Bài giảng Xử lý tín hiệu số

Để tiếp cận với ngành khoa học hiện đại này, chúng ta cần được trang bị những kiến thức cơ bản về tín hiệu và hệ thống rời rạc, phân tích tín hiệu trong miền Z, miền tần số liên tục, mi

i

LỜI NÓI ĐẦU

Hiện nay, số hóa trong lĩnh vực Công nghệ thông tin và Công nghệ kỹ thuật

Điện - Điện tử đang được thực hiện trên toàn thế giới cũng như tại Việt Nam Chính vì

thế xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) đã trở thành một lĩnh vực khoa

học công nghệ quan trọng Xử lý tín hiệu số được áp dụng rất hiệu quả trong các lĩnh

vực truyền thông, truyền hình, đo lường, điều khiển, thông tin … dựa trên các phép

phân tích, tổng hợp, mã hóa, biến đổi tín hiệu sang dạng tín hiệu số

Để tiếp cận với ngành khoa học hiện đại này, chúng ta cần được trang bị những

kiến thức cơ bản về tín hiệu và hệ thống rời rạc, phân tích tín hiệu trong miền Z, miền

tần số liên tục, miền tần số rời rạc và đặc biệt là phương pháp để tổng hợp một bộ lọc

số đơn giản

Tập bài giảng Xử lý tín hiệu số được biên soạn cho đối tượng sinh viên cao

đẳng và đại học các ngành thuộc lĩnh vực Công nghệ thông tin và Điện – Điện tử,

trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định Tập bài giảng được chia làm 4 chương:

Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc

Chương 2: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền Z

Chương 3: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền tần số

Chương 4: Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (FIR)

Mỗi chương trong tập bài giảng đều hệ thống hóa các kiến thức cơ bản và cần

thiết Tương ứng với mỗi nội dung kiến thức đều có các ví dụ minh họa cụ thể Đặc

biệt, cuối mỗi chương có hệ thống các bài tập và hướng dẫn giải để giúp sinh viên dễ

dàng trong việc tự học, tự nghiên cứu

Nhóm biên soạn xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp khoa Công nghệ thông

tin và khoa Điện – Điện tử, cùng các đồng nghiệp trong trường Đại học Sư phạm Kỹ

thuật Nam Định đã giúp chúng tôi hoàn thành tài liệu này

Trong lần biên soạn đầu tiên, tập bài giảng không tránh khỏi những sai sót, rất

mong người đọc đóng góp ý kiến để tập bài giảng được hoàn thiện hơn Mọi sự đóng

góp ý kiến xin gửi về Văn phòng Khoa Công nghệ thông tin và Văn phòng Khoa Điện

- Điện tử, trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Nam Định, tháng 11 năm 2013

