Bài giảng xử lý tín hiệu số

CHƯƠNG I: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠCNhiễu: Do chính bản than mạch hoặc môi trường truyền phát sinh ra hoặc từ bên ngoài thâm nhập vào 1.1.1.2 Biểu diễn toán học của tín hiệu Về mặt toá

MỤC LỤC

CHƯƠNG I: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 3

1.1 Mở đầu 3

1.1.1 Phân loại tín hiệu 3

1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) 6

1.2 Tín hiệu rời rạc 7

1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc 7

1.2.2 Các tín hiệu rời rạc 8

1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc 11

1.3 Hê thống tuyến tính bất biến 15

1.3.1 Hệ thống tuyến tính 15

1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến 17

1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả 21

1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định 24

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 25

1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính 25

1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 26

0 với n còn lại 28

1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra) 28

1.4.4 Hệ thống số không đệ quy 29

1.4.5 Các phần tử thực hiện hệ thống bất biến 29

1.5 Tương quan chéo của các tín hiệu 31

1.5.1 Tương quan chéo 31

1.5.2 Hàm tự tương quan 31

CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 33

2.1 Mở đầu 33

2.2 Biến đổi Z (ZT) 33

2.2.1 Định nghĩa 33

2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi z 34

2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng 37

2.3 Biến đổi Z ngược 38

2.3.1 Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư 38

0 với n < 0 40

2.3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa 40

2.3.3 Phương pháp khai triển thành tổng của các phân thức tối giản 41

2.4 Các tính chất của biến đổi Z 42

2.4.1 Tính chất tuyến tính 42

2.4.2 Tính chất trễ 43

2.4.3 Tính chất nhân với hàm mũ an 44

2.4.4 Đạo hàm của biến đổi Z ( tính đạo hàm của n.x(n) ) 45

2.4.5 Tích chập của hai dãy 45

2.4.6 Tương quan của hai tín hiệu 46

2.4.7 Dãy liên hợp phức 47

2.4.8 Định lý giá trị ban đầu 48

2.4.9 Tích của hai dãy 48

2.5 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z 48

2.5.1 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc 48

2.5.2 Hàm truyền đạt của một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 49

2.5.3 Các phần tử thực hiện hệ thống tuyến tính bất biến 50

2.5.4 Phân tích hệ thống trong miền Z 51

1

2.5.5 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng nhờ biến đổi Z 53

2.6 Độ ổn định của hệ thống 54

2.6.1 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến 54

2.6.2 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả 55

2.6.3 Tiêu chuẩn ổn định Jury 56

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU 58

RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 58

3.1 Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc 58

3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier (Fourier Transform) 58

3.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier 60

3.1.3 Biến đổi Fourier ngược (Inverse Fourier Transform) 61

3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier 62

3.2.1 Tính chất tuyến tính 62

3.2.2 Tính chất trễ 63

3.2.3 Tính chất trễ tần số 64

3.2.4 Tích chập của hai dãy 65

3.2.5 Tính chất đối xứng 66

3.2.6 Tương quan giữa hai tín hiệu 66

3.2.7 Quan hệ Parseval 66

3.2.8 Tích của hai dãy 67

3.2.9 Vi phân trong miền tần số 68

3.2.10 Tính chất đảo biến số 68

3.3 So sánh biến đổi Fourier và biến đổi Z 68

3.3.1 Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z 68

3.3.2 Đánh giá hình học X(ejw) trên mặt phẳng Z 69

3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục 70

3.4.1 Đáp ứng tần số 70

3.4.2 Các bộ lọc số lý tưởng 71

3.5 Lấy mẫu tín hiệu 75

3.5.1 Định lý lấy mẫu 75

3.5.2 Tần số Nyquist 77

CHƯƠNG 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG 78

RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 78

4.1 Mở đầu 78

4.2 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N 78

4.2.1 Các định nghĩa 78

4.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn .79

có chu kỳ N 79

4.3 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài 81

hữu hạn 81

4.3.1 Các định nghĩa 81

4.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều .81

dài hữu hạn 82

4.3.3 Khôi phục biến đổi Z và biến đổi Fourier từ DFT 83

4.4 Biến đổi nhanh Fourier rời rạc (FFT) 84

4.4.1 Mở đầu 84

4.4.2 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian 87

4.4.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số 91

4.4.4 Tình FFT ngược 92

92

2

CHƯƠNG I: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC

Nhiễu: Do chính bản than mạch hoặc môi trường truyền phát sinh ra hoặc từ bên ngoài thâm nhập vào

1.1.1.2 Biểu diễn toán học của tín hiệu

Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều biến số độc lập

Ví dụ : Ta có tín hiệu microphone Sa(t) được biểu diễn trên hình 1.1

Hình 1.1

Sa(t)

n Z0

t

3

Từ hình 1.1 ta thấy Sa(t) là hàm một biến số, biến số này là thời gian t Vì là hàm của một biến nên ta còn gọi là tín hiệu một chiều.

