*/ Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đáp án, nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.. - Điểm toàn bài không làm tròn..[r]
Trang 1PHềNG GD&ĐT NGA SƠN ĐỀ THI HS GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 – 2016 TRƯỜNG THCS NGA THIỆN-NGA GIÁP Ngày 24 thỏng 10 năm 2015
Mụn thi : TOÁN
Thời gian làm bài:150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề)
Bài 1: (4,5 điểm)
Cho biểu thức:
a) Tìm điều Kiện xác định của P
b) Rỳt gọn P
c) Tỡm x để
1 P 2
Bài 2: (4,5 điểm)
a) Giải phương trỡnh: x2 + 6x + 10 = 2 2x 5
b) Cho x, y là cỏc số thoả món: x2 9 x y2 9 y 9
Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: A x 2011y20111
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Với a, b > 0 chứng minh:
a b 4 a b Dấu “=” xảy ra khi nào?
b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả món:
8
Tỡm giỏ trị lớn nhất của
M
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AC > BD; kẻ CH vuụng gúc với AD (HAD); kẻ CK vuụng gúc với AB (KAB)
a) Chứng minh KBCđồng dạng HDC
b) Chứng minh HCKđồng dạng ABC, suy ra HK = AC.sinBAD
c) Chứng minh AB.AK + AD.AH = AC2
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho ABC vuụng tại A và điểm M nằm trờn cạnh huyền BC Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của M lờn cỏc cạnh AB và AC Chứng minh rằng:
-Hết -Lưu ý : Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2LIấN TRƯỜNG THCS NGA THIỆN-NGA GIÁP HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học : 2015 – 2016 Mụn : TOÁN ngày: 24/10/2015
(Chỳ ý: Hướng dẫn chấm này gồm cú 03 trang).
Bài 1: (4,5 điểm)
a) Tìm đợc ĐKXĐ x 0; x 1;x 9 (0,5 điểm)
b) Với x 0;x 1;x 9 , ta cú:
1
(0,75 điểm)
(0,5 điểm)
x 3 x 1
8
x x 1
(0,5 điểm)
Vậy Với x 0; x 1;x 9 thì 8
x 3 P
x
(0,25 điểm)
c) Với x 0, x 1& x 9 , ta cú:
x
(0,50 điểm)
x 3 4 x 5 x 3 (0,50 điểm)
(TMĐK) (0,50 điểm) Vậy với
9 x 25
thỡ
1 P 2
(0,25 điểm)
Bài 2: (4,5 điểm)
a) Giải phương trỡnh: x2 + 6x + 10 = 2 2x 5
5 2x 5 0 x
(0,25 điểm)
Ta cú: x2 + 6x + 10 = 2 2x 5 (x24x 4) (2x 5) 2 2x 5 1 0
(x 2) 2 2x 5 1 2 0
(1,25 điểm)
x 2 0
2x 5 1 0
(0,75 điểm)
b) Cho x, y là cỏc số thoả món: x2 9 x y2 9 y 9
(*) Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: A x 2011y20111
Trang 3Từ (*) x2 9 x x2 9 x y2 9 y 9 x2 9 x
9 y2 9 y 9 x2 9 x
y2 9 y x2 9 x (1) (0,75 điểm)
Tương tự ta có: x2 9 x y2 9 y (2) (0,75 điểm)
Lấy (1) cộng với (2) ta có : y = x
Suy ra A x 2011y2011 1 x2011 x2011 1 1
Vậy A = 1 (0,75 điểm)
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Với a, b > 0 chứng minh:
a b 4 a b Dấu “=” xảy ra khi nào?
Với a, b > 0 ta có: (a – b)2 0 a2 + b2 2ab ( a + b )2 4ab (0,75 điểm)
a b a b 4ab (0,75 điểm)
a b 4 a b Dấu “ = ” xảy ra a = b (0,50 điểm)
b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:
8
Tìm giá trị lớn nhất của
M
Vì x, y, z là các số dương, áp dụng bất đẳng thức ở câu a) ta có :
2x y z x y x z 4 x y x z 16 x y x z 16 x y z (1)
(0,50 điểm)
x 2y z x y y z 4 x y y z 16 x y y z 16 x y z (2)
(0,50 điểm)
x y 2z x z y z 4 x z y z 16 x z y z 16 x y z (3)
(0,50 điểm)
Từ(1); (2); (3) suy ra
( vì
8
x y z ) Dấu “=” xảy ra x = y = z =
3 8 Vậy max
3
8
(0,50 điểm)
Bài 4: (5,0 điểm) Vẽ hình đúng: (0,25 điểm)
Trang 4
N M
K
H
D C
B
A
a) Chứng minh được ∆KBC~ ∆HDC (g.g) (1,25 điểm)
b) Chứng minh được ∆HCK~ ∆ABC (c.g.c) (1,25 điểm)
Từ ∆HCK ~ ∆ABC
HK
AC =
CK BC
KH = AC
CK
BC = AC.sinKBC (0,50 điểm)
Mà KBC = BAD (2 góc đồng vị) KH = AC.sinBAD (0,50 điểm)
c) Kẻ BMAC tại M (hoặc DNAC tại N ) như hình vẽ Ta có:
∆ABM~∆ACK (g.g) và ∆CMB~∆AHC (g.g)
AB.AK = AM.AC và BC.AH = AC.MC = AD.AH (Vì AD = BC)
AB.AK + AD.AH = AC(AM + MC) (0,75 điểm)
AB.AK + AD.AH = AC.AC = AC (0,50 điểm)
Bài 5: (2,0 điểm)
Ta có AB.MH + AC.MK = 2SABC (0,50 điểm)
ABC
2.S
Đặt S = SABC; S
1 = SAMB; S
2 = SAMC
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương ta có:
S S S 1 2 2 S S1 2 4S S1 2 S2 (0,50 điểm)
Do đó:
ABC
2
2.S
4
(Vì AB.AC = 2S)
Vậy:
MH MK (0,75 điểm)
B Vẽ hình đúng (0,25 điểm)
H M
A K C
Trang 5*/ Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đáp án, nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài không làm tròn.