Những vấn đề đã ôn chuẩn bị thi quốc gia

Số các cạnh của mỗi mặt là n... Từ đó suy ra: Phần bên phải trục tung của đồ thị y f x   được giữ nguyên Phần bên trái trục tung của đồ thị y f x   sẽ xóa bỏ Lấy đối xứng với phần

CÁC VẤN ĐỀ ĐÃ ƠN GIAI ĐOẠN 1 – 8/5/2019 ĐẾN 24/5/2019

1 ELIP

Phương trình và các yếu tố của Elip:

Các Yếu tố

Chính tắc

Công thức a, b, c

Trục lớn & độ

dài A1A2=2a (Ox)

Trục nhỏ & độ

dài B1B2=2b (Oy)

Tiêu điểm F1(-c,0) vàF

2(c,0) Tâm sai (e<1)

Pt các cạnh

của hình chữ

nhật cơ sở

2 LƯỢNG GIÁC

a HÀM SỐ y  sin x : Chu kỳ cơ bản là 2

Tập xác định là D � Phương trình

2 sin sin

2

u v k



� 

�

Ví dụ: Biến đổi sinx7

sin x7 sin x  sinx ( Được cắt bỏ 6 )

Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số:

sin 5

3

y ��x  ��

� � TXĐ là D �

Ví dụ: Giải phương trình sin 2x 3 sin x 6

�  � � �

c  a  b

2 2

�    

�

�

�

�     � �

2 2

18 3

k k x

�  

�

�  

�

�

b HÀM SỐ y  cos x : Chu kỳ cơ bản là 2

Tập xác định là D � Phương trình

2

2

u v k





� 

�

Ví dụ: Biến đổi cosx7

cos x7 cos x  cosx ( Được cắt bỏ 6 )

Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số: y cos 5x 3

� � TXĐ là D �

Ví dụ: Giải phương trình

�  � � �

�

�

�

�     � �

�

2 2 2

18 3

k k x

� 

�

�  

�

�

c HÀM SỐ y  tan x : Chu kỳ cơ bản là 

Tập xác định là

\ 2

D �� k��

�

�

Phương trình tan u  tan v � u v k   

Ví dụ: Biến đổi tanx7

tan x7 tanx

( Được cắt bỏ 7)

Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số:

tan 5

3

y ��x  ��

� �

Cho 5x 3 2 k2

6

k

۹

Vậy TXĐ là:

2

\

k

�

�

Ví dụ: Giải phương trình

�  � � �

   

�

2

x  k

�

d HÀM SỐ y co x  t : Chu kỳ cơ bản là 

Tập xác định là D �\ k Phương trình co u co v t  t � u v k   

3 5 hình đa diện – Công thức Euler Công thức Eucler:

Nhớ: pêĐê = anh Em= 2 Chị

Gọi số đỉnh của đa diện đều là D

Số mặt là M

Số cạnh là C

Số các cạnh gặp nhau ở mỗi đỉnh là p

Số các cạnh của mỗi mặt là n

(Học sinh tự điền vào ô trống trong bảng dưới)

Tên Hình ảnh Đỉnh

D

Số mặt

M

Số cạnh

C

Số cạnh gặp nhau ở mỗi đỉnh

p

Số cạnh của mỗi mặt

n

Lục diện đểu

2 2

D M C

4 Một số vấn đề của hàm số bậc 3, bậc 4 trùng phương, nhất biến

A Hàm số bậc 3: y ax 3bx2 cx d a �0

TXĐ: D �

a) Hàm số không có cực trị �Phương trình y' 0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép � �0

b) Hàm số có 2 cực trị �Phương trình y' 0 có 2 nghiệm phân biệt �  0

c) Đồng biến- Nghịch biến trên D �

Hàm số đồng biến (tăng) trên � Hàm số nghịch biến (giảm) trên �

Điều kiện: y' 0,� x��

' '

0 0

y y

a

� 

�

� � �

� Điều kiện: y' 0,� x��

' '

