De HSG Toan 720162017 1

Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây .. Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M..[r]

Đề thi học sinh giỏi huyện

b (1,5đ) Cho Δ ABC (góc A=900) Kẻ AH BC, kẻ HP AB và kéo dài để có

Trong các số sau: 1, -1, 5, -5 số nào là nghiệm của đa thức f(x)

Câu 5 B (2điểm): (Dành cho học sinh không chuyên toán)

a (1,5đ) Tìm x Z để A có giá trị nguyên

A = 5 x −2

x −2

b (0,5đ) Chứng minh rằng: 76 + 75 – 74 chia hết cho 55

Đề thi học sinh giỏi huyện

a (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ, cho 2 điểm M(-3;2) và N(3;-2) Hãy giải thích vì sao gốc toạ

độ O và hai điểm M, N là 3 điểm thẳng hàng?

a (1đ) Ba tổ công nhân A, B, C phải sản xuất cùng một số sản phẩm nh nhau Thời gian 3

tổ hoàn thành kế hoạch theo thứ tự là 14 ngày, 15 ngày và 21 ngày Tổ A nhiều hơn tổ C là 10 ngời Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân? (Năng suất lao động của các công nhân là nh nhau)

b (2đ) Cho hình vuông ABCD Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đờng thẳng AD vẽ tia AM (M CD) sao cho góc MAD = 20 0 Cũng trên nửa mặt phẳng này vẽ tia AN (N BC) sao cho góc NAD = 65 0 Từ B kẻ BH AN (H AN) và trên tia đối của tia HB lấy

điểm P sao cho HB = HP chứng minh:

a./ Ba điểm N, P, M thẳng hàng

b./ Tính các góc của Δ AMN

B/

Phần đề riêng

Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên

a (1đ) Chứng minh rằng: 222 333 + 333 222 chia hết cho 13

b (1đ) Tìm số d của phép chia 109 345 cho 7

Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên

a (1đ) Tìm số nguyên dơng n biết

4 5

+ 4 5

+ 4 5 + 4 5

Câu 4 (2điểm): Cho Δ ABC có góc A = 900, vẽ phân giác BD và CE (D AC ; E AB) chúng cắt nhau tại O.

a (0,5đ) Tính số đo góc BOC

b (1đ) Trên BC lấy điểm M và N sao cho BM = BA; CN = CA chứng minh EN// DM

c (0,5đ) Gọi I là giao của BD và AN chứng minh Δ AIM cân

B/

Phần đề riêng

Câu 5 A (2điểm): Dành cho học sinh chuyên

a (1đ) Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm:

P(x) = 2x2 + 2x + 5

4

b (1đ) Chứng minh rằng: 2454.5424.210 chia hết cho 7263

Câu 5 B (2điểm): Dành cho học sinh không chuyên

a (1đ) Tìm nghiệm của đa thức 5x2 + 10x

b (0,75đ) Cho các số a1, a2, a3 …an mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1

Biết rằng a1a2 + a2a3 + … + ana1 = 0 Hỏi n có thể bằng 2002 đợc hay không?

y

a (1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A  B, vận tốc ôtô con là

40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trớc 45 phút Tính độ dài quãng đờng AB

b (2đ) Cho Δ ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB Trên tia

đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NC lấy điểm E sao cho NE = NC Chứng minh rằng:

9−

4

7−

4 11

5− 0 ,16 −

4

125 −

4 625

a (0,5đ) Tìm các số a1, a2, a3, … a 9 biết

a (1đ) Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc 40km/h Sau khi đi

đợc 1/2 quãng đờng AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đờng còn lại Do đó ôtô đến

B sớm hơn dự định 18 phút Tính quãng đờng AB.

b (2đ) Cho Δ ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C Kẻ BH,

CK vuông góc với AE (H và K thuộc đờng thẳng AE) Chứng minh rằng:

b (0,75đ) - Khai căn rồi quy động 2 ngoặc

- Thực hiện phép chia đợc kết quả bằng -1 2

29

Câu 2 (2đ)

a (1đ) - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (2) đợc tỉ số (4)

- Từ tỉ số (3) và tỉ số (4) ta có 6x + 12 ⇒ x = 2 tù đó tính đợc y = 3

b (1đ) - Chuyển các số hạng ở vế phải sang vế trái

- Đặt thừa số chung đa về 1 tích bằng 0

3 x với x < 0

Câu 4 (3đ)

a (1,5đ) - Gọi tuổi anh hiện nay là x (x > 0), tuổi em hiện nay là y (y>0)

→ tuổi anh cách đây 5 năm là x – 5 Tuổi của em sau 8 năm nữa là y + 8Theo bài có TLT: x −5

- Giá trị nào làm cho đa thức bằng 0 thì giá trị đó là nghiệm

Câu 5 B (2đ)

a (1,5đ) A = 5 + 8

x −2

A nguyên ⇔ x −28 nguyên ⇔ x – 2 (8)Lập bảng

- áp dụng tính chất dãy TSBN rồi tìm x, y, z

- Rút gọn rồi thay giá trị a, b, c vào ta tính đợc M = 3

ΔOMP vu«ng t¹i P

M N

B

- Rút gọn rồi thay giá trị của a, b vào đợc A = 119

b (0,75đ) Xét giá trị của mỗi tích a1a2, a2a3, …ana1

- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4)

- Xét mối quan hệ giữa tỉ số (4) và (2)

- áp dụng tính chất dãy TSBN ⇒ tính x, y, z

Câu 3 (1,5đ)

a (0,75đ) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x0;y0) đồ thị hàm số y = f(x) = ax

⇒ y0 = ax0 ⇒ y0

x0 = a

b (1đ) - Thay giá trị của x vào 2 đa thức

- Cho 2 đa thức bằng nhau ta tính đợc m = - 1

B N

M

Câu 2 (2điểm: mỗi ý đúng 1đ)

a - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4)

B

E

Câu 5 B (2đ)

a (1đ) - Đặt 2x làm TSC rút gọn

- Biến đổi 120 dới dạng luỹ thừa cơ số 2 rồi tìm x

b (1đ) Biến đổi tử vào mẫu rồi rút gọn đợc A = 1

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư vớivận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trênbốn cạnh là 59 giây

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 20  0, vẽ tam giác đều DBC (D nằmtrong tam giác ABC) Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

a) Tia AD là phân giác của góc BAC

x  

1đVới

x 

0.25đVới

x  

;

1

60 20 3

x  

0.5đVậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ

Bài 5:

-Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ

a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ

suy ra DAB DAC

ABC đều nên DBC 600

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra

 80 0 60 0 20 0

ABD    Tia BM là phân giác của góc ABD

nên ABM 100

Xét tam giác ABM và BAD có:

AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB100

Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC



, suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đVới (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)

Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y  ) 0.5đ

D

Bµi 3 T×m hai sè d¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20,

5 4 6 Biết rằng tổng các bình phương của

c) Từ E kẻ EH BC HBC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A có A 20  0, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giácABC) Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

c) Tia AD là phân giác của góc BAC

0,5 điểm0,5 điểm

0,5 điểm

1 điểm0,5 điểm

 

1 23

3

1 72

x x

0,5 điểm

0,5 điểm

Vì AMC = EMB  MAC = MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )

A

C I

Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra

BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o

Bài 5: (4 điểm)

20 0

M A

D

-Vẽ hình

b) ABC cân tại A, mà A 200(gt) nên ABC (1800 20 ) : 2 800  0

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD 800 600  200

Tia BM là phân giác của góc ABD

Xét tam giác ABM và BAD có:

AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB100

Vậy: ABM = BAD (g.c.g)

suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC