bGọi h là đờng cao của hình thang ABCD Giả sử đã dựng đợc điểm M thuộc CD sao cho đờng thẳng AM cắt h×nh thang thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau.. Gäi N lµ giao ®iÓm cña AM vµ BC.[r]
Trang 1phòng gd & đt tam dơng
đề chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8
năm học 2008-2009
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút – Không kể thời gian giao đề
Bài 1
Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5; f(2) =11; f(3) = 21 Tính f(-1) + f(5)
Bài 2
a)Tìm tất cả các số nguyên n sao cho : n4+ 2n3 + 2n2+ n +7 là số chính phơng b)Tìm nghiệm nguyên của của phơng trình x2+ xy+y2=x2y2
Bài 3 Chứng minh rằng : (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 > 0 với mọi x Bài 4
a) Cho tam giác ABC gọi M,N lần lợt là trung điểm của BC, AC Gọi O,H,G lần lợt
là giao ba đờng trung trực, ba đờng cao, ba đờng trung tuyến của tam giác ABC
Tính tỉ số GH : GO b)Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 2a, CD= a, Hãy dựng điểm M trên đờng thẳng CD sao cho đờng thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau
Bài 5
7 27
- Giám thị không giải thích gì thêm
-Phòng GD-ĐT Tam D ơng
Hớng dẫn chấm
chọn Hoc sinh giỏi lớp 8 : 2008-2009
Môn: Toán
C Câu Điểm toàn bài Nội dung
Điểm thành phần
1 2 điểm
Nhận xét: g(x) = 2x2 + 3 thoả mãn g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21
Q(x) = f(x) - g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x = 1,x = 2, x = 3
0,5 0,5 0,5
Trang 2Vậy Q(x) = (x - 1)(x - 1)(x - 3)(x - a); ta có:
f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2 + 3 = 29 + 24a
f(5) = Q(5) + 2.52 + 3 = 173 - 24a
2 1, 5 điểm
a) (0,75 điểm) Giả sử n4+ 2n3 + 2n2+ n +7= y2 ( yN)
Ta có y 2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7
y2 > (n2+ n)2
y >
2
n n
y
2
n n
+1 Vì ( yN)
y2
2 1
n n
y2 (n2+ n +1)2
thay y 2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7
n2 + n -6 < 0
(n-2) (n+3) 0
-3 n 2
Thử trực tiếp n = 2, n=-3 thỏa mãn Vậy số nguyên n cần tìm là n = 2;-3 b) (0,75 điểm)
Thêm xy vào hai vế của PT ta có
x2 + 2xy + y2 = x2y2 + xy
(x+y)2 = xy(xy+1)
Ta thấy xy và xy+1 là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phơng nên tồn tại một số bằng 0
TH1 xy =0 => x2 + y2 = 0 => x=y = 0
TH2 xy+1 = 0 ta có xy = -1 nên (x,y) bằng (1;-1) hoặc (-1;1) Thử lại ba cặp số (0;0); (-1;1), (1;-1) đều là nghiệm của phơng trình
đã cho
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
3 1,5 điểm
Ta có (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 = (x-1) (x-6) (x-3)(x-4) + 10 = (x2 - 7x+6)(x2 -7x +12) +10
= (x2 - 7x+ 9 -3)(x2 -7x + 9 +3) +10
= (x2 - 7x+ 9)2 -9 +10 = (x2 - 7x+ 9)2 + 1 > 0 với mọi x Vì (x2 7x 9)2 0 với mọi x
Do đó (x2 - 7x+ 9)2 + 1 > 0 với mọi x (bài toán đợc chứng minh)
0,25 0,5 0,25 0,5
Ta có OM//AH ( vì cùng vuông góc với BC) ON//BH ( vì cùng vuông góc với AC) NM//AB ( đờng trung bình của tam giác) Xét ABH và MNO
Có BAH NMO ( góc có cạnh tơng ứng song song) ABH MNO ( góc có cạnh tơng ứng song song) => ABH MNO ( góc - góc)
=>
1 2
NM OM
BA AH
Xét AGH và MOG
Có GAH GMO ( So le trong) (1)
0,5
Trang 3
1 2
GM
GA ( Tính chất trọng tâm) (2)
1 2
OM
AH (Cmt) (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra AHG MOG ( c-g-c)
=>AGH MGO (4) Măt khác A,G,M thẳng hàng (5)
GO OM
b)Gọi h là đờng cao của hình thang ABCD Giả sử đã dựng đợc điểm M thuộc CD sao cho đờng thẳng AM cắt hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau
Gọi N là giao điểm của AM và BC
Đăt S1 = SADCN ; S2 = SANB;; S = SABCD
Ta có
1 2
1 2
s s s
s s
=> S2 = S: 2 (1)
Kẻ đờng cao NH của tam giác ANB và đặt NH= x ta có:
2
ah
s a a h
2
1 2 2
s a x ax
Thay vào (1) :
.
ah h
ax x
áp dụng định lí ta lét =>
1 3
NB
NC suy ra cách dựng:
Chia đoạn BC làm 4 phần bằng nhau, Lấy điểm N trên BC sao cho
1 4
NC BC
Đờng thẳng AN cắt đờng thẳng CD tại điểm M cần dựng
0,5
0,25 0,25
0,5
0,5 0,25
0,25
5 2 điểm
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có xyz
3
1
x y z
Mặt khác :
xyz(x+y-z)(y+ z-x)(z+x-y) xyz(1-2z)(1-2x)(1-2y) xyz 1- 2(x+y+z)+ 4 (xy+yz+zx)-8xyz xyz 1- 2 + 4 (xy+yz+zx)-8xyz
1+ xyz 4 (xy+yz+zx)-8xyz 1+
1
27 4 (xy+yz+zx)-8xyz
7
27 xy+yz+zx-2xyz (ĐPCM)
0,5
0,5
0,5 0,5 Hình bài 4a
A
Trang 4Hình bài 4b
Ghi chú: HS giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm ( câu hoặc phần đó )
N
M
H
G
O
N
B
h x
a
2a