/6)cos(x-π/6)-sin2x Kết luận nào sau đây là

đúng về sự biến thiên của hàm số đã cho?

A Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (0;π/4) và (3π/4;π)

B Hàm số đã cho đồng biến trên (0;π)

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3π/4)

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;π/4) và nghịch biến trên khoảng(π/4;π)

Hiển thị lời giải

Chọn A