ỨNG DỤNG MAPLE TRONG dạy và học TOÁN

Nhờ các ưu điểm tính toán nhanh các nhà khoa học đãxây dựng phần mềm giúp con chúng ta xử lý các bài toán nhanh hơn với số lượnglớn.. Với các chức năng có ứng dụng cao của maple như: thự

Học viên CH K6 Phạm Thị Phương

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay tin học đã trở thành một nhu cầu không thể thiếu trong các lĩnhvực hoạt động của con người Nó góp phần giúp chúng ta trong việc soạn thảo, lậptrình, giải trí, tính toán… Nhờ các ưu điểm tính toán nhanh các nhà khoa học đãxây dựng phần mềm giúp con chúng ta xử lý các bài toán nhanh hơn với số lượnglớn

Maple là một phần mềm Toán học do Đại Học Tổng Hợp Waterloo(Canada)xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985 Sau nhiều lần cải tiến và phát triển quanhiều phiên bản khác nhau và ngày càng được hoàn thiện Maple chạy trên tất cảcác hệ điều hành, có trình trợ giúp (Help) rất dễ sử dụng Từ phiên bản 7, Maplecung cấp ngày càng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền vớitoán phổ thông và đại học Ưu điểm đó khiến ngày càng có nhiều nước trên thế giớilựa chọn sử dụng Maple trong dạy-học toán tương tác trước đòi hỏi của thực tiễn và

sự phát triển của giáo dục

Trong giáo dục việc đổi mới phương pháp dạy học đang là vấn đề được cácthầy, cô giáo và những người làm trong lĩnh vực giáo dục quan tâm Đặc biệt là vấn

đề đổi mới phương pháp dạy học cho toán phổ thông Như đã thấy môn Toán là mộtmôn khó đối với cả người dạy và người học Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để việchọc toán trở nên thuận lợi? có hiệu quả? Giúp cho học sinh yêu thích môn Toán

Với các chức năng có ứng dụng cao của maple như: thực hiện các tính toánvới khối lượng lớn, với thời gian nhanh và độ chính xác cao.Sử dụng các góichuyên dụng của Maple để giải quyết các bài toán cụ thể như: vẽ đồ thị (gói plots),hình học giải tích (gói geometry), đại số tuyến tính (gói linalg), Giải tích (góistudent), phương trình vi phân(gói DEtools), lý thuyết số (gói numtheory), Dữ liệurời rạc(gói DiscreteTransforms), Thiết kế các đối tượng 3 chiều, minh họa hìnhhọc thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh và động của các đường và mặt được cho bởi cáchàm tùy ý trong nhiều hệ tọa độ khác nhau.Tính toán trên các biểu thức đại số, Cóthể thực hiệc được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán phổ thông,đại học và sau đại học

Ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ, có khả năng tương tác với cácngôn ngữ lập trình khác.Một công cụ hữu ích cho học sinh và sinh viên trong việc

tự học.

PHẦN 1 TỔNG QUAN VỀ MAPLE

Maple là phần mềm tính toán được dùng phổ biến nó cung cấp đầy đủ cáccông cụ phục vụ cho việc tính toán số và tính toán biểu trưng (tính toán trừu tượngtrên các tham biến ) vẽ đồ thị ….Công cụ tính toán Maple giúp chúng ta giải phóngkhỏi những phép tính phức tạp vốn mất nhiều thời gian và đặc biệt giúp chúng tatránh khỏi những sai sót, nhầm lẫn khi tính toán

1.1 Cấu trúc và giao diện

- Các dữ liệu và chương trình còn lại của Maple được lưu dữ trong thư việnMaple và được chia ra thành hai nhóm: Nhóm các lệnh cơ bản và nhóm các góilệnh Gói lệnh có thể nạp vào bằng: > with (plots):

- Lệnh của Maple được gõ vào trang làm việc (worksheet) tại dấu nhắc lệnh “

>” và theo ngầm định được hiển thị bằng font Courier màu đỏ Một lệnh được kếtthúc bởi dấu “ :” hoặc dấu “ ;” và được ra lệnh thực hiện bằng việc nhấn Enter khicon trỏ đang ở trên dòng lệnh

Ví dụ

>factor(2*x^102+x^100-2*x^3-x+60*x^2+30):