Nhóm biên so ạn

Th.s Hoàng Thị Hồng Hà Th.s Nguyễn Thị Thu Hằng

Th.s Cao Văn Thế

ii

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU I MỤC LỤC II

CHƯƠNG 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1

1.1 Tín hiệu và các hệ thống xử lý tín hiệu 1

1.1.1 Các định nghĩa 1

1.1.2 Các hệ thống xử lý tín hiệu 3

1.2 Tín hiệu rời rạc 5

1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc 5

1.2.2 Một số dãy rời rạc cơ bản 7

1.2.3 Một số định nghĩa 12

1.3 Các hệ thống tuyến tính bất biến 18

1.3.1 Các hệ thống tuyến tính 18

1.3.2 Các hệ thống tuyến tính bất biến 20

1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả 28

1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định 31

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 32

1.4.1 Khái niệm 32

1.4.2 Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 33

1.5 Sơ đồ thực hiện hệ thống 38

1.5.1 Các phần tử thực hiện hệ thống 38

1.5.2 Sơ đồ thực hiện hệ thống đệ quy và không đệ quy 39

1.6 Tương quan các các tín hiệu 46

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 50

CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠCTRONG MIỀN Z 56

2.1 Biến đổi Z 56

2.2.1 Biến đổi Z hai phía và một phía 56

2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi Z 63

2.2 Biến đổi Z ngược 68

2.2.1 Định nghĩa biến đổi Z ngược 68

2.2.2 Các phương pháp biến đổi Z ngược 69

2.3 Các tính chất của biến đổi Z 79

2.3.1 Tính chất tuyến tính 79

2.3.2 Tính chất trễ 80

2.3.3 Nhân với dãy hàm mũ a n .80

2.3.4 Đạo hàm của biến đổi Z 82

iii

2.3.5 Tích chập của hai dãy 82

2.3.6 Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả 83

2.3.7 Tích của hai dãy 84

2.3.8 Tương quan của hai tín hiệu 84

2.4 Ứng dụng biến đổi Z trong xử lý tín hiệu và hệ thống rời rạc 85

2.4.1 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc 85

2.4.2 Phân tích hệ thống trong miền Z 87

2.4.3 Độ ổn định của hệ thống 93

2.4.4 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dùng biến đổi Z 98

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 104

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 110

3.1 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc 110

3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier 110

3.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier 116

3.1.3 Biến đổi Fourier ngược 117

3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier 118

3.2.1 Tính chất tuyến tính 118

3.2.2 Tính chất trễ 119

3.2.3 Tính chất đối xứng 120

3.2.4 Tính chất biến đảo 123

3.2.5 Biến đổi Fourier của tích chập hai dãy 124

3.2.6 Biến đổi Fourier của tích hai dãy 124

3.2.7 Vi phân trong miền tần số 124

3.2.8 Trễ tần số 125

3.2.9 Công thức Parseval 126

3.2.10 Phổ tần số của hàm tương quan và hàm tự tương quan 127

3.3 So sánh biến đổi Fourier với biến đổi Z 128

3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc dùng biến đổi Fourier 129

3.5 Biến đổi Fourier rời rạc 132

3.5.1 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N 133

3.5.1.1 Các định nghĩa 133

3.5.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn có chu kỳ N 138 3.5.2 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn 146

3.5.2.1 Các định nghĩa 146

3.5.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều dài hữu hạn 149 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 155

iv

CHƯƠNG 4 TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI HỮU

HẠN (FIR) 162

4.1 Tổng quan về các bộ lọc số 162

4.1.1 Khái niệm 162

4.1.2 Bộ lọc số lý tưởng 162

4.1.3 Bộ lọc số thực tế 173

4.2 Đặc tính xung của bộ lọc số FIR pha tuyến tính 174

4.3 Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính 180

4.3.1 Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 180

4.3.2 Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 182

4.3.3 Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 184

4.3.4 Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 185

4.4 Tổng hợp bộ lọc số FIR bằng phương pháp cửa sổ 187

4.4.1 Giới thiệu 187

4.4.2 Các bước tổng hợp bộ lọc số theo phương pháp cửa sổ 187

4.4.3 Một số cửa sổ thường dùng tổng hợp bộ lọc số FIR 188

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 201

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 205

Đáp án chương 1 205

Đáp án chương 2 216

Đáp án chương 3 226

Đáp án chương 4 242

TÀI LIỆU THAM KHẢO IV

Tín hiệu (signal) là biểu diễn vật lý của thông tin

Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ như các tín hiệu âm thanh, ánh sáng, sóng âm, sóng điện từ, tín hiệu điện Mỗi lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng một số loại tín hiệu nhất định Trong các lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta thường sử dụng tín hiệu điện và sóng điện từ, với đại lượng mang tin tức có thể là điện

áp, dòng điện, tần số hoặc góc pha

Mỗi loại tín hiệu khác nhau có những tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả các loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất

Chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu

Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của biến tần số X(f) hay X()

Về mặt toán học, ta có thể mô tả tín hiệu như là một hàm theo biến thời gian

x(t), hàm của biến tần số X(f) hay X() hoặc hàm của nhiều biến số độc lập khác Ví

dụ hàm: 2

( ) 20

x t  t mô tả tín hiệu biến thiên theo biến thời gian t Hay một ví dụ

khác, hàm: s x y( , )3x5xyy2 mô tả tín hiệu là hàm theo hai biến độc lập x và y,

trong đó x và y biểu diễn cho hai tọa độ không gian trong mặt phẳng

b Phân lo ại tín hiệu

Các phương pháp ta sử dụng trong xử lý tín hiệu phụ thuộc chặt chẽ vào đặc điểm của tín hiệu Có những phương pháp riêng áp dụng cho một số loại tín hiệu nào đó Do vậy, trước tiên cần xem cách phân loại tín hiệu liên quan đến những ứng

dụng cụ thể Chúng ta chia tín hiệu ra làm 2 nhóm lớn: tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc

Định nghĩa tín hiệu liên tục: Nếu biến độc lập của biểu diễn toán học của một

tín hiệu là liên tục thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu liên tục

Nhận xét: Theo định nghĩa tín hiệu liên tục thì từ liên tục ở đây được hiểu là liên tục theo biến số

- Tín hiệu lượng tử hoá

Định nghĩa tín hiệu tương tự: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là liên tục thì

tín hiệu đó gọi là tín hiệu tương tự

Nhận xét: Tín hiệu tương tự liên tục theo cả biến và hàm

Định nghĩa tín hiệu lượng tử hoá: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là rời rạc

thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu lượng tử hoá

Nhận xét: Tín hiệu lượng tử hoá liên tục theo biến và rời rạc theo hàm

0 t

q 2q 3q

8q 7q

4q 5q 6q

q:mức lượng tử hóa

 

q

Hình 1.3 Tín hiệu lượng tử hóa

Định nghĩa tín hiệu rời rạc: Nếu biến độc lập của biểu diễn toán học của một

tín hiệu là rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu rời rạc

3

Nhận xét: Theo định nghĩa tín hiệu rời rạc thì từ rời rạc ở đây được hiểu là rời

rạc theo biến số

Nếu dựa vào hàm số (hay biên độ) ta có thể phân loại tín hiệu rời rạc ra làm hai loại:

- Tín hiệu lấy mẫu

- Tín hiệu số

Định nghĩa tín hiệu lấy mẫu: Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là liên tục và

không bị lượng tử hoá thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu lấy mẫu

Nhận xét: Tín hiệu lấy mẫu rời rạc theo biến, liên tục theo hàm

Hình 1.4 Tín hiệu lấy mẫu

Định nghĩa tín hiệu số: Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu

đó gọi là tín hiệu số

Nhận xét: Tín hiệu số rời rạc theo cả biến và theo cả hàm

0

q 2q 3q

8q 7q 4q 5q 6q

hạn như ta có hệ thống rời rạc hay hệ thống tương tự được phân loại tương ứng với

loại tín hiệu mà hệ thống đó xử lý là tín hiệu rời rạc hay tín hiệu tương tự

1.1.2 Các hệ thống xử lý tín hiệu

Trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, ta thường làm việc với các tín hiệu tương tự Có thể xử lý trực tiếp các tín hiệu đó bằng một hệ thống tương tự thích hợp, như minh họa trên hình 1.6, tín hiệu đầu ra cũng là tương tự

Xử lý số là một phương pháp khác để xử lý tín hiệu tương tự Tín hiệu tương

tự phải được chuyển đổi thành dạng số nhờ một bộ biến đổi tương tự/ số (ADC) trước khi xử lý Tuy nhiên, quá trình chuyển đổi tương tự/ số này cho ra một tín hiệu số không phải là biểu diễn chính xác cho tín hiệu tương tự ban đầu Khi tín hiệu tương tự được chuyển thành tín hiệu số gần đúng nhất, quá trình xử lý sẽ được thực hiện bằng

một bộ xử lý tín hiệu số DSP (Digital Signal Processor), tạo ra một tín hiệu số mới

Trong hầu hết các ứng dụng, tín hiệu số cần được chuyển đổi ngược lại thành tín hiệu tương tự nhờ một bộ biến đổi ngược số/ tương tự/ (DAC) ở cuối quá trình xử lý Hình 1.7 là sơ đồ khối một hệ thống xử lý tín hiệu bằng phương pháp số Bộ xử lý tín hiệu số DSP có thể là một mạch logic, một máy tính số hoặc là một bộ vi xử lý lập trình được

Hình 1.7 Xử lý tín hiệu số

Ưu điểm của xử lý số so với xử lý tương tự

Có nhiều nguyên nhân khác nhau khiến cho xử lý số được ưa chuộng hơn là

xử lý trực tiếp tín hiệu tương tự Trước tiên, hệ thống số có thể lập trình được, tạo ta tính mềm dẻo trong việc cấu hình lại các hoạt động xử lý bằng cách đơn giản là thay đổi chương trình, trong khi đó để cấu hình lại hệ tương tự, ta phải thiết kế lại phần cứng, rồi kiểm tra và thẩm định xem các hoạt động đó có đúng không

Độ chính xác cũng đóng một vai trò qua trọng trong việc lựa chọn bộ xử lý tín hiệu Độ sai lệch của các linh kiện tương tự khiến cho các nhà thiết kế hệ thống vô cùng khó khăn trong việc điều khiển độ chính xác của hệ thống tương tự Trong khi

đó, việc điều khiển độ chính xác của hệ thống số lại rất dễ dàng, chỉ cần ta xác định

rõ yêu cầu về độ chính xác rồi quyết định lựa chọn các bộ chuyển đổi ADC và DSP

có độ dài từ thích hợp, có kiểu định dạng dấu phẩy tĩnh hay dấu phẩy động

Trong một vài trường hợp, xử lý số rẻ hơn xử lý tương tự Giá thành thấp hơn là

do các phần cứng số rẻ hơn, hoặc là do tính mềm dẻo trong xử lý số

Tuy nhiên, xử lý số cũng có một vài hạn chế Trước tiên là sự hạn chế về tốc

độ hoạt động của các bộ chuyển đổi ADC và bộ xử lý số DSP Sau này ta sẽ thấy những tín hiệu băng thông cực lớn yêu cầu tốc độ lấy mẫu của bộ ADC cực nhanh và tốc độ xử lý của DSP cũng phải cực nhanh Vì vậy, phương pháp xử lý số chưa áp dụng được cho các tín hiệu tương tự băng thông lớn

Nhờ sự phát triển nhanh chóng của công nghệ máy tính và công nghệ sản xuất

vi mạch mà lĩnh vực xử lý tín hiệu số (DSP) phát triển rất mạnh trong vài thập niên gần đây Ứng dụng của DSP ngày càng nhiều trong khoa học và công nghệ DSP đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của các lĩnh vực như viễn thông, đa phương tiện, y học, xử lý ảnh và tương tác người - máy

Tóm lại, DSP là một lĩnh vực dựa trên nguyên lý của toán học, vật lý và khoa học máy tính và có những ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số là các hệ xử lý

số, cũng như tín hiệu số và các dãy số liệu

1.2 Tín hiệu rời rạc

1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc

Trong phần trên chúng ta đã định nghĩa tín hiệu rời rạc gồm 2 loại là tín hiệu

lấy mẫu và tín hiệu số, với kí hiệu như sau:

Ta thống nhất ký hiệu chung của tín hiệu rời rạc là ( )x nT s Như vậy ở đây nT s

là biến độc lập, n là số nguyên, T s là chu kỳ lấy mẫu Để tiện cho cách biểu diễn tín

hiệu rời rạc chúng ta sẽ chuẩn hóa biến số độc lập nT s bởi chu kỳ lấy mẫu T snhư sau:

s s

nT n

T  Như vậy sau khi chuẩn hoá ta có:

chuÈn hãa bëi

s T

x nT x n



a Bi ểu diễn toán học

Một tín hiệu rời rạc được biểu diễn bởi một dãy các giá trị thực hoặc phức Nếu tín hiệu được hình thành bởi các giá trị thực thì được gọi là tín hiệu thực Còn nếu tín

hiệu được hình thành bởi các giá trị phức thì được gọi là tín hiệu phức

Cách biểu diễn toán học của tín hiệu rời rạc x(n) như sau :

biÓu thøc to¸n( )

1

4

Hình 1.8 Biểu diễn tín hiệu bằng đồ thị

c Bi ểu diễn bằng dãy số

Trong cách biểu diễn tín hiệu bằng dãy số, chúng ta liệt kê các giá trị của x(n)

thành một dãy số như sau:

Do cách biểu diễn này, ta còn gọi tín hiệu rời rạc là dãy ( )x n

Chú ý: Tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa chỉ với giá trị n nguyên, x(n) không được coi như bằng 0 đối với các giá trị n không nguyên, x(n) không được định

nghĩa với các giá trị không nguyên này

4 2 4

x n   

1.2.2 Một số dãy rời rạc cơ bản

a Dãy xung đơn vị

Trong miền n, dãy xung đơn vị được định nghĩa như sau:

( )

0 cßn l¹i

n n

Hình 1.9 Dãy xung đơn vị ( )n

b Dãy nh ảy đơn vị

Trong miền n, dãy nhảy đơn vị được định nghĩa như sau:

Dãy này tăng giảm phụ thuộc tham số a lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1, đồ thị được

biểu diễn như trên hình 1.17

a Dãy tu ần hoàn (dãy chu kỳ)

Ta nói rằng một dãy x(n) là tuần hoàn với chu kỳ N nếu thỏa mãn điều kiện sau: x(n) = x (n + N)= x (n + lN) v ới l: số nguyên (1.7)

Khi cần nhấn mạnh tính tuần hoàn, người ta ký hiệu dấu ~ phía trên

b Dãy có chi ều dài hữu hạn

Một dãy được xác định với N mẫu hữu hạn thì ta gọi là dãy có chiều dài hữu

hạn Trong đó, N là chiều dài của dãy

c Năng lƣợng của dãy

Năng lượng của dãy x(n) được định nghĩa như sau:

E u n Dãy có năng lượng vô hạn

d Công su ất trung bình của dãy

Công suất trung bình của dãy x(n) được định nghĩa như sau:

14

Như vậy, nếu E là h x ữu hạn thì P x  Mặt khác, nếu 0 E là vô h x ạn thì công

suất trung bình P có th x ể là hữu hạn hoặc vô hạn

Nếu P x là hữu hạn (tức là 0P x   ) thì x(n) gọi là dãy công suất

Từ các ví dụ trên ta thấy rằng rect N(n ) là dãy năng lượng còn u(n) là dãy

Cho hai dãy: x n1 rect n3 1 và x n2 rect n3 2

Hãy tính tổng của hai dãy x n và 1  x n là dãy 2  x n : 3 

Cho hai dãy: x n1 rect n3 1 và x n2 rect n3 2

Hãy tính tích của hai dãy x n và 1  x n là dãy 2  x n : 3 

g Tích c ủa một dãy với hằng số

Tích của một dãy với các hằng số nhận được bằng cách nhân tất cả các giá trị

mẫu của dãy với hằng số đó

Cho tín hiệu x(n) được mô tả như sau:

Hãy biểu diễn đồ thị tín hiệu x(n)

 

1 2

2  n

-1 0 1 2 3

1 2

Nhận xét: Nhờ có phép tổng, tích và trễ chúng ta có thể biểu diễn một dãy x(n)

dưới dạng sau đây:

18

Trong đó, x(k) là giá trị x(n) tại thời điểm n = k Do vậy, về mặt bản chất x(k) và x(n) khác nhau (n là bi ến thời gian rời rạc, k là chỉ số), nhưng về mặt thể hiện x(n) và x(k) là như nhau

- Dãy vào của hệ thống được gọi là kích thích

- Dãy ra của hệ thống được gọi là đáp ứng của hệ thống ứng với kích thích đang

khảo sát

Toán tử T:

Một hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi

dãy vào thành dãy ra

Chúng ta có thể sử dụng hai loại ký hiệu toán tử sau đây:

Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu toán tử T của nó thỏa mãn

nguyên lý xếp chồng, tức là phải tuân theo quan hệ sau đây:

Hệ thống có toán tử T thỏa mãn nguyên lý xếp chồng nên là hệ thống tuyến tính

b Đáp ứng của hệ thống đối với hai kích thích riêng rẽ x1(n) và x2(n):

Hệ thống có toán tử T không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng nên không là hệ

thống tuyến tính (hệ thống phi tuyến)

c Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính:

Ta thấy rằng một dãy bất kỳ x(n) được biểu diễn bằng biểu thức tổng sau đây:

20

Đáp ứng h n k( ) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính

Nhận xét:

- Các hệ thống tuyến tính được đặc trưng hoàn toàn bởi đáp ứng xung của nó

-h n là hàm c k  ủa k và n, như vậy ở các giá trị k khác nhau sẽ cho ta các đáp ứng xung khác nhau, hệ thống tuyến tính này sẽ phụ thuộc vào biến k, nếu biến k là

thời gian, thì ta có hệ thống tuyến tính phụ thuộc vào thời gian

Sau đây chúng ta sẽ xét hệ thống tuyến tính bất biến theo k, tức là dạng của đáp

ứng xung h n không ph k  ụ thuộc vào k

Ta có h n k  là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính, phụ thuộc vào cả k và n

Nếu đáp ứng xung của hệ thống không phụ thuộc vào k, tức là nếu k là biến thời gian

thì tại mọi thời điểm khác nhau đáp ứng xung của hệ thống luôn là h n , thì   h n  

được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến Như vậy, h n s  ẽ đặc trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến, thể hiện trên hình 1.28

Đáp ứng xung h n   đặc trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến

Ý nghĩa: Trong một hệ thống tuyến tính bất biến ta có thể hoán vị đầu vào x(n)

và đáp ứng xung h(n) cho nhau thì đáp ứng ra y(n) không thay đổi

Tập hợp các giá trị tìm được ta có kết quả tích chập y(n) cần tìm

Để dễ dàng trong việc tính toán người ta đưa ra nhiều phương pháp tính phép

chập Sau đây sẽ trình bày một số phương pháp thường sử dụng để tính tích chập khi dãy x(n) và h(n) đều là các dãy hữu hạn và tồn tại trong khoảng thời gian ngắn

