Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các [r]
Trang 1A Phần mở đầu.
I Lý do thực hiện đề tài.
1 Cơ sở lý luận
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chơng trình toán phổ thông Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lợng giác và Giải tích Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc
đáo của các phơng pháp giải chúng Chính vì thế, bất đẳng thức là chuyên đề đợc mọi ngời quan tâm đến rất nhiều
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề
đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phơng pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luận, dự đoán,…
2 Cơ sở thực tiễn
Khi học toán, học sinh thờng thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng bất
đẳng thức là một phần rất khó không thể giải đợc Nguyên nhân là học sinh không biết cách lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải.Vì vậy một bài toán đơn giản cũng trở nên “ vô cùng khó” đối với các em
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lợng dạy và học về bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài: “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức”
II Ph ơng pháp nghiên cứu
1 Phơng pháp nghiên cứu lý luận
2 Phơng pháp điều tra thực tiễn
3 Phơng pháp thực nghiệm s phạm
4 Phơng pháp thống kê
III Đối t ợng nghiên cứu
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất của vectơ
IV Tài liệu tham khảo.
1 Sách giáo khoa toán THPT
2 Sách bài tập toán THPT
3 Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của Giáo s Phan Huy Khải
4 Báo toán học và tuổi trẻ
V ứ ng dụng
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học về bất đẳng thức
B Phần nội dung.
Trang 2I Nhắc lại các tính chất của vectơ.
1 Tính chất 1: ⃗a¿2= | ⃗a|2≥ 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⃗a=⃗0
2 Tính chất 2: |a⃗ | +|⃗b|≥|a+⃗b⃗ | .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⃗a và ⃗b cùng chiều.
3 Tính chất 3: |a ⃗b⃗ |≤| ⃗a| |b⃗| .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⃗a và ⃗b cùng phơng.
II Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức.
1 Sử dụng tính chất 1.
Ví dụ 1
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C −3
2 .
Giải:
Gọi O, R lần lợt là tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có:
⃗ OA+⃗ OB+⃗ OC ¿2=⃗ OA2+⃗ OB2+⃗ OC2+ 2(⃗ OA ⃗ OB+⃗ OB ⃗ OC+⃗ OC.⃗OA)≥ 0
¿
¿
¿
Suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
6cosA.cosB.cosC cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C (1).
Giải:
Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên đúng vì khi
đó vế trái âm, còn vế phải dơng
Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt các vectơ
OM ,⃗ ON ,⃗OP sao cho:
¿
|⃗ OM|=cos A
|⃗ ON|=cos B
|⃗ OP|=cos C
¿ { {
¿
và
¿
(⃗OM ,⃗ ON)=π − ^ C
(⃗ON ,⃗ OP)=π − ^A
(⃗OP,⃗ OM)=π − ^B
¿ { {
¿
áp dụng tính chất (1), ta có:
Trang 3⃗ OM+⃗ ON+⃗ OP ¿2≥0
¿
⇔⃗OM 2
+⃗ ON 2
+⃗ OP 2 +2 O⃗M ⃗ ON +2 O⃗ N ⃗OP+2⃗OP O⃗ M ≥ 0
⇔cos2A+cos2B+cos2C −2(cos A cos B cos C+cos A cos B cos C+cos A cos B cos C)≥ 0
⇔ Điều phải chứng minh
2 Sử dụng tính chất 2.
Ta thờng sử dụng phơng pháp này khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức trong dấu căn bậc hai có thể đa
về tổng của các bình phơng
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
√a2
+a+1 + √a2− a+1 2 (1) với mọi a thuộc R
Giải: (1) ⇔
√3
2 ¿
2
a+1
2¿
2
+ ¿
¿
√ ¿
+
√3
2 ¿
2
1
2−a¿
2
+ ¿
¿
√ ¿
2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt:
⃗
u=(a+1
2;√
3
2 ) ; ⃗v =(
1
2− a ;√
3
2 )
áp dụng tính chất 2, ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2 Chứng minh rằng :
√x2+xy+ y2 + √y2+yz+z2 + √z2+zx+x2 √3(x+ y+ z) với x,y,z > 0
Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt:
⃗
u=(x + y
2 ;
√3
2 y ); ⃗v =( y +
z
2;
√3
2 z); ⃗w=(z +
x
2;
√3
2 x);
Từ tính chất |u|⃗ + | ⃗v|+ | ⃗w|≥|⃗u+⃗v+⃗ w| ta có đpcm
Theo cáh này ta có thể chứng minh rất nhanh đợc các bài toán sau đây:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có:
√2sin 2x +4 +√2sin 2x − 2√2 sin x+5 ≥ 17
Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc.
Chứng minh rằng:
√b2+2 a2
ab + √c2+2 b2
bc + √a2+2c2
Ví dụ 5:
3 Sử dụng tính chất 3.
Ví dụ 1 CMR với mọi a, b, c, d ta có bất đẳng thức:
| ab+cd |≤√(a2
+c2
)(b2
+d2
) (3)
Trang 4Giải: Đặt ⃗u=(a , c ) ; ⃗v =(b ,d )
áp dụng tính chất 3 ta có ngay đpcm
Ví dụ 2 Giả sử
¿
x2+xy+ y2=3
y2
+yz+ z2 =16
¿ {
¿
có nghiệm
CMR: xy + yz + zx 8
Giải:
Đặt ⃗u=( y + x
2;
√3
2 x ) , ⃗v =(
√3
2 z ; y +
z
2)
áp dụng tính chất (3) suy ra đpcm
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC Điểm M thuộc mp(ABC) Chứng minh:
m a MA + m b MB + m c MC 1
2 (a 2 + b 2 + c 2 ).
Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có GA MA ≥⃗GA ⃗ MA=⃗ GA ⃗ MG+GA2
Tơng tự GB MB≥⃗GB ⃗ MG+GB2
GC MC≥⃗GC⃗ MG+GC2
⇒GA MA +GB MB+GC MC ≥⃗MG(⃗ GA +⃗ GB+⃗ GC)+GA 2
+ GB 2
+ GC 2 =GA 2
+ GB 2 +GC 2
⇔ m a MA + m b MB + m c MC 1
2 (a 2 + b 2 + c 2)(Đpcm)
4 Sử dụng tính chất của vectơ đơn vị.
Ví dụ 1: Xét ví dụ 1 ở phần 1, ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách
khác nh sau.:
Trên mặt phẳng ta dựng các vectơ ⃗OM ,⃗ ON ,⃗OP thoả mãn:
¿
|⃗ OM|=1
|⃗ ON|=1
|⃗ OP|=1
¿ { {
¿
và
¿
(⃗OM ,⃗ON)=2 ^C
(⃗ON ,⃗OP)=2 ^A
(⃗OP,⃗ OM)=2 ^B
¿ { {
¿
áp dụng tính chất (1), ta có:
⃗ OM+⃗ ON+⃗ OP ¿2≥0
¿
⇔1+1+1+2 cos(2 ^ C)+2 cos (2 ^ A)+2 cos (2 ^ B)≥ 0
⇔cos 2 A+cos2 B+cos2 C ≥ −3
2 (đpcm).
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC và các số thực x, y, z Chứng minh rằng:
Trang 5yz cos 2 A+xz cos 2 B+xy cos 2 C ≥ −1
2(x
2
+y2
+z2
)
Giải : Giả sử đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính bằng 1.
Ta có x⃗ OA + y ⃗ OB+z ⃗OC ¿2=(x2+y2+z2)+2(xy cos 2 C+xz cos 2 B+yz cos 2 A )
Suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 3.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
√3 cos A +2 cos B+2√3 cos C ≤ 4
Giải: Gọi ⃗e1; ⃗e2; ⃗e3 theo thứ tự là vectơ đơn vị của các cạnh BC, CA, AB
Ta có:
¿
2 ⃗e1+√3 ⃗e2+ ⃗e¿2=4+3+1− 2 ¿
¿
√3 cos A +2 cos B+2√3 cos C¿ 0
=> √3 cos A +2 cos B+2√3 cos C ≤ 4 (Đpcm)
Theo cách này ta có thể chứng minh các bài toán sau:
Ví dụ 4 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
cos A+cos B+cos C ≤3
2
Ví dụ 5 Cho tam giác ABC và số thực x Chứng minh rằng:
cos A+x (cos B+cos C)≤ x
2
2 +1 .
Ví dụ 6:
C Phần kết luận.
I Kết quả ứng dụng.
Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức đã đợc tôi vận dụng khi bồi dỡng cho học sinh về bất đẳng thức Kết quả là các em đã có thiện cảm hơn đối với chuyên đề này, không còn lúng túng nh trớc nữa, một số em còn tỏ ra rất hào hứng khi làm các bài toán về bất đẳng thức
II Lời kết.
Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân tôi Hy vọng đề tài này sẽ góp phần để việc dạy và học về bất đẳng thức đạt hiệu quả hơn
Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu cha đợc nhiều Rất mong sự đóng góp ý kiến của ngời đọc
Xin chân thành cảm ơn!
Thống Nhất, ngày 02/ 3/ 2016
Ngời viết
Trang 6Lª ThÞ Thanh Hoa