giới hạn hàm số và ứng dụng đạo hàm

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ xKhi đó số gia đối số.

Phần 1: Khái niệm và các kí hiệu.

x

x x

 − = + =

 − ÷

x x

x x

1

x

x x

1lim

1

x

x x

t t

1lim

1

x

x x

1

x

x x

Phần 2: Các công thức của giới hạn hàm số

2

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

2 0 3

3sin

3

x x

x x

Ví dụ 14: 22

Ví dụ 33:

2 2

3 2

e x

0

1lim

1 Khái niệm về số gia đối số và số gia hàm số.

Cho hàm số y = f x( ) có tập xác định là D với x o thuộc D

Cho x o một số gia đối số ∆ x

Cho x o=-1 một số gia đối số ∆x

Khi đó số gia hàm số ∆ =y f x( o + ∆ −x) f x( )o = f (∆ + −x 2) f ( )2 = − ∆ + + − −3( x 2) 3 ( 3.2 3+ = − ∆) 3 x

Ví dụ 5: Cho y= f x( ) = x3

Tính số gia hàm số ∆y tại x o =2

GiảiCho x o =2 một số gia đối số ∆x

Khi đó số gia hàm số ∆ =y f x( o + ∆ −x) f x( )o == f (∆ + −x 2) f ( ) (2 = ∆ +x 2)3−23= ∆x(12 6+ ∆ + ∆x x2)

Ví dụ 6: Cho y= f x( ) = −x3

Tính số gia hàm số ∆y tại x o = −2

GiảiCho x o = −2 một số gia đối số ∆x

Khi đó số gia hàm số ∆ =y f x( o + ∆ −x) f x( )o = f (4+ ∆ −x) f ( )4 = (4+ ∆ −x) 4 = (4+ ∆ −x) 2.

Ví dụ 13: Cho y= f x( ) = 3 x

Tính số gia hàm số ∆y tại x o =1

GiảiCho x o =1 một số gia đối số ∆x

Khi đó số gia hàm số∆ =y f x( o+ ∆ −x) f x( )o = f (1+ ∆ −x) f ( )1 = ∆ + −3 x 1 1

Ví dụ 14: Cho y= f x( ) = 4 x

Tính số gia hàm số ∆y tại x o =1

GiảiCho x o =1 một số gia đối số ∆x

Khi đó số gia hàm số ∆ =y f x( o + ∆ −x) f x( )o = f (1+ ∆ −x) f ( )1 =41+ ∆ −x 1

Ví dụ 15: Cho y= f x( ) =2

Tính số gia hàm số ∆y tại x o = −1

GiảiCho x o = −1một số gia đối số ∆x

Khi đó số gia hàm số ∆ =y f x( o + ∆ −x) f x( )o = f (∆ − −x 1) f ( )− = − =1 2 2 0

Ví dụ 16: Cho y= f x( ) =10

Tính số gia hàm số ∆y tại x o = −2

GiảiCho x o = −2 một số gia đối số ∆x

Khi đó số gia hàm số ∆ =y f x( o + ∆ −x) f x( )o = f (∆ − −x 5) f ( )− = − =5 c c 0

Ví dụ 22: Cho y= f x( ) =tanx

Khi đó số gia đối số ∆ =y f x( o+ ∆ −x) f x( )o = f (∆ + −x 1) f ( )1 =e∆ +x 1− =e e e( ∆x +e).

Ví dụ 25: Cho y= f x( ) = −e−x

Tính số gia hàm số ∆y tại x o = −1

GiảiCho x o = −1 một số gia đối số ∆x

GiảiCho x o =1 một số gia đối số ∆x

∆ nếu tồn tại và duy nhất thì được gọi là

đạo hàm của hàm số y= f x( ) tại điểm f x'( )o hoặc y x'( )o .

Bài tập 1: Cho hàm số y= f x( ) =x2 tính đạo hàm của hàm số tại x o

trong các trường hợp sau :

c, Cho x o = −1một số gia đối số ∆x

Tính f ' 1 ; ' 1 ; ' 0( ) ( ) ( )− f f

Bài giải,

a Cho x o = −1một số gia đối số ∆x

b Cho x o =1 một số gia đối số ∆x

c Cho x o =0 một số gia đối số ∆x

Tính f ( ) ( ) ( )1 ;f 0 ; f −1

Bài giảiCho x o =1 một số gia đối số ∆x

Tính f ' 1 ; ' 0 ;( ) ( ) ( )f f −1

Bài giảiCho x o =1 một số gia đối số ∆x

Vậy f ' 2( ) = −2.Cho x o =0 một số gia đối số ∆x

22

Vậy f ' 1( ) =2.Cho x o = −1 một số gia đối số ∆x

=Bài tập 15: Cho y= f x( ) = x.Tính f ' 1 ; ' 4( ) ( )f

Bài giảiCho x o =1 một số gia đối số ∆x

Khi đó số gia đối số ( ) ( ) ( ) ( ) 3

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ x

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ x

Khi đó số gia đối số ( ) ( )

x

=Bài tập 27: Cho y= f x( ) =sinx

Khi đó số gia hàm số ∆ =y f x( o + ∆ −x) f x( )o = f ( )∆ −x f ( )0 =sin∆ −x sin 0 sin= ∆x

Ta có : lim0 lim0sin 1

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ x

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ x

Khi đó số gia hàm số ( ) ( ) sin sin 2cos sin

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ x

Khi đó số gia hàm số ( ) ( ) cos cos 2sin sin

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ x

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ x

y

x

=Bài tập 32: Cho y= f x( ) =cotx

4

o

x = −π

một số gia đối số ∆x

Khi đó số gia hàm số ( ) ( ) cot cot sin( )

x y

x y

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ x

y

x

= −Bài tập 33: Cho y= f x( ) = −tanx

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ x

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ x

y

x

=Bài tập 35: cho y = f x( ) =e x

Tính f ' 1 ; ' 0 ; ' 1( ) ( ) ( )f f −

Bài giảiCho x o =1 một số gia đối số ∆x

Ta có: ( )

1 lim lim

x x

x

e e y

Tổng quát: Cho x một số gia đối số ∆ x

Khi đó số gia hàm số y f x ( x ) f x ( ) a(∆ +x x) ax a ax( ∆x 1 ) a ex loga e∆x 1  a ex( ∆x aln 1 )

Khi đo số gia hàm số ∆ =y f x( o + ∆ −x) f x( )o = f (∆ + −x 1) f ( )1 =ln(∆ + −x 1) ln1 ln= (∆ +x 1)

Vậy f ' 1( ) =1Cho x o =e một số gia đối số ∆x

=Bài tập 40: Cho y= f x( ) = −lnx

1, Quy tắc đạo hàm của một tổng và hiệu

Bài toán 1: Cho hàm số y = f x( ) =u x( ) ( )+v x

Tính y x'( )

Bài giảiCho x một số gia đối số ∆x

B2, Giả sử ( )1 đúng với n=k nghĩa là ta có ( )x k =k x k−1

B3, Ta đi chứng minh ( )1 đúng với n k= + 1

Nghia là ta phải chứng minh ( )x k+1 ' =(k+1)x k

b y= −3x5+4x4+6x2−7x+8

Bài giải,

Nếu f x'( ) > ∀ ∈0 x D thì y= f x( ) đồng biến trên D

Nếu f x'( ) < ∀ ∈0, x D thì y= f x( ) nghịch biến trên D

x y

2

x y

1

x y

6

x y

1

x y

x y

x y

x y

x y

1' 0

x y

x y

Ta có y' 0> ⇔ < ⇒x 0 hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0)

02x

21

x x

y

x x

4x 3'

2

x y

5 Cực trị hàm số

* Cực trị bao gồm cực đại hoặc cực tiểu

Định lý: Cho hàm số y = f x( ) có tập xác định D với x o∈D

Hàm số y= f x( ) đạt cực đại tại x= x o nếu f x'( ) đổi dấu từ ( )+ sang ( )− khi đi qua x o

Hàm số y= f x( ) đạt cực tiểu tại x=x o nếu f x'( ) đổi dấu từ ( )− sang ( )+ khi đi qua x o