1.1.1.3 Phân loại tín hiệu

Các tín hiệu trên thực tế được phân loại như sau:

1.1.1.3.1 Định nghĩa tín hiệu liên tục ( y=f(x) )

Nếu biến độc lập của sự biến đổi toán học của một tín hiệu là liên tục, thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu liên tục

Nhận xét: Như vậy theo định nghĩa tín hiệu liên tục, thì từ liên tục ở đây được

hiểu là liên tục theo biến số, còn xét theo hàm hay biên độ thì ta có tín hiệu tương tự

Và tín hiệu lượng tử hóa

+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu tương tự nếu hàm (biên độ) của tín hiệu liên tục là liên tục

+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu lượng tử hóa nếu hàm (biên độ) của tín hiệu liên tục

là rời rạc

Mỗi mức lượng tử được chỉ định một giá trị số 8(n) bit, kết hợp 8(n) bit có 256 (2n) mức hay giá trị Qui ước bit đầu tiên dùng để đánh dấu giá trị âm hoặc dương cho mẫu Bảy bít còn lại biểu diễn cho độ lớn; bit đầu tiên chỉ nửa trên hay nửa dưới của dãy, bit thứ hai chỉ phần tư trên hay dưới, bit thứ 3 chỉ phần tám trên hay dưới và cứ thế

4

TÍN HIỆU

Tín hiệu rời rạcTín hiệu liên tục

Tín hiệu số

Ví dụ: Chúng ta có hai tín hiệu liên tục có biến số là thời gian t được biểu diễn trên

hình 1.2a là tín hiệu tương tự và hình 1.2b là tín hiệu lượng tử hóa

Hình 1.2: Hai tín hiệu liên tục có biến số là thời gian t

(a): Là tín hiệu tương tự (b): Tín hiệu lượng tử hóa

1.1.1.3.2 Định nghĩa tín hiệu rời rạc

Nếu tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu rời rạc

Nhận xét: Theo định nghĩa thì từ rời rạc ở đây được hiểu là rời rạc theo biến số.

Nếu dựa vào hàm hay biên độ, chúng ta cũng có tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số.+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu lấy mẫu nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là liên tục (không bị lượng tử hóa) Tín hiệu lấy mẫu rời rạc theo hàm, liên tục theo biến.+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu số nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc

Nhận xét: Như vậy tín hiệu số được gọi là tín hiệu rời rạc hóa cả về biến số và

biên độ Còn tín hiệu tương tự là tín hiệu liên tục cả về biến số và biên độ

Ví dụ : Chúng ta có hai tín hiệu rời rạc có biến số là thời gian t được biểu diễn trên

hình 1.3, thời gian t được rời rạc hóa với chu kỳ Ts Hình 1.3 (a) là tín hiệu lấy mẫu

và (b) là tín hiệu số

69 59 49 39 29 19 9

tt

5

(a) (b)

Hình 1.3

1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing)

Sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu (theo hình 1.4):

Hình 1.4

Trong đó:

- LPF: Low Pass Fillter (Bộ lọc thông thấp)

- S&H: Sample And Hold (lấy và giữ mẫu)

- ADC: Analog Digital Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu tương tự - số)

- DAC: Digital Analog Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu số – tương tự)

LPF

Ya(t)

Xd(t)Yd(t)

6

xd(n.Ts)

Như vậy, tín hiệu của bộ biến đổi ADC là tín hiệu số Xd(n), đó là tín hiệu của hệ thống xử lý tín hiệu số DSP, DSP làm nhiệm vụ xử lý tín hiệu số Xd(n) và đưa ra tín hiệu số Yd(n)

1.2 Tín hiệu rời rạc

1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc

Tín hiệu rời rạc có hai loại :

- Tín hiệu lấy mẫu, ký hiệu là xs(nTs)

- Tín hiệu số, ký hiệu là xd(nTs)

Bây giờ ta thống nhất ký hiệu chung tín hiệu rời rạc là x(nTs) Như vậy nTs là biến độc lập, n là số nguyên Ts là chu kỳ lấy mẫu Để tiện cho biểu biểu diễn tín hiệu rời rạc chúng ta chuẩn hóa biến số độc lập nTs như sau:

x(nTs)

Có ba cách biểu diễn tín hiệu rời rạc hay dùng là :

- Biểu diễn bằng biểu thức toán học

- Biểu diễn bằng đồ thị

- Biểu diễn bằng liệt kê các phần tử

1.2.1.1 Biểu diễn toán học

Tín hiệu rời rạc x(n) được biểu diễn dưới dạng toán học như sau:

Biểu diễn toán học với N1 ≤ n≤ N2

x(n) =

0 với n còn lại

n, N1, N2 là nguyên (còn các giá trị không nguyên ta không xét)

Ví dụ : Hãy cho cách biểu diễn toán học của một tín hiệu rời rạc nào đó.

Để tiện minh họa một cách trực quan, trong nhiều trường hợp chúng ta dùng biểu diễn đồ thị.

Ví dụ : Hãy vẽ đồ thị tín hiệu rời rạc trong ví dụ trên

1 với 0 ≤ n ≤ 3

x(n) =

0 với n còn lại

Hình 1.5 Biểu diễn tín hiệu bằng đồ thị

1.2.1.3 Biểu diễn bằng dãy số

Chúng ta biểu diễn bằng cách liệt kê các giá trị của x(n) thành một dãy số như sau :

x(n)={…, x(n-1), x(n), x(n+1), …}

n

Để chỉ ra các giá trị của x(n) tại vị trí thứ n, ta dùng kí hiệu n , bởi vì khi dùng biểu diễn này ta không biết đâu là x(n)

Vì tín hiệu rời rạc thực chất là các dãy số nên ta thường gọi là dãy x(n)

Ví dụ : Biểu diễn dãy sau bằng cách liệt kê các phần tử

01

)

(

n Khi

n Khi n

- 1

x ( n )

n

2 1

1

- 1

k n Khi k

n

0

1)(δTrên hình 1.6 là đồ thị của các dãy xung đơn vị δ(n - 5)

1.2.2.2 Dãy nhảy đơn vị

Dãy nhảy đơn vị được định nghĩa như sau trong miền n

0 0

)

(

n Khi

n Khi n

Hình 1.7 Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị

Mở rộng có dãy nhảy đơn vị u(n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :

k n Khi k

n u

0

1)(

9

3

- 1 1 2

. ∞

) ( , )

(

10

0

10

1

N

N

n Khi

n Khi n

rectN

Đồ thị của rectN(n) có dạng như hình bên :

Mở rộng có dãy chữ nhật rectN(n-k) với k là số nguyên dương hoặc âm

∉

−+

∈

=

−

)(

,

)(

,)

(

10

11

k N k

k N k k

n Khi

n Khi n

rect N

Ví dụ : Biểu diễn rectN(n-2) và rectN(n+2) bằng đồ thị

Hình 1.8 Biểu diễn rectN(n-2)

n

6 5

0 1 2 3 4 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 1

Dãy hàm sin có dạng như sau :

( )n n

n

x

N sin 0sin

Hình 1.10 Đồ thị dãy sin(w 0 n) với N=10

1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc

1.2.3.1 Định nghĩa dãy tuần hoàn (dãy chu kì)

Một dãy x(n) được gọi là tuần hoàn với chu kì N nếu :

x(n) = x(n+N) = x(n+kN) với n, k, N nguyên, N: chu kỳ tuần hoàn

Giá trị nhỏ nhất của N thỏa mãn công thức được gọi là chu kì cơ bản Nếu không

có giá trị nào của N để công thức trên thỏa mãn thì tín hiệu là không tuần hoàn

Ta kí kiệu dãy tuần hoàn như sau : xp(n)

Ví dụ: Hãy vẽ một dãy tuần hoàn với chu kỳ N=4

Giải : Dãy xp(n) cho trên hình 1.11

Hình 1.11 Biểu diễn dãy tuần hoàn bằng đồ thị.

1.2.3.2 Định nghĩa dãy có chiều dài hữu hạn

Một dãy x(n) xác định với một số hữu hạn mẫu thì được gọi là dãy có chiều dài hữu hạn (chiều dài của dãy tính bằng số mẫu có giá trị khác 0)

0 ,5 9

0 ,9 5

Ví dụ : Tính chiều dài của các dãy số (hay các tín hiệu rời rạc)

1.2.3.3 Năng lượng và công suất của dãy

1.2.3.3.1 Năng lượng của dãy

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N: ∑−

N n

1.2.3.3.2 Công suất trung bình của dãy

Công suất trung bình P x của tín hiệu số x(n) được tính như sau:

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:

1 N

n

N N

x E P

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):

∑

−

=+

=+

N n

x

N N

E

)(

)(

2 2

1 2

1 1

) ( )

(

1 N

n N N

N N

x

E P

12

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:

N n N

x N

N N

E

)()

(

2 2

1 2

1 1

1.2.3.4 Các phép toán đối với tín hiệu rời rạc

1.2.3.4.1 Phép cộng hai dãy

Định nghĩa: Tổng của hai dãy thu được là một dãy bằng cách cộng đôi một giá

trị mẫu của các phần tử có cùng trị số của biến độc lập

Ví dụ: Cho hai dãy x1(n) = rect3(n-1) và x2(n) = rect2(n-2)

1.2.3.4.2 Phép nhân hai hai dãy

Tích của hai dãy thu được là một dãy thu được bằng cách đem nhân tương ứng các phần tử có cùng trị số của biến độc lập

Ví dụ : Cho hai dãy số x1(n) và x2(n) như ví dụ trên

Tính x3(n) = x1(n).x2(n)

Giải :

Vẽ x3(n)

1.2.3.4.3 Phép nhân tín hiệu với một hằng số

Tích của một dãy với một hằng số là một dãy nhận được bằng cách nhân tất cả các giá trị mẫu của dãy với chính một hằng số đó

n

1 2 3

14

- Dãy vào được gọi là dãy kích thích (hoặc kích thích).

- Dãy ra được gọi là dãy đáp ứng của hệ thống với kích thích đang khảo sát

1.3.1.2 Đặc trưng của hệ thống

Một hệ thống xử lý số được đặc trưng bởi toán tử T, toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào thành dãy ra

Ký hiệu: T[x(n)] = y(n) hoặc x(n)  y(n)

Ta có thể biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ :

Nguyên lý xếp chồng: Đáp ứng của hệ thống với tác động là tổng của các tín hiệu bằng tổng các đáp ứng của hệ thống khi tác động đầu vào là từng tín hiệu riêng lẻ.

Ta có:

T[a.x 1 (n) + b.x 2 (n)] = a.T[x 1 (n)] + b.T[x 2 (n)] = a.y 1 (n) + b.y 2 (n)

Với mọi dãy tín hiệu đầu vào x1(n), x2(n) và a,b là hằng số

Ví dụ : Kiểm tra tính chất bất biến của các hệ thống sau :

Vậy hệ thống không tuyến tính

1.3.1.4 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính

Một dãy bất kỳ x(n) có thể được biểu diễn tổng quát như sau :

Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi toán tử T (T thỏa mãn nguyên lý xếp chồng), ta có thể viết :

16

x( ) [δ( )] (vì x(k) độc lập với n)Đặt h(n-k) = hk(n) = T[δ(n−k)]

x( ) ( )Đáp ứng h(n-k) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính

x( ) ( )Như vậy, hk(n) là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính Còn h(n) là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến, lúc này h(n) sẽ phụ thuộc vào k, tức là nếu biến là thời gian thì ở mọi thời điểm khác nhau, đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến luôn là h(n) Đến đây thì ta có thể nói rằng đáp ứng xung h(n) sẽ đặc trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến

x( ) ( )= x(n)*h(n) (1)(1) là công thức tính tích chập của x(n) và h(n), tích chập được ký hiệu bằng dấu ‘*’

* Chú ý: Tích chập này chỉ đúng với hệ thống tuyến tính bất biến, vì nó được định nghĩa chỉ cho hệ thống này

k n h

k

k

h = h(0) + h(-1) + h(-2) =1 + 0 + 0 = 1+ Với n = 1 thì y(1) = h(-1) + h(0) + h(1) = 0 + 1 +1/2 = 3/2

x( ) ( )Đặt m = n – k ⇔k =n−m

Với k = -∞⇒m→+∞

Với k = +∞⇒m→−∞

⇒x(n) * h(n) = x(n m).h(m) h(m).x(n m) h(n)*x(n)

m m

x( ) 1( )] 2( )[

−

k

k n h k n h k

−

k

k n h k x k n h k

−

k n h k x k

n h k

n > n0 ).

Nói một cách khác, một hệ thống nhân quả đáp ứng ra không bao giờ đi trước kích thích của nó

Hệ thống nhân quả luôn thỏa mãn điều kiện :

Nếu : Kích thích x(n) = 0 với mọi n < k

Thì : Đáp ứng y(n) = 0 với mọi n < k

1.3.3.2 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả

Định lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn điều kiện sau:

h(n) = 0 với ∀n< 0 (1.1)

- Chứng minh điếu kiện cần : Ta cần chứng minh, nếu hệ thống là tuyến tính bất biến thì đặc tính xung h(n) thỏa mãn điều kiên h(n) = 0 với mọi n < 0

Xét hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả với kích thích là x(n) = x1(n) x2(n)

Với giả thiết rằng: x1(n) = x2(n) với ∀n < n0 (n0 là một hằng số) và

)()

(1)

()

(1)

()

(1

n k

n k k

k n h k x k

n h k x k

n h k x

)()

(2)

()

(2)

()

(2

n k

n k k

k n h k x k

n h k x k

n h k x

−

−

0

1 0

)()]

(2)(1[)(.)]

(2)(1[

n k

n k

k n h k x k x k

n h k x k x

Vì x1(n) = x2(n) với mọi n < n0, nên [x1(k) – x2(k)] = 0 với mọi k < n0

Nên y(n) = y1(n) – y2(n) = ∑∞

(2)(1[

n k

k n h k x k

21

Do hệ thống là nhân quả , nên nếu x1(n) – x2(n) = 0 với mọi n < n0

Thì ta có : y(n) = y1(n) –y2(n) = 0 với mọi n < n0 (1.3)

Vì x1(k) ≠ x2(k) với mọi k ≥ 0 nên (1.2) chỉ đúng với (1.3) nếu:

Đây cũng chính là (1.4), điều kiện cần của định lý đã được chứng minh

- Chứng minh điều kiện đủ : Ta cần chứng minh, nếu hệ thống là tuyến tính bất biến có đặc tính xung h(n) = 0 với mọi n < 0, thì hệ thống đó là nhân quả

Vì đặc tính xung h(n) = 0 với mọi n < 0 nên đáp ứng ra của hệ thống là y(n) = h(n) * x(n) = 0 với mọi n < 0 Nếu chứng minh được x(n) = 0 với mọi n < 0, thì theo điều kiện (3) hệ thống tuyến tính bất biến là nhân quả

Vì h(k) = 0 với mọi k < 0 nên ta có :

()

()

(

k k

k n x k h k

n x k

Điều kiện đủ của định lý đã được chứng mịnh

Như vậy định lý đã được chứng minh

Do h(-1) = 1 ≠0 nên hệ thống tuyến tính bất biến không nhân quả

h2(n) = T2[δ(n)] = δ(n)+δ(n−1)

Do h2(n) = 0 với mọi n < 0 Vậy hệ thống là tuyến tính bất biến nhân quả

1.3.3.3 Dãy nhân quả

Dãy x(n) được gọi là nhân quả, nếu x(n) = 0 với mọi n < 0

Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính nhân quả và lối vào x(n) là một dãy nhân quả thì đầu ra được tính như sau :

k n x k h k

n h k

k n h k x

0

)()

k n h k x

0

)()

( = ∑k 0=n bk.an-k = an ∑k 0 n= (a-1b)k

an.= n ≥ 0

⇒ y(n) là nhân quả

Nhận xét: Hệ thống h(n) là nhân quả có kích thích vào x(n) nhân quả thì ta sẽ có đáp ứng ra y(n) là nhân quả

1.3.3.4 Tín hiệu và hệ thống phản nhân quả

Một hệ thống được goi là phản nhân quả nếu h(n) của nó thỏa mãn h(n) = 0 với mọi n > 0

Một dãy x(n) được gọi là phản nhân quả nếu x(n) = 0 với mọi n > 0

23

Ví dụ: Hệ thống nào là phản nhân quả trong các hệ thống có h(n) dưới đây:

(1) h1(n) = δ(n+1)+δ(n+2)+δ(n+3)

(2) h2(n) = δ(n−2)+δ(n−1)+δ(n)

Giải:

(1) h1(n) = 0 với mọi n > 0, nên hệ thống là phản nhân quả

(2) h2(n) = 0 với mọi n < 0, nên hệ thống là nhân quả

1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định

1.3.4.1 Định nghĩa

Một hệ thống được gọi là ổn định nếu ứng với dãy vào giới hạn, ta có dãy ra giới hạn, nghĩa là :

|x(n)| < ∞ với mọi n thì |y(n)| < ∞ với mọi n.

Ví dụ: Cho hai hệ thống : h1(n) = rect4(n), h2(n) = u(n), giả sử lối vào của hai hệ thống là x(n) = u(n) Hãy xét sự ổn định của hai hệ thống trên

⇒|x(n)| < ∞ với mọi n (vì x(n) = 0 hoặc = 1)

Ta sẽ tìm lối ra của h1(n), h2(n) rồi dựa vào định nghĩa để kết luận

()

(1

k k

k n x k

n x k h

y1(n) = 4 với mọi n ≥ 4

Như vậy : |y(n)| < ∞với mọi n

24

⇒ h1(n) = rect4(n) là đáp ứng xung của một thống ổn định.

Với h2(n) = u(n), ta thấy x(n) nhân quả, chiều dài vô hạn và h2(n) nhân quả chiều dài vô hạn

⇒y2(n) = x(n) * h(n) = ∑

=

−

n k

k n h k x

0

)(2)

⇒ y2(n) →∞khi n →∞

Vậy ứng với x(n) giới hạn, ta có y2(n) không giới hạn ⇒ Hệ thống không ổn định.

1.3.4.1 Định lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định nếu và chỉ nếu đáp ứng

|

|)(.3

|

|)(

|

n n

n

n u n

⇒ Hệ thống là không ổn định.

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính

Ta có thể biểu diễn một hệ thống tuyến tính bằng phương trình sai phân tuyến tính Phương trình này thể hiện mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra hay mối quan

hệ giữa dãy vào và dãy ra Dạng tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính:

- br = br(n)

- N, M là các số nguyên dương

- N: là bậc của phương trình sai phân

Phương trình sai phân tuyến tính được viết dưới dạng khác như sau:

Ví dụ: Cho hệ thống được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính sau:

*) Nhận xét: Hệ thống (1), (2), (3) đều là hệ thống tuyến tính, nhưng (3) không phải

là hệ thống bất biến vì hệ số của nó không phải là hằng số, và phương trình y(n) không phải là phương trình sai phân hệ số hằng Còn hệ thống (1), (2) là bất biến vì

hệ số của nó là hằng số, và các phương trình (1), (2) là phương trình sai phân hệ số hằng

1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

*) Cách giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: Gồm 5 bước:

- Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (là phương trình chỉ

có một thành phần): ∑N=

k 0

ak.y(n - k) = 0 Nghiệm này ký hiệu là y0(n), thông thường y0(n) có dạng là hàm mũ αn

⇔ a0.αN + a1 α N-1 +…+ aN = 0 (Đây là phương trình đặc trưng của hệ thống)

Đa thức bên trái là đa thưc đặc trưng bậc N

Phương trình này sẽ có N nghiệm: các nghiệm này có thể là số thực hoặc số phức Trên thực tế các hệ số ai (i = 0,1, …, N) là số thực nên nếu phương trình có nghiệm phức sẽ là các cặp liên hợp phức Nếu có nghiệm trùng nhau thì gọi là nghiệm bội

26

+ Nếu tất cả các nghiệm đều là nghiệm đơn (α1, α 2, …, α N )

+ Nếu có nghiệm bội

Giả sử α 2 là nghiệm bội bậc m, các nghiệm khác là đơn (N - l)

⇒y0(n) = A1 α 1n +(A20 α2n + A21 n.α 2n + A22. n2 α 2n +…+A2.(m -1) nm-1.α2n)

+ AN αNn

- Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình đầy đủ hai thành phần

Phương trình đầy đủ hai thành phần là phương trình ứng với đầu vào x(n) ≠0,

có dạng tổng quát như sau : ∑

Thông thường dạng của xp(n) được chọn giống dạng của x(n)

- Bước 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính

Ký hiệu : y(n) = y0(n) + yp(n)

- Bước 4: Tìm các hệ số bằng cách dựa vào điều kiện ban đầu

*) Chú ý: Nếu tìm được yp(n) là một thành phần của y0(n) thì ta sẽ xử lý giống như trường hợp gặp nghiệm bội tức là nếu y0(n) có dạng Aiα in thì yp(n) phải chọn là Bin

α in

Ví dụ : Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau:

y(n) + 2.y(n - 1) = x(n) với kích thích x(n) = u(n) và điều kiện ban đầu y(-1) = 0 Giải:

- Bước 1: Phương trình thuần nhất có dạng: y(n) + 2.y(n-1) = 0 (1)

Chọn dạng y0(n) là α n, thay vào phương trình (1) ta có:

α n + 2.α n-1 = 0

⇔ αn-1(α + 2) = 0 ⇔ α 1 = -2

Phương trình đặc trưng chỉ có 1 nghiệm đơn α 1=-2

⇒ y0(n) = A1 (-2)n

- Bước 2: Tìm nghiệm riêng yp(n)

Ta có phương trình có thành phần thứ 2: y(n) + 2 y(n-1) = n

Ta sẽ cho yp(n) giống dạng x(n) = n

27

1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra)

Trong trường hợp N > 0 ta có PT_SP_TT HSH bậc N như sau:

- Định nghĩa: Hệ thống TTBB được đặc trưng bởi phương trình sai phân bậc N >

0 được gọi là hệ thống đệ quy tức là đầu ra của hệ thống ở thời điểm n phụ thuộc vào đầu vào ở hiện tại, trong quá khứ và đầu ra trong quá khứ

y(n) = F[x(n); x(n - 1);…; x(n – M); y(n - 1);…; y(n - N))]

F[.]: Kí hiệu hàm

Ví dụ : y(n) = y(n -1) + x(n) là hệ thống đệ quy (có bậc là 1)

*) Nhận xét:

- Hệ thống đệ quy có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn

- Ta luôn phải xét tính ổn định của hệ thống này

- Hệ thống còn có tên gọi là IIR (Infinite duration Impulse Response System – Hệ thống đáp ứng xung chiều dài vô hạn )

28

- Định nghĩa: Hệ thống TTBB được đặc trưng bởi phương trình sai phân bậc N =

0 được gọi là không đệ quy tức là đầu ra của hệ thống ở thời điểm n chỉ phụ thuộc vào đầu vào ở hiện tại và trong quá khứ

1.4.5 Các phần tử thực hiện hệ thống bất biến

1.4.5.1 Phần tử cộng : Phần tử cộng dùng để cộng hai hay nhiều tín hiệu số, nó là

phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.12:

1.4.5.2 Phần tử nhân : Phần tử nhân dùng để nhân hai hay nhiều tín hiệu số, nó là

phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.13

1.4.5.3 Phần tử nhân với hằng số : Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân một tín

hiệu số với một hằng số, nó là phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.14

Hình 1.14 Ký hiệu một phần tử nhân với hằng số.

Để nhân tín hiệu số x(n) với hằng số a, sử dụng bộ nhân hai số với một đầu vào là tín hiệu số x(n), còn đầu vào kia là giá trị mã của a

1.4.5.4 Phần tử trễ đơn vị : Phần tử trễ đơn vị dùng để giữ trễ tín hiệu số x(n) một

mẫu, nó là phần tử có nhớ và được ký hiệu như ở hình 1.15

Hình 1.15 Ký hiệu phần tử trễ.

Đối với mạch phần cứng, để thực hiện giữ trễ tín hiệu số x(n), người ta sử dụng

bộ ghi dịch, thanh ghi chốt hoặc bộ nhớ, chúng thường được sản xuất dưới dạng vi mạch số 4 bit hoặc 8 bit

Ví dụ : Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống có phương trình sai phân như sau:

Hình 1.16 Sơ đồ thực hiện hệ thống y(n) =2.x(n) + 3.x(n - 1).

1.5 Tương quan chéo của các tín hiệu

1.5.1 Tương quan chéo

Hàm tương quan chéo của hai dãy tín hiêu x(n), y(n) là một dãy được xác định như sau:

x( ) ( ) (n là số nguyên)

*) Chú ý: Một trong hai dãy x(n) hoặc y(n) phải có năng lượng hữu hạn

Ví dụ : Cho x(n) = (1 – n/2).rect3(n), y(n) = rect3(n)

()

()

(

m m

n m y m x n

m y m x

(

m

m y m

x = x(0).y(0) + x(1)y(1) + x(2).y(2) = 1 + 1/2 + 0 =3/2

(

m

m y m

x = x(0).y(-1) + x(1).y(0) +x(2).y(1) = 0 + 1/2 + 0 = 1/2

(

m

m y m

x = x(0).y(-2) + x(1).y(-1) + x(2).y(0) = 0 + 0 + 0 = 0

Trong định nghĩa tương quan chéo, nếu ta có x(n) ≡ y(n) thì ta có định nghĩa tự tương quan.

Vậy hàm tự tương quan được định nghĩa như sau:

x( ) ( )

rxx(n) là hàm tự tương quan của dãy x(n)

32

CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN Z

2.1 Mở đầu

- Có nhiều cách để thể hiện một tín hiệu:

+ Biểu diễn nó trong miền thời gian n

+ Biểu diễn nó trong miền số phức (z)

+ Biểu diễn nó trong miền tần số liên tục (w)

+ Biểu diễn nó trong miền tần số rời rạc (k)

Mỗi một cách biểu diễn có ưu, nhược điểm Biểu diễn tín hiệu trong miền z thuận lợi cho việc khảo sát sự ổn định của hệ thống và triển khai hệ thống, nó cho kết quả khả quan, mà nếu khảo sát trực tiếp trong miền biến số độc lập tự nhiên sẽ không có được. ZT

IZT

Trong đó:

+ ZT: Z-Transform: Biến đổi Z

+ IZT: Inverse Z-Transform: Biến đổi Z ngược

2.2 Biến đổi Z (ZT)

2.2.1 Định nghĩa

2.2.1.1 Biến đổi Z hai phía, thường gọi là biến đổi Z

Định nghĩa: Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) được định nghĩa như sau:

Các giá trị của z để cho (1) hội tụ xác định trong mặt phẳng Z gọi là miền hội tụ ROC (region of convergence) Miền hội tụ liên quan mật thiết với biến đổi Z do vậy phải luôn luôn được đề cập tới.

Ví dụ: Xác định biến đổi Z và miền hội tụ của tín hiệu x(n) = (1/2)n.u(n)

Được biết: 1 + A + A2 + … + An + … = nếu |A| < 1

Vậy ROC sẽ là |1/2.z-1| < 1 hay z > ½ vì X(Z) =

2.2.1.2 Biến đổi z một phía (dùng để giải phương trình sai phân)

Biến đổi z một phía của dãy x(n) là:

- Không biểu diễn được tín hiệu x(n) đối với miền biến số độc lập âm (n<0)

- Biến đổi Z một phía và hai phía của tín hiệu nhân quả là như nhau

- Đối với tín hiệu nhân quả thì chỉ có biến đổi Z một phía vì tín hiệu nhân quả bằng

- Z là một biến phức ⇒ Z = Re(z) + j.Im(z)

- Ta có thể biểu diễn z trên mặt phẳng gồm có hai trục:

Trục thực để biểu diễn Re(z)

Trục ảo để biểu diễn Im(z)

Re[z] = r.cos(w) (dựa vào tính chất của tam giác vuông)

Im[z] = r.sin(w)

r = (Re(z) + Im(z))1/2

z = r.cos(w) + j.r.sin(w) = r.(cos(w) + j.sin(w)) = r.ej.w

*) Chú ý: Trong mặt phẳng Z, có đường tròn tâm O bán kính R = 1, z = r.ej.w

Được gọi là vòng tròn đơn vị, vòng tròn này có vai trò quan trọng trong việc đánh giá một số tính chất của hệ thống như tính ổn định của hệ thống

2.2.2.2 Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy

Dùng để xét sự hội tụ của một chuỗi (chuỗi lũy thừa) Một chuỗi có dạng là:

2

1)n + …Giải:

(1) Ta có: lim |u(n)|1/n = lim |1|1/n = 1 với mọi n ⇒Chuỗi không hội tụ.

n→∞ n→∞

35

Im

Rez

Re(z)

Im(z)

wz

(2) Ta có: lim |x(n)|1/n = lim |(

2

1)n|1/n = lim |

2

1

| = 2

1 < 1 với mọi n ⇒Chuỗi hội tụ.

n→∞ n→∞ n→∞

2.2.2.3 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy để tìm miền hội tụ của biến đổi Z

Miền hội tụ của biến đổi Z là tất cả các giá trị của z để chuỗi X(Z) hội tụ

X(Z) = ZT[x(n)] = n∑=∞−∞ x(n).z-n = n∑=−− ∞1 x(n).z-n + ∑n∞=0 x(n).z-n

Đặt: X2(z) = n∑=−− ∞1 x(n).z-n và X1(z) = ∑∞=0 x(n).z-n

- Tìm miền hội tụ của X1(z)

X1(z) hội tụ khi lim |x(n).z-n|1/n < 1 ⇔lim |x(n)|1/n.|z-n|1/n < 1

X2z) = ∑∞

= 0

m

x(-m).zm – x(0)Giả sử x(0) là hữu hạn

⇒ X2(z) chỉ hội tụ khi và chỉ khi lim |x(-m).zm|1/m < 1

m→∞

⇔lim |x(-m)|1/m.z < 1 ⇔z < = Rx

m→∞ m→∞

*) Kết luận về miền hội tụ (Region Convergence - RC)

+ Nếu Rx- ≥ Rx+ thì miền hội tụ RC[X(Z)] = φ

+ Nếu Rx- < Rx+ thì RC[X(Z)] = RC[X1(z)] ∩ RC[X2(z)]

*) Chú ý: Miền hội tụ của X(Z) có thể rộng ra khi xuất hiện các điểm không, các

điểm không triệt tiêu (các điểm cực) trong quá trình tổ hợp tuyến tính

Thông thường X(Z) thường có dạng như sau:

X(Z) = D N((z z)), trong đó: N(z), D(z) là các đa thức của z

36

- Điểm không : là những điểm tại đó X(Z) = 0, ký hiệu là Zor

⇒ Điểm không chính là nghiệm của N(z)

- Điểm cực: là những điểm mà tại đó X(Z) = 0, ký hiệu là Zpk

⇒Điểm cực chính là nghiệm của D(z)

Ví dụ : Tìm miền hội tụ X(Z) của x(n) = (32)|n| với mọi n

3

2).z| < 1 ⇔z <

23

m→∞ m→∞

⇒ X(Z) = X1(z) + X2(z) = .

.3

21

1

z

− Với 3

2 <|z| <

23

⇒Miền hội tụ của X(Z) là hình vành khăn với bán kính trong là

2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng

Ta có một vài biến đổi Z thông dụng được cung cấp trong bảng dưới đây:

37

Miền n Miền z Miền hội tụ

2.3 Biến đổi Z ngược

Biến đổi Z ngược cho ta xác định dãy x(n) từ biểu thức X(Z)

Công thức tính biến đổi Z ngược như sau:

Theo quan điểm toán tử, chúng ta sẽ dùng ký hiệu toán tử IZT (Inverse Z – Transfrom) để chỉ toán tử biến đổi Z ngược

*) Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược

- Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư

- Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa

- Phương pháp khai triển thành phương thức tối giản

2.3.1 Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư

*) Nội dung của phương pháp

38

X(Z).zn – 1 có bao nhiêu điểm cực (không kể đơn, bội) thì có bấy nhiêu thặng dư.

Ta sẽ đi tìm Res[X(Z).zn - 1] tại điểm cực z = zpk có bậc s (trong trường hợp có nghiệm đơn thì s = 1)

Đặt ψ(z)= X(Z).zn – 1(z - zpk)s

Khi đó: Res[X(Z).zn - 1] ( z = zpk) = (s−11)!(ds – 1/dzs – 1)[ ψ(z)] ( z = zpk)

Sau khi tính được tất cả các thặng dư, đem cộng lại thì ta được x(n)

Ở đây thì ds – 1/dzs – 1 là đạo hàm bậc (s - 1) theo biến z

Nếu s = 1 thì Res[X(Z).zn - 1] ( z = zpk) = ψ(z) ( z = zpk) = ψ (zpk)

Vậy giá trị của tích phân theo đường cong khép kín sẽ bằng tổng các giá trị thặng

dư của tất cả các cực trong đường cong đó

Ví dụ : Tính biến đổi Z ngược của X(Z) =

C là vòng tròn đơn vị (C thuộc mền hội tụ)

Ta sẽ đi tìm các thặng dư của X(Z).zn – 1 = zn/(z -

2

1), ta xét các trường hợp của n

*)Với n ≥ 0

Ta có: X(Z).zn – 1 = zn/(z -

2

1), có điểm cực là Zpk = ½ và s1 = 1; một cực đơn

2

1) = (2

1)n

*) Với n < 0

Đặt: -m = n, ta đi tìm x(m)

39

j.

.2

11/[zm.(z -

2

1)].dz

Như vậy: X(Z).z-m-1 = 1/[zm.(z -

2

1)] có hai cực là:

và zp1 =

2

1

(nghiệm đơn) zp2 = 0 (nghiệm bội bậc m)

Ta sẽ đi tìm hai thặng dư ứng với hai cực trên

- Với cực là zp1 = ½ , s1 = 1 ta có: ψ 2(z) = 1/zm = (z)-m

Res[X(Z).z-m-1](tại z =

2

1) = ψ 2(z)|(tại z =

2

1) = (1/2)-m = 2m

- Với cực bội bậc m, s2 = m là zp2 = 0, ta có: ψ 3(z) = 1/(z -

2

1) = (z-1/2)-1

⇒Res[1/[zm.(z – 1/2)] z =0 =

)!

1(

1

−

m dm – 1/dzm – 1[

21

(1/2)n với n ≥ 0Vậy: x(n) =

Có thể thực hiện theo cách chia tử số chô mẫu số

Nhược điểm: Có khi phép chia không kết thúc

Chỉ tìm được 1 giá trị cụ thể của dãy x(n), khó có công thức tổng quát

40