Chứng minh rằng chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2... a/ Chứng minh HM là đường trung bình của ADE HM // ED hay BCDE là hình thang..[r]
Trang 1UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013
- Khóa ngày 04/11/2012
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4 điểm)
a/ Tìm x, y, z biết
111 222 333
và 3x + 2y + z = 989 b/ Cho tỉ lệ thức ( , 0)
b d
b d Chứng minh rằng:
2012 2012 2012
2012 2012 2012
c d
Bài 2: (4 điểm)
a/ Chứng minh rằng biểu thức S = 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + ……+ 394 + 395 chia hết cho 40 b/ Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A = 3n3 + 10n2 – 5 chia hết cho giá trị của biểu thức B = 3n + 1
Bài 3: (4 điểm)
a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)( b + c)(c + a)
b/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ đường trung tuyến AM (với M BC) Gọi D là điểm đối xứng với A qua M, E là điểm đối xứng với A qua BC
a/ Chứng minh BCDE là hình thang cân
b/ Qua A kẻ đường thẳng d bất kỳ không cắt cạnh BC B’, C’ là hình chiếu của B và C trên đường thẳng d Chứng minh rằng: BB’ + CC’ BC
Bài 5: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài đường chéo là 1 Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q Chứng minh rằng chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2
-
Trang 2HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 (THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013)
Bài 1:
(4 đ) a/
111 222 333
và 3x + 2y + z = 989
Từ
111 222 333 333 444 333
333 444 333
333 444 333 333 444 333 1110 1110 10
x y z x y z x y z
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
2012
1 1
b k
d
(1)
2012 2012
1 ( )
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2012 2012 2012
2012 2012 2012
c d
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Bài 2:
(4 đ)
a/ Từ 0 đến 95 có: (95 – 0) + 1 = 96 phần tử, do đó có 24 bộ 4 số liên tiếp nhau
S = (30 + 31 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + ……+ (392 + 393 + 394 + 395)
S = 40 + 34.40 + ……+ 392.40
Các hạng tử đều chia hết cho 40 nên S chia hết cho 40
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b/
Thực hiện phép chia A cho B được thương là n2 + 3n – 1, dư là – 4
Để A chia hết cho B thì 3n + 1 Ư(4) = {1; 2; 4}
3
3
5 3
Vậy n = 0 ; n = -1; n = 1
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
Bài 3:
(4 đ)
a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)( b + c)(c + a)
Vế trái: (a + b + c)3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c)
= a3 + b3 + 3ab(a + b) + c3 + 3c(a + b)(a + b + c)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + c(a + b + c)]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + ca + cb + c2]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]
2 đ
Trang 3= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) = vế phải đpcm
b/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc
Phân tích thành nhân tử: a3 + b3 + c3 - 3abc =
= (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= (a + b + c)3 – 3c(a + b)(a + b + c) – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b + c)2 – 3c(a + b) – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac – 3ac – 3bc – 3ab)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ac – bc – ab)
Theo đề cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac a2 + b2 + c2 – ac – bc – ab = 0
a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 hay a3 + b3 + c3 = 3abc
2 đ
Bài 4:
a/ Chứng minh HM là đường trung bình của ADE
HM // ED hay BCDE là hình thang (1)
+ Chứng minh BD = AC (do ABDC là hình bình hành)
+ Chứng minh CE = AC (do A và E đối xứng qua BC)
BD = CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra BCDE là hình thang cân
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
b/ Kẻ thêm MM’ d MM’ là đường trung bình của hình thang BCC’B’
BB’ + CC’ = 2MM’
mà MM’ AM
hay 2MM’ 2AM = BC
suy ra: BB’ + CC’= 2MM’ BC
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
Bài 5:
Kẻ ME BD ; QF BD ; NI BD ; PK BD
Ta có: MN ME + NI
NP IK
PQ QF + PK
QM EF
Gọi p là chu vi tứ giác MNPQ, thì: p = MN + NP + PQ + MQ
p ME + NI + IK + QF + PK + EF = (ME + EF + FQ) + (NI + IK + PK)
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
d //
//
x
x
M'
C'
M
A
B'
I
K F E
M
Q
P
N
Trang 4Mà các tam giác EBM, FDQ, IBN, KDF vuông cân.
p (BE + EF + FD) + (BI + IK + DK) = 2BD = 2 0,5 đ