Day so cap so cong cap so nhan

BT9:Ba số x,y,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng.. Hãy tìm ba số đó biết tổng của ch[r]

GV:Phạm Bình 1 Trường THPT Tân Hiệp

CHỦ ĐỀ

Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

A) Phương pháp chứng minh : Mệnh đề P(n) đúng với mọi  *  1

Ta thực hiện hai bước :

Bước 1 : Kiểm tra P(n) đúng với n = 1

Bước 2 : Giả sử mệnh đề P(n) đúng với n k 1

Chứng minh rằng :P(n) cũng đúng với n = k + 1

B) Phương pháp ch-minh: Mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n  p

Ta thực hiện hai bước :

Bước 1 : Kiểm tra P(n) đúng với n =p

Bước 2 : Giả sử mệnh đề P(n) đúng với n k  p

Chứng minh rằng :P(n) cũng đúng với n = k + 1

C) Bài tập vận dụng

Bài 1 : Chứng minh rằng :  n N * ta đều có :

a)   2  

1 3 5    2n 1 n 1

b) 2 4 6    2nn n 1  2

Bài 2 : Chứng minh rằng :  n N * ta có các đẳng thức :

a).2 5 8 3 1 3 1

2

2

3

1 2. 2 5 3 8.  .   n 3n 1 n n1

d)

n

n n

          

e)

1 3 3 5 5 7 2 1 2 1 2 1

n

f) 7n 1 chia hết cho 6

Bài 3 : Cho nN * Chứng minh rằng :

a).2n  2 n  1 ,   n 3 b).2n  n2  6 , n   5

Bài 4 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n  2, ta luôn có các bất đẳng thức sau : 1 1 1 1

2 3 n n

GV:Phạm Bình 3 Trường THPT Tân Hiệp

Bài 2 : Dãy Số

A) Kiến thức cần nhớ

1) Định nghĩa dãy số Một hàm số u xác định trên tập *gọi là dãy số vô hạn

Kí hiệu dãy số u = u(n) là ( u n ), trong đó u n gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát

2) Cách cho dãy số

 Cho bởi công thức số hạng tổng quát

Ví dụ : Cho dãy   un xác định bởi công thức un  n2  2 n

 Cho bởi công thức truy hồi

Ví dụ : Cho dãy   un biết

1

1

2

u







 Cho bằng cách mô tả Ví dụ : Cho dãy   un các số nguyên tố bé hơn 100

3) Dãy số tăng, dãy số giảm

a).Định nghĩa:

 Dãy số  un được gọi là tăng nếu u n u n1 với mọi n *

 Dãy số  un được gọi là giảm nếu u n u n1 với mọi n *

 Dãy số  un được gọi là không đổi nếu u n  u n1 với mọi n *

b) Phương pháp xét tính tăng ,giảm của dãy số

PP 1: Xét hiệu H u n1 u n

 Nếu H > 0 , n N * thì dãy số đã cho là dãy số tăng

 Nếu H < 0 , n N * thì dãy số đã cho là dãy số giảm

PP 2: Nếu u n 0, n N * thì lập tỉ số n 1

n

u u



, rồi so sánh với 1

 Nếu n 1 1

n

u

, n N * u

    thì dãy số đã cho là dãy số tăng

 Nếu n 1 1

n

u

, n N * u

    thì dãy số đã cho là dãy số giảm

4) Dãy bị chặn

 Dãy số ( u ) n gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u n  M , n  *  Dãy số ( u ) n gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u n m, n  *  Dãy số ( u ) n gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên ,vừa bị chặn dưới

Lưu ý : các dấu “=” nêu trên không nhất thiết xảy ra

B) Bài tập vận dụng:

BT1:Tìm 4 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số dưới đây:

a).Dãy số   un với un   3n 2n

A) 1, 5, 19, 55 B) 1, 5, 18, 65 C) 1, 5, 17, 55 D) 1, 5, 19, 65

b).Dãy số   an với 33

n n

a n



A) 3, 9

8 ,

27

6 ,

81

64 B) 3,

9

4 ,1 ,

81

64 C) 3,

9

8 ,1 ,

81

32 D) 3,

9

8 ,1 ,

81

64.

BT2:Tìm số hạng thứ 3 , thứ 5 , thứ 6 của các dãy số dưới đây:

a) Dãy số   un biết u1 1 và un1  2 un  10    n 1 

A) 24, 166, 342 B) 34, 166, 332 C) 34, 156, 342 D) 34, 166, 342

b) Dãy số   vn biết v1 5 ,v2 0 và vn2  vn1 2 vn   n 1 

A) 10, 30, 30 B) 10, 30, 50 C) 10, 35, 50 D).15, 30, 50 BT3:Dãy số   un với 1 3 1

2

n n

u

u  , u   ( n N*) có công thức số hạng tổng quát là :

2

n n

u  B) u n 3

n

 C) 31

2

n n

u   D) Một kq khác BT4:Cho dãy số   un và  vn với u n n và vn  2n  n

a).Viết dạng truy hồi của dãy   un

A) u1 1,u n1  2u n B) u1 1, u n1  2u n  n 1

C) u1 1, u n1  2u n 1 D) Một kết qủa khác

b).Viết dạng truy hồi của dãy   vn

A) v1 3, v n1 2v n  n 1 B) v1 3, v n1  2v n 1

C) v1 1, v n1  2v n  n 1 D) Một kết qủa khác

BT5: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau

a) u1 1, u n1 u n 7( n 1)

A) u n 7n5 B) u n 7n6 C) u n 8n7 D) Một kết qủa khác

b) u1 1, u n1  2u n 3( n 1)

A) un  2n1 3 B) un   2n 1 C) un   3n 4 D) Một kết qủa khác

c) u1 3 , u n1  2u ( n n  1)

A) u n 3n B) u n 3n C) un  3 2 . n1 D) Một kết qủa khác

GV:Phạm Bình 5 Trường THPT Tân Hiệp

BT6: Cho các dãy số sau: ( a ) : a n n 5n11 , 2 1

n n

n ( b ) : b

n





 và

2

1

n n

n ( c ) : c

n



 Mệnh đề nào sau đây đúng

A)    a n ; b n là các dãy số tăng B)    a n ; b n là các dãy số giảm

C)  a n là dãy tăng,  c n là dãy giảm D)      a n ; b n ; c n là các dãy giảm

BT7 Mệnh đề nào sau đây sai

A).Dãy 3 1

2

n

( u ) : u   tăng B).Dãy ( v ) : v n n  n n2 1 giảm

1

n n

( a ) : a



  giảm D) Dãy

 

1 1

n

n n

( h ) : h

n n





 không tăng

BT8: Xét tính bị chặn trên, chặn dưới và bị chặn của các dãy số sau

a).( u ) n với 3 5

2

n

n u

n







A) Chỉ bị chặn trên B) Chỉ bị chặn dưới

C) Bị chặn D) Không bị chặn trên ,không bị chặn dưới

b) ( v ) n với 2 3

1

n

n v

n







A) Bị chặn trên bởi số 3/2 B) Chỉ bị chặn dưới

C) Bị chặn dười bởi số 2 D) Bị chặn dưới bởi số 5/2

c).( a ) n với 2

1

n

n a

n





A) Không bị chặn dưới B) Chỉ bị chặn dưới

C) Bị chặn dười bởi số 1/2 D) Bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 1/2 BT8 Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A) Dãy số ( u ) n với 7 5

5 7

n

n u

n





 là một dãy tăng và bị chặn

B) Dãy số   un với 1 2 1 1

2

n n

u

u , u  

  CMR:   un giảm và bị chặn dưới

C) Dãy số ( u ) n xác định bởi

2

4

4

n n

u

là một dãy không đổi

D) Dãy số ( u ) n với 2 1

2 7

n

n u

n





 là một dãy bị chặn chặn dưới

Bài 3:CẤP SỐ CỘNG

A) Kiến thức cần nhớ

1).Định nghĩa:

Dãy   un là cấp số cộng u n 1 u n d , n N *

Trong đó : d là hằng số được gọi là công sai của cấp số cộng

2) Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

3).Tính chất về 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng:

4).Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:

B).Bài tập vận dụng:

BT1: Cho dãy số   un Chọn mệnh đề sai

A) Dãy u n   3n 7 là cấp số cộng có công sai d = -3

B) Dãy u n   3n 7 là cấp số cộng có số hạng đầu là 4

3

n

n

u   là cấp số cộng có số hạng đầu là -5/3

3

n

n

u   là cấp số cộng có công sai d = -2

BT2: Cho dãy số   un Chọn mệnh đề sai

A) un  2n là cấp số cộng có công sai d = 2

B) un  2n không phải là cấp số cộng

C).Dãy u n 2n5 là cấp số cộng có số hạng đầu là 7

D) u n 2n5 là cấp số cộng có công sai d = 2

BT3: Cho cấp số cộng: 2;5;8;11;…Hãy tính d ,u10

A) d  3 , u10  27 B) d   3 , u10  27 C) d  3 , u10  29 D) Kết quả khác BT3: Xác định số hạng đầu, công sai và tính tổng 16 số hạng đầu của cấp số

cộng   un biết:

a).u7  27,u15 59

n

u  u ( n )d

2

k

2

n

GV:Phạm Bình 7 Trường THPT Tân Hiệp

A) u1  3 ,d  2 , S16  428 B) u1  4 ,d  3 , S16  424

C) u1  3 ,d  4 , S16  528 D) Kết quả khác

b).u9 5u , u2 13  2u6 5

A) u1 5,d  2, S16  625 B) u1  4 ,d  3 , S16  424

C) u1  3 ,d  4 , S16  528 D) Kết quả khác

BT5: Tìm s.hạng đầu và công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng sau biết:

a) 2 5 3

10 26



10 26



c) 7 3

2 7

8 75

u u



BT6:Xen vào giữa số 7 và 22 bốn số thực sao cho ta có một cấp số cộng nhận 7

là số hạng đầu và 22 là số hạng cuối.Tìm 4 số thực đó

BT7:Cho cấp số cộng   un có u1  3,u20 35 Tính d , u , S15 15

BT8:Tìm số tự nhiên n biết: 2 5 8    3n 1 155

BT9:Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 22 và

tổng bình phương của các số đó bằng 66

BT10:Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng Tìm 3 góc đó BT11:Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn

nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất Tìm số đo các góc đó

BT12:Tìm x để 3 số a,b,c lập thành cấp số cộng với :

a).a  10 3x;b   2x2  3;c 7 4x   b) a   1 x;b  3x 2;c   x2  1

Bài 4:CẤP SỐ NHÂN

A) Kiến thức cần nhớ:

1).Định nghĩa cấp số nhân:

Dãy   un là cấp số nhân  un 1  u q , nn   N*

Trong đó : q là hằng số gọi là công bội của cấp số nhân

2).Số hạng tổng quát của cấp số nhân:

3).Tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấpp số nhân:

4).Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:

1 1

n n

u  u q 

2

u  u  .u  ,k 

   

1

1 2

1

1 1

n

q





B).Bài tập vận dụng:

BT1:Trong các dãy số dưới đây ,dãy số nào là cấp số nhân Khi đó hãy xác định

công bội của cấp số nhân đó:

a) 3 1

2

n n

u  

  

  b) 1 3

n n

2

n n

BT2: Hãy tìm hai số a , b sao cho 1, a ,b2 là cấp số cộng và 2,a 6,b1 là cấp

số nhân

BT3:Cho cấp số nhân   un có công bội q > 0.Biết u3 3;u5  27.Tìm q, u1,u ,S n 15

BT4: Cho cấp số nhân   un có 5 số hạng mà u ,u1 2dương Tích của số hạng thứ nhất và thứ 3 bằng 9

16 và tích của số hạng thứ hai và thứ tư bằng 9

256.Tìm cấp số nhân đó

BT5: Xác định số hạng đầu , công bội , số hạng tổng quát của cấp số nhân  un

biết:

a) 4 2

54 108



  

35 945



   

65 325



BT6:Tính các tổng sau đây:

a) S   1 5 52   5n

b) 1 12 13 1 1

n n

S        ( )

BT7: Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân, biết rằng số hạng đấu là 8 , số

hạng thứ hai là 4 và số hạng cuối là 1

128

BT8: Hãy tìm các số x , y sao cho x,y,12 lập thành cấp số nhân và x, y ,9 lập

thành cấp số cộng

BT9:Ba số x,y,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời chúng lần

lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng Hãy tìm ba số đó biết tổng của chúng bằng 13

BT10:Chứng minh rằng: Nếu 3 số 2 ; ;1 2

y x y y z lập thành một cấp số cộng thì

3 số x; y; z lập thành một cấp số nhân