CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠCTRONG MIỀN Z
2.4. Ứng dụng biến đổi Z trong xử lý tín hiệu và hệ thống rời rạc
2.4.3. Độ ổn định của hệ thống
a. Điều kiện ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả theo H(z) - Điều kiện ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến
Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định nếu và chỉ nếu vòng tròn đơn vị nằm trong miền hội tụ của hàm truyền đạt của hệ thống.
Sau đây, chúng ta xét kỹ tính ổn định của các hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả. Đối với hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả thì hàm truyền đạt H(z) phải có miền hội tụ nằm ngoài vòng tròn bán kính Rh-
Còn đối với hệ thống ổn định thì miền hội tụ của hàm truyền đạt H(z) phải chứa vòng tròn đơn vị. Vậy đối với hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả và ổn định thì hàm truyền đạt H(z) phải có miền hội tụnhư sau:
RC[H(z)] : |z| > Rh- Rh- <1 (2.60)
Mà chúng ta biết rằng miền hội tụ của hàm truyền đạt H(z) không chứa bất cứ điểm cực nào của H(z). Từđây có phát biểu vềđiều kiện ổn định của một hệ thống bất biến nhân quảnhư sau:
- Một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả là ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các điểm cực của hàm truyền đạt H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị.
94
Im[z]
Re[z]
Rx
1
z z 1
Im[z]
Re[z]
Rx
a.Rx | |z 1, hệ ổn định b. Rx| |z 1 , hệ không ổn định
Hình 2. 23. Điều kiện ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả theo H(z).
Ví dụ 1:
Xét hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có hàm truyền đạt:
2 2
( ) (2 4 1,5) 2( 2 0,75) 2( 1,5)( 0,5)
z z z
H z z z z z z z
Giải:
Vì H(z) có hai cực đơn là 3z1 và zp2 0,5, trong đó zp1 1,5 1 , nên hệ đã cho không thỏa mãn điều kiện ổn định.
Tuy nhiên, với kích thích vào x n( )u n( ) 1,5 ( u n1)thì hệ đã cho sẽổn định.
Thật vậy: 1,5 1,5
1 1 1
z z
X z z z z
Đáp ứng ra :
( 1,5)
( ) ( ) ( ) .
( 1) 2( 1,5)( 0,5)
0,5
( 1)( 0,5)
z z
Y z X z H z
z z z
z
z z
Đểtìm đáp ứng ra y(n) của hệ, phân tích hàm :
1 2
( ) 1 1
( 1) ( 0,5) ( 1) ( 0,5)
Y z A A
z z z z z
Vậy :
1 0,5
z z
Y z X z H z
z z
Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả nên với RC Y z : z 1, ta nhận được:
( ) ( ) 0
( ) u n 0,5nu n p( ) ( )
y n IZT Y z y n y n
Thành phần z1 0 khi n , vì thế hệ đã cho ổn định, mặc dù nó không thỏa mãn điều kiện ổn định. Nguyên nhân là không điểm z0 1,5 của kích thích vào
95 X(z) đã loại trừ cực điểm zp11,5của hàm truyền đạt H(z), làm cho y0(n) không còn thành phần mất ổn định ứng với 1,5nu n( ).
Muốn xét tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quảtheo điều kiện ổn định phải giải phương trình đặc trưng D(z) = 0 để tìm tất cả các cực điểm của hàm truyền đạt H(z). Giải các phương trình có bậc lớn hơn 3 là phức tạp, vì thế người ta xây dựng các tiêu chuẩn để xét tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả mà không cần giải phương trình D(z) = 0 .
b Tiêu chuẩn ổn định Jury
Tiêu chuẩn Jury cho phép xác định tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả theo các hệ số của phương trình đặc trưng D(z) = 0. Xét phương trình D(z) = 0 dưới dạng lũy thừa của z1:
1 2 ( 1)
1 2 1
( ) 1 ... N N N N 0
D z a z a z a z a z (2.61)
Hay dưới dạng lũy thừa của z1:
1 2 1
1 2 1
( ) N N N ... N N 0
D z z a z a z a z a z (2.62)
Các phương trình có bậc N và hệ số a0 = 1
Sử dụng các hệ số a0 aN của phương trình, lập được bảng Jury gồm (2N –3) hàng như sau:
Bảng Jury
Hàng Hệ số
1 1 a1 a2 … aN-2 aN-1 aN
2 aN aN-1 aN-2 a2 a1 1
3 c0 c1 c2 … cN-2 cN-1
4 cN-1 cN-2 cN-3 c1 c0
5 d0 d1 d2 … dN-2
6 dN-2 dN-3 dN-4 d0
… … … … …
2N- 3 r0 r1 r2
Trong đó các phần tử ci , di trên các hàng 2, 3 của bảng Jury được tính theo định thức của các ma trận như sau :
) . 1 (
i i
i i
i N N
N
N a a a
a a
c a với i = 0 , 1 , 2 , … , (N-1)
) . .
( 0 1 1
1
1 0
i i
i i
i N N
N
N c c c c
c c
c
d c
với i = 0 , 1 , 2 , … , (N-1)
...
96 Mỗi hàng tiếp theo của bảng Jury sẽ có số phần tử giảm đi 1 và được tính tương tựcho đến hàng thứ (2N – 3) chỉ còn 3 phần tử r0 , r1 , r2 thì ta dừng lại.
Tiêu chuẩn ổn định Jury được phát biểu như sau :
Phương trình D(z) = 0 sẽ có tất cả các nghiệm nằm trong vòng tròn đơn vị
|z|=1 nếu thỏa mãn tất cả các điều kiện sau : 1. Giá trị đa thức D z( ) z1 0
2. Giá trị đa thức z1Nếu N chẵn.
hoặc D z( ) z10 Nếu N lẻ.
3. Các phần tử ở đầu và cuối mỗi hàng của bảng Jury thỏa mãn :
0 1
|aN |a
1 0
|cN ||c |
2 0
|dN ||d |
…...
2 0
|r ||r |
Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có phương trình đặc trưng không thỏa mãn tiêu chuẩn ổn định Jury thì không thỏa mãn điều kiện ổn định.
Ví dụ 2:
Xét tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có hàm truyền đạt :
( ) 2
(2 4 1,5)
H z z
z z
Giải:
Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình đặc trưng (với a0 = 1) : ( ) 22 0,750
D z z z
Vì D(z) có bậc N = 2 là số chẵn, nên bảng Jury chỉ có một hàng theo các hệ số của D(z). Xét các điều kiện của tiêu chuẩn ổn định Jury :
1. D z( ) z1 1 2 0,75 0, 250; không thỏa mãn.
2. D z( ) z1 1 2 0,753,75 0 ; thỏa mãn.
3. |a2|0,75 1 ; thoả mãn.
Hệ xử lý số đã cho không thỏa mãn tiêu chuẩn ổn định Jury, nên không thỏa mãn điều kiện ổn định.
Ví dụ 3:
Xét tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có hàm truyền đạt :
97
1 12 3 4
( ) 4 3 2
H z z z z z
Giải:
Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình đặc trưng, với a0 = 1:
3 1 1 2 1 3 1 4
( ) 1 0
4 2 4 4
D z z z z z
Vì D(z) có bậc N = 4 là số chẵn, nên bảng Jury có ba hàng với các phần tử là ai, ci , di, trong đó các phần tử ai là hệ số của D(z) :
a0 1 ; 1 3
4
a ; 2 1
2
a ; 3 1
4
a ; 4 1
4 a Tính các phần tử của hàng thứ hai c0 , c1 , c2 , c3 :
0 4 4
1 1 15
1 1 .
4 4 16 c a a
1 1 4 3
3 1 1 11
. .
4 4 4 16 c a a a
2 2 4 2
1 1 1 6
. .
2 4 2 16 c a a a
3 3 4 1
1 1 3 1
. .
4 4 4 16 c a a a
Tính các phần tử của hàng thứ ba d0 , d1 , d2 : 256 224 16
1 16
1 16 15 16
15 . .
. 3
3 0 0
0 c c c c
d
256 159 16
6 16
1 16 11 16
15 . .
. 2
3 1 0
1 c c c c
d
256 79 16
11 16
1 16
6 16
15 . .
. 1
3 2 0
2 c c c c
d
Xét các điều kiện của tiêu chuẩn ổn định Jury :
1. 1 3 1 1 1 11
( ) 1 0
4 2 4 4 4
D z z ; thỏa mãn.
2. 1 3 1 1 1 3
( ) 1 0
4 2 4 4 4
D z z ; thỏa mãn.
3. 4 1
| | 1
a 4 ; thỏa mãn.
3 0
1 15
| | | |
16 16
c c ; thỏa mãn.
2 0
79 224
| | | |
256 256
d d ; thoả mãn.
98 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quảđã cho thỏa mãn tiêu chuẩn Jury nên ổn định.