Giới hạn hàm số TOÁN HỌC PHỔ THÔNG BÀI TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ Bài tập 1... px xÑ8 lim..[r]
Trang 1Giới hạn hàm số
TOÁN HỌC PHỔ THÔNG BÀI TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài tập 1 Tính giới hạn sau: (Dạng 00)
1 lim
x Ñ 2
x2 5x 6
x 2 12x 20
2 lim
x Ñ 2
x3 3x2 2x
x 2 x 6
3 lim
x Ñ 1
x3 6x2 2x 3
x 4 2x 1
4 lim
h Ñ 0
p x h q 3 x3
h
5 lim
x Ñ 2
x3 8
x 2 4
6 lim
x Ñ 1
2x4 5x3 3x2 x 1
3x 4 8x 3 6x 2 1
7 lim
x Ñ 2
x4 16 2x 4
8 lim
x Ñ 1
1
1 x 3
1 x 3
9 lim
x Ñ 3
x 3
?
2x 10 4
10 lim
x Ñ 0
?
1 x x2 1 x
11 lim
x Ñ 0
?
5 x ?5 x x
12 lim
x Ñ 1
?
x 1
x 2 2x 3
13 lim
x Ñ 1
?
2x 1 ?x
x 1
14 lim
x Ñ 1
2x ?3x 1
x 2 1
15 lim
x Ñ 4
3 ?5 x
1 ?5 x
16 lim
x Ñ 1
3
?
5x 3 x 1
?
x 8 ?3x 6
17 lim
x Ñ 3
?
x ?3 ?
x 3
?
x 2 9
18 lim
x Ñ 1
3
?
x 1
?
x 1
19 lim
x Ñ 0
?
3x 4 ? 3
8 5x x
20 lim
x Ñ 0
?
1 2x ? 3
1 3x
x 2
21 lim
x Ñ 1
x3?3x 2
x 1
22 lim
x Ñ 1 3
?
x 7 ?5 x 2
x 1
23 lim
x Ñ 0
2 ?
1 x ? 3
8 x x
24 lim
x Ñ 1
?
5 x 3 ? 3
x 2 7
x 2 1
25 lim
x Ñ 0
?
1 2x ?3
1 3x ?4
1 4x 1 x
26 lim
x Ñ 0
sin x 3x
27 lim
x Ñ 0
sin p x q
sin 5x
28 lim
x Ñ 0
tan 7x 11x
29 lim
x Ñ 0
tan 9x tan 6x
30 lim
x Ñ 0
1 cos 3x
x 2
31 lim
x Ñ 0
1 ?2x 2 1
1 cos x
32 lim
x Ñ 0
1 cos x cos 2x cos 3x
x 2
33 lim
x Ñ 0
p a x q sin p a x q a sin a
x
34 lim
x Ñ 0
2sin2x sin x 1 2sin2x 3 sin x 1
35 lim
x Ñπ
4
1 cot3x
2 cot x cot3x
36 lim
x Ñ 0
1 sin ax cos ax
1 sin bx cos bx
37 lim
x Ñ 0
?
2x 1 ? 3
x 2 1 sin x
38 lim
x Ñ 0
x2
?
1 7x 2 ?cos 4x
39 lim
x Ñ 1
x3 x2 2 sin p x 1 q
40 lim
x Ñ 1
?
x 3 ? 3
3x 2 5 tan p x 1 q
41 lim
x Ñ 0
1 ?4x 2 1
1 cos 4x
42 lim
x Ñ 0
?
1 tan x ?1 sin x
x 3
43 lim
x Ñ 0
x2
?
1 x sin 3x ?cos 4x
44 lim
x Ñ 0
1 cos 3x cos 5x cos 7x
sin27x
45 lim
x Ñ 0
?
1 x 2 cos x
x 2
46 lim
x Ñ 1 3
?
x 1 4
?
x 1
47 lim
x Ñ 1 4
?
2x 1 ?5
x 2
x 1
48 lim
x Ñ 2
2x 23x 6
?
2x 21x
49 lim
x Ñ a
xn an
x a
50 lim
x Ñ 1
x x2 xn n
x 1
51 lim
x Ñ 1
xn nx n 1
p x 1 q 2
52 lim
x Ñ 0 n
?
1 ax 1
x , a 0
53 lim
x Ñ 1
n
1 x n 1
1 x
Trang 2
Bài tập 2 Tính giới hạn sau: (Dạng 8
8)
Quy ước khi viết x Ñ 8 ta hiểu là x Ñ 8 hoặc x Ñ 8
1 lim
x Ñ8
2x3 3x2 1
5x 3 6
2 lim
x Ñ8 x
2 2x 1
x 3 3x
3 lim
x Ñ8 1 x4x
4
x 2 x 1
4 lim
x Ñ8
3x2 2x 1 p2x1qp4x3x22 x 2q
5 lim
x Ñ8
p x 1 qp x 2 qp x 3 qp x 4 qp x 5 q
p 5x 1 q 5
6 lim
x Ñ8 ?x 3x 2 1
7 lim
x Ñ8
?
9x 2 1 ? 3
x 2 4 4
?
16x 4 3 ? 5
x 4 7
8 lim
x Ñ8
p 2x 3 q 2 p 4x 7 q 3
p 3x 2 1 qp 10x 2 9 q
9 lim
x Ñ8
p 2x 3 q 20 p 3x 2 q 30
p 2x 1 q 50
10 lim
x Ñ8
p x 1 qpx2 1q p xn 1 q
rp nx q n 1sn 12
11 lim
x Ñ8
?
x 2 2x 3x
?