Kết quả của lệnh được hiển thị ngay bên dưới dòng lệnh nếu dùng dấu “;” Cóthể dễ dàng dùng chuột và bàn phím để thực hiện các chức năng bôi đen, copy,paste, cut, delete… Đối với dữ liệu trên dòng lệnh hay kết quả thực hiện

- Maple có dịch vụ trợ giúp khá đầy đủ và thuận lợi bao gồm cú pháp, giảithích cách dùng và ví dụ đi kèm Để nhận được trợ giúp có thể:

* Nếu đã biết tên lệnh thì từ dấu nhắc gõ vào > factor

* Nếu dùng một gói lệnh thì khi nạp gói lệnh, Maple sẽ hiển thị toàn bộ

lệnh gói trong đó.

Ngoài ra còn một cách thông dụng nữa là dùng trình Help| Topic Search rồi

gõ vào từ khóa cần tìm

1.1.2 Giao diện của Maple

Giao diện maple 14

1.2 Lưu trữ và trích xuất dữ liệu

- Trang làm việc của Maple sẽ được lưu gữi bằng file có đuôi “.mvs”

- File được lưu giữ bằng trình File| save Một file được mở bằng File| OpenNgoài việc lưu giữ bằng định dạng của Maple như trên, dữ liệu có thể đượctrích xuất thành các định dạng khác như LaTex hay HTML Trích xuất bằng File|Export

1.3 Môi trường tính toán và các đối tượng làm việc

 Maple có hai môi trường làm việc là Toán và Văn bản

Sau khi khởi động, Maple tự động bật môi trường toán Muốn chuyển sang

môi trường văn bản, kích chuột vào biểu tượng T trên thanh công cụ hay vào Insert-> Text Ngược lại, từ môi trường văn bản, kích chuột vào dấu “[>” trên thanh công

cụ hay vào Insert để chuyển sang môi trường toán

Một trang làm việc (worksheet) của Maple có thể bao gồm những thành phần

cơ bản như sau:

1 Cụm xử lý(Execution Group)

2 Lệnh và kết quả tính toán của Maple

3 Mục (section)

4 Đồ thị (Graph)

5 Siêu liên kết( Hyperlink)

6 Văn bản và đoạn văn bản( Text và Paragraph)

PHẦN 2 ỨNG DỤNG CỦA MAPLE TRONG SỐ HỌC

TÍNH TOÁN SỐ HỌC THÔNG DỤNG

Các phép toán số học : +, -, *, /

Lũy thừa: ^, giai thừa: x!

Logarit: Ln(x), log[a](b), exp(x)

Các hàm lượng giác: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)

Một số hàm khác: abs(x) - |x|, sqrt(x) – căn bậc 2 của x

Ta nói a chia hết cho b, nếu tồn tại số nguyên c thỏa mãn b=a.c

Ta nói a đồng dư b modulo n (n> 0), a=b[]n, nếu

 Hàm iquo(a,b,r): trả về thương của a chia b, lưu số dư vào r

 Hàm irem(a,b,q): trả về số dư của a chia b, lưu thương vào q

- Ví dụ:

>iquo(21,8,’r’);r; 2

5

>irem(-15,7,q);q; -1

-2

2.1.2 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Cho x1,x2,……xn là các số nguyên dương

 Thuật toán Euclide tìm uscln

+ Đầu vào: Số nguyên ,b, a>b+ Đầu ra : uscln(a,b)

+ Phương pháp:

(1) Đặt r(0):=a, r(1):=b, i=1(2) Biết r(i-1), r(i) tính r(i+1):

r (i+1): = r(i) mod r(i-1)(số dư của r(i) chia cho r(i-1))Nếu r(i+1)=0, thì r(i) là uscln(a,b), kết thúc

Nếu r(i+1)<>0 thì đặt i=i+1 và quay lại bước (2)

+ Sơ đồ tính:

Số dư: r(0) r(1) r(2)… r(n-1) r(n) r(n+1)=0Thương: q(1) q(2)…q(n-1) q(n)

Cho a1,a2,….ak là các số nguyên.

 Hàm igcd(a1,a2,…,ak): trả về ước số chung lớn nhất của a1,a2,…ak

 Hàm ilcm(a1,a2,…,ak): trả về bội số chung nhỏ nhất của a1,a2,…ak

Cho x1,x2, xn là các số nguyên dương Ta nói x1, x2,…xn là nguyên

tố cùng nhau nếu uscln(x1,x2,…xn)=1

 Định lý Bezout:

Cho x1,x2, xn là các số nguyên dương Khi đó x1,x2,…xn là các sốnguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên u1,u2,…unthỏa:

 Hệ quả:

Cho a, b là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau Khi đó tồn tạicác số nguyên u, v thỏa: a.u+b.v=1

 Thuật toán giải phương trình: ax+by =1(uscln(a,b)=1)

Theo thuật toán Euclide ta có dãy

 Ví dụ: Giải phương trình: 693.x+680.y=1

Trước tiên ta tìm ước số chung lớn nhất của a=693 và b= 680 theo thuậttoán Euclide Ta có sơ đồ

Từ đó ta có: 1=13-3.4=13-3(680-52.13)=157.13-3.680= 3.680=693.157- 680;.160

157(693-1680)-Suy ra nghiệm phương trình là x=157 và y =-160

+ Ghi chú: Phương trình a.x+b.y = uscln(a,b) cũng giải bằng phương pháp

 Hàm nextprime (n): trả về số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn n

 Hàm prevprime (n): trả về số nguyên tố lớn nhất lớn hơn n

 Hàm infactor (n): trả về phân tích thừa số nguyên tố của n

tham số khác ta khai báo tham số trong hàm isolve như sau:

 Hàm isolve(p(x,y,z )=a,{<t1>,<t2>,…}): trả về nghiệm biểu diễn theo tham số <t1>, <t2>,

Ghi chú: Hàm này không áp dụng cho các kiểu biến khác

 Hàm Float( a,b): trả về số a.10^b

Ví dụ:

 Hàm convert (a, faction): trả về dạng phân số của thập phân a.

 Ý nghĩa: Với việc sử dụng các hàm trên sẽ giúp cho giáo viên ra đề

kiểm tra dễ dàng hơn, và đưa ra một kết quả chính xác nhanh gọn Học sinh

có thể so sánh kết quả bài làm của mình.

 Hàm conjugate( z): trả về số phức liên hợp của số phức z

 Hàm abs(z): trả về modun của số phức z

 Hàm evalf(z): trả về số phức dạng a+Ib với a,b là các số thập phân.

Ví dụ:

3 Bài tập vận dụng

PHẦN 3 ỨNG DỤNG MAPLE TRONG DẠY VÀ HỌC

DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH

Ngày nay, với sự trợ giúp của một số phần mềm toán học có nhiều hình vẽtrực quan sinh động Việc dạy và học toán trở nên hiệu quả hơn Vì thế, ở trong bàitiểu luận này chúng em xin giới thiệu thêm chương trình tính diện tích hình phẳng

và thể thích vật thể xoay tròn được giới hạn bởi các đường cong y=f(x),

Y= g(x), x= a, x= b với a<b trên phần mềm toán học Maple

3.1 Cơ sở lý thuyết

3.1.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=f(x),

[options options_sequence] statements_sequence;end;

Ghi chú: Để xuống dòng nhấn Shift + Enter

3.2.2 Chương trình tính diện tích và thể tích

> highphang : =module()

Option package; export sapxeptang, dientich, thetich;

Sapxeptang: =proc(danhsach::list)≠ thủ tục sắp xếp

Local tam, i, j, A, n, A: = danhsach; n:=nops(danhsach);

For i to n- 1 do for j from i +1 to n do

if is(A[j]< [i]) then tam := A[i]; A [i] :=A[j]; A[j] := tam end if

end do; end do; return A; end proc;

dientich := proc () # Thủ tục tính diện tích

local t,q,a,b,f,g;

f:= readstat(“ Nhap f(x) =”);

g:= readstat(“ Nhap g(x) =”);

a:= readstat(“ Nhap a= << neu khong co Enter bo qua>>”);

b:= readstat(“ Nhap b= << neu khong co Enter bo qua>>”);

with(student[Calculus 1];

with(plots);

print(‘ -BAIGIAI -’);

if a <> NULL and b<>NULL then

print(‘Dien tich hinh phang gioi hạn bơi cac dương cong’);

print(plot([f, g], x= -10 10, y = -10, color = [red, grenn]));

print(‘ vay dien tich la: S= ‘Int(abs(f-g), x=a…b) = int(abs(f-g), x= a…b)) end if

if a = NULL and b = NULL then

print(‘ Dien tich hinh phang gioi hạn bơi cac dương ’);

print(‘y’ = f, ‘y’=g);

print(‘ toa do giao diem cua hai dương cong ( C1) ( C2)’);

print (f-g = 0);

print( ‘suy ra nghiem’, solve({ f= g}, {x= y}));

print( ‘ do thi dương cong’);

Nhập f(x) = x3 và g(x) = 2*x ta được kết quả sau:

Dien tich hinh phang gioi han boi cac duong y=x 3 , y=2x

Toa do giao diem cua hai duong cong ( C1) va (C2) x 3 – 2x = 0

2

|x3 – 2 x | dx = 2

Đồ thị các đường cong

PHẦN 4 CễNG CỤ VẼ HèNH MINH HỌA TRONG MAPLE

4.1 Vẽ hỡnh trong hệ tọa độ Descater

4.1.1 Lệnh plot và lot3D để vẽ đồ thị hàm hiện và tham số

Lệnh vẽ hình đơn giản và thông dụng nhất là plot (trong mặt phẳng) vàplot3d (trong không gian 3 chiều) Các lệnh này nằm trong phần nhân của Maple

Cú pháp:

plot(f(x),x=a b,options) và plot3d(f(x,y),x=a b,y=c d,options)

> ?plot

> plot(x*sin(3*x),x=0 2*Pi);

Chú ý rằng lệnh trên vẽ đồ thị hàm yx sin( 3 x ) với x từ 0 đến 

T-ơng tự lệnh sau vẽ đồ thị hàm zf( x, y trong miền chỉ ra:

plot3d([ f(s,t), g(s,t), h(s,t)], s=a b, t=c d, options)

> plot3d([ 2*t-3*s^2*sin(t), s*t, 2*s -3*cos(t)], s=-2 2, t=-2 2);

Với đờng cong tham số trong không gian, dùng lệnh spacecurve trong góilệnh plots Cú pháp:

> with(plots):

h ú ý Việc vẽ từng điểm cũng có thể thực hiện với lệnh plot và plot3d

thông thờng mà không cần phải kích hoạt gói lệnh plots Khi đó trong options củaplot và plot3d, chọn style=point

Lệnh display để biểu diễn nhiều đồ thị trên cùng một hình

4.1.4.1 Rừ nột và min húa đồ thị

a Làm rõ nét của đồ thị bằng tùy chọn thickness

> f:=x->exp(x/2);

> plot({f(x),f(-x)},x=-3 3,thickness=4):

Giá trị ngầm đị nh của thickness là 0 Giá trị cao nhất là 15.

b Mịn hóa bằng cách tăng giá trị của numpoints hay với grid

numpoints thì Maple sẽ tự động gán [ n21 ] điểm cho miền xác định của từng biến.

Một cách khác để mịn hóa đồ thị là xác định giá trị cho options grid

> plot3d(sin(x)/y^2,x= -Pi Pi,y=-1 1,grid=[30,40]):

4.1.4.2 Điều chỉnh màu cho đồ thị

Màu cho đồ thì đợc điều chỉnh bằng options color

Dùng trình trợ giúp trong Maple để xem các màu có sẵn Ngời dùng có thể

định nghĩa màu mới nh cách hớng dẫn trong:

4.1.4.3 Điều chỉnh tỷ lệ giữa cỏc trục tọa độ

Khi vẽ, Maple tự động điều chỉnh tỷ lệ trên các trục tọa độ sao cho hình vẽvừa với kích cỡ hiển thị của trang làm việc Nghĩa là, độ dài đơn vị trên mỗi trục tọa

độ không nhất thiết bằng nhau Điều đó đôi khi làm cho hình vẽ không thật Tùychọn scaling=constrained bắt buộc Maple vẽ hình theo tỷ lệ 1:1 đối với các trục tọa

độ

> plot3d([cos(x)/(y^2 -1)],x=0 2*Pi,y=0 2*Pi,scaling=constrained):

4.1.4.4 Cỏc options khỏc: discont, view, label

a) Sử dụng discont=true để bỏ đi các đờng nối tại các điểm không liên tục

c) Options label dùng để đặt tên cho các trục tọa độ

> plot(-4*t^2+2*t+40.1,t =0 3,labels=["Thoi gian","Nhiet do"],

labeldirections=[horizontal,vertical],labelfont=[TIMES,BOLD,14],axesfont=[ HELVETI CA,14]);

4.1.4.5 Đồ thị hàm ẩn

a Đồ thị hàm ẩn trong mặt phẳng

implicitplot(f(x,y),a b,c d,options)

> with(plots):

> implicitplot(x^2 +y^2=1, x=-1 1, y=-1 1):

> p:= proc(x,y) if x<y then x^2+y^2 -2 else 2*x-y-1 end if end proc:

implicitplot(p, -2 2, -1 3);

Có thể vẽ nhiều đồ thị với lệnh implicitplot Ví dụ

> implicitplot([x^2 -y^2=1, y=exp(x)], x= -Pi Pi, y=-Pi Pi, color=[blue, green], legend=[plot1,plot2]);

> implicitplot3d(EP,x= -5 5,y=-7 7,z=-2 2, axes=boxed);

> implicitplot3d(HP,x= -5 5,y=-7 7,z=-2 2, axes=boxed);

> implicitplot3d(EC,x =-5 5,y=-7 7,z=-2 2, axes=boxed);

Maple vẽ các mặt này với grid ngầm định là [10,10,10] Do đó đỉnh củaEliptic Cone (0,0,0) không đợc Maple gán điểm vẽ Muốn làm cho hình vẽ chínhxác hơn, ta cần điều chỉnh grid hoặc tăng numpoints, ví dụ:

> implicitplot3d(EC,x=-5 5,y=-7 7,z=-2 2,grid=[9,9,9], axes=boxed);

> implicitplot3d(EC,x= -5 5,y=-7 7,z=-2 2,numpoints=2000, axes=boxed);

Để có đợc các hình vẽ chất lợng cao hơn, cần vẽ Elliptic cone trong hệ tọa độtrụ

4.2 Vẽ hỡnh trong cỏc hệ tọa độ khỏc

Maple cho phép vẽ đồ thị trong các hệ tọa độ khác So với đồ thị hàm ẩn, đồthị trong hệ tọa độ cực, trụ hay cầu thờng cho chất lợng cao hơn

4.2.1 Trong hệ tọa độ cực

Với options coords=polar trong lệnh plot, Maple sẽ vẽ đồ thị trong hệ tọa độ

cực Tọa độ của mỗi điểm trong hệ tọa độ cực là (r, theta ), trong đó r là khoảng

cách từ điểm đến gốc tọa độ và  là góc định hớng giữa nửa đờng thẳng chọn trớc

và véc tơ t ạo bởi điểm đó Maple đòi hỏi r là một hàm của 

Cú pháp là: plot(r(  ),  =a b, coords=polar,options)

> plot(sin(4*t),t=0 2*Pi,coords=polar,scaling=constrained);

Dạng tham số trong hệ tọa độ cực có cú pháp lệnh nh sau :

plot([r(  ),  (t),t=a b], coords=polar,options)

> plot([cos(t), 3*t,t=0 Pi], coords=polar);

Với gói lệnh plots, lệnh vẽ trong tọa độ cực là polarplot với cú pháp hoàn toàntơng tự nh trên và không cần phải có tùy chọn coords=polar

4.2.2 Trong hệ tọa độ trụ

Trong hệ tọa độ trụ, tọa độ của mỗi điểm đợc cho bởi ( r, , z ), trong đó (r, )

là tọa độ cực của hình chiếu của điểm trên mặt phẳng ( O x y) và z là khoảng cách từ

điểm đó đến một trục Oz Maple đòi hỏi r là một hàm của  và z.

Dùng lệnh plot3d với tùy chọn coords=cylindrical

Cú pháp là: plot3d(r(  ,z),  =a b,z=c d, coords=cylindrical,options)

> plot3d(theta*sqrt(1 -z), theta = 0 2*Pi, z=0 1, coords=cylindrical, axes = normal):

Với hàm tham số, cú pháp là

plot3d([r(s,t),  (s,t),z(s,t)],s=a b,t=c d, coords=cylindrical,options)

 plot3d([s,t,s^2+t^2],s= -1 1,t=0 2*Pi,c oords=cylindrical,axes=normal);

with(plots):