Phương pháp tính tích chập bằng đồ thị

Phương pháp gồm các bước sau:

Bước 1: Đổi biến n thành biến k, x n( )® x k( ) ( ), h n ® h k( ), cố định x k( )

23

Bước 2: Quay h k ( ) đối xứng qua trục tung để thu được h(- k), tức

h - k ứng với n = 0

Bước 3: Dịch chuyển h(- k)theo từng giá trị n, nếu n > 0 dịch chuyển về bên

phải, nếu n < 0 dịch chuyển về phía trái ta thu được h n( - k)

Bước 4: Thực hiện phép nhân x k h n( ) ( - k)theo từng mẫu đối với tất cả các giá

Ta thực hiện theo phương pháp tính tích chập bằng đồ thị:

- Đổi biến n thành biến k

- Giữ nguyên x(k), lấy đối xứng h(k) thành h(-k)

- Dịch h(-k) sang trái (n < 0) hoặc sang phải (n > 0) theo từng mẫu, sau đó

tính từng giá trị của y(n) ứng với từng n, cụ thể như đồ thị sau:

Hình 1.29 Minh họa tính tích chập bằng đồ thị trong ví dụ 1

Tiếp tục tính như trên ta được các giá trị:

y(3) = 2,5 y(5) = 1,5 y(7) = 0,25 y(-1) = 0 … y(- ) = 0

y(4) = 2,5 y(6) = 0,75 y(8) = 0 … y( ) = 0

Dựa vào kết quả tính toán, ta vẽ được đáp ứng ra của hệ thống:

฀฀

y n

1

1,75 2,25 2,5

1,5 0,75

n

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0,25

Hình 1.30 Kết quả tích chập trong ví dụ 1

25

Phương pháp tính tích chập theo quy luật trượt

Trong phương pháp tính tích chập theo quy luật trượt (Slide Rule Method), các bước cũng tương tự như phương pháp tính tích chập bằng đồ thị Tuy nhiên, thay vì biểu diễn đồ thị dãyx k và ( ) h(- k)thì ta biểu diễn bằng dãy số Cụ thể như sau:

Bước 1: Đổi biến n thành biến k, x n( )® x k( ) ( ), h n ® h k( ), biểu diễn x k ( )

Tiếp tục tính như trên ta được các giá trị:

y(3) = 2,5 y(5) = 1,5 y(7) = 0,25

y(4) = 2,5 y(6) = 0,75 y(8) = 0

Với n8, thì dãy h(-k ) trượt ra ngoài giá trị cuối cùng phía bên phải dãy x(k)

nên y(n)=0

Với n-1, thì dãy h(-k ) trượt ra ngoài giá trị cuối cùng về bên trái của x(k) nên y(n)=0

Phương pháp tính tích chập bằng giải tích

Xét trường hợp kích thích x(n) và đáp ứng xung h(n) đều là dãy nhân quả và có

độ dài hữu hạn Giả sử x(n) có độ dài M, và h(n) có độ dài L

Nhận xét: Nếu hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h(n) hữu hạn với

độ dài L , và kích thích x(n) hữu hạn có độ dài M, thì phản ứng y(n) có độ dài hữu hạn

2

( )( )

có đáp ứng xung h(n) hữu hạn, kích thích x(n) vô hạn Khi đó, để tìm đáp ứng y(n) ta

dùng biểu thức (1.20) với tính chất giao hoán của tích chập Khi đó, ta có:

2 0

Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở

thời điểm bất kỳ n = n 0 hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở các thời điểm tương lai n > n 0

Nói cách khác, đối với một hệ thống nhân quả đáp ứng ra không bao giờ đi trước kích thích của nó

b Định lý:

Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả phải bằng 0 với n < 0

Vậy:

Nhận xét: Các hệ thống nhân quả là hệ thống duy nhất thực hiện được về mặt

vật lý Đối với các hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả, ta có thể biến dạng công

thức tích chập dựa theo tính chất h(n) = 0 với n < 0

h 1(n) = 0 v ới n < 0 nên h 1(n) là nhân quả

h 2 (n) ≠ 0 với n < 0 nên h 2(n) là không nhân quả

Hình 1.34 Đáp ứng xung của hai hệ thống trong ví dụ 1

c Dãy nhân qu ả

Định nghĩa: Một dãy x(n) được gọi là nhân quả nếu x(n) = 0 với n < 0

Đối với một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có kích thích x(n) là nhân

Từ ví dụ 2 ta thấy rằng đối với hệ thống h(n) nhân quả có kích thích vào x(n)

nhân quả thì ra sẽ có đáp ứng ra y(n) nhân quả Tương tự, nếu ta xét trên quan điểm

chiều dài của dãy ta thấy rằng nếu:

Ở đây, ta ký hiệu L là chiều dài của dãy

Nếu hệ thống h(n) và kích thích vào x(n) nhân quả nhưng có chiều dài hữu hạn

thì ta có thể suy ra ngay chiều dài của dãy

  0, 1 1 1 1 0

L h n   N  N N 

Và: L x n    0,N2 1 N2 N2 0

Thì: L y n    0,N1N2 1 N1N21

d Dãy và h ệ thống phản nhân quả

Ngược lại với khái niệm nhân quả, chúng ta có khái niệm phản nhân quả

Một dãy x(n) được gọi là phản nhân quả nếu x(n) = 0 với n > 0

Một hệ thống rời rạc được gọi là phản nhân quả nếu đáp ứng xung h(n) của nó

thỏa mãn điều kiện h(n) = 0 với n > 0

x n

n

 

` 2

Định nghĩa: Một hệ thống tuyến tính bất biến gọi là ổn định nếu ứng với dãy

đầu vào giới hạn ta cũng có dãy đầu ra giới hạn (biên độ bị hạn chế ≠ ±∞ )

Tức là với x n    với n bất kỳ

Ta sẽ có y n    với n bất kỳ

Hệ thống này còn được gọi là hệ thống BIBO (Bounded Input Bounde Output)

Nếu a  thì chuỗi này phân kỳ 1

Vậy hệ thống này ổn định nếu a  và hệ thống sẽ không ổn định nếu 1 a  1

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

1.4.1 Khái niệm

- Phương trình sai phân tuyến tính

Về mặt toán học, kích thích vào x(n) và đáp ứng ra y(n) của hầu hết các hệ

thống tuyến tính thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính sau đây:

Ở đây N và M là các số nguyên dương

N gọi là bậc của phương trình sai phân

Nhận xét: Trong phương trình này, tập hợp các hệ số a n , k  b n s r  ẽ biểu diễn toàn bộ hành vi của hệ thống đối với một giá trị n cho trước, thay cho đáp ứng xung

- Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

33

Phương trình sai phân có tất cả các hệ số a và k b là h r ằng số được gọi là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Trong chương trình, chúng ta chỉ đi sâu nghiên cứu các hệ thống tuyến tính bất

biến mà dãy vào và dãy ra của hệ thống này được liên hệ với nhau bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N Vì vậy chúng ta nghiên cứu kỹ các phương

a b

Đáp ứng ra y(n) được xác định bởi phương trình sai phân như trên tương đương

với đáp ứng ra được xác định theo phép tích chập:

Đáp ứng xung h(n) đặc trưng cho hệ thống

Chú ý: Nếu đầu vào là xung đơn vị δ(n) thì đầu ra ta có đáp ứng xung h(n)

1.4.2 Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Khi biết kích thích x(n) và phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng của hệ

thống tuyến tính bất biến ta có thể tìm được đáp ứng y(n) và đáp ứng xung h(n) của hệ

34

thống bằng cách giải phương trình sai phân Dưới đây trình bày hai phương pháp giải

trực tiếp phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Đó là:

- Phương pháp thế

- Phương pháp tìm nghiệm tổng quát

a Phương pháp thế

Phương pháp thế giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng được thực

hiện bằng cách thế lần lượt các giá trị của x(n) vào phương trình sai phân để lần lượt tìm được các giá trị của đáp ứng y(0), y(1), y(2), …

Để giải phương trình sai phân cần phải có các điều kiện ban đầu y(-1), y(-2),

…., đó chính là các trạng thái khởi tạo của hệ thống trước khi có kích thích Hệ thống

có phương trình sai phân bậc N thì cần N điều kiện ban đầu Chúng ta sẽ nghiên cứu

phương pháp thế giải phương trình sai phân qua một vài ví dụ

Ví d ụ 1:

Tìm đáp ứng y(n) của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả được mô tả bằng

phương trình sai phân: y n( )x n( ) 0,5 ( y n 1) 0,1 (y n2), với kích thích

35,011,05,0.5,0001,015,02

225,05,01,035,0.5,0011,025,03

1475,035,01,0225,0.5,0021,035,04

09625,0225,01,01475,0.5,0031,045,05

Hãy giải phương trình sai phân: y(n)  a.y(n1)x(n)

Với kích thích x(n)  u(n) và điều kiện ban đầu y(-1) = 1

Gi ải:

Sử dụng phương pháp thế lần lượt tính được các giá trị của y(n)

0 1

1 1 0 1

0) ( ) ( )

0 1 2 2

)()(.)(.)()(.)

35

0 1 2 3 2

3

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n k

k n

a a

k n u a y

a n

()

a n y

)()

Thành phần y0(n) không ph ụ thuộc vào kích thích x(n), chỉ phụ thuộc vào hệ số

a c ủa phương trình sai phân và điều kiện ban đầu y(-1), tức là y0(n) phụ thuộc vào cấu trúc của hệ thống xử lý và giá trị khởi tạo của hệ Thành phần y0(n) chính là nghiệm

của phương trình sai phân thuần nhất tương ứng khi cho kích thích x(n) bằng không

Thành phần y p(n) ph ụ thuộc vào hệ số a của phương trình sai phân và kích thích u(n), đó là đáp ứng của hệ thống do sự cưỡng bức của kích thích, nên được gọi là thành phần của đáp ứng y(n) Có thể nhận thấy rằng, nghiệm cưỡng bức y p(n) chính là

tích chập của kích thích u(n) và đáp ứng xung h(n)  a n u(n)

Qua các ví dụ trên có thể rút ra nhận xét sau: Phương pháp thế giải trực tiếp phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng cho phép xác định các giá trị của đáp ứng

y(n) dưới dạng tường minh, nhưng có nhược điểm là việc giải mất rất nhiều thời gian,

và trong nhiều trường hợp chỉ biết được giá trị của đáp ứng y(n) mà không biết được

biểu thức toán học của nó

b Phương pháp tìm nghiệm tổng quát

Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sẽ bằng tổng nghiệm tổng quát của

phương trình thuần nhất y0(n) và nghi ệm riêng của phương trình yp(n):

)()()

(n y0 n y n

Các bước giải của phương pháp tìm nghiệm tổng quát như sau:

- Bước 1 : Tìm nghiệm y0(n) của phương trình sai phân thuần nhất

Phương trình thuần nhất là phương trình sai phân mà kích thích x(n) = 0, nó sẽ

a y n k



 

36

Ta thường tìm nghiệm dưới dạng hàm mũ y0(n) A n, thay vào ta có:

2 2

1 1

N

n n

n n

A a A

a A

a A

Hay :  ( 0  1 1  2 2   )  0

N N

N N

N

a a

a a

Bỏ qua nghiệm tầm thường  0

Giải phương trình đặc trưng :

0  1 1 2 2   0

N N

N N

a a

a

Phương trình này sẽ có N nghiệm, nếu các nghiệm này là nghiệm đơn ta có sẽ

có dạng nghiệm của phương trình thuần nhất như sau:

k k k



Trong đó A k là các hằng số sai phân được xác định từ điều kiện ban đầu

Còn nghiệm bội thì dạng nghiệm y0(n) sẽ thay đổi Giả sử 2 là nghiệm bội bậc

- Bước 2 : Tìm một nghiệm riêng yp(n) của phương trình sai phân

Đây chính là nghiệm phương trình sai phân khi đầu vào x(n) ≠ 0 Phương trình

Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sẽ là tổng của nghiệm tổng quát

của phương trình thuẩn nhất y0(n) và nghiệm riêng của phương trình có thành phần thứ hai yp(n):

) ( ) ( )

- Bước 4: Tìm các hằng số sai phân theo các điều kiện ban đầu

Chú ý:Trong bước 2 khi ta đã chọn yp(n) gi ống dạng của x(n) nhưng nếu yp(n)

lại nằm trong y0(n), t ức là trong thành phần y0(n) có y p(n ), như vậy trong y(n) thì yp(n)

là thừa và vô nghĩa Trong trường hợp này ta sẽ chọn y p(n) độc lập với các thành phần

của y0(n), cách ch ọn yp(n ) lúc này cũng giống như cách chọn y0(n) khi phương trình đặc trưng có nghiệm bội