Kỹ thuật chọn điểm rơi: Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụ[r]
Trang 1A CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG HAY SỬ DỤNG
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I BỘ 2 SỐ:
1
(" " )
x y
x y
(Với mọi x, y)
Chứng minh:
2
4
x y
x y x y x y x y
(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y Vận dụng bất đẳng thức trên để chứng minh các bất đẳng thức 2, 3, 4 sau
2
4
x xy y x y
Chứng minh:
+ Cách 1:
4
x xy y x y x xy y x y x y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
+ Cách 2:
VT =
2
x y
x xy y x y xy x y x y
= VP
3
(x y) 4
x xy y
Chứng minh:
+ Cách 1:
1
4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
+ Cách 2:
VT =
2
= VP
x y x y
Chứng minh:
Trang 2Áp dụng bất đẳng thức
a b
2
a b
, ta coi 2
1
a
x và 2
1
b
y khi đó ta có:
x y xy
Áp dụng bất đẳng thức
2
4
x y
x y
vào bất đẳng thức trên, ta được:
2
4
x y
x y xy x y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y (điều kiện là x, y phải khác 0)
5
4
x y x y
Chứng minh:
4 (" " )
x y
6
1 1
(" " )
x y
x y
Chứng minh:
(" " )
xy
x y
7 x3y3 xy x y( )
Chứng minh:
+ Cách 1:
VT x y x y xy y
Mà x2 xy y 2 xy, do đó ta có điều phải chứng minh
+ Cách 2:
x y xy x y x y y y x x y x y
Với x, y dương thì hiển nhiên bất đẳng thức cuối đúng Do đó ta có điều phải chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
8 x4y4 xy x( 2y2)
Chứng minh:
Trang 3Với x, y lớn hơn 0, ta có:
x y xy x y x x y y x y x y x xy y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
9 x5y5 x y x y2 2( )
Chứng minh:
Với x, y lớn hơn 0, ta có:
x y x y x y x x y y x y x y x xy y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
10
4 (" " )
a b
a b c
Chứng minh:
4
a b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
11
a b ab a + b a + b
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM liên tiếp ta sẽ có điều phải chứng minh:
2
ab ab (1)
2
a b
(2)
Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
12
(a b) 2
a b
13 (a b )2 4ab
14 a2b2c2 ab bc ca
15
3
a b c a b c
16 (a b c )2 3(a b c )
17 (ab bc ca )2 3abc a b c( )
Các bất đẳng thức trên có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương Xét về bản chất bất đẳng thức 12 và 13 là một, bất đẳng thức 14, 15, 16, 17 là một.
Trang 418
8
9
a b a b c ab bc ca
Chứng minh:
19
27
a b b c c a abc a b c
Chứng minh:
20 Hằng đẳng thức Lagrange:
(a b c)( d ) ( ac bd ) (ad bc )
II BỘ 3 SỐ:
1
3 (" " )
a b c
a b c
2
(" " )
a b c
3
3
(" " )
a b b c c a abc a b c
a b c
4
1 1 1
( , , 0) (" " )
bc ac ab
a b c
a b c
a b c
5
(" " )
ab bc ca a b c abc
a b c
6
2
(" " )
a b c
7
9 (" " )
a b c
8 Bất đẳng thức tam giác:
Trang 5( )( )(c a b) (" " )
abc a b c b c a
a b c
III CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY:
1 Các đại lượng trung bình của hai số không âm:
Với hai số không âm a, b Kí hiệu:
a b
A
là trung bình cộng của hai số a, b.
G ab là trung bình nhân của hai số a, b.
2
là trung bình toàn phương của hai số a, b.
2
1 1
H
a b
là trung bình điều hòa của hai số dương a, b
Ta có bất đẳng thức Q A G H.
Chứng minh:
2
a b
a b a ab b ab
hay A G (1) a b 2 0 a2 2ab b 2 0 a2b2 2ab
2
2
hay Q A (2)
Mặt khác
2
0
1 1
ab
a b
hay G H (3) Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q A G H.
Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi a = b.
Mở rộng ra cho n số không âm a a a1, , , ,2 3 a n ta cũng có:
A
n
là trung bình cộng của n số a a a1, , , ,2 3 a n .
1 2 3
n
n
G a a a a
là trung bình nhân của n số a a a1, , , ,2 3 a n .
Q
n
là trung bình toàn phương của n số a a a1, , , ,2 3 a n .
n
n H
là trung bình điều hòa của n số dương a a a1, , , ,2 3 a n .
Ta cũng có bất đẳng thức Q A G H.
Trang 6Dấu “=” xảy ra khi a1a2 a3 a n
* Chú ý: A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ Arithmetic mean (trung bình cộng), Geometric mean (trung bình nhân), Quadratic mean (trung bình toàn phương) và Harmonic mean (trung bình điều hòa).
2 Các bất đẳng thức phụ:
n = 2: x, y ≥ 0 khi đó: n = 3: x, y, z ≥ 0 khi đó:
2.1 2
x y xy
3
x y z xyz
2.3
2
2
3 3
2.4 x y 2 4 xy x y z 3 27 xyz
2.5
1 1 4
x y x y
1 1 1 9
x y z x y z
2.6 2
xyz x y z
IV CÁC PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY:
1 Kỹ thuật ghép đối xứng:
Trong kỹ thuật ghép đối xứng chúng ta cần nắm được một số kiểu thao tác sau:
Phép cộng:
2
x y y z z x
x y z
Phép nhân:x y z2 2 2 xy yz z x ; xyz= xy yz z x x, y, z 0
2 Kỹ thuật chọn điểm rơi:
Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.
3 Kỹ thuật thêm bớt hằng số.
4 Kỹ thuật tách nghịch đảo + ghép cặp nghịch đảo:
Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TBN thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng buộc của ẩn thì việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm Một kỹ thuật thường được sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi.
Trang 75 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:
6 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:
Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu “ + ” bằng dấu “ ” thì ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng là thay dấu “ ” bằng dấu “ + ” Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số.
7 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo:
Nội dung cần nắm được các bất đẳng thức sau:
1
2
2
1 2
, , , 0
n
n
8 Kỹ thuật đổi biến số:
9 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu:
10 Kỹ thuật cộng mẫu:
Các bất đẳng thức hay dùng:
a)
2 1
1
1
n
n i
i i i
n
(Dấu “=” xảy ra khi a1 a2 a n) b)
4
a b a b
x y x y
11 Kỹ thuật chia tách hạng tử thích hợp:
12 Sử dụng điều kiện đưa bất đẳng thức không đồng bậc về đồng bậc để vận dụng các bất đẳng thức cổ điển quen thuộc:
B BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ:
1. Với a a1, , , ; , , ,2 a b b n 1 2 b n là các số thực tùy ý:
(a b a b a b n n) (a a a b n)( b , , )b n (*)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n n
a
cũng bằng 0)
2. Trong (*), ta chọn
,
i
i
x
y
, với x y i, iR y, i 0, ta thu được bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức:
Trang 8Nếu x1, x , , x2 n là các số thực và y1, y , , y2 n là các số thực dương thì:
( x x )
y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n n
x
y y y
3. Với a a1, , , ; , , ,2 a b b n 1 2 b n là các số thực tùy ý:
(*)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n n
a
cũng bằng 0)