Các đờng thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn O tơng ứng tại M’ và N’.. Chøng minh tø gi¸c MNN’M’ néi tiÕp.[r]
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo nga sơn
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 – 2009
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (4 điểm) : Cho biểu thức:
P=[1 − x − 3√x
x − 9 ]:[√x − 3
2 −√x+
√x − 2
3+√x −
9 − x
x+√x −6]
a Rút gọn biểu thức P
b Tìm giá trị của x để P = 1
Câu2 ( 3 điểm) : Cho hệ phơng trình hai ẩn x, y sau:
2
2
a) Giải hệ phơng trình với m =1
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất
Câu 3 ( 3 điểm ) : Cho x, y thoả mãn: (x +
x2 + 2009
y2+ 2009
y +√ ¿
¿
√ ¿ ¿ ¿
Hãy tính tổng S = x + y
Câu 4 (3 điểm):
Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn điều kiện: a+b − c
b+c − a
c+a −b
Hãy tính giá trị của biểu thức: P = (1+b
a)(1+c
b)(1+a
c)
Câu 5 (5 điểm ): Cho đờng tròn( O, R) và hai đờng kính AB, MN Các đờng thẳng BM,
BN cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn( O) tơng ứng tại M’ và N’ Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A
a Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp
b Chứng minh rằng các đờng cao của Δ BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA
c Giả sử AB cố định, MN thay đổi Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích Δ BPQ theo R
Câu6 : (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:
1
1+x2+
1
1+ y2≥
2 1+xy với x 1, y 1
Hớng dẫn chấm
Câ
u
m
Trang 22.5
đ {x − 9 ≠ 0 x ≥ 0
2−√x ≠0
⇔{x ≥ 0 x ≠ 9
x ≠ 4
Ta có:
√x −3
(√x+3)¿ :[(√x − 3)(3+√x )+(√x − 2)(2−√x )+9 − x
(2 −√x)(3+√x ) ]
1 −√x(√x −3)
¿
P=¿
0,5
=
3+√x
(2 −√x)¿
4√x − x − 4
¿
[√x +33 ]: ¿
=
2 −√x¿2
−¿
(2 −√x)(3+√x )
¿
[√x +33 ] ¿
1
= 3
√x − 2 Vậy P =
3
b
1.5
đ
Ta thấy P = 1 ⇔ 3
2
a
1đ
Với m = 1 hệ phơng trình hai ẩn x, y sau:
2
2
¿
2 x + y=1
x − y=−1
¿ {
¿
Giải ra ta đợc x = 0 , y =1
0,5
0.5
b
2đ Hệ luôn có nghiệm duy nhất
Vì từ (2)
Thay vào (1) ta đợc:
(m+1)x + m(- m2 +mx + 2) = 2m -1
(m2 + m + 1)x = m3 – 1
Mà m2 + m + 1 =
2
Hệ có nghiệm duy nhất là:
1 2
x m
Ta có P = xy = (m -1)(2- m) = - m2 + 2m + m – 2
=
=
2
m
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.5
Trang 3DÊu “=” x¶y ra
0
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ MaxP =
4 m2
3
3®
Ta cã:
(
x2+2009
y2+ 2009
y −√ ¿
¿
y2
+ 2009
y +√ ¿
x −√ ¿¿ ¿
x2 +2009
x −√ ¿
¿
¿ 2009 ¿
x2 +2009
x −√ ¿
y2+ 2009
y −√ ¿
<=> 2009=( ¿ ) ¿
VËy
y2 +2009
y +√ ¿
¿
x2+ 2009
x −√ ¿
¿
y2 +2009
y −√ ¿
(x+√x2
+ 2009) ¿
x√y2+2009=− y√x2+ 2009 (*) NÕu x = 0 => y = 0 => S = 0 NÕu x 0 => y 0 tõ (*) => √x2 +2009
√y2 +2009=−
x
y>0 => xy < 0
VËy x2+ 2009
y2 +2009=
x2
y2 => 2009x2 = 2009y2 => x2 = y2
=> (x-y)(x+y) = 0
mµ xy < 0 => x - y 0
0,5
0.5 0.5
0.5 0.5 0.5
5
5®
a
Ta cã: M’N’N = M’BA (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc)
=> S = x + y = 0
Trang 4mà M’BA = BMN M’N’N = BMN
M’MN + M’N’N = M’MN + BMN = 1800
Tứ giác MNN’M’ nội tiếp đờng tròn
1
B
2đ
Đặt : AM’ =a1 ; BM’ = a ; AN’ = a1 ; BN’ = b
Ta có: PQ = a1+b1
2 Δ M’BN’ vuông tại B, BA M’N’
⇒ BA2 = AM’.AN’ hay a1b1 = 4R2
Gọi H là trực tâm Δ BPQ thì H AB
Xét hai tam giác: Δ PAH và Δ BAQ có HAP=BAQ = 1v
HPA=QBA( Cùng phụ với AQB)
PA
BA hay AH:
b1
2 =
a1
2 : 2R.
⇒ 2AH = a1b1
4 R =
4 R2
4 R ⇒ AH = R
2
Vậy trực tâm H của Δ BPQ là trung điểm của OA
0.5
0.5
0.5 0.5
c) Ta có SBPQ = 1
2AB PQ=R PQ ⇒ SBPQ nhỏ nhất khi PQ nhỏ nhất ⇔ M’N’ nhỏ nhất( Vì 2PQ=M’N’)
Từ PQ = a1+b1
2 ⇒ 2PQ = a1+b1 mà a1b1 = 4R2 không đổi
⇒ 2PQ = a1+b1 nhỏ nhất khi a1 = b1 = 2R
⇒ PQ = 2R ⇔ M’N’ = 4R = 2AB
⇒ AB = 1
2 M’N’ và AM’ = AN’ ⇔ Δ BM’N’ cân
⇒ BMN = BNM =BM’N’=BN’M’ ⇒ MN//M’N’ ⇔
MN AB tại O
Vậy minSBPQ = 2R2 khi MN AB tại O
0.5
0.5
0.5
0.5