4x 2 4 x 2
12 lim
x Ñ8
4
?
x 5 1 ? 3
x 2 2 4
?
x 4 1 ?x 3 2
13 lim
x Ñ8
?
x 2 1 x
Bài tập 3 Tính giới hạn (Dạng : 8 8)
1 lim
x Ñ8
?
x2 x x
2. lim
x Ñ 8
a
x ?
x?x
3 lim
x Ñ8
?
x2 x 3 x
4 lim
x Ñ8
3
?
x3 3x2?x2 2x
5 lim
x Ñ8
?
x2 4x 1 ?x2 9x
6 lim
x Ñ8
?
x2 7x 1 ?x2 3x 2
7 lim
x Ñ8
?
x2 2x 1 ?x2 6x 3
8 lim
x Ñ8
x 4 ?x2 7x 2
9 lim
x Ñ8
2x 1?4x2 4x 3
10 lim
x Ñ8
?
4x2 x 5 2x 1
11 lim
x Ñ8
x ?3
1 x2
12 lim
x Ñ 1
m
1 x m n
1 x n
,pm, n P Nq
13. lim
x Ñ 8
b
x a
x ?
x?x
14 lim
x Ñ8
3
b
px 1q2b3
px 1q2
Bài tập 4 Tính giới hạn (Dạng:0 8)
1 lim
x Ñ8
x?
x2 5 x
2 lim
x Ñ8 x ?3 2
x 3 1 3x2 x 1
3 lim
x Ñ 1p1 xq tan πx
2
4. lim
x Ñ 8p1 2xqb3x 1
x 3 1
5. lim
x Ñ8px 2qb 4x 1
p x 1 qp x 2 2x q
Trang 3Giới hạn hàm số
6 lim
x Ñ8
x?
4x2 9 2x
7 lim
x Ñ8
x2?
3x4 5?3x4 2
8 lim
x Ñ8
x?
4x2 5?3
8x3 1
9 lim
x Ñπ
4
tan 2x tan π
4 x
10 lim
x Ñ a
a2 x2
tanπx
2a
11 lim
x Ñ8
x2
21x 21x 2
Bài tập 5 Tính các giới hạn một bên sau:
1 lim
x Ñ 1
x2 2x 1
| x 1 |
2 lim
x Ñ 1
2x 4
x 1
3 lim
x Ñ 3
|x2 9|
x 2 2x 3
4 lim
x Ñ 3
|x2 9|
x 2 2x 3
5 lim
x Ñ 1
x2 x 1
x 1
6 lim
x Ñ 1 2
4x2 3x 1 2x 1
7 lim
x Ñ 3
x2 3x 1
x 3
Bài tập 6 Tính giới hạn một bên của hàm số sau:
fpxq
# 2x 3 nếu x ¥ 1
x3 2x 1
x 2 1 nếu x 1 tại điểm x 1
Bài tập 7 Tính giới hạn kẹp:
1. lim
x Ñ 8
2x sin2x 5 cos 2x
x 2 3
2 lim
x Ñ 0x2cos 1x
3. lim
x Ñ 8
?
x 1 ?
x
x 1 ?
x
4. lim
x Ñ 8
x2 5 cos x
x 3 1
5 lim
x Ñ8
x sin x 2x 2 1
6. lim
x Ñ8
sin 2x 2 cos 2x
x 2 x 1
7 lim
x Ñ 0
x2sin 1x
Bài tập 8 Xét tính liên tục của hàm số sau:
1 fpxq
#
x2 1
x 1 nếu x 1
2 nếu x 1 tại x 1
2 f pxq |x|
3 f pxq ?4 3x x2 trên đoạnr4; 1s
4 fpxq
# sin πx
2 nếu x ¤ 1
x2 1
2 p x 1 q nếu x¡ 1
5 f pxq
# 2ax2 3x 2 nếu x ¤ 1
3x 4 nếu x ¡ 1
6 f pxq
$ ' '
sin x cos x nếu x 0
a sin x π
6
nếu 0¤ x π
3
b cos x nếu x ¥ π
3
Trang 4Bài tập 9 Tìm a, b để hàm số f pxq
$ ' '
ax2 bx 3 nếu x 1
5 nếu x 1 2x 3b nếu x ¡ 1
liên tục tại x 1
Bài tập 10 Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên R:
f pxq
$ ' '
2 sin x cos x nếu x 0
a sin x π
6
nếu 0 ¤ x π
2
b cos x π
6
nếu x ¥ π
2
Bài tập 11 Chứng minh rằng phương trình:
1 x4 5x 2 0 có ít nhất một nghiệm.
2 x3 3x2 1 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3 x3 ax2 bx c 0 với 4a 8b 21c 2 0 luôn có nghiệm x0 P 0; 12
4 x4 7x3 20x 15 0 có ít nhất 2 nghiệm.
5 x2 a sin x b với a ¡ 0, b ¡ 0 có nghiệm x0 P p0; a bs
6 x5 5x3 4x 1 0 có đúng 5 nghiệm.
7 4x4 2x2 x 3 0 có ít nhất 2 nghiệm trong p1; 1q
8 2x3 6x 3 0 có ít nhất 3 nghiệm trong p2; 2q
9 x2cos x x sin x 1 0 có ít nhất một nghiệm trongp0; πq
10 3 sin x 4 cos x mx 2 0 có nghiệm với mọi m
11 x3 x 1 0 có ít nhất 1 nghiệm âm lớn hơn 1
12 m2 m 1
x4 2x 2 0 luôn có nghiệm với mọi m
13 1 m2
x5 3x 1 0 luôn có nghiệm với mọi m.