ĐỊNH NGHĨA Nếu dưới dấu căn là một biểu thức A có chứa biến và hằng; ta gọi thức dưới dấu căn.. ĐIỀU KIỆN ĐỂ.[r]
Trang 1CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
BÀI 1 CĂN BẬC HAI
LÝ THUYẾT
I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA BẬC HAI
1) * a2≥0, ∀ a∈R * a2>0 ⇔a≠0
2)
a2= b2⇔[ a=b
a=−b hoặc a2= b2⇔| a|=|b|
Ví dụ 1 Tìm x, biết: 4x2=25
⇔x2=25
4 ⇔x
2
=(52)2=(−5
2)2⇔[
x=5
2
x =−5
2
3)
a2+ b2=0 ⇔ { a=0 b=0
Ví dụ 2 Tìm x, y biết: x2−2xy+2y2−2y+1=0
⇔(x− y)2+(y−1)2=0 ⇔{x− y=0
y−1=0⇔{x = y y=1⇔{x=1 y=1
4) a2> b2⇔| a|>|b|; ∀ a,b∈R
Đặc biệt:
* Nếu a, b cùng dương thì: a2>b2⇔a>b
* Nếu a, b cùng âm thì: a2>b2⇔a<b
Ví dụ 3 72>52⇔7>5 (do 7; 5 > 0)
( −7 )2> ( −5 )2⇔−7<−5 (do −7; −5<0 )
5) ∀ a,b,c∈R ; ta có:
( abc )2= a2b2c2 ; ( a b )2= a2
b2 (b≠0)
II CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
Ở lớp 7 ta đã biết:
* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2=a
* Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương ký hiệu là √ a và số âm ký hiệu là
− √ a
* Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết √ 0=0
1) Định nghĩa
Với số dương a (a > 0), số √ a được gọi là căn bậc hai số học (CBHSH) của a
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
Ví dụ 4 CBHSH của 16 là √ 16=4 (vì 4≥0 và 42
=16 ) CBHSH của 1,44 là √ 1,44=1,2 (vì 1,2≥0 và 1,22=1,44 )
CBHSH của
9
25 là √ 9
25 =
3
5 (vì
3
5≥0 và ( 3 5 )2= 9
25 )
Trang 22) Chú ý
a) Với a≥0 , ta có:
Nếu x= √ a thì x≥0 và x2
=a
Nếu x≥0 và x2
=a thì x= √ a x=√a ⇔{x2=x≥0( √a)2=a
Khi viết √ a ta phải có đồng thời a≥0 và √ a≥0
b) Ta có ( − √ a )2= ( √ a )2= a
Với a>0 thì x2= a⇔[ x= √ a
x=− √ a
Ví dụ 5
( − √ 5 )2= ( √ 5 )2=5; x2=5⇔[ x= √ 5
x=− √ 5
c) Số âm không có căn bậc hai số học
d) Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số a≥0 gọi là phép khai phương
III SO SÁNH CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
* Với các số a, b không âm ( a≥0, b≥0 ) ta có: a2> b2⇔ a>b ⇔ √ a> √ b
Ví dụ 6 3>2⇔ √ 3> √ 2
BÀI TẬP
Bài 1 Tìm căn bậc hai số học của các số: 16; 9
64; 0; 25;
36
49; 19; −2
Bài 2 Tính: √ 49; √ 0,01; √ 4
25 ; √ 1 9
16 ; ( √ 3 )
2
; √ (−9)(−36)
( − √ 7 )2; √ 0, 81+ √ 9
16 ; √ 412−402; √ 582−422
Bài 3 Giải các phương trình sau:
d) 5x2+125=0 e) x2−4x+4=113
g) x2+2 √ 2 x+2=1 h) x2−2 √ 3 x+2=0
Bài 4 Giải các phương trình sau:
a) ( x−3 )2=11+6 √ 2 b) x2−10x +25=27−10 √ 2
c) 4x2+ 4x=27−10 √ 3 d) x2+2 √ 5 x=16−4 √ 5