0 0

y y

a

� 

�

� � �

�

B Hàm số bậc 4 trùng phương: y ax 4bx2c a �0

TXĐ: D �

a) Hàm số có 1 cực trị �Phương trình y' 0 có 1 nghiệm duy nhất �a b 0

b) Hàm số có 3 cực trị �Phương trình y' 0 có 3 nghiệm phân biệt�a b  0

Vấn đề chung:

Vấn đề 1: Hàm số đạt cực đại – cực tiểu tại x0

Đạt cực đại tại x0 Đạt cực đại tại x0

 

 00

y x

y x

�

�



�

 

 00

y x

y x

�

�



�

Vấn đề 2: Tìm GTLN-GTNN trên đoạn � �a b; (Áp dụng chung cho các hàm khác)

- Tìm nghiệm của phương trình y' 0 Nhận nghiệm nếu thuộc đoạn � �a b;

- Thế a; b; và nghiệm tìm được vào y, suy ra Maxy a b;

� � và Miny a b;

� �

Học sinh có thể dùng Mode 7 để dự đoán kết quả nhanh hơn

Vấn đề 3: Đồ thị hàm trị tuyệt đối

Hình ảnh minh họa: Giả sử ta có đồ thị y f x   như hình vẽ:

- Kỹ thuật vẽ đồ thị hàm trị tuyệt đối toàn phần y f x 

dựa vào đồ thị y f x   như sau:

Biến đổi:

  f x   ,,khi f x    00

f x khi f x

�

�

Từ đó suy ra:

Phần phía trên trục hoành của đồ thị y f x   được giữ

nguyên

Lấy đối xứng với phần phía dưới trục hoành

Phần phía trục hoành của đồ thị y f x   sẽ xóa bỏ.

- Kỹ thuật vẽ đồ thị hàm trị tuyệt đối của riêng x y f x  

dựa vào đồ thị y f x   như sau:

Lưu ý : Hàm y f x  

là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung

Biến đổi y f x    f x 

khi x�0 Từ đó suy ra:

Phần bên phải trục tung của đồ thị y f x  

được giữ nguyên Phần bên trái trục tung của đồ thị y f x   sẽ xóa bỏ

Lấy đối xứng với phần đồ thị bên phải của trục tung qua bên trái của trục tung

C Hàm nhất biến :

ax b y

cx d





 c �0

d D

c

� �

 � �

�

�

- Tiệm cận đứng:

d x c





Tiệm cận ngang:

a y c



- Đạo hàm:  2

ad bc y

cx d







(Chú ý: đạo hàm chỉ có dương hoặc âm, không có bằng không) a) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó �y' 0, x D� � ad bc.  . 0

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó �y' 0, x D� �ad bc.  . 0 (Các em chú ý : Hàm này cho y’ dương hoặc âm, không có dấu bằng không)

b) Tìm GTLN-GTNN trên đoạn � �a b;

Do hàm này không có cực trị nên bỏ qua chuyện xét y' 0 Ta thế thẳng a và b vào y, suy ra GTLN-GTNN

5 Từ đồ thị ý suy ra bảng biến thiên của y

Các em chú ý đọc kỹ đề thi, đôi khi đề bài cho đồ thị của hàm số y’, nếu ta không chú ý lầm tưởng qua đồ thị hàm số y thì chắc chắc sẽ giải sai hoàn toàn Cách giải quyết vô cùng đơn giản:

- Chuẩn bị sẵn Bảng biến thiên trống

- Nhìn vào các giao điểm của đồ thị ý với trục hoành điền các nghiệm vào dòng x của bảng biến thiên

- Nhìn vào đồ thị của ý, nhánh nào phía dưới trục hoành, ta điền vào dòng y’ dấu trừ, nhánh nào phía trên trục hoành, ta điền vào dòng y’ dấu cộng

- Từ đó ta quay trở lại đề bài, nhìn vào bảng biến thiên mà trả lời các câu hỏi

Một số ví dụ minh họa: Cho đồ thị y’, lập bảng biến thiên của hàm số y f x  

1)

Bảng biến thiên

a b c d x � a b c d �

y’  0  0  0  0 

y

2) Bảng biến thiên

-1 1 y’  0  0 

y

Cho hàm số y f x  

liên tục trên �có đồ thị y f x ' 

như hình vẽ Hỏi hàm số y f x   có a b c d e

bao nhiêu điểm cực trị

Bảng biến thiên

y’  0  0  0  0  0 

y

Chọn đáp án B

6 Cấp số cộng-Cấp số nhân

A CẤP SỐ CỘNG

Cho CSC  u n

có số hạng đầu tiên là u1, công sai là d Ta luôn có : un1  u dn n�1

- Công thức tính u n1 n�0

- Công thức “trung bình cộng”: n�1

- Tính tổng n số hạng đầu tiên của 1 cấp số cộng 2 1 n

n u u

 

n

u  u  n  d

u  u  u

n

 

1

2

n��u  n d��

A CẤP SỐ NHÂN

Cho CSN  u n

có số hạng đầu tiên là u1, công bội là q Ta luôn có : un1 u qn n�1

- Công thức tính u n1 n�1

- Công thức “trung bình nhân”: u u n1 n1 u n2 n�1

- Tính tổng n số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân: 1

1 1

n n

q

S u

q







Đặc biệt: Khi CSN “lùi vô hạn” – nghĩa là q1, ta có thể tính được tổng của cấp số nhân đó theo công thức

1

1

u S

q



 (Do lúc đó limq n0)

7 Tập xác định của hàm số lũy thừa -hàm số mũ -hàm số logarit

A.HÀM SỐ LŨY THỪA y x  

Tập xác định

1,2,3,4,5 ĐK: x��

      1, 2, 3, 4, 5, ĐK: x �0

Khác ĐK: x0 Vd: Tìm TXĐ của hàm số:

a)  5

2 1

y x Giải: ĐK x�� �D�

b)   5

y x  Giải: ĐK 2x�۹1 0 x 12 �D�\� �� ��12

c)   5

y x Giải ĐK 2x 1 0�x12 �D���12;����

1

1 1. n n

u u q

 

Đạo hàm  '

1

1

'

u u u 

Nguyên hàm

1

1

x







�

B HÀM SỐ MŨ

x

y a 

Tập xác định D �

Đạo hàm:  '

.ln

đặc biệt:  '

Nguyên hàm . ln

x

a

�

Tính chất: Hàm số y a x đồng biến khi a 1, nghịch biến khi 1  a 0

Đồ thị luôn đi qua điểm  0;1

, có tiệm cận ngang là trục hoành và nằm phía trên trục hoành

C HÀM SỐ LOGARIT y  loga x

Tập xác định ĐK: x0 �D0;�

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số  2 

2

ĐK: x23x 4 0 � x 1hay x 4 Vậy D   �; 1 �4;�

Đạo hàm log ' 1

.ln

a x

x a



đặc biệt :  lnx' 1

x



Nguyên hàm

.ln log

ln

a

a



� Khó nhớ Nên lấy nguyên hàm từng phần thì đỡ phải nhớ

Biến đổi

1

ln

a



� � Đặt uln ,x dv dx

Tính chất: Hàm số yloga x đồng biến khi a1, nghịch biến khi 1 a 0

Đồ thị luôn đi qua điểm  1;0

, có tiệm cận đứng là trục tung và nằm bên phải trục tung

8 Hệ thức lượng trong tam giác – Các định lý- Diện tích tam giác

I Hệ thức lượng trong tam giác thường.

1 Định lý hàm số cosin:

2 2 2 2 cos

a b  c bc A

2 2 2 2 cos

b a  c ac B

2 2 2 2 cos

c a  b ab C

 Suy ra cách tính cos của các góc như sau:

2 2 2

cos

2

A

bc

 



;

2 2 2

cos

2

B

ac

 



;

2 2 2

cos

2

C

ab

 



2 Định lý hàm số sin:

2 sin sin sin

R

A B  C 

3 Các công thức tính diện tích tam giác:

2a h a  2b h b  2c h c

2ab C 2bc A 2ac B



ABC

abc R pr

        

p p a p b p c (CT Hê-rông)

II Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

A

A

a

b c

a

h

2

BA BH BC CA2 CH CB.

2

AH  AB  AC

BC AB AC (Đlý Pythagor)

AB AC BC AH

Cách nhớ: - Mỗi điểm là 1 công thức Tên điểm đó đứng đầu công thức

- Đường đi nào gặp 1 điểm thì bình phương lên, đường đi nào gặp 2 điểm thì nhân với nhau

9 Hoán vị-Tổ hợp – Chỉnh hợp

A GIAI THỪA:

B HOÁN VỊ:

Cho tập hợp X   x , x , , x1 2 n gồm n phần tử Một hoán vị của n phần tử của tập X là một bộ gồm n

phần tử của X được sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần.

Số các hoán vị của n phần tử là: Pn n!

Ví dụ: Có bao cách để sắp xếp 5 quyển sách Toán khác nhau, 3 quyển sách Lý khác nhau, 4 quyển sách Hóa

khác nhau lên kệ sách theo kiểu:

b) Sắp theo từng môn ĐS: 3!5!3!4!

C CHỈNH HỢP

Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k phần tử được sắp thứ tự của tập hợp X (với 1 k n � � )

được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của X

Ví dụ: X   1,2,3  Các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử của tập X là :

  1,2 ,   2,1 ,   1,3 ,   3,1 ,   2,3 ,   3,2 - Dễ thấy: 2 tập hợp   1,2 và   2,1 là khác nhau nên ta đếm

là 2 chứ không phải là 1 Do đó: Có điều chỉnh thì có đếm.

Công thức:  1 k n � �  Trên máy tính Casio, ta bấm : nPk

D TỔ HỢP

Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k phần tử của tập hợp X  1 k n � �  được gọi là một

tổ hợp chập k của n phần tử của X

n! 1.2.3.4  � n 2 n 1 n  

 ! !

k n

n A

n k





Ví dụ: Hãy chọn ra 2 học sinh trong 4 học sinh giỏi Toán để đi thi Có mấy cách chọn như vậy?

Nếu đặt X   A,B,C,D  là tập hợp 4 học sinh giỏi Toán Ta có các cách để chọn 2 học sinh trong 4

học sinh đó như sau:

 A,B  ,  A,C  ,  A,D  ,  B,C  ,  B,D  ,  C,D  - Dễ thấy: 2 tập hợp  A,B  và  B A,

là giống nhau trong trường hợp này nên ta đếm là 1 tập, không đếm là 2 Do đó: Tập  A,B  dù có điều chỉnh thành

 B A,

cũng không có đếm thêm

Công thức: kn  

n!

C k! n k !



  1 k n � �  Trên máy tính Casio, ta bấm : nCk

Áp dụng:

1 Giải các phương trình a) 2 x-1 48

A C  b) x-4x 2 210

x-1 3

P

A P

2 Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi song ca nam-nữ?

10 NHỊ THỨC NEWTON Công thức khai triển:

a b   C a  C a b   C a b   C b

Các lưu ý quan trọng:

- Trong khai triển  n

a b  , ta có n+1 số hạng.

- Số hạng thứ k+1 trong khai triển  n

a b  là: 1 k n k. k

T C a b

 

Ví dụ: Cho khai triển  4 311

2x 5y

- Khai triển này sẽ có 12 số hạng,

- Số hạng thứ 5 trong khai triển là:

   11 4 4    7 4

T C x  y  x y  330.128 x28.625 y12  26400000 x y28 12

Áp dụng:

1) Tìm hệ số của x7 trong khai triển  15

3 2x  .

2) Tìm số hạng thứ sáu của khai triển  15

2

x 

3) Xét khai triển của biểu thức:

5 3

2

2 3x x

a) Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển trên.

b) Số hạng nào trong khai triển trên sẽ không chứa x?