Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng.. Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề đ
Trang 1A PHẦN MỞ ĐẦU.
I Lý do thực hiện đề tài.
1 Cơ sở lý luận.
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng Chính vì thế, bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không
hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luận, dự đoán,
2 Cơ sở thực tiễn.
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được Nguyên nhân là học sinh không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.Vì vậy một bài toán đơn giản cũng trở nên “ vô cùng khó” đối với các em
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu
đề tài: “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức”.
II Phương pháp nghiên cứu.
1 Phương pháp nghiên cứu lý luận
2 Phương pháp điều tra thực tiễn
Trang 23 Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
4 Phương pháp thống kê
III Đối tượng nghiên cứu.
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất của vectơ
IV Tài liệu tham khảo.
1 Sách giáo khoa toán THPT
2 Sách bài tập toán THPT
3 Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của Giáo sư Phan Huy Khải
4 Báo toán học và tuổi trẻ
V Ứng dụng.
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học về bất đẳng thức
B PHẦN NỘI DUNG.
I Nhắc lại các tính chất của vectơ.
1 Tính chất 1: (a)2 = a 2 ≥0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =0
2 Tính chất 2: a + b ≥ a+b
Trang 3Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi avà b cùng chiều.
3 Tính chất 3: a.b ≤ a.b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi avà b cùng phương
II Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức.
1 Sử dụng tính chất 1.
Ví dụ 1
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C
2
3
−
≥
* Hướng giải quyết của bài toán: Để sử dụng được các tính chất của véctơ vào
bài toán này thì công thức nào có chứa vectơ và có chứa cả côsin Vậy đó sẻ là tích vô hướng của hai vectơ, đó là:
OA OBuuuruuur uuur uuur = OA OB cos(OA OBuuur uuur, ), OB OCuuur uuur = OB OC cuuur uuur os(OB OCuuur uuur, )
OA OCuuuruuur= OA OC cuuur uuur OA OCuuur uuur và khi đó nếu ta gọi R là bán kính của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì R= OAuuur= OBuuur= OCuuur Từ đó, ta nghĩ tới việc
dùng tính chất 1 để chứng minh Cụ thể như sau:
* Giải:
Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có:
2
2
2
3 2 (cos 2 cos 2 cos 2 ) 0 os2 os2 os2
R
R
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur
Trang 4Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
6cosA.cosB.cosC ≤ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C (1).
* Hướng giải quyết bài toán Ta thấy trong biểu thức cần chứng minh xuất hện
tổng các bình phương Vì thế có thể sử dụng được tính chất 1 Nhưng ở bài toán trên chúng ta cần lưu ý, phải xét các trường hợp của tam giác ABC Vì ở bài toán trên không nói đó là tam giác như thế nào Cụ thể, ta làm bài toán này như sau:
* Giải:
Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên đúng
vì khi đó vế trái âm, còn vế phải dương
Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt các vectơ OM,ON,OP sao cho:
=
=
=
C OP
B ON
A OM
cos cos
cos
và
−
=
−
=
−
=
B OM
OP
A OP
ON
C ON
OM
ˆ )
, (
ˆ )
, (
ˆ )
, (
π π π
Áp dụng tính chất (1), ta có:
0 ) (OM +ON +OP 2 ≥
0
2 2
2
2 2 2
≥ +
+ +
+ +
⇔OM ON OP O M ON O N OP OP O M
0 ) cos cos cos cos
cos cos cos
cos (cos 2 cos cos
os os os 6cos cos cos
Trang 52 Sử dụng tính chất 2.
* a + b ≥ a+b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi avà b cùng chiều
Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức trong dấu căn bậc hai
có thể đưa về tổng của các bình phương
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a2 +a+1+ a2 −a+1≥2 (1) với mọi a thuộc R
* Hướng giải quyết bài toán:
Bài toán này nếu đơn thuần chỉ sử dụng việc chứng minh BĐT thông thường thì sẻ rất khó đối với hs, vì bài toán có hai căn bậc hai nên việc biến đổi
sẻ rất khó Nhưng nếu chú ý các đối tượng trong bài toán và biết khai thác tính chất 2 nêu trên thì bài toán trở nên dể dàng hơn Cụ thể, gv chỉ cho hs hướng suy nghĩ sau:
Hai biểu thức trong căn bậc hai có thể biến đổi thành tổng các bình
phương
2 2
1
+ + = + ÷ + ÷ ÷ và
2 2
1
− + = − ÷ + ÷ ÷ Từ đó, ta có
thể đặt: 1; 3
2 2
= + ÷÷
r
= − ÷÷
r
, đến đây sử dụng tính chất 2 ta được diều phải chứng minh Cụ thể như sau:
* Giải: BĐT (1) ⇔ 2 ) 2
2
3 ( ) 2
1
2
3 ( ) 2
1
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt:
Trang 6) 2
3
; 2
1
( +
= a
2
3
; 2
1
2
+ = + ÷ + ÷÷ + − ÷ + ÷÷ ≥ + =
⇔ + + + − + ≥ Điều phải chứng minh
Ví dụ 2 Chứng minh rằng :
2
2 xy y
x + + + y2 +yz+z2 + z2 +zx+x2 ≥ 3 (x+ y+z) với x,y,z > 0
* Hướng giải quyết bài toán: Bài toán này về cơ bản không khác gì nhiều so
với bài toán trước Nên ta làm như sau:
Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt:
);
2
3
; 2
(x y y
2
3
; 2 (y z z
2
3
; 2 (z x x
Từ tính chất u+ v+ w ≥ u+v+w ta có:
u vr r uur+ + = x y z+ + + x y z+ + = x y z+ + ⇒ điều phải chứng minh
Theo cách này ta có thể chứng minh rất nhanh được các bài toán sau đây:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có:
2sin2 x + + 4 2sin2 x − 2 2 sin x + ≥ 5 17
Trang 7Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng:
ab
a
b2 + 2 2 +
bc
b
c2 + 2 2 +
ca
c
a2 + 2 2 ≥3
3 Sử dụng tính chất 3.
Ví dụ 1 CMR với mọi a, b, c, d ta có bất đẳng thức:
) )(
(a2 c2 b2 d2
cd
ab+ ≤ + + (3)
Giải: Đặt u=( c a, ); v=( d b, )
Áp dụng tính chất 3, ta có:
u vr r = ab cd+ ≤ u vr r = a2 +c2 b2 +d2 = (a2 +c2 )(b2 +d2 ) ⇒điều phải chứng minh
Ví dụ 2 Giả sử
= + +
= + +
16
3
2 2
2 2
z yz y
y xy x
có nghiệm CMR: xy + yz + zx ≤ 8
Giải:
2
3
; 2 (y x x
2
; 2
3 ( z y z
Áp dụng tính chất (3), ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC Điểm M thuộc mp(ABC) Chứng minh:
m a MA + m b MB + m c MC
2
1
≥ (a 2 + b 2 + c 2 ).
Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có GA.MA≥GA.MA=GA.MG+GA2
Trang 8Tương tự GB.MB≥GB.MG+GB2
GC.MC ≥GC MG+GC2
2 2
2 2
2 2
) (
.
⇒
2
1
≥ (a 2 + b 2 + c 2)(Đpcm)
4 Sử dụng tính chất của vectơ đơn vị.
Ví dụ 1: Xét ví dụ 1 ở phần 1, ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách
khác như sau.:
Trên mặt phẳng ta dựng các vectơ OM,ON,OP thoả mãn:
=
=
=
1 1 1
OP
ON
OM
và
=
=
=
B OM OP
A OP ON
C ON OM
ˆ 2 ) , (
ˆ 2 ) , (
ˆ 2 ) , (
Áp dụng tính chất (1), ta có:
0 ) (OM +ON +OP 2 ≥
0 ) 2 cos(
2 ) 2 cos(
2 ) 2 cos(
2 1
1
2
3 2
cos 2
cos 2
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC và các số thực x, y, z Chứng minh rằng:
) (
2
1 2
cos 2
cos 2
cos A xz B xy C x2 y2 z2
Giải : Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính bằng 1.
Trang 9Ta có:
) 2 cos 2
cos 2
cos ( 2 ) (
) (x OA+y OB+z OC 2 = x2 + y2 +z2 + xy C+xz B+yz A ≥ 0
Suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 3.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
3 cosA+ 2 cosB+ 2 3 cosC ≤ 4
Giải: Gọi e1 ;e2 ;e3 theo thứ tự là vectơ đơn vị của các cạnh BC, CA, AB
Ta có:
( 2 1 3 4 ) 3
2
3 2
1 + e +e = + + −
=> 3 cosA+ 2 cosB+ 2 3 cosC≤ 4 (Đpcm)
Theo cách này ta có thể chứng minh các bài toán sau:
Ví dụ 4 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
2
3 cos cos
cosA+ B+ C ≤
Ví dụ 5 Cho tam giác ABC và số thực x Chứng minh rằng:
2 ) cos (cos
cos
2
+
≤ +
+x B C x
Trang 10C PHẦN KẾT LUẬN.
I Kết quả ứng dụng.
Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức đã được tôi vận dụng để giaỉ bài tập về bất đẳng thức khi tôi còn ôn thi đại học và phương pháp này đã được truyền cho các em học sinh Kết quả là các em đã có thiện cảm hơn đối với chuyên đề này, không còn lúng túng như trước nữa, một
số em còn tỏ ra rất hào hứng khi làm các bài toán về bất đẳng thức
II Lời kết.
Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân tôi Hy vọng đề tài này sẽ góp phần để việc dạy và học về bất đẳng thức đạt hiệu quả hơn
Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chưa được nhiều Rất mong sự đóng góp ý kiến của người đọc
Xin chân thành cảm ơn!
Người viết:
Bùi Đình Tùng