e) x2+4 √ 3 x=1−4 √ 3 f) 4x2−12 √ 2 x−33+10 √ 2=0
g) 2x2−12x +9+4 √ 2=0 h) 3x2−30x+26+8 √ 3=0
Bài 5 Không dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:
a) 6 √ 5 và 5 √ 6 b) √ 2 3 và √ 3 √ 2 c) √ 8+3 và 6
d) 2 √ 5−5 và √ 5−3 e) √ 2−2 và √ 3−3 f) √ 3+ √ 5 và √ 5+1 √ 2
Trang 3Bài 6 Không dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:
a) √ 17+ √ 26 và 9 b) √ 48 và 13− √ 35 c) √ 31− √ 19 và 6− √ 17
d) 9− √ 58 và √ 80− √ 59 e) √ 13− √ 12 và √ 12− √ 11 f) √ 7− √ 21+4 √ 5 và
√ 5−1
g) √ 5+ √ 10+1 và √ 35 h) 15−2 3 √ 10 và √ 15 i) ⏟ √ 4+ √ 4+ √ 4+ + √ 4
Bài 7 Các số sau đây số nào có căn bậc hai số học? (giải thích)
BÀI 2 CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC √ A2=| A|
LÝ THUYẾT
I ĐỊNH NGHĨA
Nếu dưới dấu căn là một biểu thức A có chứa biến và hằng; ta gọi √ A là căn thức bậc hai; A là biểu
thức dưới dấu căn
Ví dụ 1 √ 3x+2; √ 4x2+ y ; √ 9−2 √ 3
II ĐIỀU KIỆN ĐỂ √ A CÓ NGHĨA
√ A xác định (hay có nghĩa) ⇔A≥0 (A không âm)
Ví dụ 2 Tìm điều kiện có nghĩa của:
Giải
a) (Điều kiện xác định) ĐKXĐ: −2x−8≥0⇔−2x≥8⇔ x≤−4
b) ĐKXĐ: −3 (4−3x )≥0 ⇔ 4−3x≤0⇔−3x≤−4 ⇔ x≥3
4
c) Vì x2+2x+2= ( x2+2x +1 ) +1=(x +1)2+1≥1>0, ∀ x nên ĐKXĐ: ∀x∈R
* Chú ý
1) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:
a) A ( x ) là biểu thức nguyên ⇒ A ( x ) luôn có nghĩa
b)
A ( x)
B ( x) có nghĩa ⇔ B ( x ) ≠0
c) √ A ( x ) có nghĩa ⇔ A ( x ) ≥0
d)
1
√A(x) có nghĩa ⇔ A ( x)>0
2) Với A >0 ; ta có:
X2= A2⇔| X|= A ⇔[ X= A
X=− A
X2≤ A2⇔| X|≤ A ⇔− A≤X ≤A
X2≥ A2⇔| X|≥ A⇔[ X≥ A
X≤− A
Ví dụ 3 Tìm điều kiện xác định của:
Trang 4a)
Giải
a) ĐKXĐ:
x2−3>0⇔ x2>3⇔ x2> ( √ 3 )2⇔[ x> √ 3
x<− √ 3
b) ĐKXĐ:
1
5−x2>0⇔ 5−x2
>0⇔ x2<5⇔ x2
<( √5)2⇔−√5 < x<√5
III HẰNG ĐẲNG THỨC √ A2=| A|
√ A2=| A|= { − A A
khi A≥0 khi A <0
Ví dụ 4 Tính:
Giải
a) √x6=√ (x3)2=|x3|={ x3
−x3
khi x≥0
khi x <0
b) √ ( √ 5−2 )2=| √ 5−2|= √ 5−2 (vì √ 5−2= √ 5− √ 4>0 )
c) √ 4+2 √ 3= √ ( √ 3 )2+2 √ 3+12= √ ( √ 3+1 )2=| √ 3+1| (vì √ 3+1>0 )
BÀI TẬP
Bài 8 Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:
a) √ −5x +2 4 b) √ 3x+1 1 c) √ −2x+15 −3
1
8−x
x
g) √x−2+ 1
12
Bài 9 Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:
a) √ ( 2x−3 ) ( 3x−2 ) b) √ 3x+4
1
√x2−8x+15
d) √ 35−x2+2x e) √ − x2+4x−4 f)
1
√9x2−6x+1
g) √ x2−8x+18 h) √ − x2−2x−1 i) √ 5x2−4x−8
m) √ | x−2|−4 n) √ 2−|x−3| o) √ −| x+1|−3
Bài 10 Rút gọn các biểu thức sau:
a) √ ( 3− √ 5 )2 b) − √ ( 1− √ 5 )2 c) − √ ( √ 2− √ 5 )2
