DE THI HSG TOAN 9 CO DA

Đặt điều kiện rồi đối chiếu hoặc thử lại để kết luận nghiệm... Cộng hai vế với..[r]

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán 9

Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1:

a) Tính giá trị của đa thức f x( ) ( x4 3x1)2016 tại

9

b) So sánh 20172 1 20162 1 và 2 2

2.2016

c) Tính giá trị biểu thức:

sin cos sin cos

1 cot 1 tan

  với 00 < x < 900

d) Biết 5 là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:

9 20 5

a b 5   a b 5   

Câu 2: Giải các phương trình sau:

a)

b) x2  5x 8 2 x 2   

Câu 3:

a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 – 4 = 0

c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số

Câu 4:

a) Chứng minh rằng a

4 +b4

2 ab

3 +a3b − a2b2

b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện

a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1 Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a)

Câu 5: Cho ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H Gọi chân các đường vuông góc hạ từ

D xuống AB, AC lần lượt là E và F

a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC

b) Giả sử HD =

1

3AD Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3

c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N,

F thẳng hàng

-HẾT -ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I

Bài 1 (2,0 điểm):

a) Cho

A

Hãy rút gọn: B 1   A x 1   (Với 0 x 1)

b) Cho x 3 2  3  32  3 Thực hiện tính 2 3

Bài 2 (2,0 điểm):

Giải các phương trình sau:

a) x  2  2 x  5 + x  2  3 2 x  5 = 7 2

b) x4 x2 2014 2014 

Bài 3 (2 điểm):

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Trên tia NC lấy điểm G Đường thẳng GM cắt DB tại H và cắt DA tại K KN cắt AB tại E; NH cắt AB tại F

a) Chứng minh NM là phân giác của góc ENF

b) Khi G là trung điểm của NC Chứng minh GA, DB, KN đồng quy

Bài 4 (2,0 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC và O là một điểm nằm trong tam giác Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC,

AC, AB tại M, N, P Chứng minh:

a) OMAM+ON

BN+

OP

CP=1 b)

AM BN CP

+ +

OM ON OP  9

Bài 5 (1,0 điểm):

Tìm các số nguyên x, y để: 2 x2  3 xy  2 y2  7

Bài 6 (1,0 điểm):

Cho x là số nguyên Chứng minh rằng:

a) A(x) = x5 – x chia hết cho 5

b) M =

Câu Ý Đáp án

9

x      

     

9

5 2 5 2

  =  2 2

2 5 4 2 5 4

5 2

  

 ( ) (1) 1

f x f 

b)

Ta có

( 2017 1 2016 1)( 2017 1 2016 1)

2015 1 2014 1

2017 1 2016 1

   

  

(2015 1) (2014 1) 2017 2016 (2017 2016)(2017 2016)

2017 1 2016 1 2017 1 2016 1 2017 1 2016 1

2017 2016 2.2016

2017 1 2016 1 2017 1 2016 1



Vậy 201721 201621 > 2 2

2.2016

2017 1 2016 1

sin cos

cos sin

sinx cos

x

sin cos sin cos

1 cos 1+sinx

x



3 3 sinx cos sin sinx.cos cos sin cos

sin cos sin cos



sin cosx x 1 sin cosx x 1

d) ĐK: a b 5 (*)

9 20 5

a b 5 a b 5 2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5)

  

9a 45b a 5( 20a 100b 5b)

       (*)

Ta thấy (*) có dạng A B 5 trong đó A, B Q, nếu

A

B 0 thi 5 I

B

vô lí vậy B

= 0 => A= 0

Do đó (*)

9a 45b a 0 20a 100b 5b 0

   



 



9a 45b a 0 9a 45b a 0

9a 45b b 0 a b

       

2

9

hoac 4

b 4 b 0

b 4b 0





  

 (không t/m ĐK (*)) Vậy a = 9; b = 4

Câu 2 a) ĐK x1; x3 (**)

 

 

3 3 ( 3)( 1) 6

 

+ Trường hợp : x + 3 = 0  x3(TMĐK (**) + Trường hợp : x + 3 0  x3

Ta có (x-3)(x-1) = 6  x2 4x 3 0

2 4 4 7 ( 2)2 7

 x  x   x 

     (TMĐK (*)) Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là: S ={-3; 2 7; 2 7}

b) ĐK: x  2 (***)

2

x  6x 9 x 1 2 x 2 0      

 2  2

x 3 0

x 2 1 0



 

  x 3  (thỏa mãn ĐK(***)) Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

Câu 3

a)

Ta có: P(0) = d 5 P(1) = a + b + c + d  5 => a + b + c  5 (1) P(-1) = -a + b – c + d  5 => -a + b – c  5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2b  5 => b  5 vì (2,5) = 1, suy ra a + c  5 P(2) = 8a + 4b + 2c + d  5 => 8a + 2c  5 => a  5 => c 5

b) Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16

 ( 2x – y )2 + 3y2 = 16

 ( 2x – y )2 = 16 – 3y2

Vì ( 2x – y )2  0 nên 16 – 3y2  0  y2  5  y2 { 0; 1; 4 }

- Nếu y2 = 0 thì x2 = 4  x =2

- Nếu y2 = 1 thì ( 2x – y )2 = 13 không là số chính phương nên loại y2 = 1

- Nếu y2 = 4  y = 2 + Khi y = 2 thì x = 0 hoặc x = 2 + Khi y = - 2 thì x = 0 hoặc x = - 2 Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên là (x, y) = ( - 2; 0 ); ( 2; 0 ); ( 0; 2 ); ( 2; 2 ); ( 0;

- 2 ); ( - 2; -2 )

c) - Nếu n là số chẵn thì n4 + 4n là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số

- Nếu n là số lẻ, đặt n = 2k + 1 với k là số tự nhiên lớn hơn 0

n4 + 42k + 1 = (n2)2 + (2.4k )2

= (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k

= ( n2 + 2.4k )2–(2n.2k)2 =(n2 + 2.4k – 2n.2k).(n2 + 2.4k + 2n.2k)

Vì n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k

= (n – 2k)2 + 4k > 4

Suy ra n4 + 42k + 1 là hợp số Vậy n4 + 4n là hợp số với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1

Câu 4

a) Giả sử ta có a

4 +b4

2 ab

3 +a3b − a2b2

4 4 2 3 2 3 2 2 2

4 4 2 3 2 3 2 2 2 0

4 2 3 2 2 4 2 3 2 2 0

a2 ab 2 b2 ab2 0

luôn đúng với mọi a, b Vậy a4+b4

2 ab

3 +a3b − a2b2 với mọi a, b

b) Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z với x, y, z là các số thực dương

Ta có

+ + =2

x + 1 y + 1 z + 1

x + 1 y + 1 z + 1 y + 1 z + 1 y + 1 z + 1

1 2

x + 1 y + 1 z + 1

(Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 2 số dương y + 1

y

và z + 1

z

) Chứng minh tương tự ta có

1 2

y + 1 x + 1 z + 1

và

1 2

z + 1 y + 1 x + 1

Suy ra

x + 1 y + 1 z + 1 y + 1 z + 1 x + 1 z + 1 x + 1 y + 1

8

x + 1 y + 1 z + 1 1 1 1

xyz

  

1 8

xyz

Dấu “ = ” xẩy ra khi

1

x + 1 y + 1 y + 1 2

1 4

x y z

a b c

   

Vậy giá trị lớn nhất của tích ( a + b )( b + c )( c + a) là

1 8

Câu 5

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tac có: AE.AB = AD2 ;

AF.AC = AD2

Suy ra: AE.AB = AF.AC

b)

Biểu thị được : tanB =

AD

BD ; tanC =

AD

CD ; tanB.tanC =

2 AD BD.CD

Biểu thị được:

tanB =

tan DHC

HD



; tanC =

tan DHB

HD



; tanB.tanC = 2

BD.CD HD

Suy ra : (tanB.tanC)2 =

2 2

AD

HD => tanB.tanC =

AD

HD = 3

c) Chứng minh được: AE.AB/AK.AB=AF.AC/AI.AC => EF // IK

Chứng minh được:

Tương tự chứng minh được N EF  và suy ra 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng

Tổng

HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I

Bài 1 (2,0 điểm):

