NHỮNG TIÊU CHUẨN VỀ TRÌNH BÀY BẢN VẼ KỸ THUẬT
Tiêu chuẩn về bản vẽ kỹ thuật
Bản vẽ kỹ thuật là một tài liệu thể hiện chính xác hình dạng và kích thước của đối tượng, được thực hiện theo các phương pháp biểu diễn quy định trong Tiêu chuẩn Việt Nam và Tiêu chuẩn Quốc tế.
Bản vẽ kỹ thuật là tài liệu thiết yếu trong thiết kế, sản xuất và sử dụng, đóng vai trò là phương tiện thông tin quan trọng trong tất cả các lĩnh vực kỹ thuật.
Trong buôn bán và chuyển giao công nghệ giữa các quốc gia, bản vẽ kỹ thuật đóng vai trò quan trọng như tài liệu cơ bản liên quan đến sản phẩm Do đó, việc lập bản vẽ kỹ thuật cần tuân thủ các quy tắc thống nhất theo tiêu chuẩn Việt Nam và tiêu chuẩn Quốc tế.
Hiện nay, Nhà nước đã ban hành các tiêu chuẩn về bản vẽ kỹ thuật và tài liệu thiết kế, thuộc nhóm tiêu chuẩn "Hệ thống tài liệu thiết kế".
Các Tiêu chuẩn Việt Nam là các văn bản kỹ thuật được ban hành bởi Bộ Khoa học, Công nghệ và Môi trường, trước đây là Ủy ban Khoa học Kỹ thuật.
Tổng cục Tiêu chuẩn, Đo lường và Chất lượng là cơ quan Nhà nước có trách nhiệm chỉ đạo công tác tiêu chuẩn hóa tại Việt Nam, được thành lập từ năm 1962 và đóng vai trò là tổ chức Quốc gia về tiêu chuẩn hóa.
Năm 1977, Việt Nam chính thức gia nhập Tổ chức Tiêu chuẩn hóa Quốc tế (ISO), được thành lập vào năm 1946 Hiện nay, ISO đã thu hút sự tham gia của nhiều quốc gia và tổ chức quốc tế.
Công tác tiêu chuẩn hóa quốc tế đóng vai trò then chốt trong việc thúc đẩy sự tiến bộ kỹ thuật và công nghệ toàn cầu.
Các tiêu chuẩn Quốc gia và Quốc tế được phát triển dựa trên việc áp dụng các thành tựu khoa học tiên tiến cùng với những kinh nghiệm thực tiễn phong phú trong sản xuất.
Việc áp dụng Tiêu chuẩn Quốc tế, Tiêu chuẩn Quốc gia, cùng với các tiêu chuẩn ngành và xí nghiệp đóng vai trò quan trọng trong việc thúc đẩy nền kinh tế quốc dân Những tiêu chuẩn này không chỉ giúp nâng cao năng suất lao động và cải thiện chất lượng sản phẩm, mà còn giáo dục tư tưởng và lối làm việc trong sản xuất quy mô lớn Đối với những nhân viên kỹ thuật tương lai trong thời kỳ hiện đại hóa và công nghiệp hóa, việc nắm vững các tiêu chuẩn này là điều cần thiết.
2 ý thức trong việc tìm hiểu và chấp hành các Tiêu chuẩn Quốc tế, Tiêu chuẩn Việt Nam cũng như tiêu chuẩn ngành và tiêu chuẩn xí nghiệp
Tiêu chuẩn Việt Nam và tiêu chuẩn quốc tế quy định các yêu cầu về trình bày bản vẽ kỹ thuật, bao gồm hình biểu diễn, ký hiệu và quy ước cần thiết để lập bản vẽ chính xác và hiệu quả.
Bài giảng này sẽ giới thiệu các Tiêu chuẩn Việt Nam về bản vẽ kỹ thuật, cùng với các tiêu chuẩn liên quan và một số Tiêu chuẩn Quốc tế quan trọng.
Dưới đây là những tiêu chuẩn về cách trình bày bản vẽ.
Khổ giấy
Khổ giấy được xác định bằng các kích thước của mép ngoài của bản vẽ (hình 1.1)
Khổ giấy bao gồm các khổ chính và các khổ phụ
Khổ chính của giấy có kích thước 1189 x 841 mm, tương đương với diện tích 1m², và các khổ giấy khác được phân chia từ khổ này (hình 1.2).
Hình 1.2 Các khổ giấy chính
TCVN 2-74 quy định ký hiệu và kích thước của các khổ giấy chính như bảng 1.1
Kích thước các cạnh khổ giấy (mm) 1189 x 841 594 x 841 594 x 420 297 x 420 297 x 210
Kí hiệu tương ứng theo TCVN 193-66 A0 A1 A2 A3 A4
1.2.2 Ý nghĩa của ký hiệu khổ giấy
Ký hiệu của mỗi khổ chính gồm hai chữ số: chữ số thứ nhất là bội số cạnh dài
297 mm, chữ số thứ hai là bội số cạnh ngắn 210 mm của khổ giấy 11
Tích của hai chữ số chỉ số lượng khổ 11 chứa trong khổ bản vẽ đó
Ví dụ: Khổ 24 có kích thước : (2 x 297) x( 4 x 210) = 594 x 840
Và có 2 x 4 = 8 lần khổ 11 trong khổ 24.
Khung bản vẽ và khung tên
Mỗi bản vẽ đều phải có khung bản vẽ và khung tên riêng Nội dung và kích thước của chúng được quy định trong TCVN 3821 – 83
Dưới đây giới thiệu khung bản vẽ và khung tên dùng trong nhà trường
Khung bản vẽ được vẽ bằng nét liền đậm, kẻ cách mép ngoài khổ giấy 5 mm, nếu bản vẽ đóng thành tập thì mép trái cách 25 mm (hình 1.3)
Hình 1.3 Khung bản vẽ 1.3.2 Khung tên
Khung tên có thể được đặt theo cạnh dài hoặc cạnh ngắn của bản vẽ, thường nằm ở góc phải phía dưới Cạnh dài của khung tên sẽ xác định hướng đường bằng cho bản vẽ.
Hình 1.4 Vị trí đặt khung tên
Nhiều bản vẽ có thể vẽ chung trên một tờ giấy, song mỗi bản vẽ đều phải có khung bản vẽ và khung tên riêng
Khung tên của mỗi bản vẽ cần được đặt đúng cách, với các chữ ghi trong khung tên hướng lên trên hoặc sang trái, phù hợp với hướng của bản vẽ.
Nội dung khung tên của bản vẽ trong nhà trường bao gồm các ô thông tin quan trọng: Ô 1 ghi đầu đề bài tập hoặc tên chi tiết, Ô 2 chỉ rõ vật liệu chi tiết, Ô 3 thể hiện tỷ lệ bản vẽ, Ô 4 là ký hiệu bản vẽ, Ô 5 ghi họ tên người vẽ, Ô 6 ghi ngày vẽ, Ô 7 là chữ ký của người kiểm tra, Ô 8 ghi ngày kiểm tra, và Ô 9 nêu tên trường, khoa, lớp.
Tỉ lệ
Tỷ lệ bản vẽ là tỷ số giữa kích thước đo được trên hình biểu diễn với kích thước tương ứng đo được trên vật thể
Trong các bản vẽ kỹ thuật, việc lựa chọn tỷ lệ phù hợp phụ thuộc vào độ phức tạp, kích thước của vật thể và tính chất của từng loại bản vẽ Các tỷ lệ này được quy định theo tiêu chuẩn TCVN 3-74.
* Chú ý: Con số kích thước ghi trên bản vẽ là kích thước thực, không phụ thuộc vào tỷ lệ bản vẽ
Các loại nét vẽ
Trên bản vẽ kỹ thuật, các hình biểu diễn của vật thể được tạo thành bởi các nét vẽ có tính chất khác nhau
TCVN 0008 – 1993 các nét vẽ quy định các loại nét vẽ, chiều rộng của nét vẽ và quy tắc vẽ chúng trên các bản vẽ kỹ thuật
Các loại nét vẽ được quy định trong bảng 1.3 dưới đây, kèm theo các hình vẽ minh họa một số nét vẽ trong hình 1.6, đều áp dụng các quy định đã nêu.
Tên gọi Cách vẽ Bề rộng ứng dụng
1 Nét cơ bản b - Vẽ đường bao thấy, đường bao mặt cắt rời, giá số chỉ vị trí
2 Nét liền mảnh b/3 - Vẽ đường bao mặt cắt chập, đường dóng và đường kích thước
- Đường gạch vật liệu, đường đáy ren, đường biểu diễn chỗ uốn hình khai triển, đường chuyển tiếp thấy
3 Nét lượn sóng b/3 - Đường phân cách giữa hình chiếu và hình cắt trên một hình biểu diễn
4 Nét đứt b/2 - Đường bao khuất
5 Nét chấm gạch mảnh b/3 - Đường trục, đường tâm
- Đường biểu diễn hình khai triển vẽ ngay trên hình chiếu, đường biểu diễn vị trí giới hạn
6 Nét chấm gạch đậm b/2 - Đường biểu diễn bề mặt cần gia công nhiệt hay lớp phủ Đường biểu diễn phần nằm trước mặt phẳng cắt, đường bao của phôi
7 Nét cắt 1,5b - Đường biểu diễn vị trí vết mặt phẳng cắt
8 Nét ngắt b/3 - Đường cắt lìa dời
9 Nét hai chấm gạch b/3 - Biểu diễn vị trí giới hạn các chi tiết chuyển động
Quy đinh sử dụng hai chiều rộng của nét vẽ trên một bản vẽ, tỷ số chiều rộng của nét đậm và nét mảnh không được nhỏ hơn 2:1
Các chiều rộng b của nét vẽ cần chọn sao cho phù hợp với kích thước, loại bản vẽ và căn cứ vào dãy kích thước sau:
Chiều rộng của nét trong bản vẽ cần được giữ nguyên ở tất cả các hình ảnh của chi tiết khi được vẽ theo cùng một tỷ lệ, với các kích thước như 0,18 mm, 0,25 mm, 0,35 mm, 0,5 mm, 0,7 mm, 1,0 mm, 1,4 mm và 2 mm.
Ghi chú: không nên dùng chiều rộng 0,18mm
Hình 1.6 Cách vẽ các đường nét 1.5.3 Quy tắc vẽ
Khoảng cách tối thiểu giữa hai đường song song, bao gồm cả các đường gạch mặt cắt, phải lớn hơn hai lần chiều rộng của nét đậm nhất và không được nhỏ hơn 0,7mm.
Khi hai hay nhiều nét vẽ khác loại trùng nhau thì theo thứ tự ưu tiên sau:
- Đường bao thấy, cạnh thấy (nét liền đậm)
- Đường bao khuất cạnh khuất (nét đứt)
- Đường tâm và trục đối xứng (nét chấm gạch mảnh)
- Đường trọng tâm (nét gạch hai chấm mảnh)
- Đường gióng kích thước (nét liền mảnh)
Các đường dẫn liên quan đến một phần tử như kích thước, vật thể hay đường bao phải được vẽ nghiêng so với các đường khác trong bản vẽ Đặc biệt, phần tận cùng của nét vẽ cũng cần được chú ý để đảm bảo tính chính xác và rõ ràng.
+ Bằng một chấm, nếu đường dẫn kết thúc ở bên trong đường bao của vật thể (hình 1.7a)
+ Bằng một mũi tên, nếu đường dẫn kết thúc ở đường bao của vật thể (hình 1.7b)
+ Không có dấu hiệu gì, nếu đường dẫn kết thúc ở một đường kích thước (hình 1.7c)
Tâm các cung tròn, các đường tròn có giao điểm là giao điểm của hai gạch (hình 1.8)
Chữ và số
Chữ viết trên bản vẽ và tài liệu kỹ thuật phải rõ ràng, thống nhất, dễ đọc và không gây nhầm lẫn
TCVN 6-85 quy định chữ viết gồm chữ, số và dấu trên các bản vẽ và tài liệu kỹ thuật
Là giá trị được xác định bằng chiều cao của chữ hoa tính bằng mm
Chiều cao của chữ hoa (h) được đo vuông góc với dòng kẻ ngang, được quy định như sau: 2,5 ; 3,5 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14 ; 20 ; 28 ; 40
Chiều rộng của nét chữ (d) được xác định phụ thuộc vào kiểu chữ và chiều cao của chữ
Quy định những kiểu chữ sau:
+ Kiểu A không nghiêng (đứng) và kiểu A nghiêng 75 0 với d = 1/14h
+ Kiểu B không nghiêng (đứng) và kiểu B nghiêng 75 0 với d = 1/10h
Hình 1.10 Kiểu chữ hoa đứng
Hình 1.11 Kiểu chữ thường đứng
Ghi kích thước
Kích thước trên bản vẽ thể hiện độ lớn của vật thể và là yếu tố quan trọng trong việc lập bản vẽ Việc ghi kích thước cần tuân thủ các quy tắc được quy định trong TCVN 5705:1993.
Độ lớn của vật thể và vị trí tương đối giữa các phần tử của nó được xác định dựa vào các kích thước ghi trên bản vẽ, những kích thước này không bị ảnh hưởng bởi tỷ lệ của các hình biểu diễn.
- Số lượng kích thước ghi trên bản vẽ phải đủ cho việc chế tạo và kiểm tra vật thể
Mỗi kích thước trên bản vẽ chỉ được ghi một lần để đảm bảo tính nhất quán Kích thước nên được thể hiện trên hình chiếu rõ ràng nhất, giúp người xem dễ dàng hiểu cấu tạo của phần tử được ghi.
- Dùng milimet làm đơn vị đo kích thước dài và sai lệch giới hạn Trên bản vẽ không cần ghi đơn vị đo
- Trường hợp dùng đơn vị khác như cm, m thì đơn vị đo được ghi ngay sau chữ số kích thước hoặc trong phần ghi chú của bản vẽ
- Dùng độ, phút, giây làm đơn vị đo góc và sai lệch giới hạn của nó
1.7.2.1 Đường gióng và đường kích thước
Đường gióng và đường kích thước được thể hiện bằng nét liền mảnh, với đường gióng kéo dài vượt quá vị trí của đường kích thước từ 2 đến 3 lần chiều rộng của nét đậm trên bản vẽ (hình 1.15).
Không được sử dụng đường trục hoặc đường bao để làm đường kích thước, nhưng có thể dùng chúng làm đường gióng (hình 1.16) Đường gióng và đường kích thước nên được bố trí sao cho không cắt ngang các đường khác, trừ khi thật sự cần thiết.
Các đường gióng được vẽ vuông góc với đoạn có kích thước ghi rõ Khi cần thiết, chúng có thể được vẽ theo hướng xiên góc, nhưng hai đường gióng của một kích thước phải luôn song song với nhau (hình 1.17).
- Các kích thước chỉ dây cung , cung và góc được ghi như hình 1.18 a) b) c)
- Không nên ghi chữ số kích thước trong miền gạch vật liệu Trường hợp này nên ghi trên giá ngang (hình 1.19)
Trên nửa hình chiếu hoặc nửa hình cắt của các phần tử đối xứng, đường kích thước được kẻ qua trục đối xứng mà không cần vẽ mũi tên thứ hai.
Khi tâm của hình tròn nằm ngoài giới hạn cần vẽ, đường kính của bán kính sẽ được thể hiện dưới dạng gãy khúc hoặc ngắt đoạn mà không cần xác định vị trí của tâm.
- Cho phép ghi kích thước đường kính của vật thể hình trụ có dạng phức tạp trên đường kích thước rút ngắn (hình 1.22) ỉ2 5 ỉ3 5 ỉ2 8 ỉ4 0 ỉ2 6 ỉ2 2
- Trên mỗi đầu mút của đường kích thước là mũi tên Độ lớn của mũi tên tỷ lệ thuận với chiều rộng nét vẽ (hình 1.23)
Hai mũi tên được vẽ bên trong giới hạn đường kích thước; nếu không đủ chỗ, chúng sẽ được vẽ bên ngoài Có thể thay thế hai mũi tên đối nhau bằng một chấm đậm (hình 1.24).
- Chỉ vẽ một mũi tên ở đầu mút đường kích thước của bán kính b
Hình 1.23 Mũi tên Hình 1.24 Thay mũi tên bằng dấu chấm 1.7.2.3 Chữ số kích thước
- Dùng khổ chữ từ 2,5 trở lên để ghi chữ số kích thước Chữ số kích thước được đặt ở vị trí như sau:
+ Ở khoảng giữa và phía trên đường kích thước sao cho chúng không bị cắt bởi bất kỳ đường nào của bản vẽ
+ Để tránh các chữ số sắp theo hàng dọc nên đặt các chữ số so le nhau về hai phía của đường kích thước (hình 1.25)
Khi không có đủ không gian, chữ số sẽ được ghi trên đoạn kéo dài của đường kích thước, thường nằm ở phía bên phải của đường này (hình 1.26).
+ Hướng chữ số kích thước dài đặt theo hướng nghiêng của đường kích thước
+ Hướng chữ số kích thước góc được ghi như hình 1.27 ỉ350 ỉ280 ỉ240 ỉ200
Hình 1.26 Hình 1.27 Chiều con số kích thước 1.7.2.4 Chữ và ký hiệu
Ký hiệu kèm theo các chữ số kích thước như sau:
Các cạnh của ký hiệu độ dốc tương ứng song song với đường thể hiện dốc Đỉnh của kí hiệu côn hướng về đỉnh côn được ghi
- Trước các kích thước của bán kính hoặc đường kính của mặt cầu ghi chữ
1 Nói rõ ý nghĩa của việc áp dụng các Tiêu chuẩn Nhà nước và Tiêu chuẩn Quốc tế trong các bản vẽ kỹ thuật
2 Kể một số tiêu chuẩn về trình bày bản vẽ
3 Các khổ giấy chính được lập như thế nào?
4 Khung tên của bản vẽ dùng để làm gì và được đặt ở vị trí nào trên bản vẽ
5 Tỉ lệ là gì? Kích thước ghi trên bản vẽ có phụ thuộc vào kích thước của hình vẽ không?
6 Nêu ý nghĩa của một số loại nét vẽ Hình dạng và kích thước của chúng như thế nào?
7 Kích thước dài dùng trên bản vẽ dùng đơn vị gì? Cách ghi đơn vị đó như thế nào?
8 Để ghi kích thước trên bản vẽ, cần có những yếu tố nào?
9 Hướng chữ số kích thước dài và kích thước góc như thế nào?
10 Khi ghi kích thước, thường dùng những dấu và ký hiệu nào?
VẼ HÌNH HỌC
Dựng hình cơ bản
2.1.1 Dựng đường thẳng song song
Cho một đường thẳng a và một điểm C ở ngoài đường thẳng a Hãy vạch qua C đường thẳng b song song với đường thẳng a
2.1.1.1 Dựng bằng thước và compa (hình 2.1)
- Trên đường thẳng a lấy một điểm B tùy ý làm tâm, vẽ cung tròn bán kính bằng đoạn CB, cung tròn này cắt đường thẳng a tại điểm A
- Vẽ cung tròn tâm C, bán kính CB và cung tròn tâm B, bán kính CA, hai cung tròn này cắt nhau tại D
- Nối CD, đó là đường thẳng b song song với đường thẳng a
Để dựng đường thẳng song song bằng thước và êke, ta áp dụng tính chất các góc đồng vị bằng nhau của các đường thẳng song song Sử dụng êke trượt lên thước hoặc hai êke trượt lên nhau, ta có thể tạo ra các đường thẳng song song Cách thực hiện được minh họa trong hình 2.2.
- Đặt một cạnh của êke trùng với đương thẳng a đã cho và áp sát cạnh của thước vào một cạnh khác của êke
- Sau đó trượt êke dọc theo mép thước đến vị trí cạnh của êke đi qua điểm C
- Kẻ đường thẳng theo cạnh của êke đi qua điểm C, ta được đường thẳng đó
Hình 2.2 Dựng đường thẳng song song bằng thước và êke 2.1.2 Dựng đường thẳng vuông góc
Cho một đường thẳng a và một điểm C ở ngoài đường thẳng a Hãy vạch qua điểm C một đường thẳng vuông góc với đường thẳng a
2.1.2.1 Dựng bằng thước và compa (hình
- Lấy điểm C làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính lớp hơn khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng a, cung tròn này cắt đường thẳng a tại hai điểm A và B
- Lần lượt lấy A và B làm tâm, vé cung tròn có bán kính lớn hơn AB
2 Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm D
- Nối C và D, CD là đường thẳng vuông góc với đường thẳng a
Nếu C nằm trên đương thẳng a thì cách vẽ cũng tương tự như trên
2.1.2.2 Dựng bằng thước và êke
Dùng hai cạnh góc vuông của êke để vẽ, cách vẽ như sau (hình 2.4):
- Đặt một cạnh góc vuông của êke trùng với đường thẳng a đã cho và áp sát mép thước vào cạnh huyền của êke
- Trượt êke đến vị trí sao cho cạnh kia của góc vuông của êke đi qua điểm C
Hình 2.3 Dựng hình đường thẳng vuông góc bằng thước và compa
Hình 2.4 Dựng đường thẳng vuông góc bằng thước và êke
- Vạch qua C đường thẳng theo cạnh góc vuông đó của êke
2.1.3 Chia đều một đoạn thẳng
2.1.3.1 Chia đôi một đoạn thẳng
- Cách dựng bằng thước và compa: để chia đôi một đoạn thẳng AB đã cho, ta dùng thước và compa để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng đó
Hình 2.5 Chia đôi một đoạn thẳng bằng thước và compa
- Cách dựng bằng thước và êke: dùng êke dựng một tam giác cân, nhận đoạn
AB làm cạnh đáy Sau đó dựng đường cao của tam giác cân đó Cách dựng như hình 2.6
Hình 2.6 Chia đôi một đoạn thẳng bằng thước và êke 2.1.3.1 Chia một đoạn thẳng ra nhiều phần bằng nhau
Chia đoạn thẳng AB ra n phần bằng nhau
Cách vẽ như sau (hình 2.7)
- Qua A ( hoặc B) kẻ tia Ax bất kỳ ( nên vẽ góc xAB là góc nhọn)
- Đặt trên tia Ax n đoạn bằng nhau Các điểm chia là : 1’, 2’, , n’
Hình 2.7 Chia một đoạn thẳng ra nhiều phần bằng nhau
- Qua 1’, 2’, , (n-1)’ kẻ các đường song song với n’B Giao điểm 1, 2 , n trên
AB đã chia AB ra làm n phần bằng nhau
2.1.4 Vẽ độ dốc và độ côn
2.1.4.1 Độ dốc Độ dốc giữa đường thẳng AB đối với đường thẳng AC là tang của góc BCA (hình 2.8) b AB i = a ACtg
Như vậy vẽ độ dốc là vẽ góc theo tg của góc đó
Qua điểm C vẽ đường thẳng có độ dốc i = 1:5 so với đường AB
Sẽ có hai trường hợp : b a
* Trường hợp 1: Điểm C nằm trên AB
- Từ C đặt lần lượt trên AB năm đoạn bằng nhau tuỳ ý
- Từ D vẽ đường thẳng AB
- Nối E với C ta được CE có độ dốc với AB là i = 1:5
* Trường hợp 2: Điểm C ở ngoài AB
- Từ C hạ đường AB tại D
- Từ D đặt lần lượt trên AB năm đoạn bằng nhau và bằng CD
- Nối C với E ta được CE là đường có độ dốc với AB là 1:5
Độ côn được định nghĩa là tỷ số giữa sự chênh lệch đường kính của hai mặt cắt vuông góc của một hình côn tròn xoay và khoảng cách giữa hai mặt cắt đó, như minh họa trong hình 2.10.
Trong ngành chế tạo máy, những độ côn thông dụng cho các mối ghép hình côn được quy định trong TCVN 135 – 63 như sau:
Vẽ độ côn của một hình côn nghĩa là vẽ hai đường sinh ngoài cùng của hình côn đó có độ dốc đối với đường trục hình côn là K/2
Vẽ trục côn K = 1:5 với đường kính D = 20 mm và chiều dài L = 35 cm
Cách vẽ như sau (hình 2.11):
- Vẽ độ côn K = 1:5 nghĩa là ta vẽ độ dốc bằng 1:10 của hai đường sinh đối với đường trục
- Từ A và B dựng độ đốc với đường trục bằng 1:10 Muốn vậy đặt CA = CB = 10 mm
- Nối D với A và B ta được góc ADB = 2 và được độ côn K = 1:5
Hình 2.11 Cách vẽ độ côn 2.1.4.3 Cách ghi kích thước độ dốc và độ côn
Theo TCVN 5705 – 1993, trước ký hiệu kích thước chỉ độ dốc hoặc độ côn, cần ghi rõ ký hiệu tương ứng Đỉnh của các ký hiệu này phải được hướng về đỉnh góc của hình, như minh họa trong hình 2.10.
- Kích thước chỉ độ dốc viết trên giá đường dóng song song với đáy dốc
- Kích thước chỉ độ côn viết phía trên trục của hình côn hoặc trên giá đường dóng song song với trục hình côn.
Chia đều đường tròn
2.2.1 Chia đường tròn thành 3 phần và 6 phần bằng nhau
Bán kính của đường tròn được xác định bởi độ dài cạnh của hình lục giác đều nội tiếp Từ đó, có thể chia đường tròn thành 3 hoặc 6 phần bằng nhau bằng cách sử dụng thước và compa.
2.2.2 Chia đường tròn thành 4 phần và 8 phần bằng nhau
Hai đường kính vuông góc chia đường tròn thành bốn phần bằng nhau Để chia đường tròn thành tám phần bằng nhau, cần vẽ đường phân giác của các góc vuông, từ đó tạo ra bốn góc mới.
Hình 2.12 Tam giác và lục giác đều nội tiếp
Hình 2.13 Hình vuông và bát giác đều nội tiếp
2.2.3 Chia đường tròn thành 5 phần và 10 phần bằng nhau
Cách chia đường tròn ra 5 phần và 10 phần bằng nhau như sau (hình 2.14):
Hình 2.14 Ngũ giác đều nội tiếp
- Trước hết vạch hai đường kính vuông góc AB CD
- Dựng trung điểm M của bán kính OA
Vẽ một cung tròn với tâm M và bán kính MC, cung tròn này sẽ cắt bán kính OB tại điểm N Tại đây, CN sẽ là độ dài của một hình ngũ giác đều, trong khi ON là độ dài của một cạnh của hình thập giác nội tiếp trong cùng đường tròn đó.
2.2.4 Chia đường tròn thành 7, 9, 11, 13… phần bằng nhau Để chia đường tròn thành 7, 9, 11, 13… phần bằng nhau ta dùng phương pháp vẽ gần đúng
Ví dụ : Chia vòng tròn ra 7 phần bằng nhau (hình 2.15)
- Vẽ hai đường kính AB CD
- Vẽ cung tròn có bán kính CD cắt AB kéo dài ở E và F
- Chia CD ra làm 7 phần được các điểm chia 1’, 2’, 3’, , 7’
Hình 2.15 Chia đường tròn thành 7 phần bằng nhau
- Nối E và F với các điểm chẵn (hoặc lẻ) cắt vòng tròn tại các điểm 1,2,3, ,7 các điểm này là đỉnh của hình 7 cạnh đều nội tiếp trong vòng tròn
Có thể vẽ các hình đa giác đều nội tiếp trong một đường tròn cho trước bằng cách tính cạnh a_n của hình n cạnh đều dựa trên bán kính r của đường tròn ngoại tiếp Chiều dài a_n được xác định theo công thức: a_n = r * n.
Bảng 2.1 cho ta cách tính độ dài cạnh của một số đa giác đều nội tiếp trong đường tròn.
Vẽ nối tiếp
Các đường nét trong bản vẽ được kết nối liên tục và đồng đều, thể hiện sự tiếp xúc giữa hai đường.
Cung nối tiếp là một yếu tố phổ biến trong bản vẽ, được hình thành bởi một cung tròn kết nối với hai đường đã cho, có thể là đường thẳng hoặc đường tròn Để vẽ cung nối tiếp, cần áp dụng định lý về tiếp xúc giữa các đường để xác định vị trí tâm, các tiếp điểm và bán kính của cung nối tiếp.
Dưới đây là một số trường hợp vẽ nối tiếp:
Số cạnh của đa giác đều (n) Độ dài của cạnh đa giác đều (a n )
Số cạnh của đa giác đều (n) Độ dài của cạnh đa giác đều (a n )
2.3.1 Vẽ cung tròn nối tiếp với hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau, hãy vẽ một cung tròn bán kính R nối tiếp hai đường thẳng này Áp dụng tính chất tiếp xúc của đường tròn với đường thẳng để xác định vị trí tâm của cung nối tiếp và điểm tiếp xúc Cách vẽ được thực hiện theo hướng dẫn trong hình 2.17.
Hình 2.17 Cung tròn nối tiếp với hai đường thẳng
Từ góc giữa hai đường thẳng d1 và d2, chúng ta kẻ hai đường thẳng song song với d1 và d2, cách nhau một khoảng bằng bán kính R Hai đường thẳng này sẽ giao nhau tại điểm O, chính là tâm của cung nối tiếp.
- Từ tâm O hạ đường vuông góc xuống d 1 và d 2 ta được hai điểm T 1 và T 2 đó là hai tiếp điểm
- Cung nối tiếp là cung tròn T 1 T 2 tâm O, bán kính R
2.3.2 Vẽ nối tiếp hai cung tròn bằng một đoạn thẳng
Cho hai đường tròn O 1 và O 2 , bán kính là R 1 và R 2 (giả thiết R 1 > R 2 ) khoảng cách tâm O 1 O 2 = a Vẽ đường thẳng tiếp xúc cho hai đường tròn đó
- Đường thẳng tiếp xúc ngoài, cách vẽ như hình 2.18:
+ Từ O2 lần lượt kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn tâm O 1 , các tiếp điểm lần lượt là A và B
Nối O1A và O1B cắt đường tròn tâm O1 tại các điểm T1 và T1' Từ T1 và T1', kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn tâm O2, tạo thành hai đường thẳng tiếp xúc ngoài.
Hình 2.18 Đường thẳng tiếp xúc ngoài hai đường tròn
- Đường thẳng tiếp xúc trong, cách vẽ như hình 2.19:
+ Từ O2 vẽ đường tròn bán kính R 1 + R 2 + Từ O1 vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O 2 bán kính R 1 + R 2 , gọi tiếp điểm là A
+ Nối O 2 A cắt đường tròn tâm O 2 bán kính R 2 tại T 2 Từ T 2 vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O 1 , gọi tiếp điểm là T 1 ’
+ Vẽ tương tự được tiếp tuyến T 1 T 2 ’ Hai đường T 1 T 2 ’ và T 1 ’T 2 là hai đường tiếp xúc ngoài
Hình 2.19 Đường thẳng tiếp xúc trong hai đường tròn 2.3.3 Vẽ nối tiếp đường thẳng với cung tròn bằng một cung tròn khác
Cho đường thẳng d và cung tròn O1 bán kính R 1 , vẽ cung tròn bán kính R nối tiếp với đường thẳng và cung tròn đó
Có hai trường hợp: cung nối tiếp, tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong với cung tròn tâm O 1
2.3.3.1 Trường hợp tiếp xúc ngoài Áp dụng tính chất tiếp xúc của đường tròn với đường thẳng và đường tròn với đường tròn để xác định vị trí tâm cung nối tiếp và các tiếp điểm Cách vẽ như sau (hình 2.20):
Hình 2.20 Cung tròn tiếp xúc ngoài
- Vẽ đường thẳng song song với đường thẳng d đã cho và cách d một khoảng bằng bán kính R
Lấy điểm O1 làm tâm, vẽ một cung tròn phụ với bán kính bằng tổng hai bán kính R + R1 Giao điểm O giữa đường song song với d và cung tròn phụ sẽ là tâm của cung nối tiếp.
Nối đường liên tâm OO1 cắt cung O1 tại điểm T1, đồng thời hạ đường vuông góc từ O đến đường thẳng d tại điểm T2 Hai điểm T1 và T2 đóng vai trò là các tiếp điểm, trong khi cung T1T2 với tâm O và bán kính R là cung nối tiếp.
2.3.3.2 Trường hợp tiếp xúc trong
Cách vẽ như trên (hình 2.21):
- Vẽ đường thẳng song song với đường thẳng d đã cho và cách d một khoảng bằng bán kính R
Lấy O1 làm tâm, vẽ một cung tròn phụ với bán kính bằng hiệu của hai bán kính R và R1 Điểm O, nơi giao nhau giữa đường song song với d và cung tròn phụ, chính là tâm của cung nối tiếp.
Hình 2.21 Cung tròn tiếp trong
Nối đường liên tâm OO1 cắt cung O1 tại điểm T1 và hạ đường vuông góc từ O đến đường thẳng d tại điểm T2 Hai điểm T1 và T2 là hai tiếp điểm, trong khi cung T1T2 với tâm O và bán kính R là cung nối tiếp.
2.3.4 Vẽ nối tiếp hai cung tròn bằng một cung tròn khác
Cho hai cung tròn tâm O 1 và O 2 bán kính R 1 và R 2 , vẽ cung tròn bán kính R tiếp xúc với hai đường tròn đó
- Cung tròn tiếp xúc ngoài với hai cung tròn đã cho, cách vẽ như hình 2.22:
+ Từ O1 và O 2 lần lượt vẽ hai cung tròn bán kính lần lượt là R + R 1 và R+R 2 Hai cung này cắt nhau tại O, O chính là tâm cung nối tiếp
+ Nối O với O 1 và O 2 cắt lần lượt hai đường tròn tâm O 1 và O 2 tại T 1 và
T 2 Cung T 1 T 2 tâm O bán kính R là tâm cung nối tiếp
Hình 2.22 Cung tròn tiếp xúc ngoài
- Cung tròn tiếp xúc trong với hai cung tròn đã cho, cách vẽ như hình 2.23:
Hình 2.23 Cung tròn tiếp xúc trong
+ Từ O 1 và O 2 lần lượt vẽ hai cung tròn bán kính lần lượt là R - R 1 và R-R 2 Hai cung này cắt nhau tại O, O chính là tâm cung nối tiếp
+ Nối O với O1 và O 2 cắt lần lượt hai đường tròn tâm O 1 và O 2 tại T 1 và
T 2 Cung T 1 T 2 tâm O bán kính R là tâm cung nối tiếp
- Cung tròn tiếp xúc trong với một cung tròn và tiếp xúc ngoài với một cung tròn đã cho (hình 2.24)
+ Từ O1 và O 2 lần lượt vẽ hai cung tròn bán kính lần lượt là R - R 1 và R+R 2 Hai cung này cắt nhau tại O, O chính là tâm cung nối tiếp
+ Nối O với O 1 và O 2 cắt lần lượt hai đường tròn tâm O 1 và O 2 tại T 1 và
T 2 Cung T 1 T 2 tâm O bán kính R là tâm cung nối tiếp
Hình 2.24 Cung tròn vừa tiếp xúc ngoài vừa tiếp xúc trong 2.3.5 Ứng dụng
Vẽ hình chiếu của vật thể theo các kích thước đã cho hình 2.25 a) b)
Hình 2.25 Ứng dụng của vẽ nối tiếp
Vẽ một số đường cong hình học
Trong kỹ thuật, có nhiều loại đường cong khác nhau, bao gồm đường cong phẳng, đường cong không gian, đường cong có quy luật và đường cong không có quy luật.
Đường cong phẳng là loại đường cong mà tất cả các điểm đều nằm trong một mặt phẳng, trong khi đường cong không gian là đường cong mà bốn điểm liên tiếp không cùng nằm trên một mặt phẳng Đường cong có quy luật có thể được biểu diễn bằng các phương trình như đường cong đại số hay đường cong siêu việt, ngược lại, đường cong không có quy luật không thể biểu diễn bằng phương trình và chỉ có thể được minh họa bằng hình vẽ.
Sau đây giới thiệu cách vẽ một số đường cong phổ biến
Vẽ elip khi biết hai đường kính liên hiệp AB và CD
- Vẽ hai đường tròn tâm O đường kính là AB và CD
- Chia các đường tròn này ra làm n phần bằng nhau (như phần trước)
- Từ các điểm chia 1, 2, …, 12 kẻ đường song song AB
- Từ các điểm chia 1’, 2’,…,12’ kẻ các đường song song CD
- Các đường này sẽ cắt nhau tại các điểm 1’’, 2’’, …, 12’’ Nối các điểm này lại ta được elip cần vẽ (hình 2.26)
- Chú ý: Khi nối các điểm ta dùng thước cong để nối
2.4.2 Vẽ đường thân khai của đường tròn Đường thân khai của đường tròn là quỹ đạo của một điểm thuộc đường thẳng khi đường thẳng này lăn không trượt trên một đường tròn cố định Đường tròn cố định đó được gọi là đường tròn cơ sở
28 Để vẽ đường thân khai của vòng tròn cơ sở có bán kính R cách vẽ như sau:
- Vẽ đường tròn cơ sở tâm O, bán kính R
- Chia đường tròn ra làm nhiều phần bằng nhau (như phần trước)
- Tại các điểm 1, 2, …, 12 vẽ các tiếp tuyến với vòng tròn cơ sở
- Tiếp tuyến tại điểm 12 có độ dài bằng 2R
Để vẽ đường thân khai của đường tròn phục vụ cho việc tạo hình profin của răng bánh răng và dao cắt, chúng ta lần lượt đặt các đoạn bằng 1, 2, …, 12 lần đoạn 2πR/12 trên các tiếp tuyến Kết quả sẽ tạo ra các điểm M1, M2, …, M12 như trong hình 2.27.
Đường ôvan là một đường cong khép kín có hình dạng giống elíp, được tạo thành từ bốn cung tròn nối tiếp nhau và có hai trục đối xứng vuông góc Để vẽ đường ôvan với trục dài AB và trục ngắn CD, cần thực hiện theo các bước cụ thể.
- Vẽ AB CD giao nhau tại O
- Quay cung tròn tâm O bán kính OA cắt CD kéo dài tại E
- Quay cung tròn tâm C bán kính CE cắt AC tại F
- Vẽ trung trực AF cắt OA O 1 và CD kéo dài ở O 3
- Quay cung tròn tâm O bán kính OO 3 cắt CD kéo dài tại O 4
- Quay cung tròn tâm O 1 và O 2 với bán kính O 1 A và O 2 B cắt O 3 O 1 ,
- Quay hai cung tròn tâm O 3 , O 4 bán kính O 3 C và O 4 D ta được đường ôvan (hình 2.28)
Hình 2.28 Cách vẽ đường ôvan
CÂU HỎI ÔN TẬP, BÀI TẬP
1 Cách dùng êke và thước để kẻ các đường song song, các đường vuông góc như thế nào?
2 Cách chia một đoạn thẳng thành nhiều phần bằng nhau
3 Cách chia đường tròn thành nhiều phần bằng nhau
4 Làm thế nào để xác định tâm của cung tròn tiếp xúc với một đường thẳng và cách tìm tiếp điểm?
5 Làm thế nào để xác định tâm của cung tròn tiếp xúc với một đường tròn khác và cách tìm tiếp điểm?
6 Trình bày các bước vẽ cung tròn nối tiếp với hai đường tròn đã cho
7 Trình bày cách vẽ elip và ôvan theo trục dài và trục ngắn
8 Trình bày cách vẽ đường thân khai của đường tròn
9 Vẽ elip và ôvan theo trục dài AB và trục ngắn CD với các thông số sau:
10 Vẽ đường thân khai của đường tròn theo đường kính d của đường tròn cơ sở: d 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22
11 Áp dụng cách vẽ nối tiếp để vẽ các hình 2.29 theo các kích thước đã cho: ỉ 40 ỉ 18 ỉ 60
HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
Khái niệm về các phép chiếu
Trong không gian ba chiều, ta chọn một mặt phẳng P làm mặt phẳng hình chiếu và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng P làm tâm chiếu Để vẽ hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng P, ta nối điểm S với A Giao điểm giữa đoạn thẳng SA và mặt phẳng P được gọi là A’, hình chiếu của điểm A.
Hình 3.1 Phép chiếu xuyên tâm 3.1.1.2 Tính chất
- Hình chiếu xuyên tâm của một đường thẳng bất kỳ là một đường thẳng (hình 3.2)
- Hình chiếu xuyên tâm của một đường thẳng đặc biệt đi qua tâm chiếu S sẽ là một điểm (hình 3.3)
- Các đường thẳng song song có các hình chiếu xuyên tâm nói chung là các đường thẳng đồng quy d S
Hình 3.3 3.1.2 Phép chiếu song song
Trong không gian 3 chiều ta chọn một mặt phẳng P làm mặt phẳng hình chiếu, và chọn đường thẳng s làm hướng chiếu
Để vẽ hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu P, ta cần kẻ đường thẳng tia chiếu song song với hướng chiếu s Điểm cắt của tia chiếu với mặt phẳng P được gọi là A’, đây chính là hình chiếu song song của điểm A.
Hình 3.4 Phép chiếu song song 3.1.2.2 Tính chất
- Hình chiếu song song của các đường thẳng song song với nhau trong không gian 3 chiều sẽ là các đường thẳng song song (hình 3.5)
- Trong phép chiếu song song tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng bằng tỷ số đơn của ba điểm hình chiếu của chúng (hình 3.6)
- Tỷ số giữa các hình chiếu song song của 2 đoạn thẳng song song với nhau trong không gian sẽ bằng tỷ số của chính 2 đoạn thẳng đó (hình 3.7):
Phép chiếu thẳng góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song, khi ta chọn hướng chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình chiếu P (hình3.8)
Hình 3.8 Phép chiếu thẳng góc
- Phép chiếu thẳng góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có các tính chất của phép chiếu song song
Để một góc vuông chiếu thành góc vuông, cần có một trong hai cạnh góc vuông song song với mặt phẳng hình chiếu, trong khi cạnh còn lại không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu (hình 3.9).
Hình chiếu của điểm, đường thẳng và mặt phẳng
3.2.1 Hệ thống các mặt phẳng hình chiếu
Trong không gian 3 chiều ta lấy 3 mặt phẳng vuông góc nhau từng đôi một:
- Lấy P 1 thẳng đứng và gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng (hình 3.10)
- Lấy P 2 nằm ngang gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng
- Lấy P 3 ở phía bên cạnh (bên phải) gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh
Giao tuyến giữa các mặt phẳng P1 và P2 được gọi là trục chiếu x; giao tuyến giữa P2 và P3 là trục chiếu y; và giao tuyến giữa P3 và P1 là trục chiếu z Ba trục chiếu x, y, z vuông góc với nhau, tức là x ⊥ y ⊥ z.
Góc phần tư I được xác định là không gian phía trước P1 và trên P2, trong khi góc phần tư II nằm phía sau P1 và cũng trên P2 Góc phần tư III là không gian đối đỉnh với góc phần tư I, còn góc phần tư IV là không gian đối đỉnh với góc phần tư II.
3.2.2.1 Xây dựng hình chiếu của điểm Để biểu diễn một điểm A bất kỳ người ta làm như sau (hình 3.10):
- Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P 1 , được hình chiếu A 1
- Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P 2 , được hình chiếu A 2
- Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P 3 , được hình chiếu A 3 Khi đó:
- A 1 được gọi là hình chiếu đứng của điểm A
- A 2 được gọi là hình chiếu bằng của điểm A
- A 3 được gọi là hình chiếu cạnh của điểm A x y z
Hình 3.10 Hình chiếu của một điểm Hình 3.11 Đồ thức của một điểm
Sau khi thực hiện việc xoay mặt phẳng chiếu bằng P2 và mặt phẳng chiếu cạnh P3 cho trùng với mặt phẳng chiếu đứng P1, chúng ta thu được hình biểu diễn của điểm A thông qua các hình chiếu A1 và A2.
A 3 với các tính chất sau đây (hình 3.11):
- Đường gióng nối A 1 với A 2 vuông góc với trục Ox (A 1 A 2 Ox) và được gọi là đường dóng đứng
- Đường gióng nối A 1 với A 3 vuông góc với trục Oz (A 1 A 3 Oz) và được gọi là đường dóng ngang
- Khoảng cách từ điểm A 2 đến trục Ox bằng khoảng cách từ điểm A 3 đến trục
3.2.2.2 Cách vẽ hình chiếu thứ ba từ hai hình chiếu của điểm
Dựa vào 3 tính chất đồ thức của điểm đã nêu ở trên, ta có thể vẽ được hình chiếu thứ ba khi cho trước 2 hình chiếu của điểm
Cho đồ thức với 2 hình chiếu A 1 , A 2 của điểm A và 2 hình chiếu B 1 , B 2 của điểm B Hãy vẽ các hình chiếu thứ 3 là A 3 và B 3 của hai điểm đó (hình 3.12)
+ Từ A2 kẻ đường dóng ngang cắt trục Oy thẳng đứng tại Ay (gọi là Ay thẳng đứng)
Từ điểm Ay, sử dụng compa để vẽ một phần tư cung tròn với tâm O theo chiều ngược kim đồng hồ, cắt trục Oy nằm ngang tại điểm Ay (được gọi là Ay nằm ngang).
+ Từ Ay nằm ngang, kẻ đường dóng đứng cắt đường dóng ngang từ A 1 tại đâu thì đó chính là A3 (hình 3.12a)
Từ điểm B2, kẻ đường thẳng cắt trục Oy theo chiều thẳng đứng tại điểm By Từ điểm By, sử dụng compa để vẽ một phần tư cung tròn với tâm O theo chiều ngược kim đồng hồ, cắt trục Oy nằm ngang tại điểm By nằm ngang.
+ Từ By nằm ngang, kẻ đường dóng đứng cắt đường dóng ngang từ B 1 tại đâu thì đó chính là B 3 (hình 3.12b)
Hình 3.12 Cách vẽ hình chiếu thứ ba của điểm a) Vẽ hình chiếu A3 ; b) Vẽ hình chiếu B 3
3.2.2.3 Chuyển từ tọa độ Đề các (Descartes) sang đồ thức
Các trục tọa độ x, y, z vuông góc với nhau, với mối quan hệ x y z, cho phép chúng ta thiết lập hệ trục tọa độ Đề các thẳng góc.
37 vào các trục chiếu đó và các mặt phẳng tọa độ trùng với từng mặt phẳng hình chiếu: (xOy) ≡ P 2 ; (xOz) ≡ P 1 ; (yOz) ≡ P 3
Khi đó như trên hình 3.10 ta có:
X = OA - là độ xa cạnh của điểm A;
Y = OA = A A = A A - là độ xa của A;
Từ các đẳng thức trên ra có thể vẽ được đồ thức của điểm A khi cho các tọa độ
Cho điểm M(2; 4; -2) Hãy vẽ đồ thức của M
Kết hợp X M , Z M ta vẽ được M 1 (hình 3.13)
Kết hợp X M , Y M ta vẽ được M 2
Kết hợp Y M , Z M ta vẽ được M 3 x y y z
Hình 3.12 Vẽ đồ thức điểm M từ tọa độ x, y, z 3.2.3 Hình chiếu của đường thẳng
Một đường thẳng xác định bởi hai điểm, vậy hình chiếu của đường thẳng chính là hình chiếu của hai điểm thuộc đường thẳng đó (hình 3.14)
3.2.3.2 Các đường thẳng đặc biệt a Đường mặt (f) Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1: f // P 1 (hình 3.15, 3.16)
Hình 3.14 Hình chiếu của đường thẳng Tính chất:
Hình chiếu bằng của đường thẳng song song với trục x (f 2 // x) cho thấy rằng nếu đồ thức của đường thẳng có hình chiếu bằng song song với trục x, thì đường thẳng đó chính là đường mặt.
- Độ lớn của hình chiếu đứng của đoạn thẳng AB thuộc đường mặt bằng độ lớn thật của đoạn AB trong không gian: A 1 B 1 = AB
- Góc của hình chiếu đứng hợp với trục x bằng góc của đường mặt với mặt phẳng hình chiếu bằng
Hình 3.15 Hình 3.16 b Đường bằng (h) Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P 2 : h //
Hình chiếu đứng của đường thẳng song song với trục x cho thấy rằng đường thẳng đó là đường bằng Ngược lại, nếu đồ thị của đường thẳng có hình chiếu đứng là đường thẳng song song với trục x, thì đường thẳng đó cũng chính là đường bằng.
- Độ lớn của hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB thuộc đường bằng bằng độ lớn thật của đoạn AB trong không gian: A 2 B 2 = AB
Góc của hình chiếu bằng hợp với trục x tương đương với góc của đường nằm ngang so với mặt phẳng hình chiếu đứng Đường cạnh (s) được định nghĩa là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3, tức là s // P3 (hình 3.19, 3.20).
- Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường cạnh trùng nhau: s 1 ≡ s 2 (hình 3.20)
- Độ lớn của hình chiếu cạnh của đoạn thẳng EF thuộc đường cạnh bằng độ lớn thật của đoạn AB trong không gian: E3F 3
Góc của hình chiếu cạnh s3 với trục z thể hiện góc nghiêng của đường cạnh so với mặt phẳng hình chiếu đứng, trong khi góc của hình chiếu cạnh với trục x phản ánh góc nghiêng của đường cạnh so với mặt phẳng hình chiếu bằng Đường thẳng chiếu đứng (t) được xác định là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng, ký hiệu là t ⊥ P1.
- Hình chiếu đứng suy biến thành 1 điểm (hình 3.22)
- Hình chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với trục x: t 2 x
- Độ lớn của hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng chiếu đứng bằng độ lớn thực của đoạn AB trong không gian: A 2 B 2
= A 3 B 3 = AB e Đường thẳng chiếu bằng (l) Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng: l P 2 (hình 3.23, 3.24) l 2 l
- Hình chiếu bằng suy biến thành 1 điểm (hình 3.24)
- Hình chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với trục x
- Độ lớn của hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng CD thuộc đường thẳng chiếu đứng bằng độ lớn thực của đoạn CD trong không gian:
41 Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh: m P 3 (hình 3.25, 3.26) m 3 P 3
- Hình chiếu cạnh của đường thẳng chiếu cạnh suy biến thành một điểm (hình 3.26)
- Các hình chiếu đứng và hình chiếu bằng cùng song song với trục x: m 1 // m 2 // x
- Đoạn thẳng EF trên đường thẳng chiếu cạnh thì có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng bằng độ dài thật của EF trong không gian:
3.2.3.3 Điểm thuộc đường thẳng a Đường thẳng không phải là đường cạnh Định lý: điều kiện ắt có và đủ để một điểm thuộc đường thẳng là hình chiếu đứng của điểm phải thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng, và hình chiếu bằng của điểm cũng phải thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng
Giả sử điểm A thuộc đường thẳng m, thì: A 1 m 1 ,A 2 m 2 (hình 3.27) m 1 m 2
Hình 3.27 Điểm A thuộc đường thẳng m
Cho đồ thức đường thẳng a(a 1 , a 2 ) như hình 3.28 Hãy vẽ điểm M thuộc a sao cho M có độ cao là 2cm?
- Phân tích: giả sử có được M a mà Z M = 2cm tức là M 1 M x = 2cm Vậy suy ra cách vẽ như sau:
1- Vẽ đường thẳng y song song với x và cách x đoạn 2cm
3- Dóng từ M 1 xuống a 2 ta có M 2
Trong hình 3.28, điểm M được tìm trên đường thẳng a với độ cao 2cm Tuy nhiên, theo hình 3.29, định lý về điểm thuộc đường thẳng không luôn đúng nếu đường thẳng đó là đường cạnh.
Điểm không thuộc đường cạnh được thể hiện trong Hình 3.29, trong khi Hình 3.30 minh họa điểm thuộc đường cạnh Định lý đưa ra điều kiện rằng một điểm sẽ thuộc đường cạnh nếu nó là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng, đồng thời là hình chiếu cạnh của điểm thuộc hình chiếu cạnh của đường thẳng.
Để xác định một điểm trên đường cạnh, chúng ta có thể áp dụng tính chất bảo toàn tỷ số đơn trong phép chiếu song song, minh họa qua ví dụ dưới đây.
Cho đường cạnh AB(A 1 B 1 , A 2 B 2 ) và cho hình chiếu đứng của điểm C (C 1 ) biết
C AB Hãy vẽ hình chiếu bằng C 2 (hình 3.31)?
- Phân tích: 3 điểm A, B, C thẳng hàng nên tỷ số đơn bảo tồn
- Cách vẽ: để tìm C 2 ta kẻ tia A 2 x bất kỳ và đặt trên đó đoạn A2B’ = A1B 1 và
A 2 C’ = A 1 C 1 Cuối cùng ta kẻ C’C 2 // B’B 2 ta sẽ nhận được điểm C 2 A 2 B 2
Hình 3.31 Tìm điểm C thuộc đường cạnh AB 3.2.4 Hình chiếu của mặt phẳng
Một mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng, do đó, hình chiếu của mặt phẳng này chính là hình chiếu của ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó.
Hình 3.32 Hình chiếu của mặt phẳng 3.2.4.2 Các mặt phẳng đặc biệt a Mặt phẳng chiếu đứng
Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng
- Hình chiếu đứng của mặt phẳng (ABC) suy biến thành một đường thẳng trùng với vết đứng mα (hình 3.34)
- Vết bằng của mặt phẳng (ABC) vuông góc với trục x: n α x
- Góc nghiêng: (m α , x) = (α, P 2 ) b Mặt phẳng chiếu bằng
Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng
- Hình chiếu bằng của mặt phẳng β suy biến thành một đường thẳng trùng với vết bằng mβ (hình 3.37)
- Và vết đứng của mặt phẳng β vuông góc với trục x: n β x
Hình 3.35 Hình 3.36 c Mặt phẳng chiếu cạnh
Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh
- Hình chiếu cạnh của mặt phẳng suy biến thành một đường thẳng trùng với vết cạnh của nó
- Vết đứng và vết bằng song song với trục x (hình 3.38)
- Góc hợp bởi hình chiếu cạnh và trục z là góc hợp bởi mặt phẳng γ và P1
- Góc hợp bởi hình chiếu cạnh và trục y là góc hợp bởi mặt phẳng γ và P 2 d Mặt phẳng mặt
Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P 1 : α //
- Vết bằng song song với trục x: n α // x (hình 3.40)
- Mọi điểm của α có hình chiếu bằng thuộc n α
- Hình chiếu đứng của tam giác A1B1C1 nằm trong α bằng tam giác ABC thực
Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P 2 : β //
- Vết đứng song song với trục x: m β // x (hình 3.42)
- Mọi điểm của β có hình chiếu đứng thuộc m β
- Hình chiếu bằng của tam giác A 2 B 2 C 2 nằm trong mặt phẳng β bằng tam giác ABC thực e Mặt phẳng cạnh
Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3: γ //
Hình chiếu của các khối hình học
Một vật thể thường được cấu tạo từ những khối hình học cơ bản như hình lăng trụ, hình chóp, hình trụ, hình nón, hình cầu …
Sau đây là hình chiếu của các khối hình học thường gặp
3.3.1 Khối hình chữ nhật Để cho đơn giản, dễ vẽ, ta đặt đáy ABCD song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P 2 , mặt bên ABB’A’ song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P 3 Sau đó vẽ hình chiếu của các đỉnh của hình hộp trên ba mặt phẳng hình chiếu Các hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh là các hình chữ nhật thể hiện hình dạng thật của các mặt hình hộp Một hình chiếu thể hiện được hai chiều của hình hộp chữ nhật (hình 3.46)
Hình 3.46 Hình chiếu của khối hình hộp
Muốn xác định điểm K nằm trên mặt của hình hộp, vẽ qua K đường thẳng nằm trên mặt của hình hộp
3.3.2 Hình lăng trụ đều Đặt mặt đáy của lăng trụ đều song song với mặt phẳng chiếu bằng, sẽ có hình chiếu bằng thể hiện hình dạng thật của mặt đáy, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh thể hiện chiều cao của hình lăng trụ (hình 3.47) y
Hình 3.47 Hình chiếu của khối hình lăng trụ 3.3.3 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
3.3.3.1 Hình chóp đều Đặt đáy của hình chóp đều song song với mặt chiếu bằng, sẽ có hình chiếu bằng thể hiện hình dạng thật của mặt đáy; hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh thể hiện chiều cao của hình chóp (hình 3.48)
Muốn xác định một điểm K thuộc mặt của hình chóp đều, vẽ qua K đường thẳng nằm trên mặt của hình chóp đều
Hình 3.48 Hình chiếu của hình chóp 3.3.3.2 Hình chóp cụt đều y x y z
Hình 3.49 Hình chiếu của hình chóp cụt
Cách vẽ hình chiếu và xác định điểm núm trên mặt của hình chóp cụt tương tự như hình chóp Hình 3.49 minh họa hình chiếu của hình chóp cụt đều, có đáy là hình vuông đặt song song với mặt phẳng hình chiếu bằng, trong khi các cạnh của hình vuông cũng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng và mặt phẳng hình chiếu cạnh.
Khối tròn là khối hình học giới hạn bởi mặt tròn xoay hay giới hạn bởi một phần mặt tròn xoay và mặt phẳng
Mặt tròn xoay được hình thành khi một đường bất kỳ quay quanh một trục cố định Đường bất kỳ này được gọi là đường sinh, trong khi đường thẳng cố định là trục quay Mỗi điểm trên đường sinh khi quay sẽ tạo ra một đường tròn, với tâm nằm trên trục quay và bán kính tương ứng với khoảng cách từ điểm đó đến trục quay.
- Nếu đường sinh là đường thẳng song song với trục quay, sẽ tạo thành mặt trụ tròn xoay (hình 3.50a)
- Nếu đường sinh là đường thẳng cắt trục quay, sẽ tạo thành mặt nón tròn xoay (hình 3.50b)
Khi đường sinh được hình thành như nửa đường tròn và quay quanh trục là đường kính của nó, sẽ tạo ra một mặt cầu Để xác định một điểm trên mặt tròn xoay, cần dựng một đường sinh hoặc một đường tròn qua điểm đó.
Hình trụ là khối tròn xoay được hình thành khi một hình chữ nhật quay quanh một cạnh của nó Cạnh song song với trục quay tạo ra mặt xung quanh, trong khi hai cạnh còn lại của hình chữ nhật tạo thành hai mặt đáy Để đơn giản hóa hình vẽ, mặt đáy của hình trụ được đặt song song với mặt phẳng chiếu bằng, cho phép hình chiếu bằng thể hiện hình dạng thật của đáy Cả hình chiếu đứng và hình chiếu bằng đều là hai hình chữ nhật bằng nhau, trong đó một cạnh thể hiện chiều cao của hình trụ và cạnh còn lại thể hiện đường kính đáy.
Hình 3.51 Hình trụ Hình 3.52 Hình chiếu của hình trụ
Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt trụ, vẽ qua K đường sinh của hình trụ
Hình nón là một khối tròn xoay được hình thành khi một tam giác vuông quay quanh cạnh của góc vuông Đường huyền của tam giác vuông tạo nên mặt xung quanh của hình nón, trong khi cạnh góc vuông còn lại tạo thành đáy của hình nón.
Hình 3.53 và Hình 3.54 minh họa hình nón và hình chiếu của nó Để đơn giản hóa hình vẽ, đáy hình nón được đặt song song với mặt phẳng hình chiếu, từ đó tạo ra hình chiếu bằng thể hiện đúng hình dạng của đáy hình nón.
Hình 52 thể hiện hai hình tam giác cân bằng nhau, với các cạnh bên tương ứng là các đường sinh của hình nón Cạnh đáy của tam giác cân biểu thị đường kính đáy của hình nón, trong khi chiều cao của tam giác cân phản ánh chiều cao của hình nón (hình 3.54).
Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt nón, vẽ qua K đường sinh của hình nón
Hình 3.55 là các hình chiếu của hình nón cụt x y y z
Hình 3.55 Hình chiếu của hình nón cụt 3.3.4.4 Hình cầu
Hình 3.56 Hình cầu Hình 3.57 Hình chiếu của hình cầu
Hình cầu là hình dạng được hình thành từ việc quay nửa hình tròn quanh đường kính, với nửa đường tròn tạo thành bề mặt cầu và đường kính đóng vai trò là trục quay.
Các hình chiếu vuông góc của hình cầu đều là các hình tròn bằng nhau, có đường kính bằng đường kính của hình cầu (hình 3.57)
Muốn xác định một điểm K thuộc mặt cầu, vẽ qua K đường tròn song song với mặt chiếu.
Kích thước của các khối hình học
Hình chiếu thể hiện hình dạng của vật thể còn kích thước thể hiện độ lớn của vật thể
Khối hình học cơ bản có hình dạng đơn giản và thường được mô tả qua hai hình chiếu Kích thước của các khối này thường được thể hiện bằng chiều dài, chiều rộng và chiều cao, như được nêu trong bảng 3.1.
Khối hình học Khối hình học
1 Hình hộp chữ nhật hb a
3 Hình lăng trụ lục giác đều h a
CÂU HỎI ÔN TẬP, BÀI TẬP
1 Thế nào là phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu song song và phép chiếu thẳng góc?
2 Nêu cách xây dựng hình chiếu của điểm và các tính chất của các hình chiếu của điểm
3 Nêu cách vẽ hình chiếu thứ ba từ hai hình chiếu
4 Nêu cách chuyển từ tọa độ Đề các sang đồ thức của điểm
5 Nêu điều kiện để điểm thuộc đường thẳng? Biểu diễn dưới dạng đồ thức
6 Thế nào là vết của đường thẳng Tính chất vết của đường thẳng
7 Nêu điều kiện để đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng
8 Thế nào là vết của mặt phẳng Tính chất vết của mặt phẳng
9 Muốn vẽ hình chiếu của một khối đa diện, ta vẽ hình chiếu của những yếu tố hình học nào (lấy ví dụ)?
10 Làm thế nào để xác định một điểm nằm trên mặt của một khối đa diện (lấy ví dụ)?
11 Mặt tròn xoay được tạo thành như thế nào? Hãy vẽ hình chiếu của hình trụ, hình nón và hình cầu
12 Làm thế nào để xác định một điểm nằm trên mặt tròn xoay (lấy ví dụ)?
13 Vẽ hình chiếu cạnh của điểm A (hình 3.58)
14 Cho ngũ giác phẳng ABCDE, hãy vẽ hình chiếu đứng C 1 và D 1 của C và D (hình 3.59)?
15 Tìm hình chiếu còn lại của B và C biết ABC là mặt phẳng mặt (hình3.60)
16 Tìm hình chiếu còn lại của B và C biết ABC là mặt phẳng bằng (hình 3.61)
17 Tìm vết của mặt phẳng P được xác định bởi hai đường thẳng a, b biết: a a // b (hình 3.62a) b a×b (hình 3.62b) b2 b1 x a 1 a 2 a2 x b1 b 2 a1 a) b)
18 Vẽ hình chiếu d 1 của đường thẳng d biết rằng d thuộc mặt phẳng (ABC) (hình 3.63)
19 Cho hai hình chiếu của các khối hình học (hình 3.64) a Hãy vẽ hình chiếu thứ ba b Biết các điểm A, B, C… nằm trên mặt của các khối hình học và một hình chiếu của chúng, hãy tìm hai hình chiếu của các điểm
GIAO TUYẾN CỦA VẬT THỂ
Giao tuyến của mặt phẳng với khối hình học
Mặt phẳng cắt khối hình học tạo ra mặt cắt, với đường bao mặt cắt được gọi là giao tuyến Khi vẽ phần bị cắt của vật thể, thực chất là vẽ giao tuyến của mặt phẳng với khối hình học của vật thể đó.
4.1.1 Giao tuyến của mặt phẳng với khối đa diện
Giao của một mặt phẳng với một đa diện tạo thành một đa giác phẳng, trong đó mỗi cạnh của giao là giao tuyến giữa mặt phẳng và mặt bên của đa diện Đồng thời, mỗi đỉnh của giao là điểm giao nhau giữa các cạnh của đa diện và mặt phẳng cắt Để xác định giao này, có hai phương pháp khác nhau.
- Phương pháp 1- tìm đỉnh của giao: tìm mỗi đỉnh của giao bằng cách giải bài toán tìm giao điểm của một cạnh đa diện với mặt phẳng cắt
- Phương pháp 2- tìm cạnh của giao: tìm mỗi cạnh của giao bằng cách giải bài toán tìm giao của mặt phẳng cắt với một mặt bên của đa diện
Hình 4.3 Giao tuyến của mặt phẳng với khối đa diện
Vậy để giải quyết bài toán tìm giao của mặt phẳng với đa diện, ta thực hiện theo nội dung sau:
1- Tìm đầy đủ các đỉnh của giao tuyến: sử dụng phương pháp 2 ở trên
2- Nối các đỉnh của giao tuyến: để nối hai đỉnh lại với nhau ta phải xét xem 2 đỉnh đó có cùng thuộc một mặt bên của đa diện không Nếu có thì nối hai đỉnh với nhau thành 1 cạnh của giao tuyến
3- Vẽ thấy, khuất: sau khi tìm được giao thì ta xét thấy, khuất cho các cạnh của giao
Vẽ giao của mặt phẳng chiếu đứng α với hình chóp S.ABCD (hình 4.4)
Hình 4.4 Cách vẽ giao tuyến của mặt phẳng với khối đa diện
Vì α P 1 cho nên đường gấp khúc giao tuyến có hình chiếu đứng dễ dàng xác định được Và các đỉnh của đường gấp khúc là:
Từ đó dóng xuống hình chiếu bằng ta có: 12, 2 2 , 3 2 , 4 2 Đường gấp khúc giao tuyến nối theo thứ tự: 1-2-3-4-1 Hình chiếu bằng 1 2 2 2 3 2 4 2 1 2 được nối bằng đường thấy
4.1.2 Giao tuyến của mặt phẳng với hình trụ
Tùy theo vị trí của mặt phẳng đối với trục của hình trụ, để có các giao tuyến sau:
- Nếu mặt phẳng song song với trục của hình trụ thì giao tuyến là một hình chữ nhật (hình 4.5a)
- Nếu mặt phẳng vuông góc với trục của hình trụ thì giao tuyến là một hình tròn (hình 4.5b)
- Nếu mặt phẳng nghiêng với trục của hình trụ thì giao tuyến là một hình elip (hình 4.5c)
Hình 4.5 Giao tuyến của mặt phẳng với hình trụ
Hình 4.6 Hình chiếu của rãnh ở đầu trục
Đầu trục xẻ rãnh (hình 4.6) là điểm giao giữa hai mặt phẳng song song với trục hình trụ và một mặt phẳng vuông góc với trục hình trụ.
4.1.3 Giao tuyến của mặt phẳng với hình cầu
Giao tuyến giữa mặt phẳng và hình cầu tạo thành một hình tròn Khi hình tròn nghiêng so với mặt phẳng hình chiếu, hình chiếu của nó sẽ trở thành một elip.
Nếu mặt phẳng cắt song song với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của đường tròn giao tuyến trên mặt phẳng đó cũng là đường tròn
Hình 4.7 Giao tuyến của mặt phẳng với hình cầu
Đầu đinh vít chỏm cầu xẻ rãnh (hình 4.8) được hình thành từ sự giao tuyến của hai mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh và một mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng.
Hình 4.8 Hình chiếu của rãnh trên chỏm cầu
Giao tuyến của các khối hình học
Các khối hình học có thể có nhiều vị trí tương đối khác nhau Khi hai khối hình học cắt nhau, các mặt của chúng sẽ có những điểm chung, tạo thành giao tuyến giữa các mặt Tập hợp tất cả các điểm chung này được gọi là giao tuyến vật thể.
Trong thực tế, thường gặp các giao tuyến có dạng khác nhau nên các mặt của vật thể hay của chi tiết máy
Dưới đây sẽ xét cách vẽ giao tuyến của vật thể trong một số trường hợp đặc biệt thường gặp
Trong các trường hợp đặc biệt, mặt của một hoặc hai vật thể như lăng trụ hoặc hình trụ sẽ vuông góc với một hoặc hai mặt phẳng hình chiếu Kết quả là, hình chiếu của mặt vật thể trên mặt phẳng hình chiếu sẽ trở thành một đường, và đường này cũng chính là hình chiếu của giao tuyến giữa hai vật thể trên cùng mặt phẳng hình chiếu đó.
4.2.1 Giao tuyến của hai khối đa điện
Giao của hai đa diện được hình thành bởi một hoặc nhiều đường gẫy khúc, trong đó mỗi cạnh của đường gẫy khúc là giao tuyến giữa hai mặt bên của hai đa diện Đỉnh của đường gẫy khúc là giao điểm giữa một cạnh của một đa diện với đa diện còn lại.
Hình 4.9 Giao tuyến của hai khối đa điện 4.2.1.2 Phương pháp vẽ giao của hai đa diện
Có hai phương pháp để xác định giao của hai đa diện
- Phương pháp 1: Vẽ giao của từng mặt của một đa diện với đa diện còn lại
Phương pháp 2 liên quan đến việc vẽ giao của từng cạnh của một đa diện với một đa diện khác Điều này cho thấy rằng việc xác định giao của hai đa diện có thể được đơn giản hóa thành việc vẽ giao của mặt phẳng với đa diện, hoặc tương tự, giao của đường thẳng với đa diện.
Khi nối hai đỉnh của giao chi, cần sử dụng một đoạn thẳng nếu hai đỉnh đó thuộc cùng một mặt bên của hai đa diện.
Cho hình lăng trụ tứ giác giao với hình tháp Hãy vẽ giao của hai khối hình học (hình 4.10)?
Để xác định giao điểm giữa các mặt bên của hình lăng trụ và mặt hình chóp, chúng ta cần vẽ giao của mặt bên BB’CC’ với mặt chóp, tạo thành một tam giác 123 Đồng thời, khi vẽ giao của mặt AA’DD’ với chóp, ta sẽ nhận được một đường gãy khúc.
Để xác định giao điểm của mặt DD’CC’ với chóp, ta có đường gãy khúc 687 Giao điểm cần tìm bao gồm tam giác 123 và đường gãy khúc 456874 trong hình chiếu bằng Đường gãy khúc kín 456874 bị khuất do nằm trong các mặt AA’DD’, DD’CC’ không thể nhìn thấy trong hình chiếu bằng.
Hình 4.10 Cách vẽ giao hai đa diện 4.2.2 Giao của đa diện với mặt cong
Giao tuyến của đa diện với mặt cong là tập hợp các giao tuyến giữa các mặt của đa diện và mặt cong, tạo thành đường khép kín bao gồm các cung cong hoặc đoạn thẳng.
Hình 4.11 Giao của đa diện với mặt cong
Hình 4.11 minh họa rằng các mặt (m n) và (n p) của lăng trụ cắt mặt trụ tạo ra các cung elip, trong khi mặt (m p) của lăng trụ cắt mặt trụ lại cho ra các đoạn đường thẳng Các đầu mút của các cung này chính là các giao điểm giữa các cạnh đa diện và mặt cong.
4.2.2.2 Phương pháp vẽ giao tuyến
Vẽ giao tuyến của từng mặt của đa diện với mặt cong
Chú ý: Để vẽ các cung cong cho chính xác ta cần tìm các điểm mút của các cung và các điểm đặc biệt của các cung đó
Sau đây ta áp dụng phương pháp vẽ giao đa diện với một mặt cong qua ví dụ dưới đây
Ví dụ: Vẽ giao của lăng trụ chiếu đứng với mặt cầu (hình 4.12)?
Để vẽ giao của lăng trụ chiếu đứng với mặt cầu, ta cần lưu ý rằng giao tuyến sẽ có hình chiếu đứng nằm trong đáy của lăng trụ Do đó, bước đầu tiên là vẽ hình chiếu bằng của giao.
Mặt (AA’, BB’) cắt cầu theo giao tuyến tạo thành đường tròn trong không gian, với hình chiếu đứng là đoạn thẳng 2 1 - 4 1 - 6 1 đa biết Hình chiếu bằng của nó là elip, trong đó các điểm 2, 3 là đầu mút của elip; điểm 4, 5 là các điểm chung của elip với đường bao hình chiếu bằng của cầu; và điểm 6 nằm trên đường tròn lớn của mặt cầu Để vẽ hình chiếu bằng, cần gắn các điểm này vào các đường tròn bằng hoặc các đường tròn mặt của cầu.
Ta nối hình chiếu bằng các điểm 2-4, 2-6, 2-5, 2-3 sao cho tạo thành dạng elip Cung 4-6-5 nằm ở nửa trên của cầu, và mặt (AA’, BB’) nhìn thấy của lăng trụ trong hình chiếu bằng nên được nối bằng nét liền cung 42-6-2-5-2 Ngược lại, cung 2-4 và 3-5 được nối bằng nét đứt, vì chúng thuộc nửa dưới của cầu.
Mặt (AA’, CC’) của lăng trụ song song với mặt phẳng P2, do đó, cắt cầu theo đường tròn bằng Hình chiếu đứng của giao điểm là đoạn thẳng 1 1 -2 1, trong khi hình chiếu bằng được thể hiện dưới dạng cung tròn.
4.2.3 Giao của hai mặt cong
Giao của hai mặt cong tạo thành một hoặc nhiều đường cong khép kín Nếu hai mặt cong đại số có bậc lần lượt là m và n, thì giao tuyến của chúng sẽ là một đường cong đại số có bậc m.n.
Trên hình 4.13 mặt trụ bậc 2 (Ф 2 ) cắt mặt nón bậc 2 (σ 2 ) trường hợp này cho ta giao tuyến là đường cong bậc 4
Để xác định giao tuyến giữa mặt trụ và mặt nón, cần tìm các điểm chung của hai mặt cong và kết nối chúng lại Việc xác định các điểm đặc biệt tiếp xúc với đường bao của hai mặt sẽ giúp tăng độ chính xác của giao tuyến, do đó, càng có nhiều điểm chung thì kết quả càng chính xác hơn.
Vẽ giao tuyến của mặt trụ chiếu đứng với mặt nón (hình 4.14)?