d) √ ( 3 √ 3−2 √ 7 )2 e) √ ( 3− √ 7 )2− √ ( 2 √ 7−6 )2 f) √ ( √ 2− √ 3 )2− √ ( 2 √ 3−3 √ 2 )2
Trang 5Bài 11 Rút gọn các biểu thức sau:
a) √ 7−4 √ 3+ √ 4−2 √ 3 b) √ 3−2 √ 2+ √ 6−4 √ 2 c) √ 9−4 √ 5− √ 14−6 √ 5
d) √ 32−10 √ 7− √ 43−12 √ 7 e) √ 13−4 √ 3− √ 16−8 √ 3
Bài 12 Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5 √ 25x6 với x≥0 b) −5 √ ( −4x )6 với x<0
c) 5 √ ( x−3 )2 với x≥3 d) −2 √ ( x+5 )2 với x<−5
e) 2 √ ( x−1 )2−5x+5 với x<1 f) √ 25 ( x−2 )2+3x−6 với x≥2
g) 9 √ ( x+1 )4+3 ( x+1 )2 h) 5 √ 4 ( x−4 )6−3 ( x−4 )3 với x<4
Bài 13 Rút gọn các biểu thức sau:
a) 3x− √ 9x2−6x +1 b) √ −4x2+ 4x−1
c)
√x2−10x+25
x−2
e) √ (3x−2)2+√9x2−12x+4
3x−2 f) √ x4( x−1 )2 (với x<0 )
g) √ x2−2x+1
x−1
√y−1√ (y−2√y+1)2
(x−1)4
Bài 14 Thu gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a) √ 9x2−12x +4−6x−1 với x=
1 2
b) √ 4a4− 4a2+1− √ a4−6a2+9 với a= √ 2
c) x+ y+ √ x2−2xy+ y2 với x=1− √ 3; y=1− √ 5
d) x−2y− √ x2−4xy+4y2 với x= √ 5−1;y= √ 2−1
e) √ x2−8x +16− √ x2−4x +4 tại x=3 √ 2−1
f) √ x+2 √ x−1+ √ x−2 √ x−1 tại x=2 √ 7+9
BÀI 3 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN – CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
LÝ THUYẾT
1) Nếu A≥0; B≥0 thì √ A B= √ A. √ B
2) Nếu A≥0; B >0 thì √ B A =
√ A
√ B
Ví dụ 1 Tính:
a) √ 121.16.0,25 b) √ 1 9
16
Giải
a) √ 121.16.0,25= √ 121. √ 16. √ 0,25=11.4.0,5=22
b) √ 1 9
16 = √ 25 16 =
√ 25
√ 16 =
5 4
Ví dụ 2 Phân tích thành tích:
Trang 6a) √ 21+ √ 14 b) √ a+b− √ a2− b2 (ĐK: a≥b≥0 )
Giải
a) √ 21+ √ 14= √ 7 √ 3+ √ 7 √ 2= √ 7 ( √ 3+ √ 2 )
b) √ a+b− √ a2− b2= √ a+b− √ ( a−b )( a+b ) = √ a+b− √ a−b. √ a+b= √ a+b ( 1− √ a−b )
Ví dụ 3 Tính: A= √ 38−12 √ 10− √ 22−4 √ 10
Giải
A= √ 38−12 √ 10− √ 22−4 √ 10
= √ ( 2 √ 5 )2− 2.2 √ 5.3 √ 2+ ( 3 √ 2 )2− √ ( 2 √ 5 )2−2.2 √ 5 √ 2+ ( √ 2 )2
¿ √ ( 2 √ 5−3 √ 2 )2− √ ( 2 √ 5− √ 2 )2=| 2 √ 5−3 √ 2|−|2 √ 5− √ 2|
= ( 2 √ 5−3 √ 2 ) − ( 2 √ 5− √ 2 ) (do 2 √ 5−3 √ 2>0⇔2 √ 5>3 √ 2⇔20>18 và 2 √ 5− √ 2>0 )
=−3 √ 2+ √ 2=−2 √ 2
BÀI TẬP
Bài 15 Phân tích thành nhân tử:
e) √ ax− √ by+ √ bx− √ ay ( a,b,x,y≥0 ) f) 7 √ ab+7b− √ a− √ b (a,b≥0)
g) a √ b−b √ a+ √ a− √ b (a,b≥0) h) √ x2−25y2− √ x−5y ( x≥5y≥0 )
i) ( √ a )3−3a+3 √ a−1 ( a>0 )
Bài 16 Tính (rút gọn):
a) 3 √ 7 ( 2 √ 7−3 )2 b) ( √ 2 3 − √ 3 2 )2
c) ( √ 3− √ 2 ) ( √ 6+2 ) d) √ 3 √ 2+2 √ 3 √ 3 √ 2−2 √ 3
e) ( 1− √ 2+ √ 3 ) ( 1+ √ 2− √ 3 ) f) ( 5+4 √ 2 ) ( 3+2 √ 1+ √ 2 )( 3−2 √ 1+ √ 2 )
g) √ 4+ √ 8. √ 2+ √ 2+ √ 2. √ 2− √ 2+ √ 2 h) √ 47+ √ 5. √ 7− √ 2+ √ 5. √ 7+ √ 2+ √ 5
