Nhìn vào đồ thị, ta thấy thời gian cô Mai đạp phanh mạnh đến 9:12 là 6 phút ; còn thời gian cô Mai đi từ 9:00 đến lúc cô Mai đạp phanh mạnh là 6 phút Mà ta dễ thấy vận tốc cô Mai quay về[r]
Trang 1Bài 1: (2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A 5 2 9 5 19 7 5
b) Cho a 3 5 2 3 3 5 2 3
Tính giá trị biểu thức
2
B
a 2a 5
Bài 2: (2 điểm)
a) Cho hai số a, b thỏa 1 a 1; 1 b 1 Chứng minh rằng:
2
2
b) Giải phương trình sau: x 3 13 x x 8
5
Bài 3: (2 điểm)
a) Có hai số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x + y + xy = 30 hay không ? Hãy giải thích ? b) Cho biểu thức
2 2
P
Tìm các giá trị của b và c để biểu thức P có giá trị nhỏ nhất là 1
và giá trị lớn nhất là 3
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho hình thoi ABCD có BAD 50 0, O là giao điểm của AC và BD, H là hình chiếu của O trên cạnh AB Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho HM song song với AN Chứng minh hai tam giác MBO và ODN đồng dạng Tính số đo MON
Bài 5 : (1,5 điểm)
Cho ABC, D là điểm cố định trên cạnh BC (khác B, C), một đường thẳng d di động song song với BC lần lượt cắt hai cạnh AB và AC tại M và N Chứng minh S DMN 1 S ABC
4
Dấu bằng xảy ra khi đường thẳng d có vị trí đặc biệt nào, vì sao ?
Bài 6 : (1 điểm)
Cô Mai lái xe đi chơi Trên đường đi, bất ngờ có một con chó chạy ra phía trước đầu xe khiến cô phải đạp mạnh vào chân phanh để tránh Trong lòng lo ngại, cô Mai quyết định quay về nhà
Đồ thị dưới đây là bảng ghi đơn giản biểu diễn vận tốc của chiếc xe theo thời gian :
ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Quận 5 (2016-2017)
Trang 2Thời gian
vận tốc
(km /h)
9:12
72
Cô Mai lái xe
9:08
60
48
36
24
12
a) Cô Mai đạp mạnh vào chân phanh để tránh con chó vào lúc mấy giờ ?
b) Từ đồ thị, em hãy cho biết đoạn đường về nhà của cô Mai dài hay ngắn hơn quãng đường cô đã đi
từ nhà đến nơi xảy ra sự cố với con chó ? Hãy giải thích câu trả lời của em
Tính quãng đường từ nhà đến nơi xảy ra sự cố và quãng đường từ đó về nhà
HẾT
Bài 1: (2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A 5 2 9 5 19 7 5
Ta có:
2
A
HƯỚNG DẪN ĐỀ KIỂM TRA TUYỂN
HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Quận 5 (2016-2017)
Trang 3b) Cho a 3 5 2 3 3 5 2 3 Tính giá trị biểu thức
4 3 2 2
B
a 2a 5
Ta có: a 3 5 2 3 3 5 2 3 , a > 0
2
2
a 4 2 3 do a > 0 a 3 1
Thế a 3 1 vào biểu thức
2
B
a 2a 5
, ta được:
2
2
B
16 16 3 12 4 6 3 10 4 2 3 6 3 6 9
7
16 16 3 12 24 3 40 4 2 3 6 3 6 9
7 1
Bài 2: (2 điểm)
a) Cho hai số a, b thỏa 1 a 1; 1 b 1 Chứng minh rằng:
2
2
Áp dụng bất đẳng thức x y 2 x y , ta có:
1 a 1 b 2 1 a 1 b 1 a 1 b 2 2 a b (1)
Ta có:
Trang 4
2
2
2
2
a b
2
a b
2
a b 0 bất đẳng thức đúng
Do đĩ, ta cĩ: 2 2 a 2 b 2 2 1 a b 2
2
(2)
Từ (1) và (2), ta suy ra
2
2
b) Giải phương trình sau: x 3 13 x x 8
5
Điều kiện: 3 x 13
Ta cĩ: x 3 13 x x 8
5
(1)
x 8
5
x 8
5
x 8
5
x 8 nhận
x 3 13 x 2 5 2
Giải (2), x 3 13 x 2 5
Cách 1:
Trang 5
2
So với điều kiện, ta nhận x = 8
Cách 2: Dùng bất dẳng thức Cô-si
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
1
2
Dấu ‘’=’’ ở phương trình (2) xảy ra khi 5 x 3 x 8
5 13 x
Vậy S 8
Bài 3: (2 điểm)
a) Có hai số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x + y + xy = 30 hay không ? Hãy giải thích ?
Ta có : x y xy 30 x y xy 1 31 x 1 y 1 31
Vì x, y là hai số nguyên dương nên x 1 2;y 1 2 x 1 y 1 là hợp số
Mà 31 là số nguyên tố, nên không có hai số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x + y + xy = 30 b) Cho biểu thức
2 2
P
Tìm các giá trị của b và c để biểu thức P có giá trị nhỏ nhất là 1
và giá trị lớn nhất là 3
Vì x 1 0 x 2 nên P xác định x R
Gọi là một giá trị của biểu thức P
Phương trình sau có ngiệm:
2 2
2
2
2
( 2, GTLN của P là 3, GTNN của P là 1 )
2
b x
Trang 6ĐK :
2
2 2
4 2
4 4 (c 2) (c 2) (c 2) 8c b
GTLN của P là 3, GTNN của P là 1
Do đó :
2
2
b 2; c 2
b 2; c 2
b 2
Cách 2 (không chính thức)
Vì
2 2
P
có giá trị nhỏ nhất là 1 và có giá trị lớn nhất là 3
nên
2 2
2
2 2
2
x bx c 1 0, b,c
2
2 2
b 2
c 2
b
4
Trang 7H
D
O
B M
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho hình thoi ABCD cĩ BAD 50 0, O là giao điểm của AC và BD, H là hình chiếu của O trên cạnh AB Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho HM song song với AN Chứng minh hai tam giác MBO và ODN đồng dạng Tính số đo MON
Dễ thấy ABD cân tại A cĩ BAD 50 0 ADB 65 0
Dễ thấy MBH BCD ADN BAD 50 0
Do đĩ: ODN ADB ADN 65 050 0 115 0
Ta cĩ: MHA HAN (2 gĩc so le trong và MH // AN)
MHB MBH BAD NAD
Mà MBH BAD cmt nên MHB NAD
Xét MHB và AND, ta cĩ:
MHB NAD cmt MBH ADN cmt
AD ND
Xét HBO và ODA, ta cĩ:
0
OHB AOD 90 HBO ODA
OD AD
Từ (1) và (2), ta suy ra MB.ND = OD.OB MB OB
OD ND
Xét MBO và ODN, ta cĩ:
MBO NDO de ãchứng minh
MB OB cmt
OD ND
Mà MOB NOD MON 180 0 65 0MON 180 0 MON 115 0
Bài 5 : (1,5 điểm)
Cho ABC, D là điểm cố định trên cạnh BC (khác B, C), một đường thẳng d di động song song với BC lần lượt cắt hai cạnh AB và AC tại M và N Chứng minh S DMN 1 S ABC
4
Dấu bằng xảy ra khi đường thẳng d cĩ vị trí đặc biệt nào, vì sao ?
Trang 8Thời gian
vận tốc
(km /h)
9:12
72
Cô Mai lái xe
9:08
60
48
36
24
12
Kẻ MI // ACI BC ; DH MN tại H, IK MN tại K
Dễ chứng minh: tứ giác DHKI là hình chữ nhật DH IK S DMN S IMN
Dễ chứng minh:
2 AMN
ABC
2 BMI
ABC
∽
∽
AMN BMI
2 ABC
Mà AM 2 BM 2 1AM BM2
2
Nên
2
1 AM BM
1
1
2
mà S MNCI 2.S DMN nên 2.S DMN 1 S ABCS DMN 1 S ABC
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi AM BM M là trung điểm của AB N là trung điểm của AC
đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và AC
Bài 6 : (1 điểm)
Cô Mai lái xe đi chơi Trên đường đi, bất ngờ có một con chó chạy ra phía trước đầu xe khiến cô phải đạp mạnh vào chân phanh để tránh Trong lòng lo ngại, cô Mai quyết định quay về nhà
Đồ thị dưới đây là bảng ghi đơn giản biểu diễn vận tốc của chiếc xe theo thời gian :
d
K H
I
A
D
Trang 9a) Cô Mai đạp mạnh vào chân phanh để tránh con chó vào lúc mấy giờ ?
Nhìn vào đồ thị, ta thấy cô Mai đạp mạnh vào chân phanh để tránh con chó vào lúc 9:06
b) Từ đồ thị, em hãy cho biết đoạn đường về nhà của cô Mai dài hay ngắn hơn quãng đường cô đã đi
từ nhà đến nơi xảy ra sự cố với con chó ? Hãy giải thích câu trả lời của em
Tính quãng đường từ nhà đến nơi xảy ra sự cố và quãng đường từ đó về nhà
Nhìn vào đồ thị, ta thấy thời gian cô Mai đạp phanh mạnh đến 9:12 là 6 phút ; còn thời gian cô Mai đi từ 9:00 đến lúc cô Mai đạp phanh mạnh là 6 phút
Mà ta dễ thấy vận tốc cô Mai quay về nhà nhỏ hơn vận tốc khi cô Mai đi nên đoạn đường về nhà của cô Mai ngắn hơn quãng đường cô đã đi từ nhà đến nơi xảy ra sự cố với con chó
+ Quãng đường từ nhà đến nơi xảy ra sự cố là :
+ Quãng đường từ nhà đến nơi xảy ra sự cố là :
Lưu ý:
(v v ) t 0
s
2
HẾT