A

0,25

3

x   4 3( 2  3  2  3) 2  3 2  3 4 3x   0,50

Từ x3 = 4 + 3x được: x3 – 3x = 4  (x3 – 3x)3 = 43  x3(x2 – 3)3 = 43 =64 0,25

Thay được

3 2 3

3



0,25

Bài 2(2,0 điểm): Giải các phương trình sau:

Nhân hai vế với 2được: 2x 4 2 2x 5    + 2x 4 6 2x 5 14     0,25

 2x 5 1   2

x = 15 Đặt điều kiện rồi đối chiếu hoặc thử lại để kết luận nghiệm 0,25

Cộng hai vế với x2 1

4



được: x4 x2 1 x2 2014 x2 2014 1

0,25

2 1 2 2014 1









0,25

x2  x2  2014 PT vô nghiệm do VT0; VP <0 0,25

Giải phương trình được nghiệm: x1 8053 1 x2 8053 1

0,25

Bài 3 (2,5 điểm):

Nối NA, NB Chứng minh được AND =BNC

 NA = NB  NAB cân  MN  AB

Có: ME/GN = KM/KG (EM//GN)

KM/KG = AM/DG

 ME/GN = AM/DG

MF/NG = HM/HG

HM/HG = MB/DG

 MF/NG = MB/DG

Mà MA = MB nên ME/GN = MF/GN ME=MF

Tam giác ENF có NM vừa là đường cao vừa là

trung tuyến nên NM là phân giác của ENF

0,50 0,25 0,25

0,25 0,25

Từ DN = 2NG chứng minh được AE = 2EM

Gọi I là giao điểm của EN và DB Có IE/IN = EB/DN = 4EM/DN

Gọi J là giao điểm của AG và EN, Có JE/JN=AE/NG = 2EM/NG = 4EM/DN

 IE/IN =JE/JN  I  J hay GA, DB, KN đồng quy

0,25 0,25 0,25 0,25

Bài 4 (2,0 điểm):

Lần lượt hạ AH, OK vuông góc với BC Có:

OM OK

Lại có

OBC ABC

S OK

AH S nên OBCABC

S OM

Tương tự:

OAC BAC

S ON

BN S ; OABCAB

S OP

Cộng được:

AM BN CP S   S S S  0,25 Với ba số dương a, b, c có:

1

a+

1

b+

1

c ≥

9

a+b+c  1 1 1 a b c 9 

a b c

    

0,25

Có:

AM BN CP

+ +

OM ON OP=

AM BN CP + +

OM ON OP 1

=(

AM BN CP

+ +

OM ON OP ) (

OM ON OP

AM BN CP  )  9

0,50

Bài 5 (1,0 điểm):

Đưa về phương trình tích

0,50

Lập và giải các hệ phương trình:

Giải được nghiệm: (3; -1); (-3; 1)

0,50

Bài 5(2,0 điểm):

Xét số dư khi chi n cho 5:

n = 5k: n chia hết cho 5 nên n5 – n

n = 5k1: n2 -1 = 25k2 10k + 1-1 = 5(5k2 2k) chia hết cho 5

0,50

n = 5k2: n2 +1 = 25k2 20k + 4+1 = 5(5k2 4k+1) chia hết cho 5.

Vậy với mọi n Z thì n5 – n chia hết cho 5

M =

x5 x3 2 x x5 5 x3 4 x

M Z  M(x) =x5  5 x3  4 xchia hết cho 30

0,25

M(x) =x5 x  5 x3 5 x chia hết cho 5 (1) 0,25 M(x) =x(x4 1 5 )  x(x2  1 ) x(x   1 )(x  1 )(x2 1 5 )  x(x  1 )(x  1 )

x(x 1 )(x 1 )(x2 1 5 )

Tích ba số nguyên liên tiếp x(x-1)(x+1) chia hết cho 2; 3 và ƯCLN(2,3)=1 nên x(x-1)

(x+1) chia hết cho 6  M(x) chia hết cho 6 (2)

0,50 Kết hợp (1), (2) và ƯCLN(5,6) = 1 M(x) chia hết cho 30 hay M nhận giá trị nguyên với