Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn * nên chúng đều là các số chính phương... cạnh đáy tương ứng.[r]
Trang 1UBND HUYỆN KIM SƠN
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,5 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4+2011 x2+2010 x +2011
b) Tìm các số nguyên x ; y sao cho: 3 x3
+xy=3 c) Tìm các hằng số a và b sao cho x3+ax+b chia cho x +1 dư 7;
chia cho x − 2dư 4
Câu 2: (1,5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức:
A=|x2
+y2 +5+2 x − 4 y|−¿ với x=22011; y=16503 b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất:
2 2
B
x với x>0
Câu 3: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
a) 2011
3 +113
20113+20003=
2011+11 2011+2000 b) Nếu ;m n là các số tự nhiên thỏa mãn : 4 m2+m=5 n2+n thì :
m-n và 5 m 5 n 1 đều là số chính phương.
Câu 4: (4 điểm)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N a) Chứng minh OM=ON
b) Chứng minh AB1 + 1
CD=
2
MN c) Biết SAOB=a2; SCOD=b2.Tính SABCD ?
d) Nếu ^D< ^ C <900 Chứng minh BD > AC
Trang 2
-HẾT -UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
1
a/ x4
+2011 x2
+2010 x +2011=x4
+x3 +x2+2010 (x2
b/ 3 x3
+xy=3⇔ x(3 x2
+y)=3 Do x ; y là các số nguyên nên ta có:
TH1:
x=1
3 x2
+y=3
⇔
¿x =1
y =0
¿{
¿
¿
(thỏa mãn) hoặc 2
26
y
0,25
0,25
TH2:
x=−1
3 x2
+y=−3
⇔
¿x =−1
y =−6
¿{
¿
¿
(thỏa mãn) hoặc 2
28
y
x y
(thỏa mãn)
0,5
c/ Vì x3
+ax+b chia cho x +1 dư 7 nên ta có: x3
+ax+b=( x +1) Q ( x )+7
do đó với x=− 1 thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1)
0,25
Vì x3
+ax+b chia cho x − 2 dư 4 nên ta có: x3
+ax+b=( x − 2) P( x )+ 4
do đó với x=2 thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2)
0,25
2
a/ Ta có: x2
+y2+5+2 x −4 y=( x +1)2
+( y − 2)2≥ 0với mọi x ; y nên ta có: 0,25 A= x2+y2+5+2 x −4 y − ( x+ y −1)2+2 xy =
x2+y2+5+2 x −4 y − x2− y2−1 −2 xy +2 x +2 y +2 xy=4 x − 2 y +4=2(2 x − y )+4
0,25
Thayx=22011; y=16503=(24)503=22012 vào A ta có: A=2 (2 22011− 22012)+4=4 0,25 b/ B=x
2
−2 x+ 2011
x2 =2011 x
2
− 2 x 2011+20112
2011 x2
0,25
=2010 x
2 +(x −2011 )2
Dấu “=” xảy ra khi x=2011
0,25 Vậy GTNN của B là 20102011 đạt được khi x=2011
3 a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000 Khi đó ta có a=b+c
Xét vế phải đẳng thức ta có: 2011
3 +113
20113 +20003=a3+b3
a3 +c3=(a+b)(a2−ab+b2)
Thay a=b+c vào a2− ab+b2=(b+c )2− (b+c) b+b2=b2+bc+c2 0,25
Trang 3a2− ac+c2=(b +c )2− (b+c ) c +c2=b2+bc+c2 0,25 Nên a2− ab+b2=a2− ac+c2
0,25 Vậy: 2011
3 +113
20113+20003=a3+b3
a3 +c3=(a+b)(a2−ab+b2)
(a+ c)(a2− ac+c2)=
a+b
2011+11 2011+2000 b/Ta có4 m2
+m=5 n2
+n⇔5(m2−n2)+m−n=m2⇔ (m− n) (5 m+5 n+1)=m2(*) 0,5 Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1)⇒(5m+5n+1)+5m-5n⋮ d⇒10m+1⋮ d
Mặt khác từ (*) ta có: m2⋮ d2⇒m⋮ d Mà 10m+1⋮ d nên 1⋮ d⇒d=1
0,25
Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau,
thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương
0,25
4
a/ Ta có OAAC=OB
BD Do MN//DC
ON
DC⇒OM=ON
0,5
0,5 b/ Do MN//AB và CD ⇒OM
AM
AD và OMAB =DM
AD Do đó:
1
(1)
0,25
Tương tự: ONDC +ON
Từ (1);(2) ⇒MN
MN
DC+
1
2
c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2
cạnh đáy tương ứng Do vậy : SAOB
SAOD
=OB
OD và SAOD
SCOD
=OA OC
0,25
Nhưng OBOD=OA
OC ⇒ SAOB
SAOD=
SAOD
SCOD⇒S2AOD
=SAOB SCOD=a2 b2 nên SAOD=ab Tương tự SBOC=ab.Vậy SABCD=(a+b )2
0,5
0,25
N M
O
D
C
H
Trang 4Do ^D<^ C <900 nên H, K nằm trong đoạn CD
Ta có A ^E D=B ^ C D= ^ C >^ D ⇒AD>AE
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE
Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có :
0,25
HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa