Sổ tay tự học lớp 11 ( hay - soạn kỹ)

Giải và biện luận hệ bất phương trình trên theo a Bài toán trở thành: Tìm m để với mọi x, đồ thị của hàm số y = luôn luôn không nằm... Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số d

NIÊN KHÓA : 2008 – 2009

NGƯỜI THỰC HIỆN : NGÔ PHẠM TUÂN

LỚP : 11A1

Phần I: PHƯƠNG TRÌNH HÀM

1 Phương trình dạng f A  B

* Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt A = t;

Bước 2: Suy ra x theo t;

Bước 3:Rồi thay vào A, B

t t

t

2

1 1 1 1 1 ) (    

1

) 0 ( 1

1 )

(

2 2

t t

t t

t t

t t

2

44

)

(

x

x x

**VD4: Tìm hàm số f x biết rằng  

1

1 2

1 3

Bước 2: Từ 2 phương trình đã cho suy ra f A hoặc  f B ta trở lại dạng 1. 

**VD1: Tìm f x nếu biết với    x 0, thì f x  2f 1 x

1

= 2f(x) + x

1 f

x

= x

1 2f +

3 Hệ phương trình:

Bước 1: Từ 1 trong 2 phương trình, thay các giá trị thích hợp để có phương trình khác.

Bước 2: Từ 2 phương trình này thu được f(A) hoặc g(A)

Nhiều bài toán cũng phải xác định từng bước

N Z Q R Riêng Q R cần thêm tính liên tục của hàm số

**VD1: Cho hàm số f xác định với mọi x  R và:

a lấy y = 0 thì ta có: f(x)[f(0) – 1] = 0 với mọi x

vì f không đồng nhất không nên suy ra f(0) = 1

Lại lấy x và y đều bằng

+ Nếu f(1) = 1 : ta có với mọi x R, f( x + 1) = f(x) + 1

Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra : f(n) = n với mọi n  Z

Sau cùng với tính liên tục ta được  x R : f(x) = x

Vậy có 2 hàm số thoả mãn điều kiện đề bài : f(x) = 0 ; f(x) = x với  x R

5.Phương pháp chọn giá trị đặc biệt:

Phát hiện một số giá trị đặc biệt làm cơ sở ban đầu cho phép ta tìm được hàm số

f(1)f(x)





(x  1)  xf(x) = f(1)

Lấy x = 0 thì thu được f(1) = 0  với  x  -1, 0 : f(x) = 0

Hơn nữa thay vào hệ thức ban đầu x = 2 ; y = 0 thì thu được :

f(0) =

02

f(0)f(2)

a Nếu f(1) = 0 thì lấy trong hệ thức y = 1, thì có f(x) = 0

b Nếu f(1) = 1 lại lấy y = 1, thì có:

**VD3: cho hàm số có tính chất sau:

(ii) : f(0) =

2

1

(2)Chứng minh rằng f là hàm số hằng

Giải:

Cho x = y = 0 thì : f(0) = f(0).f(a) + f(0).f(a)  f(a) =

2 1

Cho y = 0 thì : f(x) = f(x)f(a) + f(0)f(a – x)  f(x) = f(a – x),

Và f(x + y) = 2f(x)f(y)

Lấy y = a thì f(x + a) = f(x);

Lấy x = -x trong (1) thì được : f(-x) = f(a + x) = f(x)

Lấy y = -y trong hệ thức đề bài thì :

f(x – y) = f(x)f(a + y) + f(-y)f(a – x) = 2f(x)f(y)

0

lim

x x rn = x0

f(x) liên tục trên [a, b] và f(x) 0 mọi x [a, b] thì f(x) > 0 hoặcf(x) < 0 mọi x [a, b]

f(x) liên tục và đơn ánh trên [a, b] thì f(x) đơn điệu trên [a, b]

**VD1: tìm hàm số liên tục f(x) thỏa mãn điều kiện f(x2).f(x) = 1 với mọi x R

 tương tự với x 1 :