i) √ 2+ √ 3. √ 2+ √ 2+ √ 3. √ 2+ √ 2+ √ 2+ √ 3. √ 2− √ 2+ √ 2+ √ 3
j) √ 31+ √ 2 √ 6+ √ 5+ √ 2 √ 3+ √ 3+ √ 5+ √ 2 √ 3− √ 3+ √ 5+ √ 2
Bài 17 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3 √ 7+7 √ 3
2 √ 5−4 √ 10
3 √ 10
c)
3− √ 7
3+ √ 7 −
3+ √ 7
√ 2−5
√ 2+5 ) : √ 2
23
Trang 7e)
√ 2 ( √ 2− √ 7 )2
√ 3 ( 3− √ 11 )2
√ 6 ( 3− √ 11 )
g)
( 5 √ 2+2 √ )( √ 3−3 √ 2 )
5 √ 7−4 √ 35+7 √ 5
√ 35
i)
6 √ 6−2 √ 12+3− √ 2
10 √ 18+5 √ 3−15 √ 27
√ 3 ( √ 6−4 )
Bài 18 Rút gọn các biểu thức sau:
a) √ 13+6 √ 4+ √ 9−4 √ 2 b) ( √ 3−1 ) √ 2 √ 19+8 √ 3−4
c) √ 5+2 √ 6+ √ 14−4 √ 6 d) √ 5−2 √ 6+ √ 11−4 √ 6
e) √ 23+6 √ 10+ √ 47+6 √ 10 f) √ 21−6 √ 10+ √ 21+6 √ 10
g) √ 49−20 √ 6+ √ 106+20 √ 6 h) √ 83−20 √ 6+ √ 62−20 √ 6
i) √ 302−20 √ 6+ √ 203−20 √ 6 j) √ 601−20 √ 6− √ 154−20 √ 6
Bài 19 Rút gọn các biểu thức sau:
a) √ 6−3 √ 3+ √ 2− √ 3 b) √ 15+5 √ 5− √ 3− √ 5
c) √ 24−3 √ 15− √ 36−9 √ 15 d) √ 2− √ 3− √ 2+ √ 3
e) √ 3− √ 5− √ 3+ √ 5 f) √ 9− √ 17+ √ 9+ √ 17
g) √ 7+ √ 13− √ 7− √ 13 h) √ 12−3 √ 7− √ 12+3 √ 7
Bài 20 Tính (rút gọn):
a) ( √ 3+ √ 5 ) ( √ 10+ √ 2 )( 3− √ 5 ) b) ( 4+ √ 15 )( √ 10− √ 6 ) √ 4− √ 15
c) ( √ 6+ √ 2 )( √ 3−2 ) √ √ 3+2 d) ( 2 √ 4+ √ 6−2 √ 5 ) ( √ 10− √ 2 )
f) √ 3− √ 5
√ 2+ √ 3 3+ √ 3 h) √ 4− √ 15+ √ 4+ √ 15−2 √ 3− √ 5
Bài 21
a) Thu gọn biểu thức A= √ 8+2 √ 10+2 √ 5+ √ 8−2 √ 10+2 √ 5
b) So sánh M= √ 4+ √ 7− √ 4− √ 7 và N= √ 2+ √ 3− √ 2− √ 3
c) Cho C= √ 45+ √ 2009 và E= √ 45− √ 2009 Chứng minh rằng: C+E=7 √ 2
d) Thu gọn biểu thức
D= √ 7+ √ 5+ √ 7− √ 5
√ 7+2 √ 11 − √ 3−2 √ 2
e) Thu gọn biểu thức E= √ √ 2+2−2 √ √ 2+1+1
f) Thu gọn biểu thức F= √ 3+ √ 2− √ 8 √ 2+8− √ √ 2+1
g) Thu gọn biểu thức
G= √ 1+2 √ 27 √ 2−38− √ 5−3 √ 2
√ 3 √ 2−4
Trang 8Bài 22 Rút gọn các biểu thức sau (với những giá trị của biến làm cho biểu thức có nghĩa):
a) √ ( a2+ b2−2ab )( a4+ b2−2a2b ) b)
ab+2 √ b
3 √ b :
3 √ b
ab−2 √ b
c)
√ x2+ y4−2xy2
x √ x +x− y2√ x− y2 d) 3y √ 4+xy−4 √ xy
9x2y2
Bài 23 Rút gọn các biểu thức sau:
c) C= √ 4x2−12x +9+2x−1 với x< √ 2 d) D= √ x−4 √ x−4 với 4≤x≤5
e) E= √ x−2 √ x−1+ √ x+3−4 √ x−1 với 2<x<5
f) F= √ 2x−1− √ x(3x−2)+ √ 6x−1+3 √ x (3x−2) với 32<x <1 )
Bài 24 Cho
A= √ x−1−2 √ x−2
√ x−2−1
a) Tìm x để A có nghĩa b) Tính A2 và rút gọn A
Bài 25 Cho a= 1+ √ 5
2 và b=
1− √ 5
2 Tính a5
+b5
Bài 26 Cho
B=√x +4√x−4 +√x −4√x−4
√1−8
x+
16
x2
a) Tìm x để B có nghĩa b) Rút gọn B
c) Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên