Gọi O là trung điểm của BC, dựng đường tròn O tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D và E.. M là điểm chuyển động trên cung..[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO TƯ NGHĨA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP
9 NĂM HỌC 2017- 2018
ĐỀ CHÍNH THỨC
( Đề thi có 01 trang)
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 17/11/2017 Tên : Trương Quang An
Địa chỉ : Thôn An Hòa Nam ,Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776
Nguồn gốc : sưu tầm đề trên mạng và tự tay gõ đáp án
Câu 1: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: 2018 6 2 2 12 18 128 2018 3
Câu 2: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm M( M nằm giữa A
và B), trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = BM Vẽ MN cắt BC tại I Chứng minh M và N đối xứng nhau qua I
Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi x Z thì 2017(x46x311x26 )x chia hết
cho 24
Câu 4: (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H
DBC E, AC Chứng minh rằng: tanABC.tanC AD
DH
Câu 5: (1,5 điểm) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện
a + b + c + ab + bc + ca = 6abc Chứng minh 12 12 12
3
a b c
Câu 6: (2,0 điểm) Với n N, n > 1 Chứng minh n62n3n42n2 không phải là số chính
phương
Câu 7: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
1 1 9
2
1 5 2
x y
x y
xy xy
Câu 8: (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của M biết:
a
M
Câu 9: (1,5 điểm) Giải phương trình x25x 8 3 2x35x27x6
Câu 10: (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AC, trên đoạn OC lấy điểm B
BO B, C Gọi M là trung điểm của AB Dựng dây DE vuông góc với AB tại
M, EB cắt DC tại F Gọi S là giao điểm của BD và MF, CS lần lượt cắt DA và DE tại
L và K Chứng minh:DA DB DE
DL DS DK
Câu 11: (1,0 điểm) Cho biểu thức 3 3
Px y x y Tính giá trị biểu thức với
3 2 2 3 2 2 ; 17 12 2 17 12 2
Câu 12: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A Gọi O là trung điểm của BC, dựng đường
tròn (O) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D và E M là điểm chuyển động trên cung
Trang 2nhỏ DE, tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P và
Q Chứng minh BC2 = 4BP.CQ Từ đó xác định vị trí của M để diện tích tam giác APQ đạt giá trị lớn nhất
……… Hết………
Họ tên thí sinh……… Số báo danh………
Giám thị 1:………Kí tên……… Giám thị 2:……….Kí tên…………
( Thí sinh không sử dụng máy tính)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2016- 2017
Ngày thi: 17/3/2017
Bài làm
Câu 1: (1,5 điểm)
2
2018 6 2 2 12 18 128 2018 3
2018 6 2 2 2 3 4 2 2018 3
2
2018 6 2 2 3 4 2018 3 2018 6 2 1 3 2018 3
2018 4 2 3 2018 3 2018
Câu 2: (2,0 điểm)
Kẻ ME song song với AN MEB ACB ( đồng vị).Chứng minh: BME cân tại M
BM = ME Chứng minh:MCNE là hình bình hình I là trung điểm của MN M và N đối xứng với nhau qua I
Câu 3: (2,0 điểm) Ta có:
2017(x 6x 11x 6 )x 2017x x 6x 11x6 2017x x x 5x 5x6x6
2
2
x x x x x x
Vì x;(x+1);(x+2);(x+3) là 4 số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 24
Vậy2017( x4 6 x3 11 x2 6 ) x chia hết cho 24
Câu 4: (2,0 điểm)
Trang 3Chứng minh: tan ABC AD
BD
; tanC AD
CD
2
.
AD AD AD ABC
BD CD BD CD
Ta có: HBD CAD ( cùng phụ ACB ) HDB ADC 900 BDH ∽ ADC g g ( )
DH BD
BD DC DH AD
DC AD
2 tan tanC
.AD
AD AD ABC
Câu 5: (1,5 điểm) Ta có: a + b + c + ab + bc + ca = 6abc
6
ab bc ca a b c
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
2
1
2
1
2
1
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta có :
Câu 6: (2,0 điểm) Ta có:
n n n n n n n n n n n n n n n n
Trang 4Ta có: 2 2 2
n n n n và 2 2 2
n n n n n
Mà 2 2
1 ,
n n là 2 số chính phương liên tiếp
2 2
n n không phải là số chính phương 2 2 2
n n n n không phải là số chính phương.Suy ra: 6 3 4 2
n n n n không phải là số chính phương
Câu 7: (1,0 điểm) ĐK: x;y 0
2
1 1 9
2
2
x y
xy x y x y xy
x y
xy xy xy
xy
Giải (2) ta được :
2 (3) 1 (4) 2
xy xy
Thay xy =2 vào (1) ta được : x+y = 3 (5)
Từ (5) và (3) ta được :
1 2 3
1
x y
x y
y
(thỏa mãn điều kiện)
Thay xy = 1
2 vào (1) ta được : x+ y =
3
2 (6)
Từ (6) và (4) ta được :
1 1 3
2 2
1
x y
x y
y
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là : 1 1
1;2 ; 2;1 ; 1; ; ;1
Câu 8: (1,5 điểm) Đk: a 0; a 9 Biến đổi
M
M
Áp dụng bất đẳng thức Cô si : 1 9 2 2 9 2 4
1
a
Trang 5Dấu “=” xảy ra khi 1 9
1
a
a
1 3
a a
a
Vậy a = 4 thì M đạt giá trị nhỏ nhất là 4
Câu 9: (1,5 điểm) Ta có:
2x 5x 7x 6 2x 3x 2x 3x4x 6 x 2x 3 x 2x 3 2 2x3
Điều kiện : 3
2
x
Ta có
2
x x a a x b b
a ab b a a b b a b
0
a b a b
Với a = 2b ta có : 2 2
7 89
2
( Nhận) ; 7 89
2
( Loại) Với a = b ta có : 2 2
2
x
( Nhận) ; 1 5
2
x
( Nhận).Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm : 1
2
x
; 2 1 5
2
x
; 3 7 89
2
x
Câu 10: (2,0 điểm)
Vẽ AN song song với CS Xét DAN có LK song song với AN , theo định lý Talet có :
DA DN
DL DK (1) Vẽ BI//CS
Trang 6Xét DBI có KS song song với IB , theo định lý Talet có : DB DI
DS DK (2).Từ (1) và (2) (3)
DA DB DN DI
Chứng minh AMN BMI MN MI VìAC DE
tại M MD ME ,DI= DM – MI; NE = ME – MN Suy ra DI = NE (4)
Từ (3) và (4) DA DB DN NE DE
Câu 11: (1,0 điểm) Ta có
3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
Tương tự :
17 12 2 17 12 2 3 34 3 34 (2)
y y y y y
Từ (1) và (2) :
Câu 12: (2,0 điểm)
Ta có S APQ S ABCS BPQC Ta có SABC không đổi nên SAPQ lớn nhất SBPQC nhỏ nhất.Các
điểm D, E, M là các tiếp điểm
1
2
BPQC
OD AB OE AC OM PQ BD CE OD OE OM R S R BP PQ QC
1
Mặt khác: 1 1 0
180
POQ DOE A B C.Chứng minh: BPO ∽ COQ g g ( )
2
2
4
CO CQ
có:SBPQC R (2 BP.CQ BD) R BC BD .Dấu “=” xảy ra khi BP = CQ PQ song song với BC M thuộc đường cao AO ( Điểm chính giữa cung BC).Vậy SAPQ lớn nhất
SBPQC nhỏ nhấtM thuộc AO