1

x f x

f

x x

f

1 ) (

1 ) (

**VD2: Cho  R  1 tìm tất cả các hàm số f(x) xác định và liên tục trên

R+ thoả mãn điều kiện : f(x) = f(x) với mọi x R+

Giải:

* nếu  < 1 thì theo giả thiết ta có:

f(x) = f(x ) =…………= f( n

x ) ,  x3+ ;  n  Nsuy ra : f(x) =

7 Phương pháp thế:

Phương pháp thế là phương pháp hay sử dụng khi giải các phương trình hàm, đặc biệt

là phương trinhg với cặp biến tự do Nội dung cơ bản của phương pháp này là ta thay các biến bởi các giá trị đặc biệt điều quan trọng phải lưu ý là giá trị các bién này phải thuộc tập xác định của hàm số và phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc giữa các biến nếu có Một vài chú ý:

 Nếu hệ thức đã cho có tính đối xứng giữa các biến thì cố gắng hoán vị các biến với nhau

 Nên sử dụng các phép thế có thể giản ước được 2 vế của phương trình hàm Từ đó ta được 1 đẳng thức đơn giản hơn

 Nếu đã có f(x3) = (f(x))3 hoặc f(x3) = x2f(x) thì nên sử dụng phép thế x bởi x + y rồi sosánh 2 vế

 Trong trường hợp có f(g(x)) = g(x) thì cố gắng tìm các bất động của hàm f

 Nếu 1 vế có chứa f(x) và vế còn lại chứa biến x bên ngoài thì thông thường f là hàm

**VD1: tìm tất cả các hàm f : R  R thỏa mãn điều kiện :

Hay b = f(xf(a) + x) = ax + f(x)  f(x) = -ax + b

Thay biểu thức của f(x) vào phương trình hàm đã cho ta có :

0 ) 1 (

f f

x khi a

x khi

0

0

f

f

Khi đó xf(y) + yf(x) = ax và (x + y)f(x)f(y) – (x + 0)1.a = ax

Vậy hàm số trên thỏa mãn hệ thức (2)

Phần II: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ

a y

x

2 2 2 2

) 1 (

) 1 (

1 (

) 1 ( )

1 (

2 2 2 2

a y x

a y x

Và dĩ nhiên chỉ xét khi a 0 (vì nếu a > 0 thì hệ (1); (2) hiển nhiên vô nghiệm)

Vì (1) biểu diễn đường tròn tâm O1(0; -1) bán kính R = a , còn (2) biểu diễn đường tròn O2 (-1; 0) bán kính R = a Do vậy hệ (1) (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2 đường tròn trên tiếp xúc ngoài với nhau, tức là khi và chỉ khi

1

) 1 ( 0

Do vậy suy ra kết quả sau:

1 Nếu m > 1: phương trình vô nghiệm

2 Nếu m = 1: phương trình có 2 nghiệm

3 Nếu 0 < m < 1: phương trình có 4 nghiệm

4 Nếu m = 0: phương trình có 3 nghiệm

5 Nếu m < 0 : phương trình vô nghiệm

3 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2 2

y x y

Vậy đồ thị y = 4  x2 là nửa đường tròn trên (phần nằm trên trục hoành) với tâm tại gốc tọa độ Bán kính 2 còn y = mx + 2 – m = m(x – 1) + 2 là đường thẳng với hệ số góc bằng m và mọi m luôn đi qua điểm A(1; 2) Xét đường thẳng sau với m0 0

khi đó hệ số góc của đường thẳng AB là

3

2

, còn của đườg thẳng AC là -2

Từ đó dựa vào đồ thị suy ra

- phương trình có 2 nghiệm khi

8 4 3

2 2

4 (

) 2 (

) 3 ( 0

; 0

) 2 ( 9

3

) 1 ( 2

y x

y x

Rõ ràng chỉ cần xét khi m  0 vẽ hệ trục tọa độ xOy dễ thấy các điểm M(x; y) thỏa mãn (1) (2) (3) là tứ giác ABCD được biểu diễn trong hình dưới đây, với A(1; 0) ;

B(0; 2) ; C(0; 3) ; D(9; 0) 0)

B O 1 C x

Dx

1

E2

Bài toán đã cho trở thành: tìm m để đường tròn (4) (tức là đường tròn tâm O1(2; 4) và bán kính m) có điểm chung tứ giác ABCD.

1

9 4 3 2

) 1 ( 2

2 2 2

y x

a y

Ta nhận thấy x2 + y2 = 2(1 + a) với a > -1 là đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng 2 ( 1 a) ; còn (x + y)2 = 4 là 2 đường thẳng đối xứng x + y = 2 và x + y = -2.

-2

2

x2

yx2

x + y = -2

x + y = 2

6 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

1

) 3 ( 3

1

) 2 ( 4

) 1 (

2 2

v u v u

m v

Vậy đường thẳng MN có phương trình u + v = 3 + 1, còn tiếp tuyến của đường tròn trên // với MN có phương trình u + v = 2 2(dễ thấy OF = 2 2 vì là cạnh huyền của tam giác vuông có cạnh bằng 2)

Những điều thỏa mãn (1) được biểu diễn bằng miền gạch trong trong trên.từ đó (1) có nghiệm nguyên duy nhất là (1; 1)

hệ (1) (2) (3) (4) có nghiệmm khi và chỉ khi đường thẳng (1) cắt cung nhỏ MN, tức là đường thẳng u + v = m nằm giữa 2 đường thẳng

y x

2 cos 2

cos

2

1 sin sin

; 1

) 2 ( 2

2

) 1 ( 2

2 2

v u

m v

u

v

u

Các điểm thỏa mãn (3) nằmh trong hình vuông MNPQ( xem hình vẽ) như vậy cần tìm m

để đường tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính R =

2

2 m

phải cắt phần đường thẳng

2 8

4

7 2 1

4

5 2

2 8 1

PN

B

A

CO

-xy

8 Định k để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

k x

x

2 1

2 1 4 2 2

nghiệm số của phương trình là hoành độ giao điểm của đường thẳng (D): y = 2k với 2 parabol (P1) : y = x2  4x 1 ; (P2 ) : y = x2  1

Ta thấy (P1) và (P2) tiiếp xúc nhau tại điểm A(1; 2)

điều kiện để phương trình có 4 nghiệm phân biệt là (D) cắt (P1) và (P2) tại 4 điểm phân biệt muốn thế theo đồ thị ta phải có:

k

2 -2

2 3 5

A

2x 2

= 5a – 8x – 2x2 (1)

2 11

5

2 2

1 2

5 4

5

2 2

2 8

5 2 3

2

2 2

1 2

8 5

2 3

2 (1)

2

2 2

2 2

x x

a

x x

x x

a

x x

x a

x x

x x

x x

a x

x

nghiệm số của phương trình là hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) : y = 5a (cùng

phương với x’x) với parabol (P): y = 4 2 5 2

; 8

) 2 ( ) 1 ( 2

) 1 ( 0 10

4 5 9 4 5

2

2 2

a a x a x

x x x

x x

) 2 )(

(

) ' 1 ( 4

1

1

a x

a

x

x x



Trong hệ trục tọa độ Oxa, tập hợp (E) các điểm M(x; a) thỏa (1’) và (2’) gồm điểm A, B,đoạn CE và đoạn DF như hình vẽ điều kiện để hệ trên có nghiệm là đường thẳng

a =  cắt (E) tại 1 điểm duy nhất Do đó ta được:

3 1

1

a a a

Bài 11: Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình sau:

2 2 4

2 2

Giải:

Trước hết, ta có nhận xét sau: Nếu (x0,y0) với x0 ≥ 0,y0 ≥ 0 là một nghiệm nguyên của hệ, thì (x0,-y0), (-x0,y0), (-x0,-y0) cũng là nghiệm nguyên của hệ, vì vậy ta chỉ cần tìmnghiệm nguyên của hệ sau:

E1

F14

; 0

) 2 ( 2

2

) 1 ( 4

y x

y x

y x y x

A(0,2) ; B(2,0) ; C(1,2) ; D(2,2);E(2,1)

Từ lập luận trên suy ra hệ đã cho có 16 nghiệm nguyên sau đây:

(0,2); (2,0); (1,2); (2,2); (2,1); (0,-2); (-2,0); (1,-2); (-1,2); (-1,-2); (2,-2); (-2,2); 2); (-2,1); (2,-1); (-2,-1)

(-2,-Bài 12:Giải bất phương trình :

k x

3

2

x x

2

x x x

x = 5

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 5

Bài 13: Giải và biện luận hệ bất phương trình sau theo a:

1 3 (

0 ) 2 )(

1 (

2 2

a a x a x x x

điểm (x,α) thỏa mãn hệ (1) (2) Nói cách khác, hình chiếu của phần giao ấy trên trục hoành chính là tập hợp nghiệm của hệ (1) (2), ứng với giá trị a = α.

Từ đó và từ đồ thị ta suy ra kết luận sau:

1 Nếu a < -1 : Hệ (1) (2) vô nghiệm

Xét hệ trục tọa độ Oxa, ta thấy ngay các điểm M(x, a) thỏa mãn hệ đã cho biểu diễn bằng miền gạch trong hình vẽ dưới đây

Từ đồ thị trên ta suy ra kết quả sau đây:

1 Nếu a > 0 : Hệ vô nghiệm

2 Nếu 0 ≤ a ≤ -1 : Nghiệm của hệ là 2a ≤ x ≤ -a

3 Nếu a < - 1 : Nghiệm của hệ là -2 ≤ x ≤ -1

Bài 15: Giải và biện luận theo a bất phương trình:

x ≤ a2 +

Giải:

Đặt X = x  a ≥ 0, khi đó viết lại bất phương trình đã cho dưới dạng

Vẽ hệ trục tọa độ xOa, khi đó các điểm M(X, a) thỏa mãn hệ (1) (2) được biểu diễn bằng miền gạch, trong hình sau:

Từ đồ thị trên ta suy ra:

O1O2 =  = 2  a =

2 1

Giải và biện luận hệ bất phương trình trên theo a

Bài toán trở thành: Tìm m để với mọi x, đồ thị của hàm số y = luôn luôn không nằm

Trước hết tìm m để nhánh phải của đồ thị y x  m tiếp xúc với parabol (P): y =

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, ta có hệ sau:

2 2 4

2 2

Giải:

Trước hết, ta có nhận xét sau: Nếu (x0,y0) với x0 ≥ 0,y0 ≥ 0 là một nghiệm nguyên của hệ, thì (x0,-y0), (-x0,y0), (-x0,-y0) cũng là nghiệm nguyên của hệ, vì vậy ta chỉ cần tìmnghiệm nguyên của hệ sau:

; 0

) 2 ( 2

2

) 1 ( 4

y x

y x

y x y x

A(0,2) ; B(2,0) ; C(1,2) ; D(2,2);E(2,1)

Từ lập luận trên suy ra hệ đã cho có 16 nghiệm nguyên sau đây:

(0,2); (2,0); (1,2); (2,2); (2,1); (0,-2); (-2,0); (1,-2); (-1,2); (-1,-2); (2,-2); (-2,2); 2); (-2,1); (2,-1); (-2,-1)

(-2,-Bài 7: Giải bất phương trình

k x

3

2

x x

2

x x x

x = 5

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 5

Bài 24: Giải và biện luận hệ bất phương trình sau theo a:

1 3 (

0 ) 2 )(

1 (

2 2

a a x a x x x

Giải:

Viết lại hệ đã cho dưới dạng sau đây

điểm (x,α) thỏa mãn hệ (1) (2) Nói cách khác, hình chiếu của phần giao ấy trên trục hoành chính là tập hợp nghiệm của hệ (1) (2), ứng với giá trị a = α.

Từ đó và từ đồ thị ta suy ra kết luận sau:

1 Nếu a < -1 : Hệ (1) (2) vô nghiệm

(x + 2)(x + a) ≤ 0

Giải:

Xét hệ trục tọa độ Oxa, ta thấy ngay các điểm M(x, a) thỏa mãn hệ đã cho biểu diễn bằng miền gạch trong hình vẽ dưới đây

Từ đồ thị trên ta suy ra kết quả sau đây:

1 Nếu a > 0 : Hệ vô nghiệm

2 Nếu 0 ≤ a ≤ -1 : Nghiệm của hệ là 2a ≤ x ≤ -a

3 Nếu a < - 1 : Nghiệm của hệ là -2 ≤ x ≤ -1

Bài 28: Giải và biện luận theo a bất phương trình

x ≤ a2 +

Giải:

Đặt X = x  a ≥ 0, khi đó viết lại bất phương trình đã cho dưới dạng

Vẽ hệ trục tọa độ xOa, khi đó các điểm M(X, a) thỏa mãn hệ (1) (2) được biểu diễn bằng miền gạch, trong hình sau:

Từ đồ thị trên ta suy ra:

O1O2 =  = 2  a =

2 1

Bài toán trở thành: Tìm m để với mọi x, đồ thị của hàm số y = luôn luôn không nằm

Trước hết tìm m để nhánh phải của đồ thị y x  m tiếp xúc với parabol y =

Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó.

Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm hai đồ thị của hai hàm số

và cắt nhau Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:

1) Lập bảng biến thiên của hàm số

2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số

không đổi dấu trên D, mà

Mặt khác:

phương trình có nghiệm

Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.

Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4]

Suy ra phương trình có nghiệm

Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số

thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên

Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

Giải:

Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước

(3)

Hệ có nghiệm có nghiệm Xét hàm số f(y) với

đồng biến trên các khoảng và

Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số

và Do đó phương trình có k nghiệm hai đồ thị trên cắt nhau tại kgiao điểm

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: Giải:

Xét hàm số

.Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình : có ba nghiệm phân biệt

Giải:

Xét hàm số

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : có đúng một

Ví dụ 9: Tìm m để hệ phương trình : có ba cặp nghiệm phân biệt

Giải:

phương trình )

Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn

.Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt

Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn

phụ trên miền xác định vừa tìm Cụ thể:

(2) Khi đó (1) có nghiệm (2) có nghiệm

* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm )

* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức làmỗi giá trị thì phương trình có bao nhiêu nghiệm ?

Ví dụ 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm.

Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm

Suy ra là hàm đồng biến trên

Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định

miền xác định của t Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t Chẳng hạn:

Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t :

Ở câu 3 để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:

Phương trình đã cho có nghiệm trên có nghiệm

Xét hàm số với , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên [1;2]

Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ 12: Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt

Suy ra (3) có 2 nghiệm phân biệt

PhầnIV: PHỤ LỤC

10 SỰ THẬT CHƯA KỂ VỀ ISSAC NEWTON

Không phủ nhận Issac Newton là nhà khoa học đại tài, người đặt nền móng cho ngành cơhọc, quang học và vật lý cổ điển Tuy nhiên có những bí mật về ông mà không phải aicũng biết: suýt trở thành nông dân, là nhà giả kim bí mật, cuồng tín Kinh Thánh, và còn

nhiều hơn thế nữa

1 Bé Newton suýt chết yểu

Năm 1642, đúng vào năm nhà vật lý Galileo Galilei bị hành hình, bé Isaac Newton chàođời sớm hơn dự kiến đúng vào ngày Giáng Sinh Được đặt theo tên cha, người đã mấtcách đó hơn 3 tháng, Isaac ốm yếu và bé nhỏ đến mức có thể đặt vừa vào trong cái bình