Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu đề bài... Chứng minh O’I vuông góc với MN Bài làm.[r]
Trang 1PHONG GIAO DUC VA DAO KY THI TUYEN CHON HSG CAP HUYEN
Ngày thi :12/11/2017 Thời gian :150 phút (không kể giao đề )
Tên : Trương Quang An
Địa chỉ : Thôn An Hòa Nam ,Xã Nghĩa Thang ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi Điện thoại : 01208127776
Nguồn gốc : sưu tầm đề trên mạng và tự tay gõ đáp án
Câu I: (2,0 điểm )
1.Cho 3 số x.y z đôi một khác nhau và thỏa mãn điều kiện x+y+z=0.Tính giá trị
2018(x— y)(y— z)Œœ —x) 5 5 5 +2017 2xy“ +2yz“ +2zx“ +3xyz
2.Rút gọn biểu thức @=2017 l—ax V1+bx ÐX _2018 với x=L,ˆ“~P:0<a<b<2a a b
Câu 2: (2,0 điểm )
1.Giải phương trình xV2x+3+3(x+5+1)= 3x+Al2x?+13x+15+x/2x+3
2.Giải hệ phương trình (x+y~3y+(Œ~Dvjx+y+l=x+3y—5 vl+4yS13+Œ-3N}Ì+ y~4=0
Câu 3: (2,0 điểm )
1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình x7 +5y”-4xy+4x—4y+3=0
2.Tim tat cả các số nguyên dương (x.y) thỏa mãn +x?+3y và y?+3x là số chính
phương
Câu 4: (3,0 điểm )Cho hai đường tròn (O;R) và (O°;R°) cắt nhau tại hai điểm
phân biệt A và B(A,O,B không thăng hàng ).Trên tia đối của AB tia lấy điểm C ,kẻ
tiếp tuyến CD,CE với (O) trong đó D,E là các tiếp điểm và E nằm trong (O')
Duong thang AD,AE cắt (O') lần lượt tại M và N (M.N khác A ).Đường thắng DE
cắt MN tại I ,OO? cắt AB lần lượt tại H và F
1.Chứng minh FE.HD=FD.HE
Trang 22.Chứng minh MB.EB.DI=IB.AN.BD
3 Chứng minh O”I vuông góc với MN
Câu 5ã: (1,0 điểm )
Cho x.y,z là ba số dương thỏa mãn yx +y? +4 y?+z? +Xz?+x? =2018.Tìm giá trị
2 AK 2 ° A rƑ X aj
nhỏ nhat cua biéu thuc M = 44
YrZ ZTX X1
Bai lam
Câu 1: (2,0 diém )
1.Cho 3 s6 x,y z đôi một khác nhau và thỏa mãn điều kiện x+y+z=0.Tính giá trị
2018(x— y)(y— z)Œœ —x)
2xy”+2yz”+2zx” +3xyz
2.Rút gọn biểu thức Q=2017.L* = ~2018 voi x=
l—ax V1+bx QS le | 20<a<b <2a
Bai lam
1.Ta có x+y+z=0—=>x`+y`+z ` =3xyz
201S(x— y)(y— z)(z—*) xy/°+yz”ˆ+zx°—x y— y z—z”x
Lic dé p= 2xy“ +2yz“ +2zx' +3xyz ON =2018————— xyˆ + yzˆ +zx/ +yˆ(x+y)+xˆ(x+z)+z“(z+y) : :
Nén P= 2018, xy +yz + ex -x yy 2-2 Kx 2 A YY EE 9017 = 2018 +2017 = 4035
2.Ta có l+ax=————=——:l-ax= => =
Tương tự ta có :
[i=bx _ a—|b2a—b) ¬Ø=2017 Jb+J2a—b |a-2|bOa-b) — 2018
I+bx a+.|bOa-b) Mb—A2a—b {a+|bO@a-—b)
Trang 3
Vb +2a—b
Vb —J2a—b
Q=2017 pet a) GT NOG 9) V?(a—P) _ nig—_I
a+a|b(2a—b)
Do 0<a<b<2a nên >0 Suy ra
Vb —2a—b
Câu 2: (2,0 điểm )
1.Giải phương trình x/2x+3+3(jx+5+1)=3x+2x7+13x+15 +V2x+3
2.Giải hệ phương trình xZ*+4y—13+(x-3)4|xˆ+y—4=0
(x+y~3y+(Œ~D2jx+y+ =x+3y-5
Bai lam
1.Điều kiện `
x\2x+3 +3(@Jx+5 +]) =3x+2+? +13x+15+A/2x+3 > (V2x43 —3)\(x-Vx+5 —1)=0 Giải phương trình trên tìm được 2 nghiệm là x=3 hay x=4 (chú ý phương trình thứ hai có điều kiện z>1 ).Vậy nghiệm phương trình là x=3 ;x=4
y>0
„ ?+4y—13+(~3)JJa°+y—~4=0
2 a6 se (4S) FY Điều kiện: 4 x+ y+1>0
(x+y—3)fy +(y—Dafxt yt =x+3y-5 x+y-4>0
Phương trình (2) ©Œœ+y~3)Qy-D+Œ-~D(jx+ y+1-2)=0
So (x+y—3)(y—l) „(w+y—3)\y—Ú)
Thay y = 1 vào phương trình (1) ta được: (x* —9)+(x-3)V¥x* -3 =0
x-3=0
corer ae) 069]
*) x—3=O<>x=3suy ra nghiệm (x; y) = (3;1)
x<-3 x<-3
*) x+3+ýx ”-3=0<4x -3=-x-3© 5 5 & (VN)
x=3=x +6x+9 x=-2
=0
x+3+Ax-3=0
Trang 4Thay y = 3—x vao phuong trinh (1) ta duge: x* —4x-14+(x-3)Vx° —x-1=0
Vx°-x-1=3
Vx° -x-l=-x
& (x? —x-1)—-B-—x)Vx° —x-1-3x=0 =|
Khi x=, y Sv < 0 (loại)
Khi x= mi - mee (Thỏa mãn điều kiện)
x -x-l=x x=-l Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là (3;1); (-1;4);
Câu 3: (2,0 điểm )
1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình x“+5y”—4xy+4x—4y+3=0
2.Tìm tất cả các số nguyên dương (x.y) thỏa mãn x?+3y và y?+3x là số chính phương
Bài làm
1.Ta có x“+5y”—-4xy+4x—4y+3=0 ©(x—-2y+2}+(y+2)=5=l +27 Ta có các trường hợp sau :
=-1
THI : (y+2y 13)? 2 (thỏa mãn )
Vol _ ố 2 (thỏa mãn )
X
=-6 (thỏa mãn )
—10
Với ¬
=0
> 4 (thỏa mãn )
TH2 : ora? >|
Với y=0—>(x+2Ÿ# =15| —_„ (hỏa mãn ).
Trang 5x=-9
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (-6;-l); (-2;-1); (-6;-3); (-10;-3); (-1;0); (-3;0); (-9;-4); (-11;-4);
2.Cách 1: Không mất tính tổng quát ,ta có thê giả sử x> y Khi đó ta có:
x2 <3?°+8y<x?+§x<+?+8§x+l6=(x+4)? Theo yêu câu của để bài, x?+8y là các số chính phương nên nó sẽ nhận giá trị là một trong các số (x+1)”;(x+2)?:(x+3)? Ta xét các trường hợp cụ thế như sau:
Trường hợp l: x+8y=(x+1)ˆ>2x+l=8y
Điều này không thể xảy ra vì 2x + 1 là số lẻ mà 8y là số chẵn
Truong hop 2: x° +8y=(x+3) > 6x+9=8y
Điều này không thể xảy ra vì 6x + 9 là số lẻ mà 8y là số chẵn
Truong hop 3:2? +8y =(x+2)? => x=2y—1 Do y? +8+x là số chính phương nên ta có y?+16y—8 là số chính phương
Voi y = 1 thì ta có x= I và cặp số (1; 1) thỏa mãn yêu cầu đề bài
Xét y>2 ta có y?+l6y—8=(y+3)?+(I0y—17)>(y+3) và
y’ +16y—-8=(y+8) —72 <(y+8)’
Do đó để y?+16y—8 là số chính phương thì ta phải có:
y?+16y—8€{@w+4)?;(y+5)?;(y+6°;@+7)°}
Giải trực tiếp các trường hợp ta được y = 3 tương ứng x = 5 hoặc y = l1 tương ứng x= 21 Thử lại ta thây thỏa mãn yêu câu đê bài
Kết luận có 5 cặp số thỏa mãn yêu câu đề bài là: (1; 1); (5: 3); (3; 5); (21; 11); (11; 21)
Cách 2: Khéng mat tinh tong quat ,ta có thê giả sửx> y Khi đó ta có:
xX <x 4+8y <x°4+8x <x° +8x4+16=(x+4)° Theo yêu cầu của đề bài, x?+8y là các số
chính phương nên nó sẽ nhận giá trị là một trong các số (x+1)?;(x+2)?:(x+3)? Ta xét các trường hợp cụ thế như sau:
Trường hợp l: xÝẲ+8y=(x+Ù > 2x+1=8y
Điều này không thể xảy ra vì 2x + 1 là số lẻ mà 8y là số chẵn
Truong hop 2: x° +8y=(x+3) > 6x+9=8y
Điều này không thể xảy ra vì 6x + 9 là số lẻ mà 8y là số chẵn.
Trang 6Trường hợp 3: x?+8y=(x+2)">x=2y—I Do y?+8x là số chính phương nên tôn tại
số nguyên dương m sao cho y?+8x=m? > (y+8—m)(y+8+m)=72
Vi y+8—m;y+8+m cung tinh chan lé va y+8—m<y+8+m nén
(y+8—m)(y+8+m) =2.6 = 4.18 =6.12.Xét tat ca cdc trudng hop
Kết luận có 5 cặp số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: (1; 1); (5; 3); (3; 5); (21; 11); C11;
21)
Câu 4: (3,0 điểm )Cho hai đường tròn (O;R) và (O°;R°) cắt nhau tại hai điểm
phân biệt A và B(A,O,B không thăng hàng ).Trên tia đối của AB tia lấy điểm C ,kẻ
tiếp tuyến CD,CE với (O) trong đó D,E là các tiếp điểm và E nằm trong (O')
Duong thang AD,AE cắt (O') lần lượt tại M và N (M.N khác A ).Đường thắng DE
cắt MN tại I ,OO? cắt AB lân lượt tại H và E
1.Chtng minh FE.HD=FD.HE
2.Chtng minh MB.EB.DI=IB.AN.BD
3 Chứng minh O”I vuông góc với MN
Bài làm
1) Chứng minh được CDOH,CDOE là các tứ giác nội tiếp >O,D,C,E.H năm trên
cùng một đường tròn
= DHC = DEC = CDE = CHE > CH:HF' là phần giác trong và ngoài DHE
Do dé; 2 ="* = FDHE = FE.HD
HD FD
2) Trong (O) có BDE = BAE Trong (0') c6 BAE = BMI
Trang 7=> BDE = BMI nên Tứ giác DMIB nội tiếp
=> ADI = BMI ma ADI = ABE => ABE = MBI kết hợp với BAN = BMN
Ta được AMIB Œ) AAEB(g-eg)
_» MB BA _, MB EB.DI — AB.EB.DI _ AB.DI _, MBEB.DI _ ABDI (1)
IB EB IBANBD IBAN.BD_ AN BD IB.AN.BD AN.BD
Lai cé: DIB = DMB = ANB => ANB = DIB Két hop voi BAN = BDI
=>ADBI ) AABN(g- g) = =< = ABDI = AN.BD => ABDI HL)
Từ (1) và (2) suy ra 4228-00 _| —>MB.EB.DI=IB.AN.BD
IB.AN.BD
CE | AE
3) Tac6: ACEB ) ACAE=>
— BE
ACDA 0Ø ACBD>=”=^” ,Mà: CD=CE= ^^ =^” CB DB
—DB Lại có: BMI = BAD = BED nên BEIN nội tiếp
BI BE Tuong tu: BIN = BEN > BIM = AEB; BMI = BAE nén ABIM () ABEA>— ==
Từ hai điều trên ta có : , IN _ BDAE =1>IN=IM=>O'IL MN
AD.BE Câu 5ã: (1,0 điểm )
Cho x.y,z là ba số dương thỏa mãn yx +y +4 y?+z? +Xz?+x? =2018.Tìm giá trị
nhỏ nhat cua biéu thuc M = +> 4
YrZ ZTX X1
Bai lam
Ap dung bất đăng thức Cauchy—Schwarz ta có:
2018 =x +9” ty tz? HV 242 <43?+y°+z? =x +y +z”>2018
Mà ta có : x+y<A|2(2+y?):y+z<A|y?+z?:z+x<\z?+x”
Khi đó:
Trang 8M=——+—-—+-—> = + 2 + =
ytz ztx XtY QJ2@°+z) VJ2G2+z) VJ20œ?2+x”)
„ 2018~ (y? +27), 2018—(x° #27) 2018 -(y? +x")
20" +z7) 20° +z7) V20" +x)
Taco:
2018-(y" +), 2018-(+xˆ +2") | 2018—-(y* +x*)
V2(y" +z°) \2G7 +z°) 20” +x")
20° +27) f207 +27) J20°? +27) } v2
Ta cé theo BDT AM-GM:
\J2G@?+z?) \j2@+z) Aj2@ +x)) v2
2018.9
ety ayy tv
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -3018 khi x= y